Оптимальный портфель, формирование оптимального портфеля

Введение
Глава 1. Модели задач портфельного инвестирования
1.1.Основы классической теории инвестиций
1.1.1.Виды инвестиционного портфеля
1.1.2.Доходность и риск портфеля ценных бумаг
1.2.Модель Марковица
1.2.Модель Шарпа
1.3.Модель Тобина
1.4.Модель Блэка
Глава 2. Методы решения задач портфельного инвестирования
2.1.Метод множителей Лагранжа. Целесообразность применения множителей Лагранжа для решения задач портфельного инвестирования
2.2.Методы квадратичного программирования. Метод Вульфа
2.3.Методы решения систем алгебраических уравнений. Метод Гаусса
Заключение
Список литературы

Затем он последовательно включает в анализ новые активы: облигации, депозиты, кредиты, банковские резервы. Наряду с «публикой», он включает в анализ банковский сектор. Соответственно, включаются в анализ инструменты монетарного контроля: дисконтная ставка центрального банка (ставка рефинансирования) и резервные требования. Аналитическая схема Тобина обладает достаточной гибкостью, позволяющей, в зависимости от целей анализа, включать в нее новые активы, например, иностранные активы, и выделять новые сектора.
Модель Блэка
Модель Блека используется для вычисления стоимости опционов и других производных инструментов, которая оказала огромное влияние на развитие теории и практики финансов. Эта формула сегодня широко известна как формула Блэка-Шоулза.
Справедливая цена любого финансового актива равна его средней ожидаемой стоимости. Например, если цена акции с вероятностью 30% окажется равной 40, а с вероятностью 70% — равной 50, то ее справедливой ценой в этот момент должно быть: (0.30 х 40) + (0.70 х 50) = 47.
Этот принцип применим и к опционам. Справедливая стоимость опциона в день исполнения равна сумме всех возможных значений его стоимости, умноженных на вероятности принятия стоимостью этих значений. В приведенном выше простом примере было всего два возможных исхода. Стоимость опциона, однако, может принимать практически любое значение, и поэтому нужно использовать не дискретные, а непрерывные случайные распределения.
Согласно определению колл-опциона, его ожидаемая стоимость при исполнении равна
E [CT] = E [max(ST -X,0)] (1)
где Е[СT ] — ожидаемая стоимость колл-опциона при исполнении;
St — цена основных активов в день исполнения;
Х — цена исполнения опциона.
При исполнении опциона может случиться одно из двух. Если ST> X, то опцион при исполнении будет выгодным и max(ST - Х,0) = ST- X. Если же ST < X, то опцион при исполнении будет невыгодным и mах(Sт--Х,0) = 0. Если р— вероятность того, что ST> X, то соотношение (1) перепишется так:
Е[СT}=р(Е[ST|ST>Х]-X)+(1-р)хО=p(E[ST|ST>X]-X) (2)
где р — вероятность того, что ST > X, Е(ST | ST > X) — среднее ожидаемое значение ST при условии, что ST>Х.
Равенство (2) дает формулу для среднего ожидаемого значения стоимости колл-опциона при исполнении. Чтобы получить его справедливую цену на день заключения контракта, нужно полученную величину продисконтировать к ее текущему значению:
C=pe—rt (E[ST | ST>X]-X) (3)
где С — справедливая цена опциона при заключении контракта;
r — непрерывно накапливающаяся безрисковая процентная ставка;
t — время до погашения опциона.
Таким образом, проблема оценки опциона свелась к двум несколько более простым задачам:
a) найти вероятность р того, что опцион при исполнении будет выгодным, т.е. что ST> X
b) найти Е [ST|ST > X] — условное ожидание цены основных активов при условии, что опцион при исполнении будет выгодным.
Обе задачи можно решить, если финансовые цены распределен логарифмически нормально. На рисунке 6 изображено такое же логарифмически-нормальное распределение, как и ранее, но с выделенным участком, где цены выше 120. Именно эта часть распределения определяет стоимость опциона с ценой исполнения 120.
Площадь заштрихованной части составляет 34% всей площади под графиком, поэтому вероятность того, что итоговая цена превысит 120, равна 0.34. Среднее, взятое только по заштрихованной части, равно 137,894. При непрерывно начисляемой сложной процентной ставке 12% справедливая цена опциона с ценой исполнения 120 равна: C=0.34 x е—0.12 x (l37.894 - 120) =5.40.
Именно такое значение цены опциона получается для модели Блэка-Шоулса.
Как были вычислены значения 0.34 и 137.894? Получить выражение для вероятности р довольно просто, но для условного математического ожидания Е [ST|ST > X] это сделать значительно труднее.
Мы ограничимся тем, что выведем правило для вычисления вероятности, а для условного математического ожидания просто сформулируем окончательный результат. Соединив два эти выражения, мы получим формулу модели Блэка-Шоулса.
Нахождение вероятности р того, что цена основных активов в день погашения превысит некоторую критическую цену X, равнозначно нахождению вероятности того, что доходность за этот срок превысит соответствующее критическое значение гX. В такой формулировке задача становится проще, поскольку доходность подчиняется нормальному распределению, а с нормальным распределением работать легче, чем с логарифмически нормальным. Так как доходность была определена как логарифм ценового отношения, поэтому искомая вероятность р определяется равенством
p=Prob{ST>X}=Prob{=Prob{Доходность > ln(X/S0), (4)
где S0 — начальная цена основных активов.
Вероятность того, что значение нормально распределенной величины х превысит некоторое критическое значение xcrit, выражается следующей общей формулой:
Prob[x> xcrit ]=1 – N [( xcrit -- m *) / s *], (4')
где m *— среднее значение величины х, s * — стандартное отклонение х
N(-) — функция распределения стандартного нормального распределения. Чтобы воспользоваться соотношением (2), нам нужно найти m * и s * — среднее значение и стандартное отклонение доходности. Равенство (2) дает нам выражение для среднего ожидаемого значения ценового отношения ST/S0. Если мы определим величину г соотношением r = m +0.5s 2, то равенство (2) запишется в более простом виде:
E [ln S t / S 0 ] = ert (5)
Введенная величина г— не просто удобное обозначение для выражения ц + 1/2s 2, — это как раз и есть непрерывно начисляемая безрисковая сложная процентная ставка. Может показаться удивительным, что для оценки таких явно рисковых вложений, как опционы, применяется именно эта ставка. Объяснение использует так называемый метод нейтрализации риска.
В основе метода нейтрализации риска лежит возможность построения безрискового портфеля за счет сочетания в определенной пропорции опциона и основных активов. Безрисковый портфель — это такой портфель, который обеспечивает один и тот же финансовый результат при любых обстоятельствах, и поэтому все будущие потоки наличности нужно лишь дисконтировать по безрисковой процентной ставке. При таком портфеле предпочтения инвестора в отношении структуры риска роли не играют, и портфель будет оцениваться одинаково и инвестором, нейтрализующим риск, и инвестором, избегающим риска. Поскольку проще оценить портфель, исходя из безрисковой ставки, которой пользуется нейтрализующий риск инвестор, мы так и поступим. Заметьте, что нейтрализация риска вовсе не означает, что цены всех финансовых активов будут расти в соответствии с безрисковой ставкой из соотношения (5). Утверждается лищь, что цена опциона получится одной и той же независимо от того, будем мы пользоваться безрисковой ставкой или какой-то другой, более высокой процентной ставкой. Выбор более высокой ставки означал бы ожидание более быстрого роста цен основных активов, однако при этом и выплаты по опциону на эти активы придется дисконтировать назад по более высокой ставке, и эти два эффекта друг друга погасят. На вопрос можно взглянуть с другой точки зрения, вспомнив, что цена опциона пропорциональна цене основных активов. Если цену активов и цену исполнения увеличить вдвое, то цена опциона также удвоится. Если бумага падает в цене из-за того, что инвесторы дисконтируют будущие потоки наличности по повышенной ставке, то и цена опциона в силу ее пропорциональности также должна упасть. Иначе и не может быть. Инвесторы обязаны быть последовательными, и должны дисконтировать будущие потоки наличности по опциону по той же самой повышенной ставке. Равенство (3) теперь принимает вид
E [ln S t / S 0 ] = m t= (r-- 1/2s 2)t= m*,
что дает выражение для средней ожидаемой доходности m*. Стандартное отклонение доходности определяется соотношением (1) и равно s t. Из соотношений (4) и (4’) получаем: Prob [ST > Х] = Prob [доходность > In X/S0]=1— N (In [{ X/S0 +(r-- 1/2s 2)t}/s t ].
Из симметрии нормального распределения следует, что 1 -N(d) = N(-d), поэтому
p=Prob [ST > Х]= N (In [{ X/S0 +(r-- 1/2s 2)t}/s t ]. (6)
Подставив числовые значения из предыдущего примера, получим уже указанное ранее значение вероятности р: `Prob[ST>Х]=N(ln100/120+(0.12-0.20x0.20/2)x1)/0.20=N(-0.4116)=0.34
Чтобы найти выражение для величины Е [ST-| ST > X], нужно проинтегрировать функцию логарифмически нормального распределения в пределах от Х до бесконечности . Если проделать это, то в результате получится:
Е [ST-| ST > X]= S0ert N(d1) / N(d2), (7)
где d1 = In [{ X/S0 +(r+ 1/2s 2)t}/s t ] и d2= . In [{ X/S0 +(r-- 1/2s 2)t}/s t ]
Подставляя (6) и (7) в равенство (3), приходим к окончательной формуле для колл-опциона:
C=N(d1) e-rt ( S0 ert N(d1) / N(d2) -X),
или C=S0N(d1) -- X e—rt N(d2)
Это и есть формула знаменитой модели Блэка-Шоулса. Справедливая цена колл-опциона может быть вычислена с помощью всего одной формулы. Как явствует из предыдущих рассмотрений, данную формулу можно интерпретировать как способ нахождения ожидаемой текущей стоимости опциона в предположении, что цены подчиняются логарифмически нормальному распределению.
Глава 2. Методы решения задач портфельного инвестирования
Метод множителей Лагранжа. Целесообразность применения множителей Лагранжа для решения задач портфельного инвестирования
Задача оптимизации портфеля может быть сформулирована следующим образом: необходимо определить доли ценных бумаг различных типов, включаемых в портфель, обеспечивающих минимизацию риска при заданном (желаемом инвестором) уровне доходности. Одним из методов оптимизации портфеля является диверсификация Марковица. Диверсификация Марковица основана на использовании методов оптимального программирования. При этом формируются целевая функция и ограничения, а на их основе – функция Лагранжа. Пусть имеются n видов ценных бумаг, из которых инвестор хочет сформировать портфель. Необходимо найти i x , минимизирующие риск портфеля при условии, что обеспечивается заданное значение эффективности портфеля , т.е
Поскольку i x — доли, то в сумме они должны составлять единицу:
Таким образом, получаем задачу оптимизации портфеля:
Если опустить условия не отрицательности долей, то получим собственно задачу Марковица, которую можно решить в общем виде. Пусть T вектор долей ценных бумаг. V = - матрица корреляции T - вектор доходностей ценных бумаг T - единичный вектор. Тогда задача принимает вид:
(а)
Используя функцию Лагранжа, мы можем получить аналитическое решение
(а)
где I, ,
Важно отметить, что при решении задачи были отброшены условия неотрицательности долей. Это означает, что, воспользовавшись формулой (a) можно получить отрицательные доли. Такая ситуация возможна, если инвестор готов совершить так называемую операцию Short Sale. В этом случае необходимо занять акций, которые вышли с отрицательными долями, продать их, а полученные деньги вложить в акции с положительными.
Методы квадратичного программирования. Метод Вульфа
В случае если операция Short Sale недопустима, условия неотрицательности убирать нельзя, и мы получаем задачу квадратичного программирования,
(б)
которую в общем виде решить нельзя и приходится прибегать к численным методам.. Учитывая тот факт, что все ограничения задачи являются линейными. Эта особенность является основой для замены в окрестности исследуемой точки нелинейной целевой функции линейной. В данной работе предлагается в качестве численного метода выбрать алгоритм Франка Вульфа, который сводит решение задачи квадратичного программирования к решению последовательности задач линейного программирования. Для этого необходимо найти первоначальное допустимое значение = ()T Допустимое решение найдем из системы:
учитывая условия неотрицательности. Для этого среди инструментов выделим два, у которых доходность больше (у первого) и меньше (у второго) чем ожидаемая доходность. Пусть эти инструменты имеют индексы i1 и i2 соответственно. Тогда в качестве допустимого начального значения возьмем вектор x с компонентами xi = 0 при i ≠ i1, i2 ,
и
Очевидно, что такое значение вектора x удовлетворяет, как системе ограничений, так и условиям неотрицательности компонентов. После этого находится градиент функции риска в этой точке , строится линейная функция
находится ее минимум при ограничениях (б), используя методы линейного программирования. В качестве точки x1 берется решение этой задачи. Последовательность решения задач линейного программирования продолжается, пока
Необходимо отметить тот факт, что при допустимости операции Short Sale теоретически мы можем получить любую желаемую доходность, за счет использования возможности привлекать дополнительных средства, одалживая акции и продавая их (фактически доходность естественно ограничена, поскольку инвестор может занять лишь определенное количество средств, напрямую зависящее от имеющихся у него финансовых активов). При запрете этой операции инвестор не может получить доходность больше, чем максимальная доходность инструментов-кандидатов на включение в портфель, а также меньшую, чем минимальная доходность среди акций-кандидатов. Таким образом, мы всегда можем найти инструменты, для нахождения первоначального допустимого значения.
Методы решения систем алгебраических уравнений. Метод Гаусса
Пусть исходная система выглядит следующим образом
, , (в)
Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками эту систему можно привести к трапециальному виду:
Переменные называются главными переменными. Все остальные называются свободными. Если , то рассматриваемая система несовместна.
Предположим, что . Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом (, где — номер строки):
(г)
где
Если свободным переменным системы (г) придавать все возможные значения и вычислить через них главные переменные, то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (в), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях полученное нами решение является решением системы (в). Упомянутое выше условие может быть формулировано в качестве необходимого и достаточного условия совместности: Напомним, что рангом совместной системы называется ранг её основной матрицы (либо расширенной, так как они равны).
Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа. На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получавшуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.
На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки. Этот метод опирается на: Теорему (о приведении матриц к ступенчатому виду). Любую матрицу путём элементарных преобразований только над строками можно привести к ступенчатому виду. В простейшем случае алгоритм выглядит так:
Прямой ход:
Обратный ход. Из последнего ненулевого уравнения выражаем базисную переменную через небазисные и подставляем в предыдущие уравнения. Повторяя эту процедуру для всех базисных переменных, получаем фундаментальное решение.
Заключение
В нынешней мировой практике под словосочетанием портфеля ценных бумаг понимается совокупность ценных бумаг, принадлежащая физическому или юридическому лицу и существующая как объект комплексного управления. Это означает, что дополняя портфель и изменяя его состав и структуру, владелец создает новое качество инвестиций с другим коэффициентом риска/дохода.
Как правило, портфель - это определенный набор корпоративных акций, облигаций с различной степенью гарантий и риска, а также ценных бумаг фиксированного дохода, гарантируемые государством, т.е. с минимальным риском потери по основной сумме и текущим доходам.
Основная цель портфельных инвестиций - улучшить характеристики инвестирования, обеспечивая совокупности ценных бумаг такое качество инвестиций, которое является недостижимым с помощью отдельных ценных бумаг и является возможным только при их комбинации.
Только при формировании инвестиционного портфеля достигается другое инвестиционное качество с заданными характеристиками. Таким образом, портфель ценных бумаг есть инструмент, который обеспечивает инвестору необходимую устойчивость доходов при минимальных рисках.
Список литературы
Евстигнеев В.Р. Портфельные инвестиции в России: выбор стратегии. – М.: Эдиториал УРСС, 2002
Зангвилл У.И. Нелинейное программирование. Единый подход. - М.: Советское Радио, 1973
Касимов Ю.Ф. Основы теории оптимального портфеля ценных бумаг. –М.: Информационно-издательский дом «Филин», 1998.
В.В. Кириллов Основы проектирования реляционных баз данных Учебное пособие
Крянев А.В. Основы финансового анализа и портфельного инвестирования в рыночной экономике. – М.: МИФИ, 2000.
Кюнци В.Ф., Креле М.С. Нелинейное программирование, - М.: Советское радио, 1961.
Муртаф Б. Современное линейное программирование. - М.: Мир, 1984.
Нурминский Е.А., Ащепков Л.Т., Трифонов Е.В. Математические основы теории финансовых рынков. –Владивосток.: Дальневост. Ун-та, 2000.
Пропой А.И., Ядыкин А.Б. Параметрическое квадратичное и линейное программирование. - Автоматика и телемеханика, 1978.
Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование. - М.: Мир, 1967.
3
45

доход
(p
mp
I1
I2
I3
а) Инвестор с высокой степенью избегания риска
(p
mp
I2
I1
I3
б) Инвестор со средней степенью избегания риска
(p
mp
I3
I2
I1
в) Инвестор с низкой степенью избегания риска
*
mp
(p
I1
I2
I3
Рис. 4 – Выбор оптимального портфеля.
Рис. 6. Логарифмически нормальное распределение для исходов, при которых опцион является выгодным