Трансцендентные уравнения с параметром

Заключение

Задачи с параметрами дают возможность для приобретения школьниками навыков научной математической деятельности. Решение этих задач открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применимых в исследованиях и на любом другом математическом материале.
Спецификой задач с параметрами является то, что наряду с неизвестными величинами в них фигурируют параметры, численные значения которых не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом значения параметров существенно влияют на логический и технический ход решения задачи и форму ответа.
В курсовой работе рассмотрены основные методы и идеи решения трансцендентных уравнений с параметрами. Большинство ...

Содержание

Введение 2
1. Понятие трансцендентного уравнения 4
2. Трансцендентные уравнения с параметром 6
3. Способы и методы решения трансцендентных уравнений с параметром 8
4.Примеры решения трансцендентных уравнений с параметром 16
4.1 Показательные уравнения с параметрами 16
4.2 Логарифмические уравнения с параметрами 18
4.3 Тригонометрические уравнения с параметрами 21
Заключение 26
Литература 27

Введение

Изучение задач физики, техники, геометрии часто приводит к исследованию уравнений с параметрами и нахождению их решений .
В настоящее время задачи с параметром входят в перечень заданий Единого Государственного Экзамена (ЕГЭ). Изучение задач с параметрами не является отдельной составляющей школьного курса математики. Между тем, многообразие задач с параметрами охватывает весь курс школьной математики. Большие сложности вызывают задачи, содержащие логарифмические, показательные, степенные функции в их различной комбинации. Но эти задачи рассматриваются только на факультативных занятиях, а их решение требует не только знания свойств функций и уравнений, но и умения выполнять алгебраические преобразования, а также высокой логической культуры и хорошей техники исследования.
Поэтому владение приемами решения этих задач можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления. Трудности, возникающие при изучении данного вида уравнений в основном такие же, как и для задач с параметрами других типов. Кроме того, появляются еще и другие, обусловленные свойствами трансцендентных функций: большое количество формул и методов, используемых при решении уравнений данного вида; возможность решения одного и того же уравнения, содержащего параметр, различными методами.
Как показывает опыт и многочисленные отклики преподавателей математики при обсуждении различных методов решения задач повышенной сложности, школьниками хорошо усваиваются методы, являющиеся по своей сути алгоритмичными или сводящиеся к некоторой совокупности алгоритмичных действий.
Целью курсовой работы является изучение трансцендентных уравнений с параметрами и методов их решения, решение трансцендентных уравнений с параметрами.
Для этого необходимо решит следующие задачи:
1. Изучить математическую и методическую литературу для определения понятий «Трансцендентное уравнение», «параметр», «уравнение с параметром».
2. Расмотреть различные методы решения трансцендентных уравнений с параметрами и проилюстрировать их примерами.
3. Решить набор уравнений с параметрами.
Предметом исследования являются трансцендентные уравнения, содержащие параметры, и методы их решения.
Теоретическая значимость курсовой заключается в систематизации теории решения трансцендентных уравнений с параметрами.
Практическая значимость курсовой работы заключается в том, что материал работы может служить основой для разработки элективного курса для учащихся 10-11 классов.
Курсовая работа состоит из трех параграфов.
В первом параграфе рассматривается понятие трансцендентного уравнения.
Второй параграф посвящен трансцендентным уравнениям с параметрами.
В третьем параграфе раскрывается описание методов решения трансцендентных уравнений с параметрами.

Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решениизадач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа. Часто при решении задач с параметрами одного типа осуществляется переход к решению задач с параметрами некоторого другого типа.3. Способы и методы решения трансцендентных уравнений с параметром В зависимости от типа задачи с параметром и внешнего вида применяют различные методы и приемы решения этих задач. В некоторых случаях приходится использовать эти методы в совокупности, используя различные элементы этих методов. Задачи с параметрами в зависимости от метода их решения можно разбить на несколько типов.Задачи, допускающие аналитический способ решения. Задачи с параметрами, допускающими графический способ решения.  Рассмотрим задачи первого типа. Аналитический способ решения -это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра х [7]. Аналитический способ решения задач с параметром является самым трудным способом, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им и применению.К аналитическому методу решения относятся также задачи, обладающие симметрией относительно неизвестной величины. К этой группе задач можно отнести такие, в которых требуется установить значения параметра, при которых уравнение имеет единственное решение, четное число решений или нечетное число решений.Практически всегда подобные задачи имеют характерную особенность: их условия не изменяются либо при замене знака одной или нескольких переменных на противоположный (симметрия относительно знака), либо при перестановке нескольких переменных (симметрия относительно перестановки переменных). При решении задач такого рода используется следующий порядок действий:- выполняется проверка на симметрию;- выполняется проверка выполнения необходимых условий, находятся допустимые значения параметра (при симметрии относительно знака переменной подставляется ее нулевое значение; при симметрии относительно перестановки переменных все переменные обозначают одной буквой);- проверяется достаточность условий, т. е. для найденных допустимых значений параметра выполняется проверка того, что при полученных значениях параметра уравнение действительно имеет требуемое число решений. Этот этап заключается либо в доказательстве существования требуемого числа решений, либо в его опровержении Пример. При каких значениях параметра а оба корня уравнения больше 0?Решение. Выполним замену . Тогда условие того, что корни уравнения больше 1 эквивалентно тому, что корни уравнения больше 1. Для того чтобы оба корня уравнения были более 1, необходимо и достаточно выполнения следуя условий:1) D> 0; 2) ; 3) m = (2a-1) / a> 1. Необходимость условия 1) очевидна. Неравенство 2) означает, что знак у (t) при t = 1 совпадает со знаком старшего коэффициента. Квадратные трехчлена, которые удовлетворяют условиям 1) и 2), имеют то свойство, что все они имеют два корня и оба эти корни или меньше 1, или более 1 (См. рис.)t =1a>0a<0a>0a<0tyt =1a>0a<0a>0a<0ty Неравенство 3) выделяет из них те трехчлены, в которых оба корня больше 1. Это означает, что вершина параболы расположена правее прямой t = 1. Система неравенств 1) - 3) дает нам необходимое и достаточное условие для того, чтобы оба корня данного уравнения были большие 1. Неравенство 2) дает а) (4-6а)> 0, 0 <a <2/3 /Из неравенства 3) следует, что а <0 или a> 1. Поскольку неровности 2) и 3) несовместимы, то ни при каких а не выполняется условие примера.Ответ: ни при каких. Рассмотрим теперь графический способ решения [18]. Как правило, графический способ решения является более наглядным. Но применение этого способа решения требует хорошего знания свойств функций и ее поведения, умения анализировать поведение функции и строить ее график. Часто при решении задач прежде чем перейти к построению графика функции требуется выполнение некоторых преобразований, иногда не очень простых. Несмотря на свою очевидность, идея применение геометрических методов для решения алгебраических задач возникла в математике сравнительно недавно, если иметь в виду возраст математики, как науки, исчисляемый тысячелетиями. Возможно, что эта идея была движущей силой при создании Рене Декартом основ аналитической геометрии. Впоследствии эта идея многократно использовалась многими математиками при решении сложных математических задач. В школьную математику эта идея и, соответственно, геометрические методы решения алгебраических задач, пришли гораздо позже. Описание геометрических методов для решения задач с параметром, а также с двумя и большим числом параметров можно найти в известной книге Ф.Клейна «Элементарная математика с точки зрения высшей. Арифметика. Алгебра. Анализ» т.1. Иногда задача с параметром допускает как аналитическое, так и графическое решение. Поэтому в этом случае выбор правильного метода решения является залогом успешного решения задачи. Очень часто аналитическое решение задачи с параметром на определенных этапах требует привлечение геометрических соображений, а геометрический способ решения может потребовать некоторых аналитических преобразований и исследований. Поэтому идеальным было сочетание этих двух методов. Но это требует высокой математической культуры.Тем не менее, можно выделить основные шаги решения задачи с параметром, которые для удобства записаны в виде таблицы.Основные этапы решения задачи с параметромАналитический способ решенияГеометрический способ решенияПримечание1.Найти область допустимых значений для параметра и неизвестной1.Найти и изобразить графически область допустимых значений для параметра a и неизвестной xПостроения выполняются в системе координат xOa2.Выполнить преобразования, упрощающие задачу.2.Выполнить преобразования, упрощающие задачу.Уравнение можно переписать в виде системы уравнений2. Разбить задачу на отдельные подзадачи.2. Изобразить в ОДЗ геометрические объекты, соответствующие уравнению.3. Решить отдельные подзадачи.3. Определить множество точек, соответствующих решению задачи.4.Записать окончательный ответ.4.Записать окончательный ответ.Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно. Я написал этот текст самостоятельно.