Математика в XX-XXI веках

Введение 3
1 Математика в XX-XXI вв. – основные направления развития 4
2 История решения уравнения Навье — Стокса 6
3 Проблемы квантовой теории Янга-Миллса 12
4 Развитие и предпосылки появление разделов математики в XX-XXI вв. 16
4.1 Основные разделы современной математики 16
4.2 Топология и теория меры. Функциональный анализ 22
4.3 Логические и математические парадоксы. Обоснование математики. 24
4.4 Логицизм, интуиционизм, формализм, конструктивизм, теоретико-множественное обоснование. Математическая логика. Аксиоматизация теории множеств. Работы Геделя и Коэна. Бурбаки. 26
4.5 Теория алгоритмов 31
4.6 Развитие теории функций 33
4.7 Развитие теории чисел 35
4.8 Аксиоматизация теории вероятностей. Колмогоров. 37
4.9 Вычислительная и прикладная математика 38
5 Анализ биографии Мстислава Всеволодовича Келдыша 41
Заключение 44
Список литературы 45

функций.Интеграл Лебега не разрешает проблемы нахождения примитивной F(х)по точной конечной производной F'(x)='f(x). Эту проблему решил А. Данжуа на основе специального интеграла (узкий интеграл Данжуа), который естественно обобщает интеграл Лебега и не противоречит. В 1916 А. Данжуа и А. Я. Хинчин построили еще более общий интеграл, который носит название интеграла Данжуа в широком смысле и который связан с аппроксимативной дифференцируемостью.В 1926 А. Н. Колмогоров построил пример всюду расходящегося тригонометрического ряда Фурье от суммируемой функции. В то же время длительный период оставалась нерешенной проблема сходимости почти всюду тригонометрического рядов Фурье от функций, поставленная Н. Н. Лузиным в 1914. Положительное решение этой проблемы было дано Л. Карлесоном лишь в 1966. П. Дюбуа-Реймоном, А. Лебегом и Ш. Балле Пуссеном был решен вопрос о восстановлении коэффициентов тригонометрических рядов, сходящихся к суммируемым функциям. В 40-х гг. 20 в. А. Данжуа построил интеграл, при помощи которого им была решена проблема восстановления коэффициентов по сумме произвольных всюду сходящихся.рядов. В это же время Д. Е. Меньшов доказал, что всякая конечная измеримая функция представима некоторым почти всюду сходящимся рядом.4.7 Развитие теории чиселОсновной объект теории чисел - натуральные числа. Главное их свойство, которое рассматривает теория чисел - это делимость. Первый круг задач теории чисел - разложение чисел на множители. Основными «кирпичиками» в таком разложении являются простые числа, т.е. числа, делящиеся только на 1 и на себя; 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 - вот первые десять простых чисел (число 1 не относят к простым). Замечательная теорема, называемая основной теоремой арифметики, гласит: всякое натуральное число раскладывается на простые множители, причем единственным способом (с точностью до порядка их расположения). Разложив два числа на простые множители, несложно определить, делится одно из них на другое или нег. Но до сих пор бывает трудно выяснить, является ли данное большое число простым, т.е. делится ли оно на какое-либо другое число, кроме себя и единицы.С разложением чисел на простые множители связан ряд арифметических функций. Укажем некоторые из них.  - функция Эйлера - количество чисел от 1 до , взаимно простых с числом  (т.е. не имеющих с  общих множителей, кроме единицы);  - количество делителей числа ,  - сумма всех делителей числа ,  - функция Чебышева - количество простых чисел, не превосходящих . С помощью этих функций выражаются многие свойства натуральных чисел. Теорема Евклида утверждает, что простых чисел бесконечно много. Это означает, что  при возрастании числа . Удалось выяснить, как быстро функция  стремится к бесконечности. Оказалось, что примерно так же, как функция.Эта теорема носит название асимптотического закона распределения простых чисел. Она была сформулирована и в существенной части доказана П. Л. Чебышевым (1849), а полностью доказана лишь 50 лет спустя.Асимптотический закон распределения простых чисел - это результат так называемой аналитической теории чисел, которая широко использует методы математического анализа для исследования теоретико-числовых функций. Обнаруженный во второй половине XIX в. факт связи такого дискретного объекта, как целые числа, с глубокими свойствами функций оказал большое влияние на развитие теории чисел.Теория чисел привлекательна тем, что в ней много простых по формулировкам, но трудных и интересных задач. Этих задач - решенных и нерешенных - накопилось очень много, и часто теория чисел представляется собранием разрозненных изящных головоломок. Однако это не так. Теория чисел создала свои замечательные методы, причем многие из них активно развиваются в последние десятилетия, что влило новую живую струю в эту самую древнюю часть математики.Классическим методом теории чисел является метод сравнений. Отождествляя между собой числа, дающие одинаковые остатки при делении на выбранное число, часто удается установить невозможность какого-либо соотношения. Например, рассматривая остатки от деления на 3 (или, как говорят, по модулю 3), легко доказать неразрешимость в натуральных числах уравнения .4.8 Аксиоматизация теории вероятностей. Колмогоров.Аксиоматика Колмогорова — общепринятый аксиоматический подход к математическому описанию события и вероятности; предложен Андреем Николаевичем Колмогоровым в 1929, окончательно в 1933; придал теории вероятностей стиль, принятый в современной математике.А. Н. Колмогоров под влиянием идей теорий множеств, меры, интегрирования, функций сформулировал простую систему аксиом (вообще говоря, не являющуюся единственной), которая позволила описать уже существовавшие к тому времени классические разделы теории вероятностей, дать толчок развитию её новых разделов, например, теории случайных процессов, и стала общепринятой в современной теории вероятностей.Элементарная теория вероятностей — та часть теории вероятностей, в которой приходится иметь дело с вероятностями лишь конечного числа событий. Теория вероятностей, как математическая дисциплина, может и должна быть аксиоматизирована совершенно в том же смысле, как геометрия или алгебра. Это означает, что, после того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, всё дальнейшее изложение должно основываться исключительно лишь на этих аксиомах, не опираясь на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений. Аксиоматизация теории вероятностей может быть проведена различными способами как в отношении выбора аксиом, так и выбора основных понятый и основных соотношений. Если преследовать цель возможной простоты как самой системы аксиом, так и построения на ней дальнейшей теории, то представляется наиболее целесообразным аксиоматизирование понятии случайного события и его вероятности.4.9 Вычислительная и прикладная математикаНа первый взгляд кажется, что вычислительная математика — это та же математика, только с вычислениями конкретных величин в формулах. Вычислительная математика — это наука о методах решения вычислительных задач на компьютере. Она появилась от необходимости решать практические задачи, такие, как управление сложными технологическими процессами, управление полётом ракет, моделирование физических процессов (процесса ядерного распада,химических реакций, роста кристаллов и др.).Прикладная математика — область математики, рассматривающая применение математических методов, алгоритмов в других областях науки и практики. Проблема прикладной математики для объяснения «необоснованной эффективности" математики в эмпирических науках – философы заинтересованы в проблемы прикладной математики по двум основным причинам. Они заинтересованы в томчто использование математики в эмпирических науках достаточно, чтобы мотивировать онтологические выводы. Аргумент незаменимость предполагает, что широкое применение математики обязывает нас принять математические объекты в нашей онтологии. Второй основной философский вопрос касается подробности приложений математики. Философы заинтересованы в том, что вид отношений между математикой и физическим миром позволяет математике играть ту роль, которую он делает. Эта дискуссия концентрируется на том, есть ли математические объяснения научных фактов, которые есть, научных объяснений, которые имеют существенную математическую составляющую. Обе стороны согласны, что наличие математических объяснений будет мотивировать реализм, и они обсуждают приемлемость различных примеров этого. Есть веские основания, что существуют математические объяснения. Некоторые философы утверждают, что математические объяснения получены из-за структуры, сохраняя «отображение»между математическими структурами и физическим миром. Другие утверждают, что математика может играть свою роль без такого отношения. В большинстве прикладных задач, однако необходимо построить математическую модель явления, решить эту модель и разработать рекомендации по совершенствованию работы.Обычно мы имеем дело с большими системами (тысячи переменных, уравнений и неравенств). «Умная модель» отделяет основной феномен от шума и позволяет аналитически обработать проблему, с последующим обширным численным решением. Может быть, несколько моделей явлений с различным уровнем детализации. Все модели имеют диапазон применимости Большое разнообразие прикладного математического применения требуют разнообразных методов. Тем не менее, есть несколько, обычно используемых методов в прикладной математике. Эти методы включают в себя линейную алгебру, дифференциальные и интегральные уравнения, теории аппроксимации и асимптотику, вариационные принципы и числовые. Когда люди разработали модель процесса, они обычно хотят ее улучшить. Ряд теорий отвечают на вопрос: как максимизировать цели. Это оптимизация, вариационные методы, теория управления, теория игр. Оптимизация является конечной целью изучения инженерной задачи. Иногда улучшение достигается за счет изменения параметров, но в целом это серьезная математическая задач.От времен Галилея и Гука, инженеры и математики разработали теории для определения напряжений, токов отклонения, и температуры внутри структур. Эта информация помогает в выборе рационального выбора конструктивных элементов.Некоторые принципы оптимальности коренятся в здравом смысле. Например, человек хочет, чтобы уравнять напряжения в проектной упругой конструкции путем надлежащего выбора компоновки материалов. Эти простые принципы образуют основу для рационального построения сложных механических конструкций, таких как мосты, небоскребы. Тем не менее, знание напряжений в теле, в основном, используется в качестве инструмента проверки, параллельной с дизайном, который остается обязанностью инженера-конструктора.В последние несколько десятилетий, стало возможным превратить процесс проектирования в алгоритмы, благодаря достижениям в области компьютерных технологий. Большие современные проекты требуют использования систем автоматизированного проектирования. Эти системы часто включают алгоритмы, которые постепенно улучшают первоначальный дизайн подходящими изменениями переменных проектирования, а именно, стоимости и расположения материалов. Методы оптимизации используются для осуществления изменений в конструкции, чтобы сделать его сильнее, легче, или более надежными.Теория развивается и стимулирует интерес к математическим основам структурной оптимизации. Теория экстремальных задач используется для решения проблем проектирования. Проблема дизайнатребует лучшей геометрии макетов различных материалов. Конечно, этот подход упрощает (или идеализирует) реальную инженерную проблему, потому что такие вопросы, как удобство или стоимость изготовления, не рассматриваются. Анализ оптимальных структур позволяет сформулировать общие принципы оптимально спроектированного строительства. Строительство, которое адаптируется к изменяющейся нагрузке, имеет некоторые общие черты с живыми тканями и обеспечивает переход к математике в биологии.5 Анализ биографии Мстислава Всеволодовича КелдышаКелдыш, Мстислав Всеволодович (1911-1978). Советский ученый в области математики, механики, космической науки и техники, государственный деятель, организатор науки. Родился 29 января (10 февраля) 1911 в Риге в семье профессора Рижского политех.института, инженера-строителя (Всеволода Михайловича Келдыша. Мать — Мария Александровна (урожденная Скворцова) — домохозяйка. В 1915 семья Келдышей приехала из прифронтового города Риги в Москву. В 1919-1923 Келдыш жил в Иваново, где отец работал в политех. институте. В Иваново учился в школе, получил необходимое начальноеобразованиедома у Марии Александровны. По возвращении в Москву (1923) учился в строительной школе, летом с отцом ездил на стройку. Любовь к математике у Келдыша появилась еще в 7-8 классах. В 1927 закончил школурешил получить отцовскую профессию строителя, но в строительный университет, где работал отец, он не поступилтак как ему было 16 лет. По совету сестры Люды, окончившей физ.мат. факультет Московского государственного университета, занимавшейся математикой под научным руководством Н.Н.Лузина, он поступил в МГУ. При учебе в университете Келдыш создал научные контакты с М.А.Лаврентьевым, которые потом перерослив многолетние научные изыскания и дружбу. С 1930 он стал работать ассистентом в Электромашиностроительноминст., затем и в СТАНКИНе.После окончания МГУ в 1931 по рекомендации академика А.И.Некрасова Келдыша направили в Центральный аэрогидродинамический институт им.Н.Е.Жуковского. ЦАГИ возглавлялся С.А.Чаплыгином, под его руководством регулярнымибыли семинары. Участниками этих семинаров были М.А.Лаврентьев, Н.Е.Кочин, Л.С.Лейбензон, А.И.Некрасов, Г.И.Петров, Л.И.Седов, Л.Н.Сретенский, Ф.И.Франкль, С.А.Христиановичкоторыепотом стали учеными механиками. Келдыш работал в ЦАГИ до 1946 был инженером, потом — ст. инженером, нач. группы, а с 1941 — нач. отдела динамических прочностей.Работая в ЦАГИ, Келдыш стал аспирантом (дополненную затем двухлетней докторантурой) Мат. института имени В.А.Стеклова АН СССР у Лаврентьева, где они занимались вопросами теории приближения функции, связанной с прикладнымитематиками его работ (гидро-, аэродинамики). В 1935 ему без защиты присвоена ученая степень кандидата физико-математических наук, в 1937 — степень кандидата технических наук и звание профессора по специальности "аэродинамика". 26 января 1938 им была защищена докторская диссертация на тему О представлении рядами полиномов функций комплексного переменного и гармонических функций.Репрессии 1930-х не обошли стороной семью Келдышей. В 1935 несколько дней в заключении провела Мария Александровна, в стране проходила компания по изъятию у населения золота. В 1936 был арестован брат Михаил, в то время аспирант исторического факультета университета, изучавший средневековую Германию. Он получил 10 лет без права переписки (как установлено впоследствии, был расстрелян весной 1937). В 1938 по обвинению в шпионаже был арестован брат Александр, затем обвинение было изменено на антисемитизм. В суде, тем не менее, обвинения были сняты, и он вышел на свободу.В работах по созданию ракетно-ядерного щита Келдыш принимал участие и как руководитель больших коллективов и как автор многих научно-технических идей и вычислительных методов. В это время им опубликованы работы по оценке последствий ядерного взрыва: Об оценке действия взрыва на больших высотах (1950, совместно с Л.И.Седовым) и Точечный взрыв в атмосфере (1955, совместно с Д.Е.Охоцимским и др.) В 1956 ему присвоено звание Героя Социалистического Труда, а в 1957 его научные достижения отмечены Ленинской премией.Возглавляя Академию наук СССР с 1961 по 1975, оказывал всемерную поддержку развитию в нашей стране не только математики и механики, но и новых направлений современной науки, таких, как кибернетика, квантовая электроника, молекулярная биология и генетика. 10 января 1973 Келдыш перенес операцию на кровеносных сосудах, выполненную американским профессором М. Де Бекки (отказавшимся от гонорара за операцию и выразившим благодарность за честь оперировать Келдыша).Награжден орденами Ленина (1945, дважды 1954, 1956, 1961, 1967, 1975), Трудового Красного Знамени (1943, 1945, 1953), медалями "За доблестный труд в Великой Отечественной войне" (1945), "800 лет Москвы" (1947), "20 лет Победы" (1965), "За доблестный труд в ознаменование 100-летия со дня рождения В.И.Ленина" (1970), "30 лет Победы" (1975). Кавалер ордена "Почетного Легиона (Командор)" (1971), высших орденов ряда других стран.ЗаключениеМатематика – уникальная наука. Она способствует выработке адекватногопредставления и понимания знания. “Ни одно человеческое исследование не можетназываться истинной наукой, если оно не прошло через математическиедоказательства” – писал Леонардо да Винчи.В настоящее время исследования ученых убедительно показали, что возможностилюдей, которых обычно называют талантливыми, гениальными – не аномалия, анорма. Задача заключается лишь в том, чтобы раскрепостить мышление человека,повысить коэффициент его полезного действия, наконец, использовать тебогатейшие возможности, которые дала ему природа, и о существовании которыхмногие подчас и не подозревают. Поэтому особо остро в последние годы сталвопрос о формировании общих приемов познавательной деятельности.Роль и значение математики в обществе увеличивается, как и число математиков.Список литературы1.Беляев Е.А., Перминов В.Я. Философские и методологические проблемы математики. — М.: Изд-во МГУ, 1981. — 217 с.2.Канке В.А. Философия математики, физики, химии, биологии. — М.: КНОРУС, 2011. — 368 с.3.Клайн М. Математика. Утрата определенности. — М.: Мир, 1984. — 434 с.4.Михайлова Н.В. Системный синтез программ обоснования современной математики. — Мн.: МГВРК, 2008. — 332 с.5.Перминов В.Я. Философия и основания математики. — М.: Прогресс-Традиция, 2001. — 320 с.6.Рузавин Г.И. О природе математического знания (Очерки по методологии математики). — М.: "Мысль", 1968. — 302 с.7.Рузавин Г.И. Философские проблемы оснований математики. — М.:"Наука", 1983. — 300 c.8.Рузавин Г.И. Математизация научного знания. — М.: "Мысль", 1984. — 206 c.9.Светлов В.А. Философия математики. Основные программы обоснования математики XX столетия. — М.: КомКнига, 2006. — 208 с.10.Словарь философских терминов / Научн. редакция проф. В.Г.Кузнецова. — М.: ИНФРА-М, 2005. — 731 с.11.Философия математики и технических наук / Под общ.ред. проф. С.А. Лебедева: Учебное пособие для вузов. — М.: Академический Проект, 2006. — 779 с.12.Целищев В.В. Философия математики. Ч. 1. — Новосибирск: Наука, 2002. — 212 с.13.Целищев В.В. Онтология математики: объекты и структуры. — Новосибирск: Нонпарель, 2003. — 240 с.