Применение определенного интеграла к решению физических задач на вычисление кинетической энергии

Кыргызско - Российский Славянский Университет

Естественно-технический факультет

Кафедра математики

Дисциплина: Математический анализ

Курс 1

Применение определенного интеграла к решению физических задач на вычисление кинетической энергии

Выполнил: Студент гр. ЕМЭ-1-00

Салихов Р. Р.

Руководитель: Доц. к.ф.м.н.

Лелевкина Л.Г.

Бишкек-2001

№2687. Стержень АВ вращается в горизонтальной плоскости вокруг оси OO¹ с угловой скоростью =10 сек^-1. Поперечное сечение стержня S=4 см², длина его l=20 см, плотность материала, из которого он изготовлен, =7,8 г/см³. Найти кинетическую энергию стержня.

№2688. Прямоугольная пластинка, стороны которой a=50 см и b=40 см, вращается с постоянной угловой скоростью , равной 3 сек^-1, вокруг стороны a. Найти кинетическую энергию пластинки. Толщина пластинки d равна 0,3 см, плотность  материала, из которого сделана пластинка, равна 8 кг/см³.

№2689. Треугольная пластинка, основание которой a=40 см, а высота h=30 см, вращается вокруг своего основания с постоянной угловой скоростью =5 сек^-1. Найти кинетическую энергию пластинки, если толщина ее d=0,2 см, а плотность материала, из которого она изготовлена, =2,2 г/см³.

№2690. Пластинка в форме параболического сегмента вращается вокруг оси параболы с постоянной угловой скоростью  сек^-1. Основание сегмента a=20 см, высота h=30 см, толщина пластинки d=0,3 см, плотность материала =7,8 кг/см³. Найти кинетическую энергию пластинки.

Энергия.

Предположим, что некоторая система тел находится в определенном состоянии, которое мы обозначим состоянием 1. Пусть внешние силы, приложенные к системе, совершают работу А, в результате которой в системе происходят какие-либо изменения. В общем случае эти изменения могут быть не только механическими, но и химическими, электрическими и т.д. После совершения внешними силами работы А система окажется в некотором новом состоянии, которое мы обозначим состоянием 2. Очевидно, состояния 1 и 2 отличаются друг от друга. Эти различия могут быть описаны детально путем указания, какие именно процессы произошли в системе и в чем именно они заключались. Но можно поставить и более общую задачу – охарактеризовать систему такой одной физической величиной, изменение которой определяло бы совершаемую над системой работу. Эта физическая величина называется энергией. Пусть в состоянии 1 система обладает энергией Е₁, а в состоянии 2 – энергией Е₂. Тогда изменение энергии Е равно:

Изменение энергии системы пропорционально работе, совершенной внешними силами, приложенными к системе:

, (1)

где  - коэффициент пропорциональности.

Положив в равенстве (1) =1, получим:

(2)

Из равенства (2) следует, что работа и энергия измеряются в одних и тех же единицах измерения, но это не выражает тождественности между энергией и работой, оно показывает только, что при соответственном выборе единиц измерения изменение энергии системы численно равно работе внешних сил.

В том случае, если изменения энергии вызваны изменением скоростей тел, говорят об изменении энергии движения, или кинетической энергии. В том случае, если изменения энергии вызваны изменением положения тел, говорят об изменении энергии положения, или потенциальной энергии.

Система может совершить отличную от нуля работу только в том случае, если изменится ее энергия. Отсюда: для замкнутой системы (работы внешних сил равны нулю) энергия остается постоянной при всех происходящих в ней процессах, при этом энергия может переходить из одних видов в другие (механические, химические, электрические и т.д.), но общее ее количество остается постоянным. Это положение носит название закона сохранения и превращения энергии.

Закон сохранения и превращения энергии позволяет более глубоко выяснить природу физической величины, которая называется работой. Т.к. энергия системы может меняться лишь за счет совершения работы, то, следовательно, работа является мерой изменения энергии.

Кинетическая энергия.

В случае механической системы рассмотрим кинетическую энергию.

Для определения кинетической энергии тела сосчитаем, какую работу надо совершить для того, чтобы изменить скорость тела массы m от значения  до значения . Для этого приложим к телу постоянную внешнюю силу f, параллельную вектору скорости ₁, которая за некоторый промежуток времени t изменит скорость от значения ₁ до значения ₂. За это время t тело пройдет путь S, и внешняя сила совершит работу:

(1)

Ввиду постоянства силы движение будет равноускоренным, причем ускорение его:

,

а, следовательно, сила:

(2)

.

Путь, пройденный телом за время t, определим через среднюю скорость ,откуда:

(3)

Подставляя полученное значение силы f и пути S по (2) и (3) в формулу (1), найдем:

,

откуда:

(4)

Работа внешних сил: , (5)

т.е. работа равна разности энергий. В данном случае речь идет о кинетической энергии тела; следовательно, работа внешних сил должна равняться разности

кинетических энергий тела; по формуле (4) она равна разности величин . Отсюда, обозначая кинетическую энергию тела через _к, получаем:

(6)

т.е. кинетическая энергия тела массы m, движущегося со скоростью , равна ; это значит, что для того, чтобы тело остановилось, внешние силы должны совершить отрицательную работу, численно равную величине ; обратно, чтобы телу с массой m сообщить скорость , внешние силы должны совершить положительную работу, численно равную .

Соотношение (4) может быть легко получено и для случая переменной силы и криволинейного движения. Пусть за произвольный малый промежуток времени t тело проходит малый путь S (см. рис.). Тогда работа  на этом пути равна:

, (7)

где - угол, который сила f составляет с направлением перемещения S.

По второму закону Ньютона ,

где  – ускорение, вызываемое рассматриваемой силой; направление вектора w совпадает с направлением силы f. Отсюда выражение (7) перепишем:

(8)

Величина cos есть проекция вектора ускорения на малое перемещение S, которое совпадает по направлению с касательной к траектории. Таким образом, cos есть касательная составляющая ускорения _t, которая равна /t, где  - изменение численного значения . Подставляя это значение cos в (8), получим:

.

Наконец, замечая, что S=t, найдем:

(9)

Чтобы получить полную работу А, совершаемую на конечном пути S, надо просуммировать выражение (9):

Вынося массу m, как величину постоянную, за знак суммы, получим:

(9а)

Для того, чтобы сосчитать эту сумму, положим изменение скорости бесконечно малым, тогда сумма заменится интегралом

взятым в пределах от скорости ₁, соответствующей началу пути, до скорости ₂, соответствующей концу пути. Выполняя интегрирование, получим:

,

откуда:

Применение определенного интеграла для решения задач физики на вычисление кинетической энергии.

Для решения задач физики на нахождение кинетической энергии вращательного движения рассмотрим тонкий стержень, вращающийся вокруг оси Ох. Момент инерции такого стержня равен , (1)

где r=y.

Тогда . (2)

Т.к. , (3)

где М-масса стержня, l-его длина, то

(4)

Проинтегрируем: , откуда: (5)

Теперь рассмотрим плоскую фигуру, ограниченную прямыми x₁=a и x₂ =b и графиком некоторой функции y=f(x). Разобьем эту фигуру на множество тонких стержней и найдем ее момент инерции как сумму моментов инерции этих стержней:

. Здесь ,

где d –толщина пластины,  - плотность вещества, l=f(x).

. Перейдем к пределу, устремив

число разбиений к бесконечности:

и проинтегрируем:

(6)

Кинетическая энергия равна: . (7)

Угловая скорость: , откуда .

Подставляя в (7), имеем: , где .

Таким образом, кинетическая энергия вращательного движения равна:

(8)

Список использованной литературы:

• С.Э. Фриш, А.В. Тиморева

Курс общей физики; т.1.

• Э. Маделунг

Математический аппарат физики

• Н. Е. Жуковский

Теоретическая механика

• Г. Н. Берман

Сборник задач по курсу математического анализа