Вход

Псевдообратные матрицы

Курсовая работа*
Код 154930
Дата создания 2013
Страниц 40
Источников 11
Мы сможем обработать ваш заказ 18 февраля в 8:00 [мск]
Файлы будут доступны для скачивания только после обработки заказа.
1 000руб.
КУПИТЬ

Содержание

Equation Chapter 1 Section 1Содержание
Введение 3
1 Понятие псевдорешения системы линейных уравнений и псевдообратной матрицы 6
1.1 Минимизация невязки 6
1.2 Псевдообратная матрица 10
1.3 Вычисление псевдообратной матрицы 15
1.3.1 Общие данные 15
1.3.2 Прямое получение скелетного разложения матрицы 16
1.3.2 Вторая форма сингулярного разложения 17
1.3.3 Метод Гревиля 21
2 Основные свойства и применение псевдообратной матрицы 25
Список источников 33

Фрагмент работы для ознакомления

Таким образом, размеры матриц в вычисленном разложении (19) зависят от величины . Это вычисленное разложение является точным разложением другой матрицы . Ранг зависит от , причемаспектральное число обусловленностиудовлетворяет неравенствугде– наибольшее сингулярное число матрицы А.Мы видим, что матрица , вообще говоря, лучше обусловлена, чем А, но часть информации, содержащейся в А, может оказаться потерянной. Если мы признали нулевым некоторое сингулярное число, истинное значение которого положительно, мы фактически признали некоторую строку А линейно зависимой от остальных.Итак, сделав больше минимального сингулярного числаА, мы выберем из А наиболее достоверную информацию, которой, естественно, меньше. Одновременно, увеличение способствует более компактной записи и, следовательно, экономии памяти. [12]Можно использовать этот эффект для выделения наиболее существенной части данных, записанных в матрице. Для этого задают настолько большим, чтобы получить матрицу приемлемого ранга, именно, достаточно малого, чтобы данные были обозримы, и достаточно большого, чтобы они представляли интерес.1.3.3 Метод ГревиляСовсем другой подход к нахождению псевдообратной матрицы основывается на следующем построении.Пусть матрица Ах получается из матрицы А дописыванием справа столбца а:Допустим сначала, что и рассмотрим столбецгде обозначает евклидову норму.Если то матрица получается из матрицы дописыванием снизу строки , т. е. имеет видОбозначив матрицу (22) через X, найдемОбозначим для краткости знаменатель выражения (21) через. ТогдаОтсюда видно, что матрица А1Х симметрична.Рассмотрим теперь произведение А1ХА1. ИмеемВычислим матрицу А1ХА. Она равнапоскольку Е-АА+ симметрична, так же как и АА+.Первое слагаемое равно А. Раскроем скобки во втором слагаемом:и увидим, что оно равно нулю согласно тому же тождеству АА+А=А. Вычислим теперь столбец А1Х. Он равенЧтобы упростить это выражение, найдем Произведя сокращение в выражении (23), имеемИтак, как и требовалось.Рассмотрим теперь случай, когда Положими докажем следующее утверждение [13].Если то матрица получается из матрицы дописыванием снизу строки , т. е. равнаДоказательство проведем как и для предыдущего предложения. Обозначим матрицу (26) через X и вычислим А1Х:в силу условия Таким образом, матрица А1Х симметрична. Аналогично, независимо от вида имеемВычислим матрицу ХА1. Она имеет вид (24), только вместо в нее входитПреобразуем выражения для клеток этой матрицы:гдеНо в силу тождества (8). ПоэтомуОтсюда следует, что левая верхняя клетка симметрична. Далее, в силу того же тождестваКроме тогоЭто показывает, что клетка-строка получается транспонированием из клетки-столбца.Теперь видно, что матрица ХА1 симметрична. Рассмотрим произведение ХА1Х. Если Zi, i= 1, 2, 3, 4, обозначают клетки матрицы ХА1,тоПодставляя вместо Ziих выражения через A, и находимРаскроем скобки и учтем, что иТогда преобразуемое выражение превратится вДалее,Таким образом, мы проверили, что ХA1Х = X, и закончили доказательство.Доказанные положения можно использовать для построения псевдообратной для данной матрицы А. Для этого рассматривают п матриц А1, …, Ап, где матрица Аt (t=1,…,п) состоит из tпервых столбцов матрицы А.Так как А1 состоит из одного столбца, находится без затруднения. Затем последовательно вычисляются пока не будет полученаОсобенно этот способ удобен, если с течением времени данные пополняются, и расчеты, ранее проведенные с матрицей At, нужно повторить с матрицей At+1, полученной из Atдобавлением столбца. Если добавляются строки, то тот же метод применяется к транспонированной матрице.Следует отметить, что затруднения, связанные с необходимостью одновременно с псевдообращением определять ранг матрицы, остаются и при применении рассматриваемого метода.Они появляются в тот момент, когда мы должны выяснить, выполнено ли равенство ,и в зависимости от этого выбрать нужную формулу.2 Основные свойства и применение псевдообратной матрицы2.1 Свойства и применение псевдообратной матрицыОтметим следующие свойства псевдообратной матрицы [1]:1 ;2 ;3 ,  ;4 , .Первое свойство означает, что операции перехода к сопряженной и к псевдообратной матрице перестановочны между собой. Равенство 2° выражает собой взаимность понятия псевдообратной матрицы, тан как согласно 2° псевдообратной матрицей для  является исходная матрица .Согласно равенствам 3° и 4° матрицы  и  являются эрмитовыми и инволютивными (квадрат каждой из этих матриц равен самой матрице).Для вывода равенства 1° воспользуемся скелетным разложением (36): . Тогда равенство  дает скелетное разложение матрицы . Поэтому, заменяя в формуле (45) матрицу  на , а матрицу  на , получим:.Равенства , ,  являются скелетными разложениями. Следовательно,.Используя свойство 1°, а также выражения для  и , найдем:.Справедливость равенств 3° и 4° проверяется непосредственно путем подстановки в эти равенства вместо  соответствующего выражения из формулы (45).Заметим, что в общем случае, когда разложение  не является скелетным, не всегда имеет место равенство . Так, например.Здесь, ,.Поэтому.Наилучшее приближенное решение (по методу наименьших квадратов). Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений                                     (46)или в матричной записи.                                                           (46')Здесь  - заданные числа, а  – искомые.В общем случае система (46) может быть и несовместной.Столбец                                                (47)называется наилучшим приближенным решением системы (46), если при значениях   «квадратичное отклонение»                                    (48)достигает своего наименьшего значения и среди всех столбцов , для которых это отклонение имеет минимальное значение, столбец  имеет наименьшую «длину», т. е. для этого столбца величина                                            (49)имеет наименьшее значение.Покажем, что система (46) всегда имеет одно и только одно наилучшее приближенное решение и это приближенное решение определяется по формуле,                                                    (50)где  — псевдообратная матрица для матрицы .Для этого рассмотрим произвольный столбец  и положим,где,  .                         (51)Тогда.      (52)Но.                (53)Исходя из разложения (36) и формулы (45), найдем:.Поэтому из равенства (53) следует,                                                                               (54)но тогда и.                                                              (54')Поэтому из равенства (52) находим,                  (55)и, следовательно, для любого столбца .                                                   (56)Пусть теперь;тогда, согласно равенству (55),                                                                      (57)где.С другой стороны,.                 (58)Вспоминая, что , получим в силу (57):.             (59)Но тогда и.Поэтому из равенства (58) находим,и, следовательно,                                               (60)причем знак = имеет место только при , т.е. при , где .Пример. Найти наилучшее приближенное решение (по методу наименьших квадратов) системы линейных уравнений:,,.Здесь.Но тогда,и поэтому.Следовательно,, , , .Определим норму   - матрицы  как неотрицательное число, задаваемое формулой.                                        (61)При этом очевидно, что.                            (61')Рассмотрим матричное уравнение,                                                       (62)где  и  – заданные  и -матрицы, а  - искомая -матрица.Определим наилучшее приближенное решение  уравнения (62) из условия,причем в случае, когда,требуется, чтобы.Из соотношений,                            (63)                                           (64)следует, что -й столбец искомой матрицы  должен быть наилучшим приближенным решением системы линейных уравненийПоэтомуПоскольку это равенство справедливо при любом  то.                                              (65)Таким образом, уравнение (62) всегда имеет одно и только одно наилучшее приближенное решение, определяемое формулой (65).В частном случае, когда  — единичная матрица -го порядка, имеем . Следовательно, псевдообратная матрица  является наилучшим приближенным решением (по методу наименьших квадратов) матричного уравнения.Это свойство псевдообратной матрицы  может быть принято в качестве ее определения.2.2 Решение задания из задачника ИкрамоваРешим задание №7.8.13. Найти нормальноепсевдорешение системы линейных уравнений:Решение.Имеем:Ответ: Список источниковГантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1968. – 576 с.Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры М.: Наука, 1983Лагутин М.Б. Наглядная математическая статистика. М.П – центр, 2003Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. – М.: Мир, 1980.Уилкинсон Дж. Алгебраическая проблема собственных значений. – М.: Наука, 1970.Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз, 1963.Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. – М.: Наука, 1977.Беллман Р. Введение в теорию матриц. – М.: Наука, 1969.Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1980.Булавецкий В. А., Звягина Р. А., Яковлева М. А. Численные методы линейного программирования. – М.: Наука, 1977.Воеводин В. В. Вычислительные основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1977.Воеводин В. В. Линейная алгебра, – М.: Наука, 1980.Воеводин В. В. Численные методы алгебры. – М.: Наука, 1966.

Список литературы


СПИСОК ИСТОЧНИКОВ
1. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1968. – 576 с.
2. Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры М.: Наука, 1983
3. Лагутин М.Б. Наглядная математическая статистика. М.П – центр, 2003
4. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. – М.: Мир, 1980.
5. Уилкинсон Дж. Алгебраическая проблема собственных значений. – М.: Наука, 1970.
6. Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз, 1963.
7. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. – М.: Наука, 1977.
8. Беллман Р. Введение в теорию матриц. – М.: Наука, 1969.
9. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1980.
10. Булавецкий В. А., Звягина Р. А., Яковлева М. А. Численные методы линейного программирования. – М.: Наука, 1977.
11. Воеводин В. В. Вычислительные основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1977.
12. Воеводин В. В. Линейная алгебра, – М.: Наука, 1980.
13. Воеводин В. В. Численные методы алгебры. – М.: Наука, 1966.
Пожалуйста, внимательно изучайте содержание и фрагменты работы. Деньги за приобретённые готовые работы по причине несоответствия данной работы вашим требованиям или её уникальности не возвращаются.
* Категория работы носит оценочный характер в соответствии с качественными и количественными параметрами предоставляемого материала, который не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, но может использоваться в качестве источника для подготовки работы указанной тематики.
© Рефератбанк, 2002 - 2019