Свойства конических сечений

Введение

Основной задачей данной курсовой работы является изучение, нахождение и доказательство свойств конических сечений. Но не одно из свойств, по моему мнению, не является существенным, если оно не находит применения либо в доказательстве более важных теорем, либо не имеет практического значения в других дисциплинах. Поэтому второй, но не менее важной для меня задачей, было нахождение применения вышеуказанных свойств. Этим я хотела показать актуальность темы данной курсовой работы, т.е. то, что свойства конических сечений имеют большое значение не только в математике, но и для развития других дисциплин.

Курсовая работа состоит из введения, шести параграфов и заключения.

В первом параграфе приводится краткая история происхождения названий эллипса, гиперболы и параболы.

Во втором параграфе даётся общее понятие конического сечения и доказательство того утверждения, что эллипс, гипербола и парабола являются коническими сечениями с помощью сфер Данделена.

В третьем, четвёртом и пятом параграфах приводятся определения эллипса, гиперболы и параболы соответственно, а также даются основные понятия, связанные с ними. Далее доказываются свойства данных конических сечений.

В шестом параграфе показывается практическое значение вышеуказанных свойств, а также их применение.

• 1. Происхождение названий эллипса, гиперболы и параболы

Назовём главной хордой эллипса, гиперболы и параболы ту хорду, которая проходит через фокус перпендикулярно к фокальной оси. У эллипса и гиперболы, в отличие от параболы, по две главные хорды. Длину половины главной хорды будем обозначать буквой р и называть фокальным параметром конического сечения.

Для любой точки М конического сечения построим прямоугольник АВСD (высота которого равна главной хорде) и квадрат NMEH (рис. 1,2,3).

Ниже, мы увидим, что для эллипса квадрат имеет меньшую площадь, чем прямоугольник, т.е. этот квадрат имеет недостаток (elleipsis). Для гиперболы же квадрат имеет большую площадь, чем прямоугольник, т.е. имеет избыток (hyperbole). Для параболы эти прямоугольник и квадрат имеют одинаковую площадь, а построение прямоугольника с заданной стороной, равновеликого данному квадрату, древние греки называли "прикладыванием данного отрезка к квадрату". Слово

"прикладывание" по-гречески – parabole – отсюда и происхождение названия кривой. Эти факты, известные ещё Аполлонию, послужили основой для названий данных кривых.

• 

• 2. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения.

Древнегреческий математик Менехм, открывший эллипс, гиперболу и параболу, определял их как сечения кругового конуса плоскостью, перпендикулярной к одной из образующих. Он назвал полученные кривые сечениями остроугольного, прямоугольного и тупоугольного конусов, в зависимости от осевого угла конуса. Первое, как мы увидим ниже, представляет собой эллипс, второе – параболу, третье – одну ветвь гиперболы. Названия "эллипс", "гипербола" и "парабола" были введены Аполлонием. До нас дошло почти полностью (7 из 8 книг) сочинение Аполлония "О конических сечениях". В этом сочинении Аполлоний рассматривает обе полы конуса и пересекает конус плоскостями, не обязательно перпендикулярными к одной из образующей.

Теорема. Сечением любого прямого круглого конуса плоскостью (не проходящей через его вершину) определяется кривая, которая может быть лишь гиперболой (рис. 4), параболой (рис. 5) или эллипсом (рис. 6). При этом, если плоскость пересекает только одну плоскость конуса и по замкнутой кривой, то эта кривая есть эллипс; если плоскость пересекает только одну плоскость по незамкнутой кривой,

то эта кривая – парабола; если секущая плоскость пересекает обе плоскости конуса, то в сечении образуется гипербола.

Изящное доказательство этой теоремы было предложено в 1822 году бельгийским инженером Данделеном, использовавшим сферы, которые принято теперь называть сферами Данделена.

Рассмотрим это доказательство применительно к эллипсу (случай с гиперболой и параболой доказывается аналогично).

Впишем в конус две сферы, касающиеся плоскости сечения П с разных сторон (рис. 7). Обозначим через F1 и F2 точки касания этой плоскости со сферами. Возьмём на линии сечения конуса плоскостью П произвольную точку М. Отметим на образующей конуса, проходящей через М, точки Р1 и Р2, лежащие на окружности к1 и к2, по которым сферы касаются конуса. Ясно, что МF1=МР1 как отрезки двух касательных к первой сфере,

выходящих из М; аналогично, МF2=МР2. Следовательно, МF1+МF2=МР1+МР2=Р1Р2.

Длина отрезка Р1Р2 – одна и та же для всех точек М нашего сечения: это – образующая усечённого конуса, ограниченного параллельными плоскостями 1 и 11, в которых лежат окружности к1 и к2. Следовательно, линия сечения конуса плоскостью П – эллипс с фокусами F1 и F2.

Справедливость этой теоремы также можно установить исходя из того общего положения, что пересечение поверхности второго порядка плоскостью, есть линия второго порядка

• 3. Эллипс, его определение, основные понятия и свойства

Эллипсом называют геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина; требуется, чтобы эта постоянная была больше расстояния между фокусами (см. рис. 8.).

Если М – произвольная точка эллипса с фокусами F1 и F2, то отрезки F1M и F2M (также как и длины этих отрезков) называют фокальными радиусами точки М. Постоянную сумму фокальных радиусов принято обозначать через 2а. Таким образом, для любой точки М эллипса имеем:

F1М+F2М=2а

Расстояние F1F2 между фокусами обозначают через 2с. Так как

F1М+F2М>F1F2, то

2а>2с, т.е. а>c.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

(1) , где

, а и b – большая и малая полуоси эллипса (а>0, b>0), х и у – текущие координаты точек эллипса.

Каноническое уравнение эллипса есть уравнение второй степени; таким образом, эллипс есть линия второго порядка.

Эллипс, определяемый уравнением (1), симметричен как относительно оси Ох, так и относительно оси Оу. В самом деле, если М(х, у) – какая-нибудь точка этого эллипса, т.е. числа х, у удовлетворяют уравнению (1), то числа х, -у также удовлетворяют уравнению (1), следовательно, точка М1(х, -у) также лежит на этом эллипсе. Но точка М1(х, -у) симметрична точке М(х, у) относительно оси Ох. А это означает, что эллипс симметричен относительно данной оси. Симметричность рассматриваемого эллипса относительно оси Оу доказывается совершенно аналогично (на основании того, что числа х, у удовлетворяют уравнению (1), то ему удовлетворяют и числа -х, у).

Также выводится то, что эллипс симметричен относительно начала координат ( на основании того, что если числа х, у удовлетворяют уравнению (1), то ему удовлетворяют числа –х, -у; и что если числа –х, у удовлетворяют уравнению (1), то ему удовлетворяют и числа х, -у).

Оси симметрии эллипса обычно называют его осями, а точку пересечения осей центром эллипса. Точки, в которых эллипс пересекает свои оси, называют его вершинами (на рис. 8 точки А1(а,0), А2(-а,0), В1(0,b), В2(0,-b) – вершины эллипса).

В частном случае, когда b=а, уравнение (1) примет вид: х²+у²=а²; такое уравнение определяет окружность радиуса а (с центром в начале координат). В соответствии с этим окружность рассматривается как частный случай эллипса.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси, обозначив эксцентриситет буквой Е, получим:

Так как с<а, то Е<1, т.е. эксцентриситет любого эллипса меньше единицы.

Заметим, что ; поэтому,

отсюда и .

Следовательно, эксцентриситет определяется отношением осей эллипса, а отношение осей в свою очередь, определяется эксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет характеризует форму эллипса. Чем ближе эксцентриситет к 1, тем меньше 1-Е², тем меньше, следовательно, отношение

; значит, чем больше эксцентриситет, тем более эллипс вытянут. В случае

окружности b=а и Е=0.

Предположим, что рассматриваемый эллипс не является окружностью, т.е.,

что и, следовательно, . Предположим ещё, что этот эллипс

вытянут в направлении оси Ох, т. е., что а>b.

Две прямые, перпендикулярные большой оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него называются директрисами.

Уравнения директрис: и . (на рис. 8 это d1 и d2).

Свойство 1. (Оптическое свойство эллипса).

Всякая касательная к эллипсу образует равные углы с фокальными радиусами, проведёнными в точку касания. Это утверждение означает, что на рис. 9 угол F₁BT₁ равен углу F₂BT₂ (или, все лучи, выходящие из фокуса F1, отражаясь от эллипса, соберутся в другом его фокусе F2).

Для доказательства построим зеркальное изображение точки F2 относительно касательной и обозначим его F2'. Прямая F1F2', которая пересекается с касательной в некоторой точке В1, есть кратчайшее расстояние от F1 и F2'. Следовательно, F1В1F2 есть кратчайший путь от F1 к F2, имеющий общую точку с касательной, ибо для всякой иной точки В2 касательной F1B2F2=F1В2F2' будет больше, чем F1B1F2=F1В1F2'. С другой стороны

кратчайший путь между F1 и F2,

имеющий общую точку с касательной, образуют фокальные радиусы, проведённые в точку касания В, ибо всякая другая точка касательной, как расположенная вне эллипса, имеет большую сумму расстояний от фокусов, чем точка В эллипса;

значит, точки В и В1 совпадают,

а отсюда вытекает искомое утверждение, т.к. треугольник F2ВТ0 равен треугольнику F2'ВТ0 по двум катетам (т.к. F2 и F2' расположены симметрично относительно прямой Т1Т2, значит ВТ0F2=90^о и ВТ0F2'=90^о, Т0F2= Т0F2', ВТ₀ – общая сторона), а угол F₁BT₁ есть вертикальный угол для угла F2'ВF2, в итоге получаем, что угол F₁BT₁ равен углу F2'BT₂ и равен углу F₂BT₂.

Свойство доказано.

Свойство 2. Если r – расстояние от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому

фокусу директрисы, то отношение есть постоянная величина и равна эксцентриситету Е. (рис. 10).

Доказательство. Предположим для определённости, что речь идёт о правом

фокусе и правой директрисе. Пусть точка М(х,у) – произвольная точка эллипса. Расстояние от точки М до правой директрисы выражается равенством:

(2) ,

которое легко рассматривается из чертежа. Расстояние от точки М до правого фокуса задаётся как

r=Ex - a (3).

Из соотношений (2) и (3) имеем:

Свойство доказано.

Свойство 3. Если d – прямая, содержащая большую полуось эллипса, то при равномерном сжатии к прямой d, данный эллипс преобразуется в новый, с эксцентриситетом Е', причём Е'>Е и Е'= , где к – коэффициент сжатия (т.е. 0<к>#

Доказательство. Рассмотрим два эллипса (рис. 11) и найдём зависимость их эксцентриситетов от степени сжатия.

, с²=а² – в² , откуда и (4). А так как сжатие происходит к прямой d, то b'=кb и а'=а,

следственно с^2'=а² – (k*b)² и ' (5) . Но 0<к<1, поэтому

, а , откуда

и следственно получаем, что

Е'>Е.

Теперь найдём зависимость

Е' от Е. Из уравнения (4)

найдём

и, подставив данное значение

в уравнение (5), вычислим

значение Е':

' .

Свойство доказано.

• 4. Гипербола, её определение, основные понятия и свойства

  Y

Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютное значение разности расстояний каждой из которых до данных точек F1 и F2 равно 2а, причём 2а

Точки F1,F2 называют фокусами гиперболы, а расстояния F1М=r1 и F2М=r2 называют фокальными радиусами точки М гиперболы.

|F1М - F2М|=2а.

Т.к. по определению гиперболы

F1М - F2М

и F2М – F1М

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

(6), где а – действительная полуось, в – мнимая полуось

(b²= с² – а²), х и у – текущие координаты гиперболы. Точки А1 и А2 – точки пересечения гиперболы с осью Ох, называют вершинами гиперболы.

Прямые и называют асимптотами гиперболы.

Эксцентриситетом гиперболы называют отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к расстоянию между её вершинами; обозначив эксцентриситет буквой Е, получим:

Так как для гиперболы с>а, то Е>1, т.е. эксцентриситет каждой гиперболы больше единицы, заметив, что с²= а² + b², находим

, отсюда и

Следовательно, эксцентриситет определяется отношением осей эллипса, а отношение осей в свою очередь, определяется эксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет гиперболы характеризует форму её основного прямоугольника, а значит и форму самой гиперболы. Чем ближе эксцентриситет

к единице, тем меньше Е²-1, тем меньше, следовательно, отношение ; значит, чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем более вытянут её основной

прямоугольник (в направлении оси, соединяющей вершины). В случае равносторонней гиперболы b=а и Е= .

и - директрисы гиперболы.

Фокальные радиусы точки М гиперболы r1 и r2 выражаются через абсциссу точки М(х,у) гиперболы:

1) при x>0: r1=Ex – a r2=Ex + a правая ветвь.

2) при x<0: r1= - Ex + a r2= - Ex - a левая ветвь.

Займёмся исследованием гиперболы, определённой уравнением:

(6)

Так как уравнение (6) содержит члены только с чётными степенями каждой из текущих координат х, у, то определяемая ими гипербола симметрична относительно каждой из координатных осей. Оси симметрии гиперболы называют обычно просто её осями, точку пересечения осей – центром гиперболы. Прямоугольник со сторонами 2а и 2b, расположенный симметрично осей гиперболы и касающийся её в вершинах, мы будем называть основным прямоугольником гиперболы. Диагонали основного прямоугольника совпадают с её асимптотами.

Рассмотрим другое уравнение гиперболы:

( 7)

При помощи перестановки букв х и у, а и в оно сводится к уравнению (6). Отсюда ясно, что уравнение (7) определяет гиперболу, расположенную так, как показано на рис. 13 (её вершины В1 и В2 лежат на оси Оу). Уравнение (7) также называют каноническим уравнением гиперболы. А две гиперболы, которые определяются уравнениями (6) и (7) в одной и той же системе

координат и при одних и тех же значениях а и в называют сопряжёнными друг с другом.

Гипербола с равными полуосями (а=b) называется равносторонней. Её каноническое уравнение имеет вид: х² – у²=а². Очевидно, что основной прямоугольник равносторонней гиперболы есть квадрат; отсюда ясно, что асимптоты равносторонней гиперболы перпендикулярны друг другу.

Свойство 1. (Оптическое свойство гиперболы).

Всякая касательная к гиперболе составляет равные углы с фокальными радиусами в точке касания (или, лучи, выходящие из одного фокуса, отражаясь от гиперболы, будут расходиться таким образом, что кажутся выходящими из второго фокуса).(рис. 14)

Доказательство. Возьмём на гиперболе две очень близкие точки М и М1, и пусть Р – точка пересечения прямых F1М и F2М1, Q – точка пересечения прямых F1М1 и F2М. Рассмотрим четырёхугольник М1РМQ (рис. 15). Мы можем считать (приблизительно), что |РМ1| || |МQ| и |РМ| || |М1Q|, так как точки F1 и F2 находятся очень далеко – сравнительно с размерами четырёхугольника М1РМQ.

Итак, будем считать (приближённо), что М1РМQ параллелограмм. Проведём

теперь окружности с центрами F1 и F2, проходящие через точку М1. Вблизи рассматриваемого параллелограмма дуги этих окружностей будут представляться прямыми М1К и М1L, перпендикулярными сторонами параллелограмма. Мы имеем:

|F1М|-|F2М|=(|F1К|+|КМ|)-(|F2L|+|LM|)=(|F1M1|+|KM|)-(|F2M1|+|LM|)=(|F1M1|-|F2M1|)+(|KM|-|LM|).

Но так как обе точки М и М1 лежат на гиперболе, то |F1M|-|F2M|=|F1M1|-|F2M1|, и поэтому |KM|=|LM|. Полученное равенство означает, что прямоугольные треугольники КММ1 и LMM1 равны (по гипотенузе и катету), и, следовательно, угол 1 равен углу 2. Свойство доказано.

Свойство 2. Директриса гиперболы проходит через основание перпендикуляра, опущенного из соответствующего фокуса на асимптоту гиперболы (рис. 16).

Доказательство. Рассмотрим одну ветвь гиперболы (если свойство справедливо для одной ветви, то оно справедливо и для другой, по свойству симметричности гиперболы относительно оси Оу). F1 – соответствующий ей фокус, d –

директриса. И докажем, что директриса проходит через точку S.

Найдём уравнение отрезка F1S как уравнение прямой, заданной точкой F1(с,0) и вектором нормали (как вектор нормали возьмём соответствующую асимптоту, т.к. по условию свойства F1S перпендикуляр к асимптоте). А т.к. асимптота имеет уравнение , то в формуле А(х-х0)+В(у-у0)=0, А=а, и В=b. Получим уравнение отрезка F1S : а(х-с)+b(у-0)=0 или .

Далее найдём точку пересечения отрезка F1S и асимптоты, для этого приравняем уравнение данного отрезка к уравнению асимптоты :

, но как знаменатель, тогда получим

, но для гиперболы

Получаем, что точка пересечения F1S и асимптоты имеет абсциссу , но директрисса имеет тоже уравнение , получаем что директриса проходит через точку S, т.е. она

проходит через основание перпендикуляра, опущенного из фокуса гиперболы на соответствующую асимптоту.

Свойство доказано.

Свойство 3.

Отрезок асимптоты, заключённый между центром гиперболы и соответствующей директрисой равен действительной полуоси, а расстояние от

фокуса гиперболы до её асимптоты равно мнимой полуоси (т.е., что на рис. 17 F1S=b и ОS=а).

Доказательство.

Докажем для начала первую гипотезу

(т.е., что F1S=а). Точка S имеет абсциссу ( по доказанному в

свойстве 2), теперь найдём её ординату.

Т.к. S принадлежит асимптоте, то её ордината удовлетворяет её уравнению:

получаем, что точка S имеет координаты ( , ).

По формуле расстояния между двумя точками найдём длину отрезка ОS:

Но а>0 поэтому ОS=а.

Отрезок F1S можно найти как катет прямоугольного треугольника ОSF1 (угол ОSF1 равен 90 градусам т.к. SF1 – перпендикуляр к асимптоте, к которой принадлежит отрезок ОS), т.е. F1S²= ОF1²- ОS²=с²-а²=b², откуда F1S=b. Или же по аналогии с вышедоказанным по формуле нахождения длины отрезка:

Но т.к. расчёты ведутся по поиску длины отрезка, а длина отрезка всегда неотрицательна, то F1S=b.

Свойство доказано.

• 5. Парабола, её определение, основные понятия и свойства

Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой (предполагается, что эта прямая не проходит через фокус).

Фокус параболы принято обозначать буквой F (рис. 18), расстояние от фокуса до директрисы – буквой р. Величину р называют параметром параболы.

Возьмём на плоскости произвольную точку М и обозначим её координаты через х и у. Обозначим далее через r расстояние от точки М до фокуса (r=FM), через d – расстояние от точки М до директрисы. Точка М будет находится на (данной) параболе в том и только в том случае, когда r=d. (8)

Заметим, что фокус F имеет координаты

( ;0).

Каноническое уравнение параболы имеет вид: у²=2рх. (9)

у= и у=- (10)

Уравнение (9), определяющее параболу в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, парабола есть линия второго порядка.

Так как уравнение (9) включает у только в чётной степени, то парабола, которую оно определяет, симметрична относительно оси Ох. Ось симметрии параболы называется просто её осью (в данном случае она совмещена с осью Ох). Точка, в котрой парабола пересекает свою ось называется её вершиной (в

данном случае вершина совпадает с началом координат). Число р, т.е. параметр параболы, выражает расстояние от фокуса до директрисы. Чем больше р, тем больше удаляется парабола от оси своей симметрии. Для построения параболы надо найти 4 вспомогательные точки:

1)х= , у²=2р =р², следовательно у=р и у= - р. Получаем две точки М₁( ;р) и

М1'( ; - р);

2)х=2р, у²=4р², следовательно у=2р и у= - 2р.Получаем две точки М₂(2р;2р) и

М2'(2р; - 2р);

При отрицательных значениях х уравнение (10) даёт мнимые значения у. Следовательно, левее оси Оу ни одной точки параболы нет. При х=0 получаем у=0. Таким образром, начало координат лежит на параболе и является самой "левой" её точкой.

Директориальное свойствопараболы заключается в том, что расстояния от произвольной точки до фокуса и до директрисы равны ( это можно увидеть из уравнения (8)), поэтому их отношение всегда равно 1. А значит и эксцентриситет параболы всегда равен 1, т.е. Е=1.

Уравнение у²=-2рх (11) (при положительном р) сводится к уравнению у²=2рх путём замены х на –х. Отсюда следует, что уравнение (11) также определяет параболу, ось которой совмещена с осью Ох, а вершина с началом координат (см рис. 19).

По аналогии с предыдущим, мы можем утверждать, что каждое из уравнений х²=2ру и х²=-2ру, где (р>0), определяет параболу с вершиной в начале координат, расположенную симметрично относительно оси Оу (эти уравнения, как и уравнения (9) и (11), называют каноническими). Параболу, определяемую уравнением х²=2ру, мы будем называть восходящей (рис. 20), определяемую уравнением х²=-2ру, - нисходящей (рис. 21).

Свойство 1. (Фокальное свойство параболы).

Расстояние от любой точки параболы до середины главной хорды равно её расстоянию до директрисы.

Доказательство.

Точка F – точка пересечения прямой QR и главной хорды (см рис. 22). Эта точка лежит на оси симметрии Оу. Действительно, треугольники RNQ и ROF равны, как прямоугольные

треугольники с раными катетами (NQ=OF, OR=RN). Поэтому какую бы точку N мы не взяли, построенная по ней прямая QR пересечёт главную хорду в её середине F. Теперь ясно, что треугольник FMQ – равнобедренный. Действительно, отрезок MR является одновременно и медианой и высотой этого треугольника. Отсюда следует, что MF=MQ.

Свойство 2. (Оптическое свойство параболы).

Всякая касательная к параболе составляет равные углы с фокальным радиусом, проведённым в точку касания, и лучом, прходящим из точки касания и сонаправленным с осью (или, лучи, выходящие из единственного фокуса, отражаясь от параболы, пойдут параллельно оси (рис.23)).

Доказательство. Для точки N, лежащей на самой параболе справедливо равенство |FN|=|NH|, а для точки N', лежащей во внутренней области параболы, |FN'|<|N'H'|. Если теперь провести биссектрису l угла FМК, то для любой отличной от М точки M' прямой l найдём:

|FM'|=|M'K'|>|M'K'|, то есть точка M' лежит во внешней области параболы. Итак, вся прямая l, кроме точки М, лежит во внешней области, то есть внутренняя область параболы лежит по одну сторону

от l, а это означает, что l – касательная к параболе. Это даёт доказательство оптического свойства параболы: угол 1 равен углу 2, так как l – биссектриса угла FМК.

• 6. Практическое применение свойств конических сечений

Теперь рассмотрим некоторые оптичекие и механические интрепретации оптических свойств конических сечений. Предположим, что эллипс представляет собой (зеркальную кривую), от которой луч света отражается по звакону "угол падения равен углу отражения".

Если в одном фокусе такого зеркального эллипса помещен точечный источник света, то после отражения от стенок эллипса все лучи пройдут через второй фокус, - это является непосрдественным следствием оптического свойства (рис. 24).Описанное явление можно

наблюдать реально, в трехмерном пространстве. Для этого нужно взять поверхность, получающуюся вращенеием эллипса вокруг прямой, проходящей через его фокусы. Если такую поверхность, называемую эллипсоидом вращения, покрыть изнутри зеральным слоем, а в одном из фокусов поместить точеченый источник света ("солнце"), то наблюдатель, находящийся внутри эллипсоида , увидит два "солнца". В самом деле, обратив взгляд к первому фокусу, наблюдатель непосредственно увидит размещённое там "солнце". Но и, посмотрев в направлении второго фокуса (где в действительности ничего нет), он также увидит "солнце". И как бы не перемещался наблюдатель внутри зеркального эллипсоида, на него почти везде будут светить два "солнца". Аналогичную картину можно наблюдать внутри зеркального гиперболоида вращения или параболоида вращения.

Но вот наблюдатель, находящийся внутри зеркального эллипсоида, решил принять меры, которые избавят его от "мнимого солнца", поместил во втором фокусе небольшое непрозрачное тело ("экран"), преграждающее путь отражённым лучам. Результат оказывается несколько неожиданным: теперь все лучи, исходящие от "солнца " F2, после отражения от зеркального эллипсоида собираются и ("фокусируются") на "экране" F1, и это может вызвать интенсивный его разогрев. И заметьте,для такой фокусировки не обязательно иметь целый зеркальный эллипсоид, а можно использывать лишь часть его поверхности. А что увидит "несгораемый" наблюдатель, оказавшийся во втором фокусе F1 зеркального эллипсоида, если в первый его фокус F2 поместить источник света? Все лучи, выходящие из точки F2 и отражающиеся от эллипсоида, попадают в точку F1. Таким образом, для наблюдателя весь эллипсоид будет светиться.

Если, например, изготовить зеркальный эллиптический торажатель, в одном фокусе которого находится Солнце, а в другом – котёл с водой, то можно добиться кипения воды в котле за счёт сфокусированного отражателем излучения Солнца.

Удивительного в этом ничего нет:

ведь отражатель имеет большую площадь, и со всей его поверхности солнечная энергия направляется на обогрев котла. Такие солнечные

установки уже сейчас имеют применение. А в будущем, может быть, удасться, построив огромный зеркальный отражатель, использовать энергию тех лучей, которые проходят мимо Земли (рис. 25).

Если считать солнечные лучи приблизительно паралельными, то для их фокусировки можно использовать оптическое свойство параболы.

Применяются параболические рефлекторы (отражатели) и в современных телескопах. Конечно, в этом случае свет далёкой заезды фокусируют не с целью разогрева, а для того, чтобы звезду можно было увидеть (например, чтобы собранного рефлектором света было достаточно для воздействия на фотоплёнку).

Если в солнечных установках и телескопах свет, идущий от далёкого источника (практически "из бесконечности "), собирается в фокусе, то в прожекторе – наоборот: свет от мощной лампы, помещённой в фокусе, после отражения от параболического рефлектора уходит паралельным пучком лучей. Если же лампу чуть отдалить от зеркала, то рефлектор действует наподобие эллиптического – получается "почти" сходящийся пучок лучей. Приближение же лампы к зеркалу даёт примерно такую же картину лучей, что в гиперболическом отражателе: лучи расходятся. Такие рефлекторы используются не только в прожекторах и автомобильных фарах, но и в проекционных аппаратах, обогревательных приборах, медицинских установках (лампах синего света, кварцевые ламп и др.).

Наконец, укажем ещё одно – на этот раз механическое – применение оптического свойства. На рис. 26 изображён эллипс Е1 и симметричный ему относительно касательной l эллипс Е2. Из чертежа видно, что точки А, М и С лежат на одной пряиой, причём

АС=АМ+МС=АМ+МВ, то есть расстояние между точками А и С равно большой оси эллипса. Закрепим теперь эллипсы в точках А и С так, чтобы они могли вращаться вокруг этих точек. Если вращать эллипс Е1 вокруг точки А, то для каждого его

положения существует точка М, в котрой эллипс пересекает отрезок АС; проведя в точке М касательную, найдём единственное соответствующее положение эллипса Е2. Иными словами, эллипс Е2 будет также вращаться (вокруг точки С), увлекаемый эллипсом Е1. На этом основано устройство эллиптической зубчатой передачи: она преобразует равномерное вращение эллипса Е1 вокруг точки А в неравномерное вращение эллипса Е2 вокруг точки С.

Приложение гиперболы в военном деле. Требуется определить на карте, как нужно направить орудие, чтобы поразить неприрывно звечащую цель,

например, стреляющее оружие противника (рис. 27).

По обе стороны орудия О располагают симметрично два пункта F1 и F2, в которых фиксируется время дошедшего до

них звука выстрела вражеского

орудия М. Пусть этот звук слышан в пункте F1 в момент t1, а в пенкте F2 – в момент t2. Если t1=t2, то, очевидно, F1М=F2М и орудие о следует направлять по перпендикуляру ОК к F1F2. Если же , то есть , где v – скорость

звука в воздухе, а 2а – разность расстояний от пунктов F1 и F2. Значит орудие находится на одной ветви гиперболы с фокусным расстоянием F1F2=2с и расстоянием между вершинами 2а=v , именно – на той ветви, которая ближе к пункту, где звук выстрела услышан раньше. Асимптоты этой гиперболы легко построить на карте: угол между асимптотой и прямой F1F2 имеет косинус: .

Так как далёкая точка М близка к асимптоте, мы можем практически принять cos L(MOF2)= и направить орудие под углом к F1F2.

Нельзя не сказать о законе Кеплера для движения небесных тел – планет, комет и спетников. Если материальная точка М движется в пространстве только под действием притяжения другой материальной точки С (которую будем считать неподвижной),причём сила притяжения подчиняется закону Нютона F=а/r² (где r – расстояние между С и М, а - постоянная), то траектория движения является коническим сечением с фокусом в точке С (либо же точка М движется по прямой, проходящей через С). Кеплер пришёл к этому закону эмпирически, изучая наблюдения Тихо Браге; математически закон был доказан впоследствии Ньютоном. Планеты и естественные их спутники движутся по эллипсам, кометы – по эллипсам, гиперболам и параболам (небольшая дуга сильно вытянутого эллипса, близкая по фокусу, плохо отличима от аналогичной дуги гиперболы и параболы (Е близко к 1).Из-за этого возникают трудности при определении орбиты кометы – вернётся она или не вернётся?). Космическим кораблям можно придать любую из этих траекторий.

Литература

1. Атанасян Л.С., Атанасян В.А.Сборник задач по геометрии (часть 1) / Учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов. - М: Просвещение, 1973.

2. Базылев В.Т. и др. Геометрия: учебное пособие.

3. Болтянский В.Г. Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы. // Квант. – 1975. - №12. – с. 19 – 23.

4. Бронштейн И.Н. Общие свойства конических сечений. // Квант. – 1975. - №5. – с. 31 – 40.

5. Бронштейн И.Н. Парабола. // Квант. – 1975. - №4. – с. 9 – 16.

6. Бронштейн И.Н. Гипербола. // Квант. – 1975. - №3. – с. 16 – 24.

7. Бронштейн И.Н. Эллипс. // Квант. – 1975. - №1. – с. 5 – 13.

8. Гильберт Д., Кон – Фоссен С. Наглядная геометрия / пер. с нем. – Л: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1951. – 355.

9. Ефремов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М: Наука, 6-ое издание, 1967. – 267 с.

10. Клетник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии.

11. "Методические рекомендации по подготовке к практическим занятиям по курсу Геометрия". Часть 2. Аналитическая геометрия, 2–ое издание, переработанное и дополненное. – Глазов. - 1995.

12. Погорелов А.В. Геометрия: учебное пособие для ВУЗов.

13. Сборник задач по геометрии. Под ред. Атанасяна Л.С.

14. Сборник задач по геометрии. Под ред. Базылева В.Т.