Формулы по математике и геометрии за весь школьный курс

Формулы сокр. умножения и разложения на множители :

(ab)=a2ab+b

(ab)=a3ab+3abb

a-b=(a+b)(a-b)

ab=(ab)(a?ab+b),

(a+b)=a+b+3ab(a+b)

(a-b)=a-b-3ab(a-b)

xⁿ-aⁿ=(x-a)(x^n-1+ax^n-2+ax^n-3+...+a^n-1)

ax+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂)

где x₁ и x₂  корни уравнения

ax+bx+c=0

Степени и корни :

a^pa^g = a^p+g

a^p:a^g=a ^p-g

(a^p)^g=a ^pg

a^p /b^p = (a/b)^p

a^pb^p = ab^p

a⁰=1; a¹=a

a^-p = 1/a

^pa =b => b^p=a

^pa^pb = ^pab

a ; a  0

____

/ __ _

^{p g}a = ^pga

___ __

^pka^gk = ^pa^g

_p ____

/ a ^pa

/  = 

 b ^pb

a ^1/p = ^pa

^pa^g = a^g/p

Квадратное уравнение

ax+bx+c=0; (a0)

x_1,2= (-bD)/2a; D=b -4ac

D>0 x_1x₂ ;D=0 x₁=x₂

D<0, корней нет.

Теорема Виета:

x₁+x₂ = -b/a

x_1 x₂ = c/a

Приведенное кв. Уравнение:

x + px+q =0

x₁+x₂ = -p

x_1x₂ = q

Если p=2k (p-четн.)

и x+2kx+q=0, то x_1,2 = -k(k-q)

Нахождение длинны отр-ка

по его координатам

((x₂-x₁)-(y₂-y₁))

Логарифмы:

log_a x = b => a^b = x; a>0,a0

a ^{loga x} = x, log_aa =1; log_a 1 = 0

log_a x = b; x = a^b

log_a b = 1/(log _b a)

log_axy = log_ax + log_a y

log_a x/y = log_a x - log_a y

log_a x^k =k log_a x (x >0)

log_a^k x =1/k log_a x

log_a x = (log_c x)/( log_ca); c>0,c1

log_bx = (log_ax)/(log_ab)

Прогрессии

Арифметическая

a_n = a₁ +d(n-1)

^{Sn = ((2a1+d(n-1))/2)n}

Геометрическая

b_n = b_n-1  q

b²_n = b_n-1 b_n+1

b_n = b_1q^n-1

S_n = b₁ (1- qⁿ)/(1-q)

S= b₁/(1-q)

Тригонометрия.

sin x = a/c

cos x = b/c

tg x = a/b=sinx/cos x

ctg x = b/a = cos x/sin x

sin (-) = sin 

sin (/2 -) = cos 

cos (/2 -) = sin 

cos ( + 2k) = cos 

sin ( + 2k) = sin 

tg ( + k) = tg 

ctg ( + k) = ctg 

sin  + cos  =1

ctg  = cos / sin ,   n, nZ

tg  ctg = 1,   (n)/2, nZ

1+tg = 1/cos , (2n+1)/2

1+ ctg =1/sin ,  n

Формулы сложения:

sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y

sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y

cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y

cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y

tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y )

x, y, x + y  /2 + n

tg(x-y) = (tg x - tg y)/ (1+tg x tg y)

x, y, x - y  /2 + n

Формулы двойного аргумента.

sin 2 = 2sin  cos 

cos 2 = cos  - sin  = 2 cos  - 1 =

= 1-2 sin

tg 2 = (2 tg)/ (1-tg)

1+ cos  = 2 cos /2

1-cos = 2 sin /2

tg = (2 tg (/2))/(1-tg(/2))

Ф-лы половинного аргумента.

sin /2 = (1 - cos )/2

cos/2 = (1 + cos)/2

tg /2 = sin/(1 + cos ) = (1-cos )/sin 

  + 2n, n Z

Ф-лы преобразования суммы в произв.

sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)

sin x - sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2)

cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2

cos x - cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2

_{sin (x+y)}

tg x + tg y = —————

cos x cos y

_{sin (x - y)}

tg x - tgy = —————

cos x cos y

Формулы преобр. произв. в сумму

sin x sin y = (cos (x-y) - cos (x+y))

cos x cos y = (cos (x-y)+ cos (x+y))

sin x cos y = (sin (x-y)+ sin (x+y))

Соотнош. между ф-ями

sin x = (2 tg x/2)/(1+tg²x/2)

_{cos x = (1-tg2 2/x)/ (1+ tg x/2)}

_{sin2x = (2tgx)/(1+tg2x)}

_{sin = 1/(1+ctg) = tg/(1+tg)}

_{cos = 1/(1+tg) = ctg / (1+ctg)}

_{ctg2 = (ctg-1)/ 2ctg}

_{sin3 = 3sin -4sin = 3cossin-sin}

_{cos3 = 4cos-3 cos=}

_{= cos-3cossin}

_{tg3 = (3tg-tg)/(1-3tg)}

_{ctg3 = (ctg-3ctg)/(3ctg-1)}

_{sin /2 = ((1-cos)/2)}

_{cos /2 = ((1+cos)/2)}

_{tg/2 = ((1-cos)/(1+cos))=}

_{sin/(1+cos)=(1-cos)/sin}

_{ctg/2 = ((1+cos)/(1-cos))=}

_{sin/(1-cos)= (1+cos)/sin}

_{sin(arcsin ) = }

_{cos( arccos ) = }

_{tg ( arctg ) = }

_{ctg ( arcctg ) = }

_{arcsin (sin) =  ;  [-/2 ; /2]}

_{arccos(cos ) =  ;   [0 ; ]}

_{arctg (tg ) =  ;  [-/2 ; /2]}

_{arcctg (ctg ) =  ;   [ 0 ; ]}

_{arcsin(sin)=}

_{1) - 2k; [-/2 +2k;/2+2k]}

_{2) (2k+1) - ; [/2+2k;3/2+2k]}

_{arccos (cos) =}

_{1) -2k ; [2k;(2k+1)]}

_{2) 2k- ; [(2k-1); 2k]}

_{arctg(tg)= -k}

_{(-/2 +k;/2+k)}

_{arcctg(ctg) =  -k}

_{(k; (k+1))}

_{arcsin = -arcsin (-)= /2-arccos =}

_{= arctg /(1-)}

_{arccos = -arccos(-)=/2-arcsin =}

_{= arc ctg/(1-)}

_{arctg =-arctg(-) = /2 -arcctg =}

_{= arcsin /(1+)}

_{arc ctg  = -arc cctg(-) =}

_{= arc cos /(1-)}

_{arctg  = arc ctg1/ =}

_{= arcsin /(1+)= arccos1/(1+)}

_{arcsin  + arccos = /2}

_{arcctg  + arctg = /2}

Тригонометрические уравнения

sin x = m ; |m|  1

x = (-1)ⁿ arcsin m + k, k Z

sin x =1 sin x = 0

x = /2 + 2k x = k

sin x = -1

x = -/2 + 2 k

cos x = m; |m|  1

x =  arccos m + 2k

cos x = 1 cos x = 0

x = 2k x = /2+k

cos x = -1

x = + 2k

tg x = m

x = arctg m + k

ctg x = m

x = arcctg m +k

sin x/2 = 2t/(1+t²); t - tg

cos x/2 = (1-t)/(1+t)

Показательные уравнения.

Неравенства: Если a^f(x)>(<) a^а(ч)

1) a>1, то знак не меняеться.

2) a<1>

Логарифмы : неравенства:

log_af(x) >(<) log _a (x)

1. a>1, то : f(x) >0

(x)>0

f(x)>(x)

2. 00

(x)>0

f(x)<(x)

3. log _f(x) (x) = a

ОДЗ: (x) > 0

f(x) >0

f(x )  1

Тригонометрия:

1. Разложение на множители:

sin 2x - 3 cos x = 0

2sin x cos x -3 cos x = 0

cos x(2 sin x - 3) = 0

....

2. Решения заменой ....

3.

sin x - sin 2x + 3 cos x =2

sin x - 2 sin x cos x + 3 cos  x = 2 sin x + cos x

Дальше пишеться если sin x = 0, то и cos x = 0,

а такое невозможно, => можно поделить на cos x

Тригонометрические нер-ва :

sin   m

2k+₁    ₂+ 2k

2k+₂   (₁+2)+ 2k

Пример:

I cos (/8+x) < 3/2

k+ 5/6< /8 +x< 7/6 + 2k

2k+ 17/24 < x< /24+2k;;;;

II sin   1/2

2k +5/6  13/6 + 2k

cos  () m

2k + ₁ < < ₂+2 k

2k+₂< < (₁+2) + 2k

cos   - 2/2

2k+5/4  11/4 +2k

tg () m

k+ arctg m  arctg m + k

ctg () m

k+arcctg m < < +k

Производная:

(xⁿ)^’ = n x^n-1

(a^x)’ = a^x ln a

(lg a^x )’= 1/(xln a)

(sin x)’ = cos x

(cos x)’ = -sin x

(tg x)’ = 1/cos x

(ctg x)’ = - 1/sinx

(arcsin x)’ = 1/ (1-x)

(arccos x)’ = - 1/ (1-x)

(arctg x)’ = 1/ (1+x)

(arcctg x)’ = - 1/ (1+x)

Св-ва:

(u  v)’ = u’v + uv’

(u/v)’ = (u’v - uv’)/ v

Уравнение касательной к граф.

y = f(x₀)+ f ’(x₀)(x-x₀)

уравнение к касательной к графику в точке x

1. Найти производную

2. Угловой коофициент k =

= производная в данной точке x

3. Подставим X₀, f(x₀), f ‘ (x₀), выразим х

Интегралы :

 xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + c

 a^x dx = ax/ln a + c

 e^x dx = e^x + c

 cos x dx = sin x + cos

 sin x dx = - cos x + c

 1/x dx = ln|x| + c

 1/cos x = tg x + c

 1/sin x = - ctg x + c

 1/(1-x) dx = arcsin x +c

 1/(1-x) dx = - arccos x +c

 1/1+ x dx = arctg x + c

 1/1+ x dx = - arcctg x + c

Площадь криволенейной трапеции.

Геометрия

Треугольники

 +  +  =180

Теорема синусов

a = b+c - 2bc cos 

b = a+c - 2ac cos 

c = a + b - 2ab cos 

Медиана дели треуг. на два равновеликих. Медиана делит

противопол. сторону напополам.

Биссектриса - угол.

Высота падает на пр. сторону

под прямым углом.

Формула Герона :

p=(a+b+c)

_____________

S = p(p-a)(p-b)(p-c)

S = ab sin 

S_равн.=(a3)/4

S = bh/2

S=abc/4R

S=pr

Трапеция.

S = (a+b)/2 h

Круг

S= R

S_{сектора}=(R)/360

Стереометрия

Параллепипед

V=S_оснР

Прямоугольный

V=abc

Пирамида

V =1/3S_осн.H

S_полн.= S_бок.+ S_осн.

Усеченная :

H . _____

V = 3 (S₁+S₂+S₁S₂)

S₁ и S₂ — площади осн.

S_полн.=S_бок.+S₁+S₂

Конус

V=1/3 RH

S_бок. =Rl

S_бок.= R(R+1)

Усеченный

S_бок.= l(R₁+R₂)

V=1/3H(R₁²+R₁R₂+R₂²)

Призма

V=S_осн.H

прямая: S_бок.=P_осн.H

S_полн.=S_бок+2S_осн.

наклонная :

S_бок.=P_псa

V = S_псa, а -бок. ребро.

P_пс — периметр

S_пс — пл. перпенд. сечения

Цилиндр.

V=RH ; S_бок.= 2RH

S_полн.=2R(H+R)

S_бок.= 2RH

Сфера и шар .

V = 4/3 R - шар

S = 4R - сфера

Шаровой сектор

V = 2/3 RH

H - высота сегм.

Шаровой сегмент

V=H(R-H/3)

S=2RH

град

0

30

45

60

90

120

135

180



-/2

-/3

-/4

-/6

0

/6

/4

/3

/2

2/3

3/4

3/6



sin

-1

-3/2

-2/2

- 

0



2/2

3/2

1

- 

0

cos

1

3/2

2/2



0

- 

-2/2

- 3/2

-1

tg



-3

-1

-1/3

0

1/3

1

3



-3

-1

0

ctg

---

3

1

1/3

0

-1/3

-1

--

n	2	3	4	5	6	7	8	9
2	4	9	16	25	36	49	64	81
3	8	27	64	125	216	343	512	729
4	16	81	256	625	1296	2401	4096	6561
5	32	243	1024	3125	7776	16807	32768	59049
6	64	729	4096	15625	46656
7	128	2181
8	256	6561

	-	-	+	/2-	/2+	3/2 - 	3/2+
sin	-sin	sin	-sin	cos	cos	-cos	-cos
cos	cos	-cos	-cos	sin	-sin	-sin	sin
tg	-tg	-tg	tg	ctg	-ctg	ctg	-ctg
ctg	-ctg	-ctg	ctg	tg	-tg	tg	-tg

Файл придуман и сделан Денисом Павлюком (C). Коммерческое распространение не приветствуется без моего согласия и запрещается. Все предыдущие ошибки исправлены. Успешно тестировано в МАИ.  Mizz@ru..ru , mizz@windoms.sitek.net, Denis_Pavluik@p944.f975.n5020.z2.fidonet.org , 2:5020/975.944@Fidonet