Методы аппроксимации функции

Заключение

В процессе выполнения курсовой работы я практически освоил типовые вычислительные методы прикладной математики, совершенствовал навыки разработки алгоритмов и построения программ на языках высокого уровня. Получил навыки, являющиеся основой для использования вычислительных методов прикладной математики и техники программирования в процессе изучения всех последующих дисциплин при выполнении курсовых и дипломных проектов.

...

Оглавление
Введение 3
1 Методические указания 4
1.1 Методические рекомендации по аппроксимации методом наименьших квадратов 4
1.2 Методика выбора аппроксимирующей функции 4
1.3 Общая методика решения 5
1.4 Аппроксимация прямой 7
2 Математическая постановка задачи аппроксимации функции 8
2.1 Задание на курсовой проект 8
2.2 Аппроксимация полиномом 8
3 Нахождение аппроксимирующей функции методом наименьших квадратов 12
3.1 Определение аппроксимирующей функции в виде линейной функции 12
3.2 Определение аппроксимирующей функции в виде квадратичной функции 14
3.3 Определение аппроксимирующей функции в виде гиперболического уравнения 17
3.4 Определение аппроксимирующей функции в виде экспоненциального уравнения 19
Заключение 22
Список использованной литературы 23
Приложение А 24

Введение
Настоящая курсовая работа требует от студента в процессе ее выполнения решения следующих задач:
а) практического освоения типовых вычислительных методов и знаний по теме «Методы аппроксимации функции»;
б)совершенствования навыковразработки алгоритмов и построения программ на языке высокого уровня.
Практическое исполнение курсовой работы полагаетознакомление с теоретическим материалом, решение задачиаппроксимации на алгоритмическом языке СИ, отыскание аппроксимирующей функции для предложенного задания. Навыки, приобретенные в процессе выполнения курсовой работы, показывают основу для применения вычислительных методов прикладной математики в процессе исследованияи при выполнении курсовых и дипломных проектов.
В большинстве опытных данных, задаваемых при помощи табличной функции, про исходит довольно значительный разброс точек. При этом применение кусочной или непрерывной интерполяции не все время оправдано, так как устанавливается задача заниматься исследованием общей тенденции изменения физической величины.
В данном всеобщем случаеаппроксимацииискомая кривая неизбежно должна проходить через заданные точки. Полагается применять кривую, сумма квадратов отклонений в узловых точках наименьшая. Собственно в подобных случаях применяется метод наименьших квадратов.

1.4 Аппроксимация прямойВ предоставленном случае функция имеет вид QUOTE , а коэффициенты отыскиваются из условия, что (7)имеет наименьшее значение[3]. Для отыскивания коэффициентов, нужно вынести решение следующей системы уравнений:(8)Найти решение данной системы можно при помощи метода Крамера, тогда получится следующие выражения для нахождения коэффициентов QUOTE :(9).2 Математическая постановка задачи аппроксимации функции2.1 Задание на курсовой проектПластичные материалы в присутвии трещин обычно становятся ломкими.Это свойство называют трещинной чувствительностью. Такая чувствитльность сильно связана с ткмпературой, ее измеряют путем соударения с маятником (тест Шарпи). В тесте Шарпи при соударении измеряют энергию, накопленную стандартные образом, подвергающимся тестированию. Результаты этого теста для холоднокатаной стали определенной марки предоставлены в следующей таблице 1.Температура °C-100-75-50-250255075100Энергия соударения4,066,789,4916,2740,6797,62146,63151,85162,7Таблица 1. Исходные данные полученные в ходе теста для холоднокатаной сталиТребуется установить функциональную зависимость температуры от энергии соударения.2.2 Аппроксимация полиномомИсходные данные:Множество точек QUOTE такое, что QUOTE . QUOTE - вызываемая степень полиномаИсходные данные: Множество QUOTE - коэффициенты полиномаАналитическое решение:Алгоритм для осуществления аппроксимации полиномом: QUOTE - запись матрицы для решения QUOTE - вектор ответовДля QUOTE от 0 до QUOTE делать // описание циклов3.1) Для QUOTE от 0 до QUOTE делать3.1.1) Для QUOTE от 0 до QUOTE делать3.1.1.1) QUOTE 3.1.1.1) Конец цикла делать по QUOTE 3.1.1) Конец цикла делать по QUOTE 3.1) Конец цикла делать по QUOTE Для QUOTE от 0 до QUOTE делать4.1) Для QUOTE от 0 до QUOTE делать4.1.1) QUOTE 4.1.1) Конец цикла делать по QUOTE 4.1) Конец цикла делать по QUOTE 5) Решаем СЛАУ QUOTE .6) Вернуть QUOTE На рисунке 2 изображена схема алгоритма для решения данного задания.Рисунок 2. Графическое представление алгоритмаАппроксимация различными кривыми, нахождение коэффициентов которых сводиться к нахождения коэффициентов прямойВходные данные:Множество точек QUOTE такое, что QUOTE .Выходные данные: QUOTE ккоэффициенты функцииАналитическое решение:b=Sxx∙Sy-Sx∙SxynSxx-Sx∙Sx, где QUOTE - для линейной функции определяются согласно представленным формулам. Эти формулы позволят найти коэфициенты для линейной функции.3 Нахождение аппроксимирующей функции методом наименьших квадратов3.1 Определение аппроксимирующей функции в виде линейной функцииДля опредление вида аппроксимирующей функции и анализа эффективности ее применения в качестве доверительного параметра функции выбирем линейную функцию вида y=a0t+a1.Система уравнений МНК: a0n + a1∑t = ∑y a0∑t + a1∑t2 = ∑y • t Полученные для решения этого задания промежуточные данные заносятся в таблицу 2.tyt2y2t y-1004.061000016.48-406-756.78562545.97-508.5-509.49250090.06-474.5-2516.27625264.71-406.75040.6701654.0502597.626259529.662440.550146.63250021500.367331.575151.85562523058.4211388.75100162.71000026471.29162700636.073750082631.0135635Таблица 2. Значения для определения аппроксимирующей функции методом наименьших квадратов в виде линейной функции.Для наших данных система уравнений имеет вид: 9a0 + 0a1 = 636.07 0a0 + 37500a1 = 35635 Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение Получаем a0 = 70.674, a1 = 0.95 Уравнение функции имеет вид: y = 0.95 t + 70.674.Рисунок 3. Нахождение аппроксимирующей функции в виде линейной функции в среде MathcadОценим качество уравнения тренда с помощью средней относительной ошибки аппроксимации. EQ \x\to(A) = \f(∑|yt - yi| : yi;n)100%Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения тренда к исходным данным. EQ \x\to(A) = \f(12.46;9) 100% = 138.43%Поскольку ошибка больше 7%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве тренда. Рисунок 4. Построение точек и аппроксимирующей функции в виде линейной функции3.2 Определение аппроксимирующей функции в виде квадратичной функцииДля опредление вида аппроксимирующей функции и анализа эффективности ее применения в качестве доверительного параметра функции выбирем линейную функцию вида y=a2t2+a1t+a0.Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов. Система уравнений МНК: a0n + a1∑t + a2∑t2 = ∑y a0∑t + a1∑t2 + a2∑t3 = ∑yt a0∑t2 + a1∑t3 + a2∑t4 = ∑yt2 Данные полученные в ходе исследования и определения аппроксимирующей функции представлены в таблице 3.tyt2y2t yt3t4t2 y-1004.061000016.48-406-100000010000000040600-756.78562545.97-508.5-4218753164062538137.5-509.49250090.06-474.5-125000625000023725-2516.27625264.71-406.75-1562539062510168.75040.6701654.0500002597.626259529.662440.51562539062561012.550146.63250021500.367331.5125000625000036657575151.85562523058.4211388.7542187531640625854156.25100162.71000026471.2916270100000010000000016270000636.073750082631.013563502765625003021375Таблица 3. Значения для определения аппроксимирующей функции методом наименьших квадратов в виде квадратичной функции.Для наших данных система уравнений имеет вид 9a0 + 0a1 + 37500a2 = 636.07 0a0 + 37500a1 + 0a2 = 35635 37500a0 + 0a1 + 276562500a2 = 3021375 Получаем a0 = 0.00308, a1 = 0.95, a2 = 57.823 Уравнение тренда: y = 0.00308t2+0.95t+57.823Рисунок 5. Нахождение аппроксимирующей функции в виде квадратичной функции в среде MathcadЭмпирические коэффициенты тренда a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов βi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных. Оценим качество уравнения тренда с помощью средней относительной ошибки аппроксимации. EQ \x\to(A) = \f(∑|yt - yi| : yi;n)100%Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения тренда к исходным данным. EQ \x\to(A) = \f(6.06;9) 100% = 67.36%Поскольку ошибка больше 7%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве тренда. Рисунок 6. Построение точек и аппроксимирующей функции в виде квадратичной функции3.3 Определение аппроксимирующей функции в виде гиперболического уравненияГиперболическое уравнение тренда имеет вид y=a1t+a0. Система уравнений МНК: a0n + a1∑1/t = ∑y a0∑1/t + a1∑1/t2 = ∑y/t 1/tyt2y2t y-0.014.060.000116.48-0.0406-0.01336.780.00017845.97-0.0904-0.029.490.000490.06-0.19-0.0416.270.0016264.71-0.65040.6701654.0500.0497.620.00169529.663.90.02146.630.000421500.362.930.0133151.850.00017823058.422.020.01162.70.000126471.291.63-0636.070.0045682631.019.52Таблица 4. Значения для определения аппроксимирующей функции методом наименьших квадратов в виде гиперболического уравнения.Для наших данных система уравнений имеет вид: 9a0 + -0a1 = 636.07 -0a0 + 0.00456a1 = 9.52 Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение Получаем a0 = 70.674, a1 = 2089.207 Уравнение тренда: y = 2089.207 / t + 70.674 Оценим качество уравнения тренда с помощью средней относительной ошибки аппроксимации. EQ \x\to(A) = \f(∑|yt - yi| : yi;n)100%Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения тренда к исходным данным. EQ \x\to(A) = \f(23.02;9) 100% = 255.73%Поскольку ошибка больше 7%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве тренда. Рисунок 7. Построение точек и аппроксимирующей функции в виде гиперболического уравнения3.4 Определение аппроксимирующей функции в виде экспоненциального уравненияЭкспоненциальное уравнение тренда имеет вид y=a0ea1t.Система уравнений МНК: a0n + a1∑t = ∑y a0∑t + a1∑t2 = ∑y • t tln(y)t2y2t y-1001.4100001.96-140.12-751.9156253.66-143.55-502.2525005.06-112.51-252.796257.