Проективное пространство. Теорема Дезарга

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ

Забайкальский государственный педагогический университет им. Чернышевского

РЕФЕРАТ

по геометрии

Проективная геометрия.

Доказательство теоремы Дезарга

Выполнила: Емельянова Людмила, ФМФ, 2 курс.

Проверила: доц. Вольховская Анна Тимофеевна

Чита 2004

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Развитие начертательной геометрии, как одной из вет­вей геометрии, науки о пространстве и пространствен­ных объектах.

С момента возникновения геометрия развивалась, тесно переплетаясь с другими науками: математикой, механикой, физикой, а также оказывала влияние на разработку теоретических основ в технике и изобразительном искусстве.

Потребность в построении изображений по законам геометрии (проекционных чертежей, "projecere"- бросать вперед) возникла из практических задач строительства сооружений, укреплений, пирамид и т.д.), а на позднем этапе - из запросов машиностроения и техники.

Относительно точные сведения об уровне геометрических знаний в Древнем Египте сообщает папирус Ахмеса (измерение земельных участков, вычисление пирамид). Основателем геометрии в Греции считают финикиянина Фалеса Милетского, получившего образование в Египте (около 624-547гг. до н.э.). Он основал школу геометров, которая положила начало научной геометрии. Ученику Фалеса Пифагору Самосскому (около 580-500гг. до н.э.) принадлежат первые открытия в геометрии: теория несоизмеримости некоторых отрезков, например, диагонали квадрата с его стороной, теория правильных тел, теорема о квадрате гипотенузы прямоугольного треугольника. Преемник Пифагора Платон (427-347гг. до н.э.) ввел в геометрию аналитический метод, учение о геометрических местах и конические сечения. Существовавшая до сих пор элементарная геометрия была расширена, и ее назвали трансцендентной.

Систематизировал основы геометрии, восполнил ее пробелы великий александрийский ученый Евклид (III в. до н.э.) в своем замечательном труде. "Начала" Евклида - первый серьезный учебник, по нему в течение двух тысячелетий учились геометрии. Современные учебники элементарной геометрии представляют собой переработку "Начал".

"Золотым веком" греческой геометрии называют эпоху, когда жили и творили математики Архимед (287-195 гг. до н.э.), Эрастофен (275-195гг. до н.э.), Аполлоний Пергский (250-190гг. до н.э.). Измерение криволинейных образов связано с именем Архимеда. Он указал методы измерения длины окружности, площади круга, сегмента параболы и спирали, объемов и поверхностей шара, других тел вращения и др. Это были главные дополнения к "Началам" Евклида. Трактатом о конических сечениях обессмертил свое имя Аполлоний. Трудами последнего, можно сказать, завершается классическая геометрия.

Расцвет классической культуры в средние века сменился застоем. В изобразительном искусстве не используются применявшиеся в древности сведения о перспективе. Глубокий кризис затянулся до эпохи Возрождения.

И только с возрождением строительства и искусств в эпоху Ренессанса в истории начертательной геометрии начинается новый период развития. В связи с развернувшимся строительством различных сооружений возродилось и расширилось применение употреблявшихся в античном мире элементов проекционных изображений. Наиболее бурно в это время развивались архитектура, скульптура и живопись в Италии, Нидерландах, Германии, что поставило художников и архитекторов этих стран перед необходимостью начать разработку учения о живописной перспективе на геометрической основе. Появились новые понятия: центр проецирования, картинная плоскость, линия горизонта, главные точки и т.д. Наблюдательная перспектива уже достигла своего высшего развития. Весомый вклад в развитие методов перспективных изображений внесли: итальянский зодчий Лоренцо Гиберти (1378-1455гг.) - он перенес принципы живописной перспективы на пластическое изображение в виде рельефа (в церковных сооружениях), итальянский теоретик искусств Леон Баттиста Альберти (1404-1472гг.) обогатил художественно-технический опыт мастеров-профессионалов теоретической разработкой основ перспективы, впервые упоминает о построении теней, Пиетра-делла-Франческа (1406-1492гг.) - рассматривал вопросы линейной перспективы, гениальный итальянский художник, ученый и инженер Леонардо да Винчи (1452-1519гг.), обладая в совершенстве знаниями линейной перспективы, дополнил построением ее на цилиндрических сводах, положив начало панорамной перспективе.

В развитие перспективы большой вклад внес немецкий ученый и гравер Альбрехт Дюрер (1471-1528гг.). В своей книге "Наставление" он разработал основы рисования, предложил графические способы построения большого числа плоских и некоторых пространственных кривых, оригинальные способы построения перспективы и тени предмета. Основателем теоретической перспективы по праву может считаться итальянский ученый Гвидо Убальди (1545-1607гг.). Работа Убальди "Шесть книг по перспективе" содержит решение почти всех основных задач перспективы.

Французский архитектор и математик Дезарг (1593-1662гг.) в 1636г. в сочинении "Общий метод изображения предметов в перспективе" впервые применил для построения перспективы метод координат Декарта, что послужило появлению нового аксонометрического метода в начертательной геометрии.

Зарождение аналитической геометрии связано с появлением метода координат. Французские математики Ферма (1601-1665гг.) и Декарт (1596-1650гг.) дали общие схемы функциональной аналитической зависимости геометрических соотношений и общие схемы изучения этой зависимости средствами алгебры и анализа. Выдающийся труд Исаака Ньютона (1642-1727гг.) в области бесконечно малых создал новую ветвь геометрии - дифференциальную. Методы приложения анализа бесконечно малых к геометрии характеризуются широкой общностью и находят применение в комплексе функций.

Аналитические и дифференциальные методы сложны в применении. "Геометрию надо строить геометрически" ("Geometria geometrice") - была поговорка среди математиков. Появилась еще одна ветвь геометрии - проективная, в основу которой положен метод проектирования, где нет понятий о числе и величине. Творцами нового направления следует считать французских математиков Понселе, Шаля, Мебиуса. Основу этой науки заложил упомянутый выше Дезарг. Он указал, что изображение предмета в ортогональных проекциях и линейной перспективе родственны с геометрической точки зрения [1].

Развитию "вольной перспективы" посвятил свои работы английский математик Тейлор (1685-1731гг.), разработавший способы решения основных позиционных задач и определения свойств оригинала по его перспективному изображению. Немецкий геометр Ламберт (1728-1777гг.) применил метод перспективы к графическому решению задач элементарной геометрии, используя свойства аффинного соответствия (аффинная геометрия). Ламберт решал и обратную задачу - реконструирование объекта по его чертежу, выполненному в центральной проекции.

Французский инженер Фрезье (1682-1773гг.) объединил работы предшественников в труде "Теория и практика разрезки камней и деревянных конструкций" (1738-39гг.), им были решены задачи построения конических сечений по усложненным данным. Однако строгой теории к представленному собранию отдельных приемов решения задач Фрезье не подвел.

Творцом ортогональных проекций и основоположником начертательной геометрии является французский геометр Гаспар Монж (1746-1818гг.). Знания, накопленные по теории и практике изображения пространственных предметов на плоскости, он систематизировал и обобщил, поднял начертательную геометрию на уровень научной дисциплины.

"…Нужно научить пользоваться начертательной геометрией" - говорил Г. Монж. Две главные цели имела новая наука:

1. Точное представление на чертеже, имеющем только два измерения, объектов трехмерных.

2. Выведение из точного описания тел всего, что следует из их формы и взаимного расположения.

С этой точки зрения начертательная геометрия - это язык, необходимый инженеру, создающему что-то новое, и тем, кто осуществляет инженерный проект.

Влюбленный в свое детище - начертательную геометрию, Монж писал: "Очарование, сопровождающее науку, может победить свойственное людям отвращение к напряжению ума и заставить их находить удовольствие в упражнении своего разума, - что большинству людей представляется утомительным и скучным занятием".

В 1797г. Монж стал директором Политехнической школы. Он создал там ту постановку преподавания геометрии, которая и теперь существует в высших технических заведениях. Сильное впечатление производило то, что практические занятия проводились одновременно для 70 человек, которые работали над своими чертежными досками. "Маленький шедевр" - так Монж называл свою школу, давшую мировой науке много великих имен. Авторами учебников высшей школы стали Ампер, Пуассон, Кориолис, Беккерель и др., окончившие эту школу в разные годы. Когда Политехническая школа набрала силу, стала создаваться другая - Нормальная, которая предназначалась для подготовки уже не инженеров, а преподавателей. Профессорами этой школы были известные ученые Лагранж, Лаплас. Лекции, прочитанные Монжем, были стенографированы и позже опубликованы, сам он не интересовался опубликованием своих работ.

Методы Монжа не были противоположны анализу, а были его дополнением, связанным с практическими потребностями инженерного дела. Впервые ученый предложил рассматривать плоский чертеж в двух проекциях, как результат совмещения изображенной фигуры в одной плоскости - комплексный чертеж или эпюр Монжа.

В работе Г. Монжа "Начертательная геометрия"("Geometric Descriptive"), изданной в 1798г., решались задачи:

1. Применение теории геометрических преобразований.

2. Рассмотрение некоторых вопросов теории проекций с числовыми отметками.

3. Подробное исследование кривых линий и поверхностей, в частности применение вспомогательных плоскостей и сфер при построении линии пересечения поверхностей.

4. Появление начертательной геометрии было вызвано возраставшими потребностями в теории изображений.

Дальнейшее развитие начертательная геометрия получила в трудах многих ученых. Наиболее полное изложение идей Монжа по ортогональным проекциям дал Г. Шрейбер (1799-1871гг.), написавший "Учебник по начертательной геометрии" (по Монжу). Он обогатил начертательную геометрию изложением ее на проективной основе, применив идеи Шаля, Штаудта, Рейе, Штейнера и др., разработал теорию теней и сечений кривых поверхностей. Заметны труды ученых немецкой школы. Геометр Вильгельм Фидлер в книге "Начертательная геометрия", изданной в 1871г., в органической связи с геометрией проективной представил первый обширный курс дисциплины, стоящий на уровне современных требований. Прогрессивными в преподавании были лекции Эмиля Мюллера, продолжившего научное направление Фидлера. В работах А. Манигейма (1880г.) исследованы вопросы кинематического образования кривых линий и поверхностей в ортогональных проекциях. Обоснование теории аксонометрии дал Вейсбах, технические примеры применения аксонометрии показали братья Мейер.

Развивая теорию аксонометрии, профессор Академии изобразительных искусств и Строительной академии в Берлине Карл Польке (1810-1876гг.) в 1853г. открыл основную теорему аксонометрии. Доказательство этой теоремы в 1864г. вывел немецкий геометр Г.А. Шварц. Обобщенная теорема аксонометрии стала называться теоремой Польке - Шварца. Простое доказательство этой теоремы дал в 1917г. профессор Московского университета А.К. Власов. Московский геометр Н.А. Глаголев продолжил работы этого направления, он доказал, что теорема Польке - Шварца есть предельный случай более общей теоремы о параллельно-перспективном расположении двух тетраэдров. Привлекают работы австрийского геометра Эрвина Круппа, получившие развитие в трудах русских ученых Н.А. Глаголева, Н.Ф. Четверухина.

В середине XIX века зарождается и получает развитие начертательная геометрия многих измерений - многомерная геометрия. Итальянский математик Веронезе и голландский ученый Скаутте дают начало этому новому направлению. В России многомерная начертательная геометрия развивалась в связи с проблемами физико-химического анализа многокомпонентных структур (сплавов, растворов), состоящих из большого числа элементов. Вместо точек за основные элементы принимаются различные геометрические образы, и строится бесчисленное множество плоских геометрических систем (системы параллельных отрезков, векторов, окружностей и т.д.).

К началу XX века относится зарождение векторно-моторного метода в начертательной геометрии, применяющегося в строительной механике, машиностроении. Этот метод разработан Б. Майором и Р. Мизесом, Б.Н. Горбуновым.

Развитие начертательной геометрии в нашей стране шло самобытными путями, его можно разделить на три периода. I период - до XIX века (Р. Санников, И.П. Кулибин, Д.В. Ухтомский, М.Ф. Казаков, В.И. Баженов и др.), II период - от начала XIX века до 1917 года. Впервые курс начертательной геометрии в 1810 году прочитан в Петербургском институте корпуса инженеров путей сообщения французским инженером К.И. Потье. Перевел курс на русский язык помощник Потье по институту Я.. А.. Севастьянов (1796-1849 гг.). III период - советский.

ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТАРНСТВО.

Исторический обзор аксимоматического построения проективной геометрии

Имеются различные аксиоматические способы построения проективного пространства. Наиболее распространенным является видоизменение системы аксиом, предложенной в 1899 году Гильбертом для обоснования элементарной геометрии.

Проективное пространство рассматривается как совокупность элементов трех родов: точек, прямых и плоскостей, между которыми установлено основное для проективной геометрии отношение инцидентности, характеризующееся надлежащими аксиомами. Они отличаются от соответствующих групп аксиом элементарной геометрии, тем, что требуют, чтобы каждые две прямые, лежащие в одной плоскости, имели общую точку, и на каждой прямой имелось, по крайней мере, три различные точки. В конкретных случаях для получения более “богатой” проективной геометрии эта совокупность аксиом дополняется аксиомами порядка и непрерывности (для действительного проективного пространства), аксиома Паппа (для проективной геометрии над коммутативными телами), Фано постулатом (для проективной геометрии над телами, характеристика которого порядка 2) и т.д.

Замечательным положением проективной геометрии является принцип двойственности. Говорят, что точка и прямая (точка и плоскость, прямая и плоскость) инцидентны, если точка лежит на прямой (или прямая проходит через точку и т.д.). Тогда если верно некоторое предположение А о точках, прямых и плоскостях проективного пространства, сформулированные только в терминах инцидентности между ними, то будет верно и двойственное предложение В, которое получается из А заменой слова “точка” на слово “плоскость”, слово “плоскость” на слово “точка” и с сохранением слова прямая.

Важную роль в проективной геометрии играет Дезарга предложение, выполнение которого необходимо и достаточно для введения проективными средствами системы проективных координат, составленных их элементов некоторого тела, естественным образом связанного с точкой проективной прямой.

Основы проективной геометрии заложены в XVII в Ж. Дезаргом и Б. Паскалем. Большое значение для последующего развития проективной геометрии имели работы П. Монтена (2-я половина XVIII в – начало XIX в).

Как самостоятельная дисциплина проективная геометрия была изложена Понселе (начало XIX в). Заслуга Ж. Понселе заключается в выделении проективных свойств фигур в отдельный класс, и установлении соответствий между метрическими и проективными свойствами этих фигур.

К этому же периоду относятся работы Ж. Брионшона. Дальнейшее развитие проективная геометрия получила в трудах Я. Штейнера и М. Шаля. Большую роль в развитии проективной геометрии сыграли работы К. Штаудта, в которых были намечены также контуры аксиоматического построения проективной геометрии.

Все эти геометрии, стремились доказать теоремы проективной геометрии синтетическим методом, положив в основу изложенные проективные свойства фигур.

Аналитическое направление в проективной геометрии было намечено работами А. Мебиуса. Влияние на развитие проективной геометрии оказали работы Н.И. Лобачевского по созданию неевклидовой геометрии, позволившие в дальнейшем А. Кэли и Ф. Клейну рассмотреть различные геометрии, систематизировать с точки зрения проективной геометрии.

Развитие аналитических методов обычной проективной геометрии и построение на этой базе комплексной проективной геометрии поставили задачу о зависимости тех или иных проективных свойств от того тела, над которым построена геометрия. В решении этого вопроса больших успехов добились А.Н. Колмогоров и Л.С. Понтрягин.

Расширенное евклидово пространство.

Проективная геометрия изучает проективные свойства фигур.

Проективные свойства плоской фигуры – это те ее свойства, которые сохраняются при всевозможных перспективных отображениях. Перспективное отображение плоскости на плоскость осуществляется путем проектирования точек плоскости на плоскость из некоторой точки О (центра проекции), не лежащей ни в одной из этим двух плоскостей.

Перспективное отображение сохраняет прямолинейное расположение точек и, значит, переводит, вообще говоря, всякую прямую плоскости в прямую плоскости . Если плоскости и пересекаются по прямой s, то всякая точка этой прямой совпадает со своим образом; следовательно, всякие две соответственные прямые либо пересекаются на прямой s , либо обе параллельны s.

Перспективное отображение не сохраняет ни длины отрезка, ни середины отрезка, ни меры угла, ни перпендикулярности, ни параллелизма прямых: образами параллельных прямых являются, вообще говоря, пересекающиеся прямые. Следовательно, все эти понятия (длина отрезка, середина отрезка, мера угла, перпендикулярность, параллелизм) не являются проективными и в проективных предложениях не могут встречаться. Поэтому ни циркуль, ни треугольник не являются проективными чертежными инструментами. Единственным проективным чертежным инструментом является линейка (односторонняя, без делений) как средство проведения прямых линий.

Так как перспективное отображение может переводить параллельные прямые в пересекающиеся и наоборот, то оно не является взаимно однозначным: на всякой прямой, лежащей в плоскости или и не параллельной линии пересечения s, имеется одна точка, для которой не существует в другой плоскости образа или соответственного прообраза. Это обстоятельство вызывает необходимость подвергнуть евклидово пространство своеобразной реконструкции путем присоединения к нему таких новых «точек», чтобы в полученном расширенном пространстве перспективное отображение всегда было взаимно однозначным. Это делается следующим образом.

Несобственные элементы пространства

Для исключения метрический свойств необходимо сделать один шаг большой принципиальной важности, а именно, расширить наш взгляд на взаимное пересечение геометрических элементов.

Как известно, в евклидовом пространстве (на евклидовой плоскости) каждая точка служит центром связки прямых (пуска прямых) I рода. Существуют также связки и пучки прямых II рода; они состоят из параллельных прямых и центров не имеют. Перспективное отображение переводит пучок II рода, вообще говоря, в пучок I рода. Поэтому отныне будем считать, что в пространстве всякая связка прямых, а на плоскости всякий пучок прямых, имеет определенный центр. Центры связок и пучков I рода – это старые, собственные точки, а центры связок и пучков II рода – это новые, несобственные точки. Взаимное расположение собственных и несобственных точек определяется следующими соглашениями, вытекающими из определения несобственных точек:

1. каждая прямая имеет одну несобственную точку;

2. несобственная точка прямой принадлежит любой плоскости, проходящей через эту прямую;

3. всякие две параллельные прямые имеют общую несобственную точку;

4. всякие две параллельные прямые имеют различные несобственные точки;

5. совокупность всех несобственных точек плоскости есть несобственная прямая той плоскости;

6. всякие две параллельные плоскости имеют общую несобственную прямую;

7. совокупность всех несобственных точек пространства есть несобственная плоскость.

Прямая, дополненная несобственной точкой, называется проективной прямой. Плоскость, дополненная несобственной прямой, называется проективной плоскостью. Пространство, дополненное несобственной плоскостью, называется проективным пространством.

В отличие от евклидовой прямой, проективная прямая есть замкнутая линия. Поэтому она, как и окружность, обладает следующими порядковыми свойствами:

1. точка проективной прямой не разбивает ее на две полупрямые;

2. две точки проективной прямой разбивают ее на два смежных отрезка;

3. на проективной прямой понятие «между» не имеет смысла: как бы ни были расположены на ней три точки А, В, С, всегда один из двух смежных отрезков АВ не содержит точки С и потому можно, двигаясь по прямой, попасть из А в В, не пройдя через С.

Порядок точек на проективной прямой определяется с помощью понятия «разделенность»: если точки С и D принадлежат двум смежным отрезкам АВ, то говорят, что пара точек А, В разделяет пару С, D, и пишут:

АВСД;

Если же С и принадлежат одному и тому же отрезку АВ, то говорят, что пара А, В не разделяет пары С, D, и пишут:

АВ – СD.

Аналогично определяется понятие разделенности для двух пар прямых одного пучка.

Две прямые а и b некоторого пучка прямых разбивают множество всех остальных прямых этого пучка на два класса. Каждый класс заполняет пару вертикальных углов (ab) со сторонами a и b. Говорят, что пара прямых a,b разделяет или не разделяет пару прямых c, d данного пучка, смотря по тому, принадлежат ли с и d смежным углам (ab) или одному и тому же углу (ab).

Легко заметить, что разделенные пары прямых проектируют разделенные пары точек.

Из указанных выше свойств проективной прямой вытекают следующие свойства проективной плоскости и проективного пространства:

1. проективная прямая, лежащая в некоторой проективной плоскости, не разбивает эту плоскость на две полуплоскости;

2. всякие две прямые, лежащие в одной проективной плоскости, разбивают эту плоскость на две смежные области;

3. проективная плоскость не разбивает проективное пространство на два полупространства и потому является односторонней поверхностью. Это значит, что по отношению к проективной плоскости (а также по отношению к проективной прямой на плоскости) не имеют смысла выражения «по одну сторону» и «по разные стороны».

Аксиоматика проективной геометрии

Проективная геометрия, как и евклидова, может быть построена на собственном аксиоматическом фундаменте. Так как в проективном пространстве между точками, прямыми и плоскостями существуют лишь два отношения: принадлежности и разделенности, то проективная аксиоматика содержит лишь аксиомы соединения, порядка и аксиому непрерывности.

Аксиомы соединения

1. Если две точки, принадлежащие прямой а, принадлежат плоскости ?, то и всякая точка принадлежащая прямой а, принадлежит плоскости ?.

2. В этом случае говорят, что прямая а принадлежит плоскости ?.

3. Две различные точки А и В всегда принадлежат одной, и только одной, прямой а.

4. Две различные плоскости ? и ? всегда принадлежат одной, и только одной, прямой а.

5. Точка А и не принадлежащая ей прямая b всегда принадлежат одной, и только одной, плоскости а.

6. Плоскость ? и не принадлежащая ей прямя b всегда принадлежат одной, и только одной, точке А.

7. Существуют четыре точки, не принадлежащие как одной прямой, так и одной плоскости.

Аксиомы порядка

1. Всякие две точки А и В, принадлежащие одной прямой а, разделяют все остальные точки этой прямой на два класса так, что каждая точка прямой а, отличная от А и В, принадлежит одному из этих классов. Каждый класс содержит, по крайней мере, одну точку.

Определение. Каждый из двух классов, определенных точками А и В, называется отрезком АВ (или ВА), а точки А и В – концами отрезка АВ.

С помощью понятие отрезка и определяется разделенность двух пар точек.

1. Если АВСD, то и СD АВ.

2. Любые четыре точки прямой могут быть единственным образом разбиты на две разделенные пары.

3. При любом проектировании разделенные пары точек переходят в разделенные пары.

Аксиома непрерывности

Аксиомой непрерывности проективного пространства служит принцип Дедекинда, данный в проективной форме.

Если бы мы пытались построить проективное пространство на основе формулированных выше аксиом принадлежности и порядка, то оказалось бы, что наша аксиоматическая база еще недостаточна. Правда, благодаря аксиомам порядка мы получили бы пространство, содержащее бесконечное множество точек, прямых и плоскостей. Так, например, применяя аксиомы порядка, мы можем утверждать, что каждый отрезок содержит точку, не совпадающую с его концами, и, применяя это положение к новому отрезку, одним из концов которого является найденная точка, констатировать существование второй точки, затем третьей и т.д. Однако процесс этот является счетным, и, применяя его, мы получим на прямой лишь счетное множество точек, соответствующее множеству рациональных точек (точек с рациональной координатой) на числовой прямой. По этой причине пространство, построенное на базе упомянутых аксиом принадлежности и порядка, иногда называют рациональным проективным пространством. По сравнению с тем проективным пространством, которое мы построили, дополнив евклидово пространство несобственными элементами, рациональному проективному пространству недостает свойства непрерывности. Это свойство может быть выражено в следующей форме, в которой оно известно под названием аксиомы непрерывности. Запишем здесь формулировку, представляющую видоизменение аксиомы непрерывности Дедекинда.

Пусть все точки отрезка АВ разбиты на два класса (см. рис1) причем точка А принадлежит к первому, а точка В – ко второму классу. Обозначим через Х произвольную точку первого класса, отличную от А, а через Y – точку второго класса, отличную от В. Если для любой пары Х и Y будет выполняться условие

AYXB,

тогда существует такая точка С отрезка АВ (принадлежащая к первому или второму классам), что

ACXY и CBXY

для всех точек Х и Y, отличных от С.

Очевидно, что это предложение о непрерывности множества точек на прямой может быть посредством проектирования распространено на множество прямых пучка. В самом деле, прямые пучка может быть приведены во взаимно однозначное соответствие с точками прямолинейного ряда точек, причем точками какого-либо отрезка прямой соответствуют прямые соответствующего угла пучка. Поэтому всякому разбиению множества точек отрезка будет соответствовать разбиение множества прямых соответствующего угла, а точке С, осуществляющей такое разбиение на отрезке, - прямая с, осуществляющая его в угле.

Подобным же образом принцип непрерывности может быть посредством проектирования перенесен на пучок плоскостей. Поэтому в качестве аксиомы непрерывности для построения проективного пространства было бы достаточно принять формулированную выше аксиому Дедекинда.

При аксиоматическом построении геометрии понятиям «несобственная точка», «несобственная прямая», «несобственная плоскость» нет места: всякие две точки, две прямые, две плоскости совершенно одинаковы и ничем, кроме положения в пространстве, не отличаются.

Принцип двойственности

Геометрия проективного пространства, в отличие от евклидовой и аффинной геометрии, характеризуется наличием в ней принципов двойственности.

Большой принцип двойственности (принцип двойственности в пространстве)

Каждому проективному предложению (аксиоме, теореме) относительно точек, прямых и плоскостей в пространстве соответствует второе, двойственное предложение, которое получается из первого заменой в нем слова «точка» словом «прямая» и слова «плоскость» словом «точка». Оба взаимно двойственных предложения верны, если доказано одно из них.

Малый принцип двойственности (принцип двойственности на плоскости)

Каждому проективному предложению относительно точек и прямых на плоскости соответствует второе, двойственное предложение, которое получается из первого заменой в нем слова «точка» словом «прямая» и слова «прямая» словом «точка». Оба взаимно двойственных предложения верны, если доказано одно из них.

Две фигуры называются двойственными по большому принципу двойственности, если между элементами (точками, прямыми, плоскостями) этих фигур можно установить взаимно однозначное соответствие, удовлетворяющее следующим условиям:

1. каждой точке фигуры F соответствует плоскость фигуры F';

2. каждой плоскости фигуры F соответствует точка фигуры F';

3. каждой прямой фигуры F соответствует прямая фигуры F';

4. сохраняется отношение принадлежности (если, например, точка А фигуры F лежит в плоскости ? этой же фигуры, то плоскость ?' фигуры F', соответствующая точке А, проходит через точку М', соответствующую плоскости ?).

Аналогично определяется двойственность двух плоских фигур по малому принципу двойственности.

ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА

Теорема Дезарга является фундаментальной теоремой проективной геометрии. Перед тем как сформулировать ее, дадим проективное определение треугольника.

Треугольником, или трехвершинником, или трехсторонником называется фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех прямых (а не отрезков прямых), соединяющих эти точки попарно (рис.1). Точки называются вершинами, а прямые – сторонами треугольника.

В дальнейшем будем говорить о треугольниках только в смысле этого определения, если не будет оговорено противное.

Теоремы Дезарга, прямая и обратная, верны как в том случае, когда треугольники АВС и А'В'С' расположены в двух разных плоскостях, так и в том случае, когда они расположены в одной плоскости. В первом случае мы говорим о теореме Дезарга в пространстве, во втором случае о теореме Дезарга на плоскости.

Точка S называется точкой Дезарга или центром перспективности, а прямая s – прямой Дезарга или осью перспективности данных треугольников. Два треугольника, удовлетворяющие условиям теоремы Дезарга в пространстве называются перспективными, так как один из них есть перспективный образ другого; два треугольника, удовлетворяющие условиям теоремы Дезарга на плоскости, называются гомологическими.

Доказательство векторным методом

Теорема Дезарга: Если прямые проходящие через соответствующие вершины двух трехвершинников пересекаются в одной точке, то точки пересечения соответствующих сторон этих трехвершинников лежат на одной прямой.

ABA'B'=P, ACA'C'=Q, BCB'C'=R, AA'BB'CC'=O,

Доказать: P, Q, R лежат в одной прямой

Доказательство:

Рассмотрим векторы

порождающие соответствующие точки, так как А,А',О лежат на одной прямой, то векторы порождающие их линейно зависимы, т.е. = .

Из того, что В', В, О - лежат на одной прямой  ,, - линейно зависимы  =

Точки С, С', О - лежат на одной прямой  = ? +

= = ? +

,, - линейно зависимы  точки А, В, Р  одной прямой, ,,- линейно зависимы  точки А', В', Р'  одной прямой.

P=ABA'B'

- = - = (2)

,, - линейно зависимы  точки А, С, Q  одной прямой.

- линейно зависимы  точки А', С', Q'  одной прямой.

Следовательно, Q=АСА'С'

- = - = (3)

,, –линейно зависимы  точки В, С, R  одной прямой.

,', ' –линейно зависимы  точки В', С', R'  одной прямой

Следовательно, R=ВСВ'С'.

Составим выражение:

=--++-=- векторы , , линейно зависимы  точки P, Q, R лежат на одной прямой.

Теорема доказана.

Если точки пересечения соответственных сторон двух трехвершинников лежат на одной прямой, то прямые, проходящие через соответственные вершины этих трехвершинников, проходят через одну точку .

Доказательство при помощи теоремы Менелая

В аксиоматическом построении проективной плоскости мы рассматриваем теорему Дезарга, как аксиому. Покажем, что она справедлива на евклидовой плоскости. Если две одинаковые конфигурации, составленные из точек и прямых, могут быть приведены в соответствие так, что пары соответствующих точек соединяются прямыми, пересекающимися в одной точке, то мы говорим, что эти две конфигурации перспективны относительно этой точке. Если соответствие таково, что пара соответствующих прямых пересекаются в точках лежащих на одной прямой, то говорим, что эти две конфигурации перспективны относительно этой прямой.

Сформулируем теорему Дезарга.

При доказательстве будем пользоваться теоремой Менелая.

Теорема Менелая гласит:

Если точки X,Y,Z лежащие на сторонах ВС,СА,АВ (соответственно продолженных) треугольника АВС коллинеарны, то

.

Обратно, если это уравнение выполняется для точек X,Y,Z, лежащих на трех сторонах треугольника, то эти три точки коллинеарны.

Теорема Дезарга: Если два треугольника перспективны относительно точки и если их пары соответствующих сторон пересекаются, то эти три точки пересечения коллинеарны.

Доказать: P, Q, R коллинеарны

Доказательство: Мы имеем теорему лишь о принадлежности точек прямым и пересечении прямых. Треугольники АВС и A’B’C’ перспективны относительно точки О, а пары их соответствующих сторон пересекаются в точках R, Q, P. Для доказательства применим теорему Менелая к тройкам точек.

{Q,C’,A’}, {R,B’,C’}, {P,A’,B’}

Лежащих на сторонах трех треугольников ОАС, ОСВ, ОВА, получим при этом

,

,

Перемножим эти три выражения и, проделав умеренное число сокращений, получим

,

 Точки Q, R, P коллинеарны.

Теорема доказана.

Доказательство в проективной системе координат

На проективной действительной плоскости имеет место Теорема Дезарга.

Теорема Дезарга: Если прямые проходящие через соответствующие вершины двух трехвершинников пересекаются в одной точке, то точки пересечения соответствующих сторон этих трехвершинников лежат на одной прямой.

P=ABA'B', Q=ACA'C', R=BCB'C', AA'BB'CC'=Q

Доказать: P, Q, R лежат на одной прямой.

Доказательство: Введем проективную систему координат, примем точки А,В,С,О за фундаментальные: А(1,0,0), В(0,1,0), С(0,0,1), О(1,1,1)

Координаты точки А'- есть линейная комбинация координат точки А и точки О, так как АА', то А'=А + 

Можно положить =1. Тогда получаем А'=А +. Тоже самое относится и к другим вершинам трехвершинника A'B'C'. Поэтому А'(+1,1,1), В'(1,+1,1), С'(1,1,+1) уравнение прямой АВ:

АВ: х₃=0

Уравнение АВ:

АВ:

АВ:

Так как АВ АВ=Р ,

P:

P: P.

АС: , C:

АС: х₂=0

C:

так как АСC=Q

Q:,

то Q

ВС: , BC:

так как R=BC?BC

R:, то R.

С помощью условия коллинеарности трех точек убедимся, что точки P, Q, R лежат на одной прямой.

Имеем

Условие коллинеарности выполнено, следовательно, P, Q, R  одной прямой.

Теорема доказана.

Конфигурация Дезарга

В связи с теоремой Дезарга на плоскости рассмотрим ту фигуру, которую образуют два треугольника АВС и АВС вместе с тремя прямыми АА, ВВ и СС, проходящими через одну точку S, и тремя точками А_0, В_0, С_0, лежащими на одной прямой s (см. рис ).

Эту фигуру образуют десять точек: шесть вершин двух треугольников, одна точка S пересечения прямых, соединяющих соответственные вершины треукольников, и три точки пересечения соответственных сторон – и десять прямых: шесть сторон двух треугольников, и одна прямая s, на которой лежит три точки пересечения соответственных сторон треугольников.

Обратим внимание на следующее свойство этой фигуры: каждой из десяти прямых принадлежат три точки фигуры, а каждой из десяти точек принадлежат три прямые той же фигуры.

Фигуры, состоящие из m точек и прямых n и обладающие тем свойством, что каждой прямой принадлежит m  точек и каждой точке принадлежит n  прямых той же фигуры, называются конфигурациями. Каждую конфигурацию характеризуют, как видно из ее определения, четыре числа m, n, m , n . Поэтому для обозначения конфигурации можно пользоваться следующим символом:

Числа m, n, m  и n  не являются независимыми. В самом деле, подсчитаем число точек конфигурации, пользуясь тем фактом, что на каждой ее прямой имеется m  точек. Мы получим число m  n, при этом каждая точка будет сосчитана столько раз, сколько прямых конфигурации проходит через одну точку, т.е. n  раз. Следовательно, должны иметь:

или

Такова зависимость четырех чисел m, n, m , n . Из этой формулы, между прочим, следует, что для тех конфигураций, которые содержат одинаковое число точек и прямых (m= n), будем иметь

m = n .

Поэтому таким конфигурациям соответствует более просто символ:

Рассмотренная выше конфигурация Дезарга состоит зи десяти точек, инцидентных каждая трем прямым, из десяти прямых, инцидентных каждая трем точкам. Следовательно, этой конфигурации соответствует символ:

.

Все точки и все прямые конфигурации Дезарга совершенно равноправны, и если при образовании конфигурации они имели различные значения (например, точка S служила точкой пересечения прямых, соединяющих соответственные вершины двух данных треугольников), то в уже построенной конфигурации каждая точка и каждая прямая могут выполнять любую роль в отношении теоремы Дезарга (так, любая точка может быть принята за точку S).

Конфигурации, обладающие этим свойством, называются правильными. Таким образом, теорема Дезарга привела нас к построению правильной конфигурации .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Жерар Дезарг

Дезарг (D?sargues) Жерар [1593, Лион, — 1662, там же (по др. данным — 1591—1661)], французский математик. Был военным инженером. Заложил основы проективной и начертательной геометрии. В своих исследованиях систематически применял перспективное изображение. Первым ввёл в геометрию бесконечно удаленные элементы. Дезарг принадлежит одна из основных теорем проективной геометрии (ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА) Дезаргу принадлежат также сочинения о резьбе по камню и о солнечных часах, где он даёт геометрические обоснования практическим операциям.

В 1636 г. Дезарг написал небольшое сочинение под заглавием «Общий метод изображения предметов в перспективе» (Париж, 1636). В этой работе он впервые применяет метод координат для построения перспективных масштабов. В качестве одной из осей он выбирает линию пересечения картинной и предметной плоскости, второй осью служит перпендикуляр к предметной плоскости, лежащий в картинной плоскости, а третьей – перпендикуляр к картинной плоскости, лежащий в предметной. Следовательно, картинная и предметная плоскости служат двумя координатными плоскостями, а третья к ним перпендикулярна.

На осях координат наносятся масштабы широк, высот и глубин, при этом последний дается в перспективе⁰.

Другое сочинение Дезарга, посвященное вопросу о пересечении конуса плоскостью (1639) было утеряно и только случайно в 1845 г. французский геометр и историк математики М. Шаль нашел у одного парижского букиниста рукописную копию с этого замечательного труда.

В нем Дезарг впервые рассматривает конические сечения как перспективу круга. Благодаря этому все учение о конических сечениях принимает чрезвычайно простую изящную форму, охватывая в одном методе все три вида кривых (эллипс, парабола и гипербола). Пользуясь перспективой как общим методом исследования, Дезарг пришел к необходимости рассматривать так называемые бесконечно удаленные элементы пространства. Он считал, что все параллельные прямые пересекаются в точке, которая является таким бесконечно удаленным элементом. Этим шагом Дезарг положил начало проективному представлению пространства (полное проективное пространство) и сделал возможным изучение проективных преобразований.

Наконец, третьим важнейшим результатом работы Дезарга является его исследование инволюционного соответствия точек прямолинейного ряда. Здесь и самый термин «инволюция» принадлежит Дезаргу и взят им из ботанического словаря⁰. Прямую, на которой расположен ряд точек, он называет «древом», точку отсчета отрезков – «стволом», самые отрезки – «ветвями» и т.д.

Дезарг рассматривал инволюционное расположение пар точек на прямой и ему принадлежит доказательство весьма общей теоремы о том, что пучок конических сечений, проходящих через четыре неподвижных центра, в пересечении с прямой дает инволюцию.⁰.

Наконец, необходимо упомянуть о теореме Дезарга относительно гомологических треугольников. Фундаментальное значение этой теоремы для геометрии нельзя не заметить.

Работы Дезарга заложили научные основы проективной геометрии, поэтому его следует по справедливости считать основоположником этой дисциплины.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины 19 столетия, пер. с нем., 2-е изд., - М., 1966.

2. Четверухин Н.Ф., Проективная геометрия, 7 изд., М., Государственное учебно-педагогическое издательство, 1961, 360 с.: ил.

3. Атанасян Л.С., Базылев В.Т., Геометрия: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. В 2 ч. Ч.2. - М.: Просвещение, 1987.-352 с.: ил.

4. Глаголев Н. А., Проективная геометрия: Учеб. пособие для студентов университетов, 2-е изд. – М.: Высшая школа, 1963. -344 с.: ил.

5. Хартсхорн Р., Основы проективной геометрии: Учеб. пособие для студентов универститетов.- М.: Мир,1970, ил..

6. Ефимов, Высшая геометрия - М.: Наука,1971, .: ил..

7. Франгулов С.А., Лекции по проективной геометрии - Л.:ЛГПИ,1975.: ил.

8. Вахмянина О.А., Измайлова Т.С., Пособие по проективной геометрии: Учеб. пособие для студентов педагогических вузов - Оренбург: ОГПИ,1994, с ил..

9. Коксетер С.М. Новые встречи с геометрией – М.: Наука, 1978, с ил.

10. Базылев, Геометрия”-М.: Просвещение, 1975

11. Потоцкий Что изучает проективная геометрия -М: Просвещение, 1982

12. Певзнер, Проективная геометрия: учеб. пособие – М.: Просвещение, 1980

13. Измайлова Т.С. Лекционный курс по проективной геометрии – Оренбург: ОГПИ, 1995.

14. Каган В.Ф., Очерки по геометрии, М..: Издательство Московского Университета, 1963. – 572с.:ил.

15. Комиссарук А.М. Проективная геометрия в задачах: Учеб. пособие для математических факультетов педагогических институтов – Минск: Высшейшая школа, 1971, 320с.:ил.