Вход

Лекции по теории вероятности

Лекция по прочим предметам
Дата добавления: 30 августа 2010
Язык лекции: Русский
Архив, rar, 1.7 Мб
Лекцию можно скачать бесплатно
Скачать
I. Случайные события
 
1.1 Предмет теории вероятностей
 
Первоначальным понятием при изучении окружающего нас мира является событие. Событие определяется тем, происходит или не происходит некоторое явление. В научных исследованиях, при изучении законов природы события разделяются на условия и исходы эксперимента. Условия – это события, известные экспериментатору, которые он осуществляет тем или иным способом. Исходы - это события, которые могут произойти в результате эксперимента. Совокупность условий и исходов и есть эксперимент (испытание, опыт).
В течение длительного времени человек изучал детерминированные эксперименты, в которых условия (причины) полностью определяют исход (следствие). Простейший пример таких испытаний: при нормальном давлении и температуре 100°C (условия) вода закипает (исход).
Случайными экспериментами (с. экспериментами) называются такие, результаты которых нельзя предугадать заранее. Исходы такого испытания называются случайными событиями (с. событиями).
Первый опыт: при подбрасывании симметричной однородной кости (условия) трудно предсказать заранее (априори) какое число очков окажется на верхней грани. Возможны 6 исходов: выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков.
Второй опыт: подбрасывается симметричная однородная монета (условия). Случайных событий два: выпадение герба - событие Г, выпадение решетки - событие Р.
Третий опыт: подбрасываются две одинаковые монеты (условия). Исходами здесь будут: обе монеты упали одной стороной вверх – события (Г, Г) или (Р, Р); первая монета упала гербом вверх, вторая - решеткой – событие (Г, Р); первая монета упала вверх решеткой, а вторая - гербом – событие (Р, Г).
Теория вероятностей (ТВ) изучает не всякие эксперименты с непредсказуемыми результатами, а только такие, которые дополнительно удовлетворяют еще двум условиям: 1) возможности повторения испытания, хотя бы теоретически, бесконечное число раз; 2) невозможности предсказания результата не только в первом испытании, но и во всех последующих.
ТВ изучает события не сами по себе, а закономерности, которые возникают при многократном воспроизведении случайных экспериментов. В сочетании противоположных понятий закономерность - случайность и состоит особенность науки, именуемой ТВ.
Первые работы по ТВ, в которых зарождались основные понятия ТВ, представляют собой попытки создания теории азартных игр – конец 16, начало 17 веков (Кардано, Гюйгенс, Паскаль, Ферма и т.д.). Эти задачи не могли быть решены известными в то время математическими методами.
Можно считать, что как наука ТВ возникла из чисто практических потребностей.
Следующий этап развития ТВ связан с именем Я.Бернулли. Доказанная им теорема (1713г.), получившая впоследствии название «закона больших чисел», была первым теоретическим обоснованием накопленных результатов.
Успехи и потребности развивающихся естественных наук, особенно физики, послужили толчком к дальнейшему развитию ТВ. Возникла теория ошибок, связанная с именами Гаусса, Пуассона. Ошибки, как правило, случайны и не подвергаются индивидуальному учету, однако проявляют некоторую устойчивость.
Современный период в ТВ начинается с установления аксиоматики в этой науке. В 1933 г. вышла в свет книга советского математика А. Н. Колмогорова “Основные понятия теории вероятностей”. Предложенная в ней аксиоматика получила всемирную поддержку и позволила не только охватить все имеющиеся разделы ТВ, но и образовала тот фундамент, на котором и выросло логически стройное здание этой науки. Дальнейшее развитие ТВ связано с именами математиков С. Н. Бернштейна, В. И. Романовского, А. Я. Хинчина, Б. В. Гнеденко, Н. В.Смирнова и др.
Роль ТВ в различных отраслях знаний трудно переоценить; ТВ направлена на решение прикладных задач, и невозможно указать еще один такой же универсальный и мощный инструмент для решения этих задач.
 
1.2 Пространство элементарных исходов
 
Со случайным экспериментом могут быть связаны разные по “сложности” случайные события. Прежде всего, среди всевозможных исходов можно выделить множество взаимно исключающих друг друга событий, которые нельзя разбить на более мелкие в условиях данного опыта. В этом смысле они являются «элементарными» событиями. Так, в первом опыте все исходы, описанные выше, - элементарные события. Но исходом первого опыта могут быть и такие события как: событие А - выпадение четного числа очков; событие В - выпадение не менее 3 очков и т. д. Событие А
происходит, если в результате опыта появился любой из элементарных исходов: выпадение 2, 4, 6 очков. В этом случае говорят, что событие А может быть разбито на более мелкие - это выпадение двух, четырех или шести очков. Для события В аналогичными рассуждениями приходим к выводу, что оно также разбивается на 4 события: выпадение 3, 4, 5, 6 очков.
Множество взаимно исключающих друг друга событий называют пространством элементарных событий. Обозначать его везде будем буквой , элементы этого множества обозначаются чаще всего буквой  с индексами -  Так, в первом опыте ,  - выпадение k очков в опыте, k = 1,2,…,6; во втором опыте  или Ω={Г, Р}; в третьем опыте ={(Г, Г), (Р, Р), (Г, Р), (Р, Г)}= . Иными словами, пространство элементарных событий – это множество событий, удовлетворяющих условиям: 1) в результате эксперимента обязательно появляется одно из этих событий; 2) появление одного события исключает появление другого; 3) в условиях данного опыта эти события не могут быть разделены на более мелкие.
Другие события, как правило, объединяют в себе элементарные события. Обозначать иные (не элементарные) события будем большими буквами латинского алфавита A,B,C,… Так выше приведены события  и . Еще пример: в третьем опыте событие С – герб выпал не менее одного раза, ; событие D – обе монеты упали одной стороной, .
Множество  не обязательно конечно. Пусть опыт состоит в следующем: монета подбрасывается до первого появления герба и затем опыт прекращается. Исходами такого опыта являются последовательности вида Г; РГ; РРГ; РРРГ;… Число выпадений решетки непредсказуемо. Оно может быть любым числом, поэтому элементарных исходов в этом опыте бесконечное множество (теоретически, по крайней мере). Другой пример опыта с бесконечным числом исходов, это время безотказной работы любого технического прибора. В этом случае .
Если множество  конечно, его называют дискретным.
Конкретная природа элементов множества  в дальнейшем нас интересовать не будет. Пространство элементарных событий  в ТВ является неопределяемым понятием, таким как, например, время в физике, число в математике.
 
 
 
© Рефератбанк, 2002 - 2017