Вход

Свойства усредненной функции с сильной осцилляцией

Дипломная работа по математике
Дата добавления: 12 января 2003
Язык диплома: Русский
Word, rtf, 2.3 Мб (архив zip, 132 кб)
Диплом можно скачать бесплатно
Скачать
Не подходит данная работа?
Вы можете заказать написание любой учебной работы на любую тему.
Заказать новую работу



Министерство образования Российской Федерации

Башкирский государственный педагогический университет



Кафедра математического анализа







Дипломная квалификационная работа

Автор: Гарипов Ильгиз.

Тема: Свойства усредненной функции с сильной осцилляцией.









К защите допущен ____________

Заведующий кафедрой к.ф. м. н. доцент Сафаров Т.Г.

Руководитель д.физ-мат. наук. профессор Султанаев Я.Т.





Уфа 200

1Содержание

Стр.

Введение 3

§ 1 Свойства функции . 4

§ 2 Свойства функции и ее производных. 5

2.1 5

2.2 6

2.3 где >0 7

2.4 9

§ 3 Поведение 11

3.1 11

3.2 11

3.3 12

3.4 13

§ 4 Поведение 14

4.1 14

4.2 15

4.3 15

4.4 16

Заключение 17

Литература 18




Введение

Пусть произвольная функция, определенная на , и при

Введем в рассмотрение функцию с помощью следующего равенства:

(1)

Назовем эту функцию усреднением функции

Это название оправдано так как из (1) и теоремы о среднем для интегралов можем заключить

§ 2 Свойства функции .

  1. Если , при , то при
    Доказательство:
    , ,  N >0, :


  1. (2)


  1. (3)

Дифференцируя формулу (1) по dx получаем

(4)

(5)


§ 2 Свойства функции и ее производных.

I) Рассмотрим вид функции для случаев когда :

2.1

2.2


2.3 где >0;

Разделим интеграл на два интеграла и вычислим их отдельно.


Второй интеграл не оказывает влияния на первый, так как при функция стремится к 0.

Доказательство:

Рассматривая второй интеграл, мы получаем:




Рассматривая первый интеграл, получаем:

Последние два слагаемых полученных при интегрировании содержат в произведении , то есть при возрастании x эти слагаемые будут очень быстро уменьшатся и весь интеграл при становится очень малым по сравнению с первой частью. Поэтому можно считать что при

Следовательно:


2.4.

Наложить на ограничение, такое чтобы присутствие не влияло на поведение функции.

Рассматривая полученное выражение можно заметить что

становится пренебрежительно малым по отношению к остальной части

как только . Ограничение №1

В тоже время

Становится бесконечно малым как только . Ограничение №2

Раскрывая в оставшейся части скобки, по Биному Ньютона получаем, что

должен быть очень малым при то есть

так как ограниченная функция, к 0 должен стремится .

Ограничение №3

Учитывая ограничения 1, 2, 3 получаем:

Следовательно, ограничение на удовлетворяющее поставленной задаче, при котором присутствие не влияет на поведение функции .


§ 3 Рассмотрим поведение функции для случаев:

3.1)

3.2)


3.3)

Вычислим отдельно интегральное выражение, стоящее в числителе:

=

=

рассматривая пределы при видим что на поведение функции оказывает влияние только главный член

Поведение данной функции при эквивалентно поведению функции

(*)

Вычислим интеграл в знаменателе:

=

(**)

Учитывая (*)и (**) получаем

Следовательно, по формуле (2) получаем


3.4

Отдельно вычислим числитель и знаменатель:

По ранее доказанному в пункте 2.4 мы можем сказать что второй интеграл не оказывает влияния на поведение функции. Поэтому мы можем утверждать, что числитель эквивалентен выражению:

Вычислим знаменатель:

Разделив интеграл на 2 интеграла, мы получаем:

По пункту 2.4 можем вывести что второй интеграл не влияет на поведение функции при

Следовательно, знаменатель:


§4. Рассмотрим поведение второй производной

Для облегчения вычислений введем обозначения:

При этом формула для примет вид (6)

4.1

Виду того, что d(x) очень мал то будет несравним с d(x) т.е.


4.2

используя равенства, полученные в пункте 2.2 и 3.2, преобразуя данное равенство, приходим к выражению:

(Все выкладки приводить не буду в виду их громоздкости и сложности для восприятия. Добавлю только что все выкладки, примененные в данном пункте полностью повторяют ограничения и эквивалентные выражения, использованные в пунктах 2.2 и 3.2).

Отсюда следует что


4.3

Используя данные, полученные в п.3.3 получаем что

Возвращаясь к п. 3.3 находим:

Вычисляя по формуле 6, получаем:

и


4.4

и



Заключение

В результате проведенного исследования поведения усредненной функции в случае осциллирующих коэфициентов, получены данные приведенные в следующей таблице:

© Рефератбанк, 2002 - 2017