* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.
Вопросы:
1. Билинейные формы в вещественном линейном пространстве. Матрица били-нейной формы и ее преобразование при изменении базиса.
2. Квадратичные формы Приведение квадратичной формы к каноническому виду ме-тодом Лагранжа.
3. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов методом Якоби.
4. Закон инерции квадратичной формы. Ранг квадратичной формы.
5. Определение и примеры линейных операторов. Действия с линейными оператора-ми. Пространство линейных операторов.
6. Ядро и образ линейного оператора. Связь между дефектом, рангом и размерностью области определения линейного оператора. Обратный оператор. Невырожденный оператор.
7. Определение и примеры нахождения матриц линейных операторов. Связь между координатами вектора – образа и вектора – прообраза. Изоморфизм пространства линейных операторов пространству прямоугольных матриц соответствующего размера.
8. Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах. Эквивалентные и подобные матрицы. Критерий эквивалентности двух матриц.
9. Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Доказать, что в комплексном линейном пространстве всякий линейный оператор имеет хотя бы один собственный вектор.
10. Доказать, что а) характеристический многочлен не зависит от выбора базиса; б) система собственных векторов, соответствующих попарно различным соб-ственным значениям, линейно независима; в) собственные векторы линейного оператора, соответствующие одному собственному значению, вместе с нулевым вектором образуют подпространство. Связь между линейными операторами и билинейными формами в унитарном пространстве.
11. Операция перехода от оператора A к сопряженному . Свойства операции . На-хождение матрицы сопряженного оператора в ортонормированном (ортогональ-ном) базисе.
12. Нахождение матрицы сопряженного оператора в ортонормированном базисе.
13. Основные свойства самосопряженных операторов.
14. Унитарные операторы и их свойства.
15. Спектральная характеристика нормального оператора. Критерий простоты струк-туры линейного оператора.
16. Достаточный признак оператора простой структуры. Доказать, что у всякого ли-нейного оператора в вещественном пространстве существует одномерное (двумер-ное) инвариантное подпространство.
17. Основные свойства симметричных операторов.
18. Ортогональные операторы и их свойства.
19. Определение аффинного пространства. Различные способы задания прямой в аф-финном пространстве (векторный, в параметрическом виде, канонический, по двум точкам). Угол между прямыми. Нахождение расстояния от данной точки до данной прямой. Перпендикуляр, опущенный из точки на прямую.
20. Взаимное расположение двух прямых. Нахождение кратчайшего расстояния между двумя скрещивающимися прямыми. Общий перпендикуляр двух прямых.
21. Различные способы задания плоскостей (векторный, в параметрическом виде, по точке и нормали, по точке и направляющим векторам, по n точкам). Основная тео-рема о плоскости. Угол между плоскостями. Условие принадлежности n+1 точки одной плоскости.
22. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между параллельными плоскостями.
23. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду с классифи-кацией возможных типов типов в случае δ≠0
24. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду с классифи-кацией возможных типов в случае δ=0
25. Инварианты кривой второго порядка. Определение канонического уравнения кри-вой второго порядка по инвариантам.
26. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду с классификацией типов в случае, когда все λi отличны от нуля.
27. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду с классификацией типов в случае, когда одно из λi ¬равно нулю.
28. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду с классификацией типов в случае, когда два из λi равны нулю.
29. Доказать теорему о возможности расщепления пространства X, в котором действу-ет линейный оператор, в прямую сумму корневых подпространств: X = (p1) + (p2) + … + (pk)
30. Выбор базиса в корневом подпространстве. Расщепление корневого подпростран-ства на прямую сумму циклических подпространств.
31. Теорема о жордановой нормальной форме линейного оператора и основные этапы ее доказательства.
32. λ – матрицы. Элементарные преобразования λ – матриц. Доказать, что всякую λ – матрицу путем элементарных преобразований можно привести к нормальной диа-гональной форме.
33. Доказать, что нормальная диагональная форма λ – матрицы определяется одно-значно.
34. - 36. Вычисление функции от матрицы.