Решение задач методом дополнительного построения

Введение 3
1. Методы решения геометрических задач 4
2. Анализ метода дополнительных построений в решении задач 6
3. Проведение вспомогательной окружности – метод дополнительного построения в решении задач 11
Заключение 17
Список использованной литературы 18

6. Окружность при определенных условиях можно описать и около четырехугольника. Если четырехугольник АВСD вписан в окружность, то сумма его противоположных углов – 1800, а углы ABD и ACD, которые опираются на одну и ту же дугу равны (см. рис. 5). Обратное предложение тоже верно.
Точки А, С, В, D лежат на одной окружности, если:
- точки С и В лежат по одну сторону от прямой AD и ABD = ACD, т.е. отрезок AD виден из точек С и В равными углами;
- ABCD – это выпуклый четырехугольник и сумма его противоположных угов равна 1800.
Рис. 5.
Ниже рассмотрим конкретные примеры.
Пример № 5. Через некоторую точку плоскости проведены 3 прямые так, что между ими двумя угол = 600. Необходимо доказать, что основания перпендикуляров, опущенных из любой точки плоскости на данные прямые, служат вершинами равностороннего треугольника.
Решение.
1. Пусть 3 эти прямые пересекаются в точке О, М – это произвольная точка плоскости, С, В и А – это основания перпендикуляров, которые опущены и точки М на эти прямые (см. рис. 6).
2. Точки С, В, А, М и О лежат на одной окружности с диаметром ОМ.
3. Теперь видно, что АВС = АОС, так как оба они опираются на одну и ту же дугу АС.
4. Таким образом, АВС = 600. Точно также и АСВ = АОВ = 600, т.е. треугольник АВС – равносторонний.
5. Следовательно, основания С, В, А – это вершины равностороннего треугольника.
Рис. 6. Пример № 5.
Пример № 6.  В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА1 и СС1. Доказать, что треугольник А1ВС1 подобен треугольнику АВС с коэффициентом подобия, равным cosВ.
Решение.
1. На стороне АС треугольника АВС как на диаметре опишем полуокружность, которая пройдет через основания высот А1 и С1 (см. рис. 6).
2. Так как четырехугольник АС1А1С вписанный, то ВАС = 1800 - С1А1С.
3. Таким образом, ВАС = С1А1В и ∆ А1ВС1 - ∆ АВС.
4. Так как сторон А1В и АВ являются соответствующими сторонами в подобных треугольниках, то их соотношение А1В:АВ равно коэффициенту подобия. Но в прямоугольном треугольнике АВА1 А1В:АВ = cosB.
5. Следовательно, ∆ А1ВС1 подобен ∆ АВС и k = cosB.
Рис. 6. Пример № 6.
Пример № 7. Доказать, что в произвольном треугольнике АВС имеет место зависимость , где lB – это биссектриса угла В; а, с и b – это стороны треугольника АВС, с1, а1 – это отрезки, на которые биссектриса lB делит противоположную сторону.
Решение.
1. Около треугольника АВС опишем окружность и продолжим биссектрису BD угла В до пересечения с окружностью в точке Е (см. рис. 7).
2. Положим, DЕ = х. По свойству пересекающихся хорд имеем: lB * х = а1с1 (а).
3. Рассмотрим треугольники ЕВС и АВD. ВАD = ВЕС по условию, как углы опирающиеся на одну и ту же дугу.
4. Следовательно, ∆ АВD подобен ∆ ЕВС. Из подобия треугольников имеем (б). Из условий (а) и (б) следует, что .
Рис. 7. Пример № 7.
Заключение
В работе были рассмотрены основные методы решения геометрических задач. Было установлено, что для решения одной задачи может использоваться несколько методов ее решения.
В качестве объекта исследования было выбрано исследование метода дополнительных построений в решении геометрических задач.
Были рассмотрены основные типы и принципы метода дополнительного построения, а также приведены конкретные примеры.
Поставленные в начале работы автором задачи исследования были выполнены, цель достигнута.
Список использованной литературы
1. Готман, Э.Г. Две задачи и пять методов решения // Математика в школе. – 1994. - №1
2. Крамор, В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии: Учеб. пособие: 3-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2004. – 336 с.
3. Фарков А.В. Учимся решать олимпиадные задачи. Геометрия. 5-11 классы. Учеб. пособие: – М.: Айрис-пресс, 2006. – 128 с.
4. Шарыгин И.Ф. «Факультативный курс по математике: решение задач», Москва, «Просвещение», 1989г.
5. Шикова Л.Р. Исследовательская деятельность школьников в  процессе решения геометрических задач//Математика в  школе. – 1995. - № 4.
5