Фирсов Дмитрий 441
№368В
Отобразить
верхнюю половину плоскосто сразрезами
по отрезкам
на верхнюю полуплоскость.
Решение:
Отображение
отображает верхнюю полуплоскость с
разрезами на верхнюю полуплоскость без
разрезов (под операцией взятия в
квадратные скобки надо пономать взятие
целой части от числа). Докажем это:
Рассмотрим
отображение
из полосы
полуплоскости сразрезами в полуплоскость
без разрезов.
(*)
совершенно очевидно ,что в нашем случае
.
То есть, мы получаем верхнюю полуплоскость
без действительной оси. Рассмотрим
образ луча
.
Подставляя в формулу (*) значения z на
луче мы получим в образе луч, лежащий
на действительной оси
.
В результате мы получили, что образом
полосы
(1)
является
.
Если на полосу
плоскости без разреза подействовать
отображением sin(Z) то в образе получим
такое множество
(2).
Применив отображение
к полосе(1) с разрезом в образе получим
множество (2). Поэтому функция
отображает полосу
с разрезом в полосу
без разреза. Продолжим эту функцию на
всю полуплоскость с разрезами. Рассмотрим
функцию
заданную в полосе
с разрезом. Функция
отображает эту полосу на полосу
без разреза. И тогда отображение
отображает полосу
без разреза. Проверим является ли функция
аналитическим продолжением функции
.
Для этого применим теорему:
Теорема.
Пусть
функция
аналитична в области
и функция
аналитична в области
.
И области
и
имеют общий фрагмент граници
.
Если функции на
совпадают то функция
является аналитическим продолжением
функции
в область
.
Естественно
функции
и
совпадают на луче
.
Поэтому функция
является аналитическом продолжением
функции
на полосу
.
Совершенно аналогично мы можем продолжмть
функцию на всю верхнюю полуплоскость
с вырезами. И в результате получим
функцию:
отображающую верхнюю полуплоскость с
вырезами на верхнюю полуплоскость без
вырезов.