Описание экономических процессов с помощью уравнений Ферхюльста

ОГЛАВЛЕНИЕ 1
1. Понятие о линейных дифференциальных уравнениях второго порядка. 2
1.1. Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами. 2
1.1.1 Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. 3
1.1.2 Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. 8
1.2 Экономический смысл ЛДУ второго порядка. 9
1.2.1 ЛОДУ второго порядка. 9
1.2.2 ЛНДУ второго порядка. 12
2. Уравнение Ферхюльста. 12
2.1. Динамика роста популяции 12
2.2 Экономическая интерпретация уравнения логистического роста 14
3. Восстановление дифференциального уравнения по известной ФСР 19
4. Исследование коэффициентов восстановленного уравнения в зависимости от значений переменной k. 23
Библиография 30

Пример. Рассмотрим функции . Очевидно, что рассматриваемые функции являются линейнонезависимыми, поскольку
Ранее было показано, что данная система функций является ФСР для уравнения , что в свою очередь означает, что для рассматриваемой системы выполняются условия рассмотренной чуть выше теоремы.
Очевидно, что система функций , где у – общее решение того же уравнения, является линейно зависимой. Это непосредственно следует из того, что первая из функций является линейной комбинацией двух других, т.е. – по теореме о структуре общего решения рассматриваемого ЛОДУ. А это как раз повторяет определение линейной зависимости функций. Поэтому очевидно, что определитель Вронского для этих функций равен нулю.
Запишем и вычислим этот определитель.
Как уже отмечалось выше, найденный определитель равен нулю, т.е.
Вынося общий множитель за скобку, получаем:
Откуда очевидно, что
или .
Поскольку последнее равенство не верно ни при каких значениях аргумента, то очевидно, что единственным решением уравнения (16 ‘) является первое равенство, которое как раз и является искомым уравнением.
Теперь рассмотрим некоторое ЛОДУ второго порядка с переменными коэффициентами, частными решениями которого являются функции и . Попытаемся аналогичным образом восстановить уравнение, частными решениями которого являются данные функции. Как и в предыдущем примере, составляем Вронксиан для этих функций. Производные упрощаем по аналогии с примером, рассмотренным в пункте 2.1, стр. 18.
Упростим получившееся выражение. Для этого воспользуемся свойством определителя о том, что общий множитель какого-либо столбца или строки можно выносить за знак определителя. Очевидно, что во втором столбце каждый элемент делится на выражение , а во втором – на выражение . Отсюда следует, что
И поскольку очевидно, что оба вынесенных множителя не могут равняться нулю, то непосредственно сокращая на них получаем уравнение
.
Вычислим значение этого определителя.
Пусть искомое уравнение имеет вид тогда из нашего равенства получаем выражения для нахождения функций
Разрешим получившееся уравнение относительно старшей производной , т.е. разделим все коэффициенты уравнения на .
Тогда искомое уравнение принимает вид
.
4. Исследование коэффициентов восстановленного уравнения в зависимости от значений переменной k.
Пусть для начала . Рассмотрим предельные значения найденных коэффициентов и .
Видим, что при уравнение с переменными коэффициентами
превращается в полученное нами чуть ранее уравнение с постоянными коэффициентами
Теперь проанализируем, как будут меняться найденные коэффициенты и при различных значениях параметра .
Для начала, предположим, что . Тогда
В этом случае найденное уравнение принимает вид
.
Построим график функции .
Очевидно, что график функции имеет асимптоту в случае, кода знаменатель обращается в ноль, т.е. когда

Итак, вертикальная асимптота графика функции. Так же очевидно, что при график функции стремиться к нулю.
Найдём критические точки графика функции.
Очевидно, что при т.е. при отрицательных значениях аргумента график функции убывает, а при т.е. график функции возрастает при положительных значениях аргумента. Можем предположить, что график функции выглядит следующим образом:
Теперь рассмотрим случай . Тогда коэффициенты примут вид:
Исследуем поведение найденных функций и построим их графики.
1)
Даная функция является непрерывной при всех значениях переменной t, кроме .
Первое из получившихся уравнений не верно ни при каких значениях аргумента, второе решим сведением к квадратному с помощью замены.
Пусть тогда второе уравнение примет вид:
Итак, график исследуемой функции имеет вертикальную асимптоту в точке .
Найдём интервалы монотонности и экстремумы функции. Для этого находим первую производную.
Находим критические точки. Для этого приравнивает числитель вычисленной производной к нулю: . Чтобы решить это уравнение делаем замену Получаем уравнение 4ой степени очевидным корнем которого является значение . Делением на сводим уравнение к кубическому.
Строим график функции
2)
Очевидно, но при , т.е. при .
Кроме того, область определения исследуемой функции . Далее, при помощи замены сведением это уравнение к кубическому уравнению, получаем:
Очевидным корнем этого уравнения кратности 3 является корень откуда делаем вывод, что Это означает, что график функции имеет одну вертикальную асимптоту
Найдём интервалы монотонности и экстремумы функции. Для этого находим первую производную.
Находим критические точки. Для этого приравнивает числитель вычисленной производной к нулю: . Чтобы решить это уравнение делаем замену Получаем уравнение 4ой степени очевидным корнем которого является значение . Делением на сводим уравнение к кубическому.
Первый множитель не может быть равен нулю ни при каких значениях аргумента, второе решим сведением к кубическому с помощью замены.
Пусть тогда второе уравнение примет вид: Очевидным корнем этого кубического является значение . Делением на сводим уравнение к квадратному.
Далее, решаем оставшееся квадратное уравнение при помощи дискриминанта.
Строим график функции .
Заключение
Линейные уравнения имеют широкую область применения. Их решение часто используется в таких областях науки, как различные задачи физики, механики, термодинамики, экономики, биологии и во многих других областях жизнедеятельности человека. Рассмотренные нами примеры применения линейных уравнений с постоянными коэффициентами в физике, экономике и биологии прекрасно иллюстрируют этот факт. Уравнение Ферхюльста является одним из видов линейных дифференциальных уравнений второго порядка и для его решения прекрасно подходят методы, рассмотренные нами в соответствующих пунктах работы.Библиография
Смит Дж. Модели в экологии. М.: Мир, 1976.
Marchetti C. A Simple mathematical model of war events. History and measure. VII(3-4) (1992) 297.
Плотинский Ю.М. Теоретические и эмпирические модели социальных процессов. М.: Логос, 1998, 279 с.
Короновский А.А., Трубецков Д.И. Нелинейная динамика в действии. Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Колледж". 2002. 324 с.: илл.
Безручко Б.П., Короновский А.А., Трубецков Д.И., Храмов А.Е. Путь в синергетику. М.: УРСС. 2010.
Моделирование нелинейной динамики глобальных процессов. Под ред. Ильина И.В. и Трубецкова Д.И. М.: Изд-во МГУ. 2010.
Gause G. F. Verification experimentales de la theorie mathematique de la lutte pour la vie 1935. – 87 p.
Heinrich R., Schuster S. The regulation of Cellular Systems
Рубин А. Б. Биофизика в 2-х тт. М., 2004
Бирюк Н. Д., Ковалева Т. А., Юргелас В. В. Проблемы моделирования ферментативной реакции электрическими цепями Математика. Компьютер. Образование, 2000, вып.7, с.615-627
Варфоломеев С. Д., Гуревич К. Г. Биокинетика 716 С. М., 1999.
Sherratt J. A., Eagan B. T., Lewis M. A. Oscillations and chaos behind predator prey invasion: Mathematical artifact or ecological reality Phyl. Trans. Soc. Lond. 1997. B 352: 21-38
Wilhelm T., Hoffmann-Klipp E., Heinrich R. An evolutionary approach to enzyme kinetics: optimization of ordered mechanisms Bull. Math. Biol. – 1994. 56, N.1. – Pp.65 – 106.
Ризниченко Г. Ю., Рубин А. Б. Математические модели биологических продукционных процессов 301 C. М., 1993.
Murray J. D. Mathematical Biology Springer, 1993, 766 P
Drozdov-Tichomirov L. N., Grizhebovskaya A. T., Milko E. S. Simulation of a bacterial population structure in continuous cultivation by a dissociation process: An application to Rhodococcus rubopertinctus Acta Biotechnol. – 1989. 9, N.5. – Pp.453 – 460.
Царькв В.А. О динамике Ферхюльста и динамике роста капитала в экономике. Математический анализ экономических моделей. – Экономика и математические методы, 2008, том 44, № 3, с. 92-97.
1