Численные методы в системном анализе

Содержание
Введение
1Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
2Численные методы решения систем ОДУ первого порядка
3Метод конечных разностей решения краевых задач для ОДУ
Заключение
Список использованной литературы

Для решения таких СЛАУ имеется экономичный метод прогонки.
Рассмотрим метод прогонки для СЛАУ:
(3.1)
Решение данной системы ищем в виде:
(3.2)
Подставляя в первое уравнение, получим:
Здесь учтено, что данное соотношение должно выполняться при любом
Так как:
, (3.3)
то, подставляя (3.3) во второе уравнение, получим:
Сравнивая с (3.2) получим:
.
Таким образом, можно найти все .
Тогда из последнего уравнения (3.1) находим:
Затем последовательно находим:
Таким образом, алгоритм метода прогонки можно представить в виде:
1) Находим
2) Для i=1,n-1: (3.4)
3) Находим
4) Для i=n-1 до 1 находим:
Шаги 1),2) – прямой ход метода прогонки, 3),4) – обратный ход метода прогонки.
Теорема. Пусть коэффициенты ai, bi системы уравнений при i =2, 3, …, n–1 отличны от нуля и пусть
при i =1, 2, 3, …, n. Тогда прогонка корректна и устойчива.
При выполнении этих условий знаменатели в алгоритме метода прогонки не обращаются в нуль и, кроме того, погрешность вычислений, внесенная на каком либо шаге вычислений, не будет возрастать при переходе к следующим шагам. Данное условие есть не что иное, как условие диагонального преобладания.
Для краевой задачи имеем:
Тогда: , ,
Для данной задачи условие устойчивости имеет вид:
.
Пусть:
. (3.6)
Тогда:
Пример. Найти решение задачи:
Выпишем разностную схему:
Условие устойчивости примет вид:
Возьмем .
Тогда:
Или:
Формулы прогонки были получены для СЛАУ:
Здесь x замены на u.
Следовательно,
Решим СЛАУ методом прогонки. Вычисления оформим в виде таблицы:
I ai ci bi fi alfai betai ui 1 51 35 0,2 0,6863 -0,0039 0,4701 2 15 51 35 0,4 0,8598 -0,0113 0,6906 3 15 51 35 0,6 0,9186 -0,0202 0,8164 4 15 51 35 0,8 0,9403 -0,0296 0,9107 5 0 -1 1 1,0000
Порядок вычислений по формулам (3.4):
Ответ в столбце ui.
На практике часто граничные условия могут иметь более общий вид.
Рассмотрим следующую краевую задачу:
Найти решение ОДУ 2-го порядка
,
удовлетворяющую краевым условиям:
В этом случае при построении разностной схемы необходимо еще аппроксимировать и краевые условия.
Аппроксимация:
В результате получим разностную схему:
Или:
Мы получили СЛАУ с трехдиагональной матрицей, решение которой также можно найти методом прогонки.
Заключение
В настоящее время появилось значительное число различных программных продуктов (MathCAD, MathLAB и т.д.), с помощью которых, задавая только входные данные, можно решить значительное число задач.
Конечно, использование таких программных продуктов значительно сокращает время и ресурсы по решению ряда важных задач. Однако, при использовании этих программ без тщательного анализа метода, с помощью которого решается задача, нельзя гарантировать, что задача решена правильно. Поэтому для более полного понимания того, как осуществляется расчет различного вида уравнений и их систем, необходимо теоретическое изучение методов их решения и их проработка на практике.
Список использованной литературы
Антонов А.В. Системный анализ. Учеб. для вузов/ А.В. Антонов. – 2-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2006. – 454 с.: ил.
Бабенко К. И. Основы численного анализа. / К. И. Бабенко. — Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. — 848 с.
Бахвалов Н. С. Численные методы. / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. — М.: Лаборатория базовых знаний, 2000. — 624 с.
Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения - М.: Мир, 2001. - 435с.
Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах — М.: Высшая школа, , 2008. - 480 с.
Петров И.Б., Лобанов А.И. Лекции по вычислительной математике: Учебное пособие - М: Интернет-Университет Информационных Технологий; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. - 523 с: ил.
Самарский А. А. Введение в численные методы. Учебное пособие для вузов. 3-е изд., стер. — СПб.: Лань, 2005. - 288 с.
Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем: Учеб. для вузов. – 4 изд. стер. – М.: Высшая школа, 2005. - 343 с.: ил.
Формалев В. Ф., Ревизников Д. Л. Численные методы. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 400 с.
Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения - М.: Мир, 2001. - 435с.
Антонов А.В. Системный анализ. Учеб. для вузов/ А.В. Антонов. – 2-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2006. – 454 с.: ил.
Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах — М.: Высшая школа, , 2008. - 480 с.
Бахвалов Н. С. Численные методы. / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. — М.: Лаборатория базовых знаний, 2000. — 624 с.
Формалев В. Ф., Ревизников Д. Л. Численные методы. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 400 с.
Петров И.Б., Лобанов А.И. Лекции по вычислительной математике: Учебное пособие - М: Интернет-Университет Информационных Технологий; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. - 523 с: ил.
Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем: Учеб. для вузов. – 4 изд. стер. – М.: Высшая школа, 2005. - 343 с.: ил.
Самарский А. А. Введение в численные методы. Учебное пособие для вузов. 3-е изд., стер. — СПб.: Лань, 2005. - 288 с.
Бабенко К. И. Основы численного анализа. / К. И. Бабенко. — Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. — 848 с.
5