Вход

Функция, и её свойства

Реферат по математике
Дата добавления: 11 ноября 2007
Язык реферата: Русский
Word, rtf, 3.4 Мб (архив zip, 2 Мб)
Реферат можно скачать бесплатно
Скачать
Данная работа не подходит - план Б:
Создаете заказ
Выбираете исполнителя
Готовый результат
Исполнители предлагают свои условия
Автор работает
Заказать
Не подходит данная работа?
Вы можете заказать написание любой учебной работы на любую тему.
Заказать новую работу

Функция, и её свойства:


  • Функция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

  • Переменная х - независимая переменная или аргумент.

  • Переменная у - зависимая переменная

  • Значение функции - значение у, соответствующее заданному

  • значению х.

  • Область определения функции- все значения, которые принимает независимая переменная.

  • Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.

  • Функция является четной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x)

  • Функция является нечетной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)

  • Возрастающая функция - если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)2)

  • Убывающая функция - если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)>f(х2)


Способы задания функции:


  • Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у=f(x), где f(x) - заданная функция с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

  • На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов.





Элементарные функций и их свойства:


1) Постоянная функция- функция, заданная формулой у=b, где b-некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат

2) Прямая пропорциональность - функция, заданная формулой у=kx, где к0. Число k называется коэффициентом пропорциональности.

Cвойства функции y=kx:

  1. Область определения функции - множество всех действительных чисел

  2. y=kx - нечетная функция

  3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой


3) Линейная функция - функция, которая задана формулой y=kx+b, где k и b-действительные числа. Если в частности, k=0, то получаем постоянную функцию y=b; если b=0, то получаем прямую пропорциональность y=kx.

Свойства функции y=kx+b:

  1. Область определения - множество всех действительных чисел

  2. Функция y=kx+b общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.

  3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

Графиком функции является прямая .


4) Обратная пропорциональность- функция, заданная формулой y=k/х, где k0 Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Свойства функции y=k/x:

  1. Область определения - множество всех действительных чисел кроме нуля

  2. y=k/x- нечетная функция

  3. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+) и на промежутке (-;0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке (-;0) и на промежутке (0;+).

Графиком функции является гипербола.


5) Функция y=x2

Свойства функции y=x2:

  1. Область определения - вся числовая прямая

  2. y=x2 - четная функция

  3. На промежутке [0;+) функция возрастает

  4. На промежутке (-;0] функция убывает

Графиком функции является парабола.




6) Функция y=x3

Свойства функции y=x3:

  1. Область определения - вся числовая прямая

  2. y=x3 -нечетная функция

  3. Функция возрастает на всей числовой прямой

Графиком функции является кубическая парабола


7) Степенная функция с натуральным показателем - функция, заданная формулой y=xn, где n- натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x2; y=x3. Их свойства рассмотрены выше.

Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8... В этом случае функция y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x2. График функции напоминает параболу y=x2, только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем «теснее прижимаются» к оси Х, чем больше n.

Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9... В этом случае функция y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x3. График функции напоминает кубическую параболу.


8) Степенная функция с целым отрицательным показателем - функция, заданная формулой y=x-n, где n- натуральное число. При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.

Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7... В этом случае функция y=x-n обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.

Пусть n- четное число, например n=2.


Свойства функции y=x-2:

  1. Функция определена при всех x0

  2. y=x-2 - четная функция

  3. Функция убывает на (0;+) и возрастает на (-;0).

Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.


9) Функция y=х

Свойства функции y=х:

  1. Область определения - луч [0;+).

  2. Функция y=х - общего вида

  3. Функция возрастает на луче [0;+).


10) Функция y=3х

Свойства функции y=3х:

  1. Область определения - вся числовая прямая

  2. Функция y=3х нечетна.

  3. Функция возрастает на всей числовой прямой.


11) Функция y=nх

При четном n функция обладает теми же свойствами, что и функция y=х. При нечетном n функция y=nх обладает теми же свойствами, что и функция y=3х.


12) Степенная функция с положительным дробным показателем - функция, заданная формулой y=xr, где r- положительная несократимая дробь.

Свойства функции y=xr:

  1. Область определения- луч [0;+).

  2. Функция общего вида

  3. Функция возрастает на [0;+).



13) Степенная функция с отрицательным дробным показателем - функция, заданная формулой y=x-r, где r- положительная несократимая дробь.

Свойства функции y=x-r:

  1. Обл. определения - промежуток (0;+)

  2. Функция общего вида

  3. Функция убывает на (0;+)


14) Квадратичная функция - функция, заданная формулой y=ax 2 + bx + c

где a  0 , a, b, c – некоторые числа, x – переменная.

Свойства функции y=ax 2 + bx + c:

  1. D(y) = R.

  2. Если b  0, c  0, то функция y=ax 2 + bx + c ни четная, ни нечетная.

  3. Точки пересечения с осями координат:

с осью Ox: если y = 0, то ax 2 + bx + c = 0, откуда x1 и x2 – корни квадратного уравнения.

с осью Oy: если x = 0, то y = c

  1. Функция убывает на (-;xb], возрастает на [xb;+) если ax 2 + bx + c > 0

Функция убывает на [xb;+), возрастает на (-;xb] если ax 2 + bx + c > 0

5. Наибольшее заначение функции y=ax 2 + bx + c, a < 0 достигается в вершине

и равно yb , наименьшего нет.

6. Наименьшее заначение функции y=ax 2 + bx + c, a > 0 достигается в вершине

и равно yb , наибольшего нет.

7. Графиком функции является парабола.



15) Свойства функции у = sinx и ее график:

Свойства:

1. D(y)=R.

2. Е(у)=[-1;1].

3. Функция у = sinx - нечетная, так как по определению синуса тригонометрического угла sin(-x) = - y/R = -sinx, где R - радиус окружности, у - ордината точки (рис).

4. Т = 2л - наименьший положительный период. Действительно,

sin(x+) = sinx.

5. Точки пересечения с осями коор­динат:

с осью Ох: sinx = 0; х = n, nZ;

с осью Oy: если х = 0, то у = 0,

6. Промежутки знакопостоянства:

sinx > 0, если x(2n;  + 2n), nZ;

sinx < 0, если х(  + 2n; 2+n), nZ.

Знаки синуса в четвертях

у > 0 для углов а первой и второй четвертей.

у < 0 для углов ее третьей и четвер­той четвертей.

7. Промежутки монотонноти:

y = sinx возрастает на каждом из промежутков [-/2 + 2n; /2 + 2n],

nz и убывает на каждом из промежутков [/2 + 2n; 3/2 + 2n], nz .

8. Точки экстремума и экстремумы функции:

xmax = /2 + 2n, nz; ymax = 1;


ymax = -/2 + 2n, nz; ymin = -1.







9. Графиком является синусоида (рис)




16) Свойства функции у = cosx и ее график:


Свойства:

1. D(y) = R.

2. Е(у)=[-1;1].

3. Функция у = cosx - четная, так как по определению косинуса три­гонометрического угла cos(-a) = x/R = cosa на тригонометричес­ком круге (рис)

4.Т = 2 - наименьший положительный период. Действительно,

cos(x+2n) = cosx.

5. Точки пересечения с осями координат:

с осью Ох: cosx = 0;

х = /2 + n, nZ;

с осью Оу: если х = 0,

то у = 1.

6. Промежутки знакопостоянства:

cosx > 0, если х(-/2+2n; /2 + 2n), nZ;

cosx < 0, если х(/2 + 2n; 3/2 + 2n), nZ.

Доказывается это на тригонометрическом круге (рис).

Знаки косинуса в четвертях:

x > 0 для углов  первой и четвертой четвертей.

x < 0 для углов  второй и третей четвертей.

7. Промежутки монотонноти:

y = cosx возрастает на каждом из промежутков [- + 2n; 2n],

nz и убывает на каждом из промежутков [2n;  + 2n], nz .

8. Точки экстремума и экстремумы функции:

xmax = 2n, nz; ymax = 1;

ymax =  + 2n, nz; ymin = -1.

9. Графиком функции является синусоида, которая полученна сдвигом гра-фика y = sinx вдоль оси Ox на /2 влево т.к y = cosx = sinx(x + /2) (рис).


17) Свойства функции у = tgx и ее график:


Свойства:

1. D(y) = (xR, x  /2 + n, nZ).

2. E(y)=R.

3. Функция y = tgx - нечетная

4. Т =  - наименьший положительный период.

5. Промежутки знакопостоянства:

tgx > 0 при х(n; /2 + n;), nZ;

tgx < 0 при x(-/2 + n; n), nZ.

Знаки тангенса по четвертям смотри на рисунке.

6. Промежутки монотонноти:

y = tgx возрастает на каждом из промежутков (-/2 + n; /2 + n),

nz .

7. Точки экстремума и экстремумы функции:

нет.

8. x = /2 + n, nz – вертикальные асимптоты






9. Графиком y = tgx является тангенсоида (рис).



17) Свойства функции у = ctgx и ее график:


Свойства:

1. D(y) = (xR, x  n, nZ)

2. E(y)=R.

3. Функция y = ctgx – нечетная.

4. Т =  - наименьший положительный период.

5. Промежутки знакопостоянства:

ctgx > 0 при х(n; /2 + n;), nZ;

ctgx < 0 при х(-/2 + n; n), nZ. Знаки котангенса по четвертям смотри на рисунке.

6. Функция у = ctgx возрастает на каждом из промежутков (n;  + n), nZ.

7. Точек экстремума и экстремумов у функции у = ctgx нет.

8. Графиком функции у = ctgx является тангенсоида, полученная сдвигом графика y= tgx вдоль оси Ох влево на /2 и умножением на (-1) (рис)












Литераура:

“Справочник по математике” И. Бронштейн, К. Семендяев 1948 г.

(стр. 122 – 25, 288)

“Математика” Р. Л . Вейцман, Л . Р. Вейцман, 2000 г.

(стр. 30 - 34)

“Алгебра начала анализа 10-11” А . Н . Колмогоров,

А . М . Абрамов, Ю . П . Дудницын, Б . М . Ивлев,

С . И . Шварцбурд, 1993 г.

(стр. 20 - 27)


© Рефератбанк, 2002 - 2017