1.Разностные уравнения
Уравнение вида:
(1.1)
где
k
-фиксированное, а n
- произвольное натуральное число,
-члены некоторой числовой последовательности,
называется разностным
уравнением k-го
порядка.
Решить
разностное уравнение означает найти
все последовательности {},
удовлетворяющие уравнению (1.1). Разностное
уравнение часто используются в моделях
экономической динамики с дискретным
временем, а также для приближенного
решения дифференциальных уравнений.
Разностное уравнение вида:
(1.2)
где
,
K
– некоторые функции от n
,называется линейным
разностным уравнением k-
порядка .
В
случае, когда коэффициенты
являются константами, методы решения
данного класса уравнений во многом
аналогичны решению линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами.
Продемонстрируем это для разностных
уравнений 2-го порядка:
(1.3)
также как для линейных дифференциальных уравнений, общее решение уравнения (1.3) определяется по формуле:
(1.4)
где x(n) – некоторое частное решение (1.3), X(n) – общее решение соответствующее однородному уравнению (случай К=0). Для нахождения общего решения однородного уравнения необходимо вначале решить характеристическое уравнение:
(1.5)
после этого могут возникнуть 3 варианта.
Оба
корня
и
действительны и различны. Тогда общее
решение находится по формуле:
(1.6)
где
и
- произвольные константы.
Оба
корня действительны и равны (),
тогда
(1.7)
В
случае комплексно сопряженных корней
(1.8)
Пример.
Найдем
частное решение этого уравнения.
Воспользуемся для этого методом
неопределенных коэффициентов. Будем
искать частное решение в виде
.
Подставляя это выражение в наше уравнение,
получим
Следовательно, p=2, а значит,
Решая характеристическое уравнение
находим
.
Таким образом, общее решение уравнения
имеет вид:
2.Динамическая модель Кейнса
Рассмотрим простейшую балансовую модель, включающую в себя основные компоненты динамики расходной и доходной частей экономики. Пусть Y(t), F(t), S(t), I(t) – соответственно национальный доход, государственные расходы, потребление и инвестиции. Все эти величины рассматриваются, как функции времени t. Тогда справедливы следующие соотношения
(2.1)
где a(t) –коэффициент склонности к потреблению (0< a(t)<1); b(t) – автономное (конечное) потребление; k(t) – норма акселерации. Все функции, находящиеся в уравнении (1.9) положительны.
Поясним смысл уравнения (1.9). Сумма всех расходов должна быть равной национальному доходу – этот баланс отражен в первом уравнении. Общее потребление состоит из внутреннего потребления, некоторой части национального дохода в народном хозяйстве, плюс конечное потребление – эти составляющие показаны во втором уравнении. Наконец, размер инвестиций не может быть произвольным: он определяется произведением нормы акселерации, величина которой характеризуется уровнем технологий и инфраструктуры данного государства, на определенный национальный доход.
Будем полагать, что функции a(t), b(t), k(t), и E(t) заданы – они являются характеристиками функционирования и эволюции данного государства. Требуется найти динамику национального дохода или Y как функцию времени t.
Подставим выражение для S(t) из второго уравнения и I(t) из третьего уравнение в первое уравнение. После приведения подобных получаем дифференциальное неоднородное линейное уравнение первого порядка для функции Y(t) :
(2.2)
Т.к. существуют достаточно сложная и простая формы решения этого уравнения, поэтому мы проанализируем более простой случай, полагая основные параметры a,b,k постоянными числами. Тогда уравнение (2.2) упрощается до случая линейного дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами:
(2.3)
(2.4)
обозначим
,
в результате подучим
(2.5)
отсюда,
(2.6)
Нетрудно видеть, что эта величина положительна. Используя формулу:
(2.7)
получим общее решение однородного уравнения
(2.8)
(2.9)
(2.10)
в результате общее имеет вид
(2.11)
Как
известно, общее решение неоднородного
уравнения есть сумма какого-либо его
частного решения и общего решения
соответствующего однородного уравнения.
В качестве частного решения уравнения
(2.3) возьмем так называемое равновесное
решение,
когда
,
т.е.
(2.12)
(2.13)
3.Модель Самуэльсона-Хикса
Модель делового цикла Самуэльсона-Хикса (динамическая модель Кейнса) является примером линейного разностного уравнения. В этой модели используется так называемый принцип акселерации, т.е. предположение, что масштабы инвестирования прямо пропорциональны приросту национального дохода. Данное предположение характеризуется следующим уравнением
(3.1)
где
коэффициент
- фактор акселерации,
- величина инвестиций в период
,
,
- величины национального дохода
соответственно в
-м
и
-м
периодах. Предполагается также, что
потребление на данном этапе зависит от
величины национального дохода на
предыдущем этапе, т.е., что
(3.2)
условие равенства спроса и предложения имеет вид:
(3.3)
Подставляя
в (3.3) выражение для
из (3.1) и выражение для
из (3.2), находим:
(3.4)
Уравнение (3.4) известно как уравнение Хикса. Оно представляет собой линейное неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами (если предположить, что на протяжении рассматриваемых периодов величины a и V постоянны ).
Замечание. Мы можем легко найти частное решение уравнения (3.4), если положим, что
(3.5)
т.е.
использовав в качестве частного решение
равновесное решение
.
Из (3.4) в силу (3.5) имеем
(3.6)
откуда
(3.7)
заметим
также, что выражение
в формуле (3.7) носит название мультипликатор
Кейнса
и является одномерным аналогом матрица
полных затрат.
Пример.
Рассмотрим модель Самуэльсона-Хикса
при условии, что
;
;
.
В этом случае уравнение (3.4) принимает
вид:
(3.8)
его частным решением будет
(3.9)
найдем корни характеристического уравнения
имеем
Таким образом, общим решением соответствующего однородного уравнения является
где
и
- произвольные константы. Следовательно,
общим решением уравнения будет
Замечание. В зависимости от значений a и V возможны 4 типа динамики. Она может быть растущей или затухающей и при этом иметь или не иметь колебательный характер. Так, в рассмотренном выше примере динамика носила колебательный характер с возрастающей амплитудой.
Пример:
запишем характеристическое уравнение
4.Модельрынка с запаздыванием сбыта
В реальности часто складывается такая рыночная ситуация, что цикл производства продукции отстает от цикла ее реализации. Это характерно, например, для сельского хозяйства. Да и в промышленном производстве предложение формируется на основе цены в предшествующий период. Таким образом, функция предложения сдвинута S сдвинута по времени относительно цены P, т.е. будем полагать , что S(t)=S(P(t-1)), в то время как функция спроса D одномоментно отвечает цене: D(t)=D(P(t)). Для простоты рассмотрим линейные зависимости спроса и предложения от цены:
(4.1)
Условие равновесия предполагает равенство предлагаемого и востребованного товара : D(t)=S(t), откуда с учетом(4.1) имеем:
(4.2)
Поделим обе части этого равенства на b и перейдем, для удобства на шаг вперед по времени, получаем линейное неоднородное разностное уравнения первого порядка относительно цены P с постоянными коэффициентами:
(4.3)
Характеристическое
уравнение имеет вид
и имеет единственный корень, равный
–b/d.
Частное же решение уравнения (4.3) удобно
искать в виде постоянной величины; после
подстановки в это уравнение оно легко
определяется:
(4.4)
Величина
является равновесной ценой. Общее
решение уравнения (4.3) определяется
формулой
(4.5)
где
C
– произвольная постоянная. Пусть в
начальный момент времени известна цена
(задача Коши), тогда подстановкой в
равенство (4.5) находим
,
так что в окончательном виде получаем
(4.6).
Проанализируем полученное решение. В зависимости от входных параметров задачи b,d , формул (4.3) динамика цены во времени мажет быть разной. Здесь возможны 3 варианта:
а)
>1
– текущая цена расходится с равновесной
ценой с увеличением размаха колебаний
вокруг нее.
б)
<1
– текущая цена стремится к равновесной
с колебаниями около нее.
в)
=1
– две точки равновесия: в зависимости
от четности t
имеет место колебание от одной точки к
другой.
5. Модель рынка с запасами
В этой модели предполагаются запасы товара как разность между предложением S и спросом D. Примем следующие допущения.
Спрос D(t) и предложение S(t) представляют собой линейные функции от текущей цены P(t):
(5.1)
Цена, устанавливаемая на рынке, зависит от объема запаса продукции на предшествующий период, причем разница в ценах во времени пропорциональна отрицательной величине запаса с некоторым коэффициентом k (при наличии запаса цена на товар в последующий период падает):
(5.2)
где
- запасы товара.
Подстановка соотношений (5.1) в (5.2) приводит к линейному разностному уравнению первого порядка с постоянными коэффициентами относительно цены P(t):
(5.3)
(5.4)
Пусть
- значение цены в начальный момент
времени t=0
, тогда решение этого уравнения имеет
вид
(5.5)
где
- равновесная цена, или стационарное
решение уравнения (5.3).
Сходимость
P(t)
во времени к значению P*
существенно зависит от величины и знака
основания степени в (5.5).
Рассмотрим все возможные случаи сочетания
этих параметров задачи.
а)
,
откуда
- монотонная сходимость P(t)
к равновесному значению P*
б)
=0
,откуда
,
т.е. P(t)=
P*
в)
, откуда
- сходимость цены P(t)
к равновесному значению P*
с колебаниями около него
г)
=-1,
т.е.
- две точки равновесия: P*
и P0
на каждом шаге по времени цена
“перескакивает” с одного значения на
другое
д)
,
т.е.
- цена P(t)
расходится с увеличением амплитуды
колебаний.
Все указанные случаи приведены на рисунке в виде соответствующих серий дискретных отрезков.
6. Уравнение снабжения (логистики)
Пример: известно, что рост количества бактерий в сосуде удовлетворяет уравнению логистики, с постоянным k=0.2. Пусть в начальный момент времени количество бактерий составляло 1% от максимально возможного значения m. За какое время количество бактерий достигнет 80% от максимума.
Решение:
воспользуемся формулой:
при
t=0
y=0.01m
подставляя это выражение получим
7.Продуктивная модель Леонтьева
Приведены данные по балансу за некоторый период между 5-ю отраслями промышленности. Найти варианты конечного потребления м валового выпуска, а также матрицу коэффициентов прямых затрат и определить является ли она продуктивной.
удовлетворяет первому условию продуктивности:
т.е. первое увеличится на 52,2%, второе га 35,8%, а третье на 85% соответственно.
8.Динамичкская модель Леонтьева
В параграфе 7 была рассмотрена продуктивная модель межотраслевого баланса безотносительно ко времени, т.е. все ее компоненты полагались осредненными за некоторый временной интервал. В реальности продукт, предназначенный для внутреннего и конечного потребления в период t, определяется не текущим выпуском, а выпуском в последний период t+1. Эта задержка производства обусловлена многими факторами, в частности инерцией планирования и перестройки, мобилизации внутренних ресурсов и изменением транспорта сырья и т.д.
С учетом этого система уравнений баланса в предложении о постоянстве доли внутреннего потребления каждой отраслью, будем иметь следующий вид
рассчитать
вариант валового выпуска на момент
времени t=2,
если все компоненты конечного потребления
увеличить на 30% за каждый период.
Решение:
Таким образом, при указанном темпе роста продуктивность конечного потребления необходимо через 2 временных цикла повысить компоненты валового выпуска соответственно на 12, 18, и 6% по сравнению с их величинами на начальный момент времени.
9,Паутинные модели рынка