Описание экономических процессов с помощью уравнений Ферхюльста

-
...

ОГЛАВЛЕНИЕ 1
1. Понятие о линейных дифференциальных уравнениях второго порядка. 2
1.1. Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами. 2
1.1.1 Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. 3
1.1.2 Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. 8
1.2 Экономический смысл ЛДУ второго порядка. 9
1.2.1 ЛОДУ второго порядка. 9
1.2.2 ЛНДУ второго порядка. 12
2. Уравнение Ферхюльста. 12
2.1. Динамика роста популяции 12
2.2 Экономическая интерпретация уравнения логистического роста 14
3. Восстановление дифференциального уравнения по известной ФСР 19
4. Исследование коэффициентов восстановленного уравнения в зависимости от значений переменной k. 23
Библиография 30

-

Ответ:
Теперь рассмотрим пример нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям, другими словами, решение так называемой задачи Коши.
Для начала решим данное однородное уравнение. Составляем характеристический многочлен: . Используя теорему Виета, находим корни уравнения
Составляем фундаментальную систему решений .
Записываем общее решение заданного однородного уравнения: .
Теперь, используя заданные начальные условия, найдём решение задачи Коши:
Записываем частное решение данного неоднородного уравнения, подставив найденные константы и в общее решение однородного уравнения: .
Для нахождения времени находим производную от найденного частного решения по переменной t и приравниваем его к нулю.
Сократим полученное равенство на , получим . Выражаем постепенно из полученного равенства t, получим, что
.
1.1.2 Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.
Определение 8 Дифференциальное уравнение вида , где a,b,c-постоянные вещественные числа, будем называть линейным неоднородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.
Теорема 2.
Структура общего решения y линейного неоднородного дифференциального уравнения вида (2) представляет из себя сумму общего решения соответствующего ему линейного однородного дифференциального уравнения и любого частного решения данного неоднородного уравнения, т.е. .
Таким образом, чтобы найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения вида (2), нужно найти общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения вида (4) и какое-нибудь частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения вида (2). В общем случае задача отыскания частного решения является сложной.
Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения вида (2) можно найти методом вариации произвольных постоянных или методом подбора (метод неопределенных коэффициентов).
Рассмотрим пример. Найти решение линейного неоднородного дифференциального уравнения
Решением уравнения является сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Для того, чтобы найти общее решение однородного уравнения составим характеристическое уравнение.
Теперь находим частное решение неоднородного уравнения в виде
.
Найдём коэффициенты А и В, подставив решение в первоначальное уравнение.
Ответ:
1.2 Экономический смысл ЛДУ второго порядка.
1.2.1 ЛОДУ второго порядка.
Поскольку, как было показано в предыдущем пункте, решением линейного дифференциального уравнения второго порядка является волновая функция, характеризующая волновые колебания какого-либо процесса, что применимо к любой системе, испытывающей колебания, оно может быть интерпретировано как отклонение колебаний рыночной цены товара от его естественной цены.
Рассмотрим следующую ситуацию. Пусть отклонение колебаний рыночной цены товара от его естественной цены в момент времени t. В данном примере при в момент времени t рыночная цена совпадает с равновесной. Будем искать уравнение отклонения рыночной цены от её естественного значения в момент времени t. С этой целью будем предполагать, что на рынке товаров действуют две силы, которые условно будем называть силой тяготения Смита, которую в физической интерпретации задачи можно назвать силой упругости, и силой сохранения, являющейся экономическим аналогом силы сопротивления. Очевидно, что сила тяготения направлена в сторону точки О по оси Оs и по величине пропорциональна отклонению цены , то есть . Коэффициент пропорциональности b будем называть коэффициентом Смита.
Но на рынке может действовать и другая сила, которую с точки зрения физики можно назвать аналогом силы трения. Это так называемая сила сохранения, которую мы будем обозначать .
Итак, из всего сказанного можем сделать вывод о том, что чем реже происходят колебания цен, тем больше сила сохранения. Эта сила зависит от вида исследуемого товара, психологии продавца и многих других факторов.
Естественным будет предположение о том, что сила сохранения по величине пропорциональна скорости и направлена в противоположную сторону, т.е. . Коэффициент r будем называть коэффициентом сохранения.
Воспользовавшись вторым законом Ньютона, получаем, что
.
По аналогии с уравнением пружинного маятника получаем дифференциальное уравнение отклонения рыночной цены товара от его естественной цены:
.
Введём следующие обозначения, соответствующие физической интерпретации задачи: , где коэффициент затухания, а циклическая частота свободных колебаний в отсутствии силы сохранения.
Учитывая новые обозначения уравнение колебаний примет вид:
Решая получившееся ЛОДУ второго порядка, получим следующие три случая.
1) если т.е., если имеет место непериодическое затухание .
Функция монотонно убывает с ростом t. Система, выведенная из состояния равновесия асимптотически, т.е. при возвращается в это состояние.
2) если т.е., если , так же имеет место непериодическое затухание
3) если т.е., если система совершает затухающие колебания , где и величины постоянные, а собственная циклическая частота колебаний.
1.2.2 ЛНДУ второго порядка.
В предыдущем параграфе мы рассматривали линейное однородное уравнение колебания цен с постоянными коэффициентами
Экономический смысл так же имеет и неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами
Оно описывает колебание цен на рынке при внешнем воздействии , которое может быть интерпретировано, например, как завоз на рынок большой партии аналогичной продукции импортного производства, или, например, как государственные дотации, и т.д.
2. Ограниченный рост. Уравнение Ферхюльста.
В естественной среде довольно распространенным является ограниченность различного вида ресурсов. Логичным последствием этого факта является внутривидовая конкуренция. Обычно если численность популяции достаточно не велика, то внутривидовая конкуренция не влияет на удельную скорость роста популяции r. Однако начиная с того момента, когда численность популяции достаточно возрастает и приближается к некоторому численному значению К, удельная скорость роста падает практически до нуля.
Определение 9. Предельное значение К, при достижении численности популяции которого удельная скорость роста падает практически до нуля, будем называть ёмкостью экологической ниши.
Допустим, что зависимость удельной скорости роста популяции от её численности распределяется в соответствии с линейным законом :
В соответствии с графиком получим следующее уравнение:
.
Выполнив некоторые преобразования, уравнение будет иметь вид:
.
Определение 10. Уравнение вида (6) будем называть «уравнением логистического роста» или «уравнением Ферхюльста».
В данном уравнении правая часть могла бы интерпретироваться, например, таким образом. Удельная или средняя скорость рождаемости популяции, являющаяся некоторой положительной константой, не зависящей от времени t, и размера популяции x(t) и соответствующая положительному слагаемому r. А удельная или средняя смертность популяции пропорциональна размеру популяции и ассоциируется с отрицательным слагаемым . Рост смертности в популяции как раз может быть спровоцирован эффектами скученности популяции, а так же конкуренцией за территориальные или же пищевые ресурсы.
Раскроем скобки и проведём некоторые преобразования уравнения (6) с взглянуть на его смысл с несколько другой стороны.
.
В правой часть уравнения (7) первое слагаемое будет давать информацию о неограниченном росте популяции, второе же слагаемое покажет нам влияние внутривидовой конкуренции, другими словами, об отрицательном влиянии двух особей одного вида на скорость роста популяции.
Продолжим исследование уравнения вида (7) и получим его решение. Для этого сначала найдём стационарные точки численности популяции.Для этого приравниваем правую часть к нулю:
Как только мы получили пару стационарных точек , возникает вопрос об устойчивости найденного решения. Для исследования данного вопроса применим аналитический метод Ляпунова. В соответствии с выбранным методом для определения устойчивости нам необходимо определить знак производной функции , являющейся правой частью исследуемого уравнения, в найденных стационарных точках.
Итак, вычисляем производную интересующей нас функции:
.
По очереди подставим найденные стационарные значения и в вычисленную производную:
.
Найденное значение производной в точке положительно, поскольку показатель удельной скорости роста r есть положительная постоянная величина. Согласно выбранному методу исследования это означает неустойчивость стационарного состояния .
Во второй исследуемой стационарной точке имеем:
Поскольку константа , очевидно, что , что с точки зрения устойчивости по Ляпунову в свою очередь означает, что стационарное значение является устойчивым.
Далее исследуем вопрос о том, по какому закону численность популяции будет изменяться во времени. Для исследования данного вопроса решим уравнение вида (7), преобразовав его к виду
Уравнение вида (8) является уравнением с разделяющимися переменными, поэтому преобразуем его таким образом, чтобы оно стало уравнением с разделёнными переменными
.
Проинтегрируем обе части получившегося равенства:
Итак, общим решением уравнения (8) является выражение .
Предположим теперь, что нам нужно решить задачу Коши о том, что начальный момент времени Найдём значение произвольной постоянной С используя выбранное начальное условие.
Подытоживая все выкладки, получаем, что окончательно формула зависимости численности популяции от времени имеет вид:
.