Необходимые (Система необходимых) требования к статистическим моделям корреляционного типа СГ ЛАГс МР

Введение
Статистика и обработка данных в психологии
Корреляционный анализ
Линейный коэффициент корреляции по Пирсону
Коэффициент корреляции рангов по Спирмену
Коэффициент ассоциации по Пирсону (для дихотомических переменных)
Коэффициент взаимной сопряженности по Чупрунову
Практическая часть
Список используемой литературы

Необходимыми требованиями к статистическим моделям корреляционного типа являются:
1) случайность;
2) гомогенность;
3) линейность;
4) отсутствие автокорреляции остатков;
5) гомоскедастичность (гетероскедастичность);
6) мультиколлениарность;
7) реккурсивность.
Поясним эти термины.
Случайностью последовательности чисел является независимость появления значений последовательности, рассматриваемой как выборку случайной величины. Независимостью появлений значений случайной величины является условие
2. Гомоскедастичность или гомогенность дисперсии — состояние, при котором измерения вариативности колеблются внутри диапазона, ожидаемого при случайной вариативности.
3. Линейность последовательности случайного вектора подразумевает ярко выраженный линейный тренд. Это значит, что найдутся такие матрицы a, b, что
4. Пусть модель задается выражением
здесь - теоретические значения наблюдаемого процесса, - фактические значения. Остаток есть случайная величина
Отсутствие автокорреляции остатков означает, что остаток представляет собой «белый шум», то есть он устроен как нормальное распределение с нулевым средним.
5. Гетероскедастичность — состояние, при котором измерения вариативности являются большими, чем ожидаемые случайно.
6. Мультиколлинеарность (multicollinearity) – положение, при котором одна или более независимых переменных, входящих в уравнение регрессии, являются точными линейными функциями от одной или более других независимых переменных того же уравнения.
Рекурсивность означает такую модель, при которой
,
при этом функция линеализируема.
Линейный коэффициент корреляции по Пирсону
При изучении тесноты связи между двумя взаимно зависимыми присылками применяется линейный коэффициент корреляции, которым показывает, существует ли и сколь велика связь между этими признаками.
Коэффициент корреляции принимает значения от - 1 до + 1. В этих пределах возможны все числовые значения коэффициента корреляции. Если никакой связи между признаками не существует, то коэффициент ранен 0. При положительной корреляции при увеличении числовых значений одного признака соответственно увеличиваются числовые значения другого признака. При отрицательной корреляции увеличению числовых значений одного признака соответствует уменьшение числовых значений другого признака.
Пример 1. Приводятся данные о продолжительности ознакомления в секундах) и времени восприятия (в секундах) системы пространственных линий.
Ознакомление X: 2,5 1,9 3,7 2,0 4,3 2,4 2,3 4,8 1,7 3,2 3,6
2,3 4,9 1,8 2,8 4,0 1,8 3,0 2,4 4,5 2,3 3,4 2,0 2,5 n1 =24.
Восприятие Y: 3,2 1,5 2,4 3,6 4,5 3,0 3,1 4,2 2,9 3,5 4,0 3,0 4,3 2,5 2,9 3,6 2,5 3,2 2,9 3,9 2,7 3,6 2,4 3,0 n2 =24.
Что можно сказать о существовании связи между этими параметрами деятельности?
Покажем, как решить эту задачу с помощью линейного коэффициента корреляции по Пирсону.
Для решения задачи с помощью линейного коэффициента корреляции по Пирсону составим таблицу.
Вычисление средних выполняется по следующим формулам.
где средние значения.
Стандартные отклонения будем вычислять по формулам.
Подставив в последние формулы числовые значения, получим
Вычислим линейный коэффициент корреляции Пирсона по формуле:
Проверим значение численного значения коэффициента r по формуле:
Для числа степеней свободы по таблице критерия Стьюдента найдем
Видим, что , это означает, что связь между параметрами ознакомление и восприятие существует значимо при уровне значимости 1%.
Решим эту задачу с помощью электронных таблиц Excel.
Пример Excel-программы приведен ниже.
При этом в соответствующие ячейки записываются формулы:
где 24 – объем данных.

Коэффициент корреляции рангов по Спирмену
Используется для определения тесноты связи между признаками в случае их количественного представления.
Для определения рангового коэффициента корреляции ранжируют (в возрастающем или убывающем порядке) все значения Х и вместе с тем записывают соответствующие значения признака Y. Затем определяют ранг по обоим признакам, т.е. номер каждого признака и ранжированных рядах. Для равных значений признака ранг находится путем деления суммы приходящихся на них рангов на число равных значений. Коэффициент корреляции вычисляют по формуле
где n - число коррелируемых пар значений признаков X, Y;
di- разность рангов i-того испытуемого в первом и втором ряду.
Коэффициент корреляции принимает значения от -1 до + 1. В этих пределах возможны все числовые значения коэффициента корреляции рангов. Если никакой связи между признаками не существует, то коэффициент ранен 0. При положительной корреляции при увеличении числовых значений одного признака соответственно увеличиваются числовые значения другого признака. При отрицательной корреляции увеличению значений одного признака соответствует уменьшение значений другого признака.
Покажем решение задачи из примера 1 с помощью коэффициентов корреляции рангов по Спирмену. Составим следующую таблицу.
По таблице коэффициента корреляции рангов по Спирмену найдем для n = 24 критические точки.

Видим, что . Это означает, что связь между параметрами ознакомление и восприятие существует значимо при уровне значимости 1%.
Решим эту задачу с помощью электронных таблиц Excel.
Пример Excel-программы приведен ниже.

При этом в соответствующие ячейки записываются следующие формулы.

Коэффициент ассоциации по Пирсону (для дихотомических переменных)
Часто психологу приходится иметь дело с психологическими тестами, ответы на вопросы которых являются дихотомическими переменными, т.е. типа ДА, НЕТ, или 1, О,
Для определения тесноты связи между дихотомическими переменными применяют коэффициент ассоциации по Пирсону. Рассморим применение этого коэффициента для решения конкретной психологической задачи, приведенной ниже.
Пример 2. В ходе психологического эксперимента были получены значения дихотомических переменных, приведенные в таблице.
Какова теснота связи между этими переменными?
Коэффициент ассоциации по Пирсону вычисляется по формуле
где Рх – вероятность появления 1 для переменной Х, qх = 1 – Рх,
Py – вероятность появления 1 для переменной Y, qy = 1 – Рy,
Pxy – вероятность появления 1 одновременно для X и Y.
Найдем значения перечисленных величин
Вычислим эмпирическое значение коэффициента ассоциации
Определим уровень значимости для

по формуле
,
где n – число пар коррелируемых признаков.
Для нашего случая,
Затем вычисляют число степеней свободы () и по таблице Стьюдента находят критические значения.
.
Это означает, что теснота связи (корреляционная связь) между дихотономическими переменными X и Y отсутствует.
Ниже приведем пример реализации этих расчетов в Excel.
При этом в соответствующие ячейки записываются следующие формулы.


Коэффициент взаимной сопряженности по Чупрунову
Для оценки степени связи между качественными признаками, имеющими число градаций больше двух, используется коэффициент взаимной сопряженности, построенный на сравнении эмпирических частот с теми частотами, которые бы были в клетках корреляционной таблицы, если бы сравниваемые признаки были бы взаимно независимыми.
Коэффициент взаимной сопряженности вычисляется по формуле

где и - число градаций признаков X и Y,
- так называемый показатель взаимной сопряженности, вычисляемый по формуле
где - эмпирические частоты, стоящие в клетках корреляционной таблицы, и - суммы частот по соответствующим строкам и столбцам.
Величину удобно представить в виде .
Величина коэффициента взаимной сопряженности может принимать значения от 0 (связь отсутствует) до 1 (связь функциональна).
Пример 3. По имеющимся результатам тестирования оценить степень связи психологических признаков X и Y.
Составим таблицу.
Числа в круглых скобках есть квадрат частоты. Числа в квадратных скобках получены делением числа в круглых скобках на . - сумма частот по соответствующей строке, - сумма частот по соответствующему столбцу.
сумма чисел в квадратных скобках по соответствующему столбцу.
Если , то связь между изучаемыми признаками существует на соответствующем уровне значимости. В нашем случае связь между признаками X и Y значимо существует на уровне значимости 1%, хотя степень этой связи, судя по величине k, очень невелика.
Пример реализации расчетов по коэффициенту взаимной сопряженности в среде Excel приведен ниже.
где
При этом в соответствующие ячейки записываются следующие формулы.
Заключение
В курсовой работе были изучены статистические модели, корреляционного типа. Для каждой модели приведен пример применения, а также вычислений с помощью электронных таблиц Excel. Исходными данными для корреляционного анализа являются выборки, которые описывают результатами психологических экспериментов.
Практическая часть
Приводятся данные о продолжительности ознакомления в секундах) и времени восприятия (в секундах) системы пространственных линий.
Ознакомление X: 2,5 1,9 3,7 2,0 4,3 2,4 2,3 4,8 1,7 3,2 3,6
2,3 4,9 1,8 2,8 4,0 1,8 3,0 2,4 4,5 2,3 3,4 2,0 2,5 n1 =24.
Восприятие Y: 3,2 1,5 2,4 3,6 4,5 3,0 3,1 4,2 2,9 3,5 4,0 3,0 4,3 2,5 2,9 3,6 2,5 3,2 2,9 3,9 2,7 3,6 2,4 3,0 n2 =24.
Что можно сказать о существовании связи между этими параметрами деятельности?
Покажем, как решить эту задачу с помощью линейного коэффициента корреляции по Пирсону.
Для решения задачи с помощью линейного коэффициента корреляции по Пирсону составим таблицу.
Вычисление средних выполняется по следующим формулам.
где средние значения.
Стандартные отклонения будем вычислять по формулам.
Подставив в последние формулы числовые значения, получим
Вычислим линейный коэффициент корреляции Пирсона по формуле:
Проверим значение численного значения коэффициента r по формуле:
Для числа степеней свободы по таблице критерия Стьюдента найдем
Видим, что , это означает, что связь между параметрами ознакомление и восприятие существует значимо при уровне значимости 1%.
Решим эту задачу с помощью электронных таблиц Excel.
Пример Excel-программы приведен ниже.
При этом в соответствующие ячейки записываются формулы:
где 24 – объем данных.
Посмотрим, какие из основных требований выполняются для данной модели.
1) случайность:
последовательность
2,5 1,9 3,7 2 4,3 2,4 2,3 4,8 1,7 3,2 3,6 прошла тест на случайность. Тестирование было проведено программным модулем “random tester” , разработанным в Технионе (Israel).
2) гомогенность: измерения вариативности колеблются внутри диапазона, ожидаемого при случайной вариативности.
3) линейность: поскольку исследуемая модель подчиняется закону линейной регрессии, и было показано критерием Пирсона, что линейная связь между параметрами ознакомление и восприятие статистически значима, то требование линейности выполнено.
4) отсутствие автокорреляции остатков: Давайте посмотрим на остатки- отклонения фактических параметров от модели линейной регрессии.
0.3727 0.2284 0.0390 0.0181 0.2941 -0.2694 -0.0459 0.0987 0.0084 -0.0595 -0.0224
График их распределения:
гистограмма.
Теперь если посмотреть на их гистограмму, то видно, что это гистограмма нормального распределения с нулевым средним. Это показывает, что остатки представляют собой «белый шум» и не содержат автокорреляции.

Список используемой литературы
Бодалев А.А., Столин В.В. Общая психодиагностика. - СПб, 2002. – с. 304.
Годфруа Ж. Что такое психология. - М., 1992. – 198 с.
Додж. М., Кината К., Стинсон К. Эффективная работа с Microsoft Excel 97. - СПб: Питер, 1998. – 357 с.
Ермолаев О.Ю. Математическая статистика для психологов. - М.: Флинта, 2002. – 267 с.
Кленин А.Н., Шевченко К.К. Математическая статистика для экономистов-статистиков. - М., 1990. – 278 с.
Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика. - М., 1991. – 399 с.
Зарубина О.М. Многомерный статистический анализ на ЭBM с использованием пакета Microsoft Excel, М., 1997. - 356 с.
Немов Р.С. Психология: Учеб. для студ. высш. пед. учеб. заведений: В 3 кн. - М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2002. - Кн. 3: Психодиагностика. Введение в научное психологическое исследование с элементами математической статистики. – 402 с.
Одинцов И.Д. Теория статистики. - М., 1998. – 172 с.
Психологическая диагностика: Учебное пособие, Под ред. К.М. Гуревича, Е.М. Борисовой, 2-е изд., испр. - М.: Изд-во УРАО, 2000. – 416 с.
Сидоренко Е.В Методы математической обработки в психологии. – СПб: ООО «Речь». 2000. – 361 с.
Сосновский Б.Д. Лабораторный практикум по общей психологии. Учебно-методическое пособие для студентов. - М.. Просвещение, 1979. – 89 с.
Шмойлова Р.А. Теория статистики. - М.: Финансы и Статистика, 1998. – 254 с.
Френкель А.А., Адамова Е.В. Корреляционно-регрессионный анализ в экономических приложениях. - М., 1987. – 154 с.
Siegel S. Non-parametric Statistic, New York, MacGraw-Hill Book Co. 1956. – 159 p.
[2, стр. 23]
[7, стр. 234]
Chatillon, 1977
[9, стр. 72]
[12, стр. 34]
Стандартное отклонение для популяции обозначается маленькой греческой буквой сигма (σ), а для выборки — буквой s. Это касается и вариансы, т.е. квадрата стандартного отклонения: для популяции она обозначается σ2, а для выборки — s2
[14, стр. 172]
[11, стр. 244]
[10, стр. 152]
[3, стр. 272]
[11, стр. 86]
[6, стр. 83]
[7, стр. 13]
[10, стр. 367]
[5, стр. 12]
[11, стр. 142]
[4, стр. 156]
[9, стр. 62]
[11, стр. 92]
[10, стр. 296]
58