Применение прикладных методов оптимизации для обоснования производственной программы предприятия

Заключение

В рамках данного исследования было выполнено построение и решение экономико-математической модели распределения фондов минеральных удобрений сельскохозяйственной организации. Результаты исследования позволили сделать следующие выводы:
1. Размер дополнительного чистого дохода от применения удобрений под прирост урожая составляет 1,1 тыс. руб.. При этом дальнейший прирост урожайности не ограничивается фондами удобрений.
2. Из двойственных оценок ограничений наибольший интерес представляют оценки по ограничениям 29-33:
оценки ограничений по ресурсам всех удобрений указывают на недоиспользование ресурсов.
оценка ограничения по производству зерна (33) свидетельствует об обратной зависимости между заданием по объему производства зерна и значением целевой функции (дополнительного чи ...

Содержание

Введение 4
1. Теоретико-методологические основы применения прикладных методов оптимизации для обоснования производственной программы предприятия 6
1.1. Особенности формирования производственной программы предприятия 6
1.2. Математические средства и методы оптимизации производственной программы предприятия 12
2. Моделирование распределения фондов минеральных удобрений сельскохозяйственных организаций 21
2.1. Постановка задачи распределения фондов минеральных удобрений сельскохозяйственной организации 21
2.2. Формирование исходных данных 22
2.3. Построение математической модели 25
2.4. Результаты решения экономико-математической модели 35
Заключение 41
Список использованной литературы 42


 

Введение

Представление обоснованных количественных данных и рекомендаций для принятия оптимальных решений является основной задачей экономико-математического моделирования.
Математические модели, встречающиеся на практике, не имеют единого общего метода решения, его выбор зависит от типа и сложности исследуемой модели.
Методы линейного программирования применяются в случае, когда целевая функция и все ограничения являются линейными. Если все переменные должны принимать только целочисленные значения, то используются методы целочисленного программирования. В случае, если существует возможность разбиения исходной задачи на более мелкие, применяется динамическое программирование и нелинейное программирование, если целевая функция и/или ограничения являются нелинейными функциями.
Качественн ая реализация задачи математического моделирования на практике зависит от правильности выбора метода решения, который представляется возможным только после глубокого анализа исходных данных, поставленной цели и построения математической модели.
В современных условиях хозяйствования особую актуальность приобретают задачи планирования и оптимизации производственно-финансовой деятельности, когда необходимым условием его устойчивого развития становится оптимальная структура производства, рациональная разработка и эффективное управление производственной программой предприятия, что возможно реализовать методами средствами экономико-математического моделирования.
Объект исследования: производственная программа.
Предмет исследования: методы и средства экономико-математического моделирования, как эффективный инструментарий оптимизации производственной программы.
Цель исследования: на основе анализа особенностей построения производственной программы реализовать на практике оптимизацию распределения фондов минеральных удобрений сельскохозяйственных организаций средствами экономико-математического моделирования.
Для достижения данной цели были сформулированы следующие задачи:
1. Выполнить анализ теоретического материала по вопросам формирования производственной программы предприятия.
2. Изучить методы и средства экономико-математического моделирования для оптимизации производственной программы.
3. Выполнить построение математической модели распределения фондов минеральных удобрений сельскохозяйственных организаций и реализовать ее решение средствами табличного процессора Excel.
Для достижения цели и задач исследования использована совокупность научных методов:
методы научного обобщения, сравнения, системного анализа;
методы абстракции, индукции и дедукции, анализа и синтеза;
методы сравнительного анализа;
экономико-математические методы.
 

Формирование производственной программы и определяет положение предприятия в условиях рынка на некоторый период. В свою очередь, рыночная среда формирует платежный спрос и является основой для рыночного предложения. Под воздействием спроса формируется объем продаж предприятия. Далее проводятся уточнения и пересмотр параметров плана с учетом факторов неопределенности, и осуществляется корректировка и уточнение его параметров в связи с возникновением непредвиденных изменений внутреннего и внешнего характера. Следовательно, процесс планирования и формирования производственной программы на предприятии носит непрерывный характер. В современной рыночно ориентированной экономике, характеризующейся неопределенностью факторов внутренней и внешней среды, обострением отраслевой конкуренции, недостаточным техническим потенциалом и непропорциональностью спроса и предложения, подходы к планированию производственной программы организации являются особо значимыми для большинства российских предприятий промышленности.Математические средства и методы оптимизации производственной программы предприятияРешение каждой задачи оптимизации требует, прежде всего, правильного выбора математического метода, который приведет к конечному результату либо даст возможность получить необходимый объем информации об искомом решении. Метод решения в значительной степени зависит от постановки задачи и используемой математической модели.Для решения задач теории оптимальных решений на современном этапе развития математической науки используются такие методы, как:Метод классического анализа;Методы на основе использования неопределенных множителей Лагранжа;Методы вариационных вычислений;Линейное, нелинейное и динамическое программирование;Выбор метода решения не является универсальной операцией, как и не существует универсальных методов решения задач оптимизации. Одни методы применимы к широкому классу задач, другие используются для решения узкого круга задач, но есть целая группа методов, которые на определенном этапе решения могут сочетаться с другими. К ним относятся метод множителей Лагранжа, методы нелинейного программирования, методы классического анализа.Также необходимо отметить, что существуют группы методов, которые разработаны для решения задач с определенного вида математическими моделями. Так, например, математический аппарат линейного программирования в наибольшей степени применим для решения задач с линейными критериями оптимальности, и позволяет решать большинство задач данного класса. Динамическое программирование широко применяется для решения задач оптимизации многостадийными математическими моделями. Рассмотрим основные особенности математических методов решения задач оптимизации (таблица 1).Математические методы решения задач оптимизации№ п/пНазвание методаОсобенности использования методаОбласть применения1Классический анализ исследования функцийИспользуется в совокупности с численными методами; Необходима проверка всех решений на достаточностьзадачи с известным аналитическим выражением критерия оптимальности2Метод множителей Лагранжа требование возможности получения аналитических выражений для производных от критерия оптимальности дополняется аналогичным требованием для аналитического вида уравнений ограниченийзадачи оптимизации объектов на основе уравнений с частными производными и задач динамической оптимизации;в качестве вспомогательного средства для решения задач динамического программирования с целью снижения размерности решаемой задачи3Методы вариационного исчисленияРешение оптимальной задачи сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений Эйлера, которые являются нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка с граничными условиями, заданными на обоих концах интервала интегрирования. Полученные интегрированием системы дифференциальные уравнения функции должны быть проверены на экстремум функционалазадачи, в которых критерии оптимальности представляются в виде функционалов и решениями которых служат неизвестные функции4Динамическое программирование представляет собой алгоритм определения оптимальной стратегии управления на всех стадиях процесса и результаты решения не могут быть выражены в аналитической форме, а получаются в виде таблицзадачи оптимизации дискретных многостадийных процессов, для которых критерий оптимальности задается как аддитивная функция критериев оптимальности отдельных стадий5Линейное программирование Симплекс-метод позволяет за конечное число итераций находить оптимальное решение. Дополнительная проверка на оптимальность для получаемых решений не требуетсярешение вопросов оптимального планирования производства с ограниченным количеством ресурсов, при определении оптимального плана перевозок6Методы нелинейного программирования Используются, в основном, в сочетании с другими методами оптимизации.решение оптимальных задач с нелинейными функциями целиОсновная специфическая особенность методов оптимального решения задач заключается в том, что до определенного этапа задача решается аналитически (находят, например, системы конечных или дифференциальных уравнений). Исключение составляет лишь метод нелинейного программирования, в котором применяется информация, получаемую при вычислении критерия оптимальности.Многообразие содержания конкретных оптимизационных задач не обуславливает многообразие из форм представления. Все задачи оптимизации классифицируются на задачи минимизации (максимизации) вещественнозначной функции f(x) некоторого n-мерного векторного аргумента x=(x1, x2,…, xn). Компоненты аргумента удовлетворяют системе уравнений hkx=0 , набору неравенств gj(x)≥0, и ограничены сверху и снизу, т.е. ai≤xi≤bi.Функция f(x) называется целевой функцией, уравнения hkx=0 , — ограничениями в виде равенств, а неравенства gj(x)≥0 — ограничениями в виде неравенств. В каждом указанном случае, предполагается, что все функции, фигурирующие в задаче – вещественнозначимы и число ограничений конечно.Таким образом, в общем виде задача оптимизации имеет следующую математическую постановку:F(x)→min⁡(max)при ограниченияхhkx=0, k=1, …, Kgj(x)≥0, j=1, …, Jai≤xi≤bi i=1, …, nВ случае, когда в задаче нет ограничений, т. е. J=K=0, ai=-∞, bi=∞, i=1,…, n она называется задачей безусловной оптимизации, в противном случае – задачей условной оптимизации.В качестве основных методов решения задач условной оптимизации рассматриваются:методы линейного программирования;прямые методы (метод проекции градиента, Комплексный метод Бокса);методы штрафных функций.Линейное программирование это раздел теории экстремальных задач, в котором изучаются задачи минимизации (максимизации) линейных функций на множествах, заданных системами линейных равенств и неравенств. В общем случае математическая постановка задачи линейного программирования представляется следующим образом: необходимо найти вектор x*=(x1*,…,xn*), который определяет максимальное (минимальное) значение линейной формы:Fx=c1x1+c2x2+…+cnxnпри ограничениях:a11x1+a12x2+…+a1nxn≤b1…am1x1+am2x2+…+amnxn≤bm…akx1+…+aknxn≥bmak+1x1+…+ak+1nxn≥bm…alx1+…+alnxn=bmxi≥0, i=1,…,nКаждым неравенством из условия определяется полупространство, которое ограничено гиперплоскостью. При этом пересечением полупространств образуется выпуклый п-мерный многогранник H. Условия-равенства выделяют из n-мерного пространства (п-l) -мерную плоскость, пересечение которой с областью H дает выпуклый (n-l) -мерный многогранник G. Именно в некоторой вершине многогранника G достигается экстремальное значение линейной формы при условии его существования. В случае вырожденности экстремальное значение может достигаться в точках ребра или грани указанного многогранника. На основании вышесказанного, можно сделать вывод о том, что для решения задачи линейного программирования достаточно вычислить значения функции в вершинах многогранника, а затем найти среди этих значений максимальное или минимальное. Но на практике зачастую встречаются задачи, в которых количество вершин области G велико, что затрудняет их просмотр даже с использованием ЭВМ. С учетом данных особенностей разработаны специальные методы решения задач ЛП, ориентированные на две формы записи задач: каноническую и матричную.Каноническая форма задачи линейного программирования представлена следующим образом:Fx=c1x1+c2x2+…+cnxn→max⁡(min)a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1…am1x1+am2x2+…+amnxn=bmxi≥0, i=1,…,nМатричная форма имеет вид:(c, x)→max⁡(min)Ax=bx≥0В матричной форме A=aij - матрица условий. Столбы указанной матрицы (a1j, ..., аmj)T, j 1, ..., п, называются векторами условий, вектор b  (b1, ..., bm)T - вектор правых частей, а вектор с (с1, …, сn) - вектор коэффициентов линейной формы.Существуют приемы, с помощью которых любую задачу линейного программирования можно привести к каждой из указанных выше форм. К таким приемам относятся:переход к эквивалентной системе неравенств. Использование данного приема основано на следующем правиле: знак неравенства можно поменять на обратный, меняя знаки свободного члена и коэффициентов. Например, ограничениеa11x1 +…a1nxn  b1по указанному правилу можно заменить условием-a11x1 +…-a1nxn  -b1.переход от ограничения-неравенства к равенству. В этом случае необходимо ввести дополнительную неотрицательную переменную (базисную). Так, например условиеa1x1 +…anxn  b.эквивалентно двум ограничениям:-a11x1+…-a1nxn+xn+1  b; xn+1  b1.представление ограничения-равенства парой неравенств.В случае с ограничениемalx1 +… anxn  b;оно представляется парой условий:a11x1 +… a1nxn b1.a11x1 +…-a1nxn  -b1.переход к неотрицательным переменным. В случае, если на знак переменной хi не наложены ограничения, можно заменить ее разностью двух неотрицательных переменных:xi  xn+2 - xn+1, xn+1  0; xn+2  0.переход от переменных, ограниченных снизу, к неотрицательным переменным. Если переменная ограничена снизу хi  bi то, заменив ее по формуле хi  уi + bi переходим к задаче с неотрицательной переменной уi  0.Наиболее широкое распространение и применение получил симплекс-метод решения задач линейного программирования.Основная идея данного метода заключается в следующем: определяется вершина многогранника G и все ребра, выходящие из нее. Выполняется перемещение вдоль ребра, по которому функция убывает (при поиске минимума), и попадают в следующую вершину. В следующей вершине аналогичным образом определяют выходящие из нее ребра и повторяют процесс.Минимальное (максимальное) значение считается найденным, когда приходят в такую вершину, в которой вдоль всех выходящих из нее ребер функция возрастает (убывает). В результате применения данного метода сокращается количество рассматриваемых вершин и задача может быть решена средствами ЭВМ. Моделирование распределения фондов минеральных удобрений сельскохозяйственных организацийПостановка задачи распределения фондов минеральных удобрений сельскохозяйственной организацииВходные данные:сельскохозяйственная организация; план размещения культур по полям и участкам севооборотов; фонды минеральных удобрений в ассортименте под урожай планового периода;плановые условно-переменные затраты да 1ц прибавки урожая; гарантированные (минимальные) объемы производства продукции.Относительно каждой элементарной культуры известно: сорт; система орошения;предшественник, его удобренность; физико-химические свойства почвы; рекомендуемые годовые нормы удобрения (в единицах действующего вещества); коэффициенты распределения годовой нормы по срокам внесения; закупочные цены на продукцию; коэффициенты степени совместимости с различными формами удобрений. Относительно каждой формы удобрений известно:содержание действующего вещества;цена, затраты на хранение, транспортировку, приготовление и внесение;накладные расходы.Необходимо определить: какие дозы удобрений, в какие сроки и в каком ассортименте следует вносить под каждую элементарную культуру, чтобы, обеспечивая задания по гарантированному производству продукции, максимизировать дополнительный чистый доходФормирование исходных данныхВ таблице 2 представлена информация о фондах удобрений планового периода и задания по производству продукции.Фонды удобрений планового периода и задания по производству продукции№ варианта№№ участков, включенных в вариантФонды удобрений в ассортименте поставки,т. физ. массыЗадание по производству продукции, таммиачная селитракарбамидсуперфосфаткалийная сользернокартофель33,426,01,857,828,8339,0-В таблицах 3-7 приведена справочная информации по характеристикам почв, сельскохозяйственным культурам и удобрениям.Агрохимическая характеристика почв и план размещения сельскохозяйственных культур№ участкаПлощадь, гаСодержание в почве подвижных форм, мг/100 гФактические нормы удобрения предшественника, кг д.в/гаПланируемая культураP2O5K2ОNP2O5K2О35348806060Ячмень471415606040Озимая пшеницаСтартовые дозы удобрений (по видам) в зависимости от содержания в почве доступных форм P2O5 и K2ОКультураСтартовая урожайность, ц/гаСтартовые дозы удобрений, кг д. в/гаазотныхфосфорных, при содержании P2O5 (мг/100 г почвы) в почвекалийных, при содержании K2О (мг/100 г почвы) в почведо 55 … 10> 10до 88 … 12> 12Ячмень18,040604020403030Озимая пшеница22,060706040705030Характеристика удобрений и процессов их использованияПоказательФормы удобренийаммиачная селитракарбамидсуперфосфаткалийная сольСодержание действующего вещества, %34462040Коэффициент последействия действующего вещества0,100,100,150,15Затраты на применение в расчете на 1 ц франко-почва, руб.:- основное1020160017504890- подкормка1178,961704,97--Закупочные цены и удельные затраты на уборку и доработку 1 ц продукцииПоказательЯчменьОзимая пшеницаЦена 1 ц продукции, руб.750,00900,00Затраты на уборку и доработку 1 ц продукции, руб.38,1441,54Нормы удельных затрат удобрений в расчете на 1 ц основной (при соответствующем количестве побочной) продукции по интервалам урожайности с.-х. культур в зависимости от содержания в почве подвижного фосфора и обменного калияКультураНомер интервала прибавки урожайностиЗначение показателя урожайности на верхней границе интервала, ц/гаВеличина интервала, цЗатраты удобрений в расчете на 1 ц продукции, кг д.в.азотныхфосфорных, при содержании P2O5(мг/100 г почвы) в почвекалийных, при содержании K2О(мг/100 г почвы) в почведо 55 … 10> 10до 88 … 12> 12Ячмень12463,33,73,22,83,63,02,822844,14,03,83,24,23,73,32200600,70,90,80,71,00,80,8Озимая пшеница12863,33,63,32,33,83,52,923354,04,24,02,94,84,53,7Построение математической моделиОпределим переменные для каждого из исследуемых участков.Для участка № 3:х1, х2, х3 – дозы действующего вещества, соответственно N, Р2О5 и К2О, отнесенные на прирост урожайности ячменя по первому интервалу прибавки, кг д. в/га;х4 – прирост урожайности ячменя по первому интервалу прибавки, ц;х5, х6, х7 – дозы действующего вещества, соответственно N, Р2О5 и К2О, отнесенные на прирост урожайности ячменя по второму интервалу прибавки, кг д. в/га;х8 – прирост урожайности ячменя по второму интервалу прибавки, ц;х9, х10, х11, х12 – дозы в физической массе, соответственно, аммиачной селитры, карбамида, суперфосфата и калийной соли для основного внесения под ячмень, ц/га;х13, х14 – дозы в физической массе, соответственно, аммиачной селитры и карбамида для внесения в подкормку под ячмень, ц/га;х15 – общий прирост урожайности ячменя, ц.Для участка № 4:х16, х17, х18 – дозы действующего вещества, соответственно N, Р2О5 и К2О, отнесенные на прирост урожайности озимой пшеницы по первому интервалу прибавки, кг д. в/га;х19 – прирост урожайности озимой пшеницы по первому интервалу прибавки, ц;х20, х21, х22 – дозы действующего вещества, соответственно N, Р2О5 и К2О, отнесенные на прирост урожайности озимой пшеницы по второму интервалу прибавки, кг д. в/га;х23 – прирост урожайности озимой пшеницы по второму интервалу прибавки, ц;х24, х25, х26, х27 – дозы в физической массе, соответственно, аммиачной селитры, карбамида, суперфосфата и калийной соли для основного внесения под озимую пшеницу, ц/га;х28, х29 – дозы в физической массе, соответственно, аммиачной селитры и карбамида для внесения в подкормку под озимую пшеницу, ц/га;х30 – общий прирост урожайности озимой пшеницы, ц.Составим системы ограничений по каждому из направлений:Группа ограничений по балансу выноса элементов питания продукцией и внесения их с удобрениями.