Числовые системы

ТЕМА IV. ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ

1. Множество натуральных чисел

Определение: Множество называется числовым, если его элементами являются числа.

Известны следующие числовые системы:

N - множество натуральных чисел;

Z - множество целых чисел;

Q - множество рациональных чисел;

R - множество действительных чисел;

С - множество комплексных чисел.

Между этими множествами установлены следующие отношения:

N  Z  Q  R  C.

В основе расширения числовых множеств лежат следующие принципы: если множество А расширяется до множества В, то:

1) А  B;

2) операции и отношения между элементами, выполнимые во множестве А, сохраняются и для элементов множества В;

3) во множестве В выполняются операции, не выполнимые или частично выполнимые во множестве А;

4) множество В является минимальным расширением множества А, обладающим свойствами 1) – 3).

Множество натуральных чисел N строго определяется с помощью аксиом Пеано.

1. Существует натуральное число 1, не следующее ни за каким натуральным числом (натуральный ряд начинается с 1).

2. Каждое натуральное число следует только за одним и только одним натуральным числом (в натуральном ряду нет повторений).

3. За каждым натуральным числом следует одно и только одно натуральное число (натуральный ряд бесконечен).

4. Аксиома индукции. Пусть М  N. Если:

1) 1  М;

2)  а  М множеству М принадлежит и следующий за а элемент а¹ то множество М совпадает с множеством натуральных чисел.

Итак, множество N = { 1, 2, 3, 4,...}.

На аксиоме 4 основан метод математической индукции. Доказательство различных утверждений этим методом проводится от частного к общему, а затем делается вывод о справедливости данного утверждения.

П р и м е р. Доказать методом математической индукции следующее равенство:

Д о к а з а т е л ь с т в о.

1. Проверим справедливость данного утверждения для n = 1: , т.е. 1 = 1.

2. Предположим, что данное равенство выполняется для k слагаемых, т.е. при n =k:

3. На основании предположения 2 докажем справедливость данного равенства для n = k+1:

Ho , а потому , а так как , следовательно

Теперь можно сделать вывод о том, что данное равенство справедливо  n  N.

2. Множество целых чисел

Во множестве натуральных чисел выполняются операции сложения и умножения, но не всегда выполняется операция вычитания. Расширяя множество N так, чтобы эта операция была выполнима, мы получаем множество целых чисел Z. Поэтому Z=N  {0, -1, -2,...} или Z={...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}, т.е. множество целых чисел Z содержит множество натуральных чисел, число нуль и числа, противоположные натуральным.

Основную роль во всей теории целых чисел играют следующие факты.

Т е о р е м а о д е л е н и и с о с т а т к о м. Для любого целого а и b > 0 существуют и притом единственные целые q и r, такие, что а = bq + r, 0  r < | b |.

О п р е д е л е н и е. Натуральное число р называется простым, если р > 1 и р не имеет положительных делителей, отличных от 1 и р.

О с н о в н а я т е о р е м а а р и ф м е т и к и. Для каждого натурального числа n > 1 существует единственное разложение на простые множители: , где p₁, p₂, ..., p_k – простые числа, а - натуральные числа. Разложение называется каноническим.

О п р е д е л е н и е. 1) Общим делителем целых чисел а₁, а₂, ..., а_n называется целое число d, такое, что a₁ : d, а₂ : d, ..., а_n : d. 2) Наибольшим общим делителем целых чисел а₁, а₂, ..., а_n называется такой положительный общий делитель чисел а₁, а₂, ..., а_n, который делится на любой другой общий делитель этих чисел.

Обозначается: d = (а₁, а₂, ..., а_n).

Наибольший общий делитель целых чисел а и b может быть найден с помощью алгоритма Евклида, в основе которого лежит теорема о делении с остатком. Последний, отличный от нуля, остаток и будет наибольшим общим делителем чисел а и b.

П р и м е р. Найти НОД чисел 1173 и 323. Последовательным делением находим:

1173 = 3233 + 204;

323=2041+119;

204=1191+85;

119=851+34;

85=342+17;

34=172;

так что (1173, 323) = 17.

О п р е д е л е н и е. Наименьшим общим кратным целых чисел а₁, а₂, ..., а_n, отличных от нуля, называется наименьшее положительное число, кратное всем этим числам.

Обозначают: m=[ а₁, а₂, ..., а_n].

Пусть а и b целые числа, тогда

П р и м е р. Найти HOK чисел 1173 и 323.

Т.к. (1173, 323) = 17, то [1173, 323] =

3. Множество рациональных чисел. Система действительных чисел

Во множестве целых чисел выполняются операции сложения, вычитания и умножения, но не всегда выполняется операция деления. Расширяя множество Z так, чтобы эта операция была выполнима, получаем новое числовое множество - множество рациональных чисел Q, т.е. Q={r | r=, m, n  Z, n0}. Множество рациональных чисел можно еще определить как множество бесконечных периодических десятичных дробей.

Если же число нельзя представить в виде отношения двух целых чисел, то его называют иррациональным числом.

К необходимости введения понятия иррационального числа приводит рассмотрение многих задач, в частности - задачи измерения некоторых отрезков (например, длины диагонали квадрата со стороной, равной единице). Иррациональное число представляется непериодической бесконечной десятичной дробью. Например, рациональные числа и представляются следующими десятичными дробями: = 0,75; = 0,333 ... = 0,(3).

Иррациональные числа и  представляются непериодическими бесконечными дробями: = 1,414...;  = 3,14159....

Множество, состоящее из всех рациональных и всех иррациональных чисел, называется множеством действительных чисел R. Геометрически действительные числа изображаются точками числовой прямой. Отметим, что между множеством действительных чисел и множеством точек числовой прямой установлено взаимно однозначное соответствие.

4. Система комплексных чисел

Однако действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое квадратное уравнение с действительными коэффициентами. Например, уравнение вида х² + 1= 0 действительных корней не имеет. А это означает, что система действительных чисел нуждается в расширении.

О п р е д е л е н и е. Множество чисел вида а + bi, а, b  R, i² = -1, называется системой комплексных чисел С.

а - действительная часть комплексного числа, bi - мнимая часть комплексного числа, i = - мнимая единица, b - коэффициент при мнимой единице. Запись числа в виде z = а + bi называется алгебраической. Комплексное число z = а + bi равно нулю тогда и только тогда, когда а = 0 и b = 0. Два комплексных числа z₁ = а₁ + b₁i и z₂ = а₂ + b₂i называются равными, если а₁ = a₂, и b₁ = b₂, в этом случае пишут: z₁ = z₂.

Число = а - bi называется сопряженным для числа z = а + bi, при этом числа z и называются взаимно сопряженными. Например, числа z = 2 + i и z = 2 - i; z = -5 - i и z = -5 + i, z = i и z = -i будут взаимно сопряженными.

Арифметические действия над комплексными числами проводятся по следующим правилам. Пусть z₁= а₁+b₁i z₂= а₂+b₂i. Тогда: ; ;

. Таким образом, видим, что если z= a+bi и =a-bi, то z= a²+b².

П р и м е р ы. Выполнить действия:

1. (2 + 3i) + (8 - 5i) = 10 - 2i.

2. (-1 - i) - (2 + 3i) = -3 - 4i.

3. (10 - i)(2 + i) = 21+8i.

4. .

Геометрически комплексные числа можно изображать точками плоскости, абсциссами которых служат действительные части, а ординатами - коэффициенты при мнимой единице. Таким образом, если z= a+bi, то на плоскости ХОУ это будет точка М(а, b). Так как любой вектор плоскости с началом в точке O(0,0) определяется координатами конца, то комплексные числа также изображают радиус – векторами (рис. 1).

Рис. 1

Кроме алгебраической формы комплексное число может быть записано с помощью тригонометрической формы. Введем следующие определения.

О п р е д е л е н и е. Модулем комплексного числа z= а+ bi называется арифметический квадратный корень из суммы квадратов его действительной части и коэффициента при мнимой единице: |z| = r = .

О п р е д е л е н и е. Аргументом комплексного числа z = а + bi называется число , для которого .

Возьмем на плоскости точку М(а, b), пусть ей соответствует комплексное число z = а + bi. Обозначим через  угол, который образует радиус – вектор ОМ с положительным направлением оси ОХ.

Из  ОМА (рис.2) AO = OMcos, AM = ОМsin, но ОМ= = г, ОА =а; AM =b; тогда z = а + bi = rcos + irsin = r(cos + isin).

Запись числа z = r(cos + isin) называется тригонометрической формой комплексного числа.

С геометрической точки зрения, модуль комплексного числа представляет собой длину радиус-вектора, который это число изображает, а аргумент - это угол, который образует данный радиус-вектор с положительным направлением оси ОХ.

П р и м е р. Найти модуль, аргумент и записать число z = 1- i в тригонометрической форме.

Имеем r = = ; cos =; sin =; тогда  = и .

Используя тригонометрическую форму комплексного числа, умножение и деление комплексных чисел можно выполнять так: если , , то z₁z₂ = r₁r₂[cos (₁+₂) + isin (₁+₂)], .

Операции же возведения в целую степень и извлечения корня удобнее проводить в тригонометрической форме. Так, для возведения в целую степень n комплексного числа z = r(cos + isin) известна формула Муавра:

zⁿ = rⁿ(cos n + isin n).

П р и м е р. Найти (2 + 2i)⁵.

Если z = 2 +2i, то r =, cos = , sin = ,  = . Тогда

, а .

Для извлечения корня степени n  N из комплексного числа z = =r(cos  + isin  ) используется следующая формула:

, k = 0, 1, 2, ..., n-1.

П р и м e p. Найти . Найдем тригонометрическую форму подкоренного выражения:

; ; ; ; .

, k = 0, 1, 2, 3.

;

;

;

.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Дайте определение числового множества.

2. Какие числовые системы вам известны?

3. Какие принципы лежат в основе расширения числовых множеств?

4. Как определяется множество натуральных чисел?

5. Что собой представляет метод математической индукции?

6. Дайте определение множества целых чисел.

7. Сформулируйте основные факты теории целых чисел.

8. Как определяется множество рациональных чисел?

9. Дайте определение множества действительных чисел.

10. Дайте определение системы комплексных чисел.

11. Какие формы употребляются для записи комплексных чисел?

12. Какова геометрическая интерпретация комплексного числа, его модуля и аргумента?

13. Расскажите об умножении, делении и возведении в степень комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.

14. Как извлечь корень n-й степени из комплексного числа?

ЗАДАЧИ

1. Доказать ММИ:

a) ;

б) ;

в) .

2. По делимому а и остатку r найти делители b и соответствующие частные q, если:

а) a = 100; r = 6; б) а = 158; r = 37; в) a = 497; r = 16.

3. Найти наибольшее целое число, дающее при делении на b = 13 частное q = 17.

4. Найти НОД каждой из следующих систем чисел:

а) (120; 144); б) (424; 477); в) (299; 391; 667).

5. Найти НОК каждой из следующих систем чисел:

а) [120; 96]; б) [75; 114]; в) [118; 177;413].

6. Каким числом, рациональным или иррациональным, является значение выражения 8 - 5х при х = 0,6; 1,2; -3,4?

7.Среди чисел ; 0; 0,(25); ; 3,14; ; 0,818118111811118... укажите рациональные и иррациональные.

8. Выполнить указанные действия:

а) (2 + 3i) (4 - 5i) + (2 - 3i) (4 + 5i); б) .

9. Построить множество точек, изображающих комплексные числах, удовлетворяющие соответствующим условиям:

a) | z - (1 + i)| > 2; б) | z + 2 - i |  1; в) {l  |z|  2, 0 < arg z  ; г) {3  | z - 3 + 2i |  4; < arg z  }.

10. Найти тригонометрическую форму комплексного числа:

а) i; б) -2; в) 1 + i; г) .

11. Вычислить:

а) ; б) ; в) .

12. Извлечь корни:

a) ; б) ; в) ; г) ; д) .

13. Упростить:

а) ; б) .