Приближенное вычисление корней в уравнениях
Содержание.
Приближённое решение уравнений :
1.1 Способ хорд (или способ линейной интерполяции).
Способ касательных (или способ Ньютона).
Комбинированный способ (комбинированное применение способов хорд и касательных).
Заключение.
Список литературы.
Приближённое решение уравнений.
Если квадратные уравнения решали уже древние греки, то способы решения алгебраических уравнений третьей и четвёртой степени были открыты лишь в XVI веке. Эти классические способы дают точные значения корней и выражают их через коэффициенты уравнения при помощи радикалов различных степеней. Однако эти способы приводят к громоздким вычислениям и поэтому имеют малую практическую ценность.
В отношении алгебраических уравнений пятой и высших степеней доказано, что в общем случае их решения не выражаются через коэффициенты при помощи радикалов. Не выражаются в радикалах, например, корни уже такого простого по виду уравнения, как:
х^5-4х-2=0
Сказанное, однако, не означает отсутствия в науке методов решения уравнения высших степеней. Имеется много способов приближенного решения уравнений - алгебраических и неалгебраических (или, как их называют, трансцендентных), позволяющих вычислять их корни с любой, заранее заданной степенью точности, что для практических целей вполне достаточно.
На простейших из таких способов мы и остановимся, причём речь будет идти о вычислении действительных корней.
Пусть нужно решить уравнение:
f(x)=0 (1)
Если обратиться к рисунку, то каждый корень уравнения (1) представляет собой абсциссу точки пересечения графика функции y=f(х)
C осью Ох (рисунок №1)
С помощью графика функции или каким-нибудь иным способом обычно удаётся установить приблизительные значения корней. Это позволяет для каждого корня получить грубые приближения по недостатку и по избытку. Такого рода грубых приближений во многих случаях оказывается достаточно, чтобы, отправляясь от них, получить все значения корня с требуемой точностью. Об этом и пойдёт речь.
Итак, пусть корень Е уравнения (1) "зажат" между двумя его приближениями а и b по недостатку и по избытку а< E
Способ хорд (или способ линейной интерполяции).
Проведём хорду АВ (рисунок№3) и за первое приближённое значение корня примем абсциссу x1 точки С пересечения хорды с осью Ох.
Уравнение хорды имеет вид:
y-f(a)/f(b)-f(a)=x-a/b-a.
Поэтому в точке С:
-f(a)/f(b)-f(a)= x1-a/b-a
откуда:
x1=a- (b-a)*f(a)/ f(b)-f(a)
Рассмотрение всех четырёх случаев, изображённых на рисунке №2, показывает, что точка x1 лежит между a и b с той стороны от Е, где f(х) имеет знак, противоположный знаку f``(х).
Остановим внимание на первом случае: f`(х)>0, f``(х)>0 (рисунок №3), - в остальных случаях рассуждение вполне аналогично. В этом первом случае x1 лежит между a и Е. С отрезком [x1, b] поступаем так же, как мы поступаем с отрезком [a, b] (рисунок №4). При этом для нового приближённого значения корня получаем:
x1 = x2-(b- x1)*f(x1)/f(b)-f(x1)
(
в формуле (2) заменяем x1
на x2,
а на x1
); значение x2
оказывается между x1 и Е. Рассматриваем
отрезок [x2,
b]
и находим новое приближённое x3,
заключённое между x2
и Е и. т. д. В результате получим
последовательность а
хn+1=
xn-(b-
xn)*f(xn)/f(b)-f(xn)
(4)
Для
оценки погрешности соответсвующих
приближений воспользуемся формулой
Лагранжа:
f(xn)-f(E)=f`(c)*(
xn-E)
(xn
или,
поскольку
f(E)=0:
f(xn)=f`(c)(
xn-E),
откуда:
xn-Е=
f(xn)/
f`(c)
Если
обозначить через m
наименьшее значение |f`(х)|
на рассматриваемом отрезке, то для
оценки погрешности получим формулу:
|xn-E|<|f`(
xn)|/m
(5)
Эта
формула, заметим, совершенно не связана
со способом отыскивания величин xn
и, следовательно, приложила к приближённым
значениям корня, получаемым любым
методом. Формула (5) позволяет судить о
близости xn
к Е по величине значения f(xn).
Однако в большинстве случаев она даёт
слишком грубую оценку погрешности, т.
е. фактическая ошибка оказывается
значительно меньше.
Легко
доказать, что последовательность
приближений:
x1,x2,x3,…xn,…
(6)
для
корня Е, получаемых по способу хорд,
всегда сходится к Е. Из случая,
рассматривающегося выше, мы видим, что
последовательность (6) - монотонная и
ограниченная. Поэтому она имеет некоторый
предел n
n=n-(b-n)f(n)/f(b)-f(n)
откуда
F(n)=0.
Так как f(x)
возрастает на отрезке [a,
b],
то уравнение f(х)=0
имеет единственный корень, и этим корнем
по условию является Е. Поэтому n=E,
т. е. lim
xn=E.
Пример
№ 1. Методом хорд найдём положительный
корень уравнения
х^4-2х-4=0
с
точностью до 0,01.
Решение:
Положительный
корень будет находиться в промежудке
(1; 1,7), так как f(1)=-5<0,
а f(1,7)=0,952
>0
Найдём
первое приближённое значение корня по
формуле (2):
х1=1-91,7-1)*
f(1)/
f(1,7)-
f(1)=1,588;
так
как f(1,588)=-0,817<0,
то, применяя вторично способ хорд к
промежутку (1,588; 1,7), найдём второе
приближённое значение корня:
х2=
1,588-(1,7-1,588) f(1,588)/
f(1,7)-
f(1,588)=1,639;
f(1,639)=-0,051<0>
Теперь
найдём третье приближённое значение:
х3=1,639-(1,7-1,639)
f(1,639)/
f(1,7)-
f(1,639)=1,642;
f(1,642)=-0,016<0>
Теперь
найдём четвёртое приближённое значение:
х4=1,642-(1,7-1,642)
f(1,642)/
f(1,7)-
f(1,642)=1,643;
f(1,643)=0,004>0
Следовательно,
искомый корень с точностью до 0,01 равен
1,64.
1.2
Способ касательных (или способ Ньютона).
В
том из концов дуги АВ (рисунок №5), в
котором знаки f(х)
и f``(х)
совпадают, проводим касательную и за
первое приближённое значение корня
принимаем абсциссу х1` точки Д пересечения
этой касательной с осью Ох. Обратимся
вновь к первому случаю, соответствующему
первому рисунку №2 (f`(x)>0,
f``(x)>0),
- в остальных случаях рассуждают
опять-таки аналогично. Уравнение
интересующей нас касательной имеет
вид:
y-f(b)=f`(b)(x-b),
и
поэтому в точке Д:
-f(b)=f`(b)(x1`-b),
откуда:
x1`=b-f(b)/f`(b).
Из
рисунка видно, что x1`
лежит между Е и b.
С отрезком [a,
x1`]
поступаем так же, как с отрезком [a,
b]
( рисунок №5), и в результате для нового
приближённого значения корня получим:
х2`
= x1`-
f(
x1`)/
f`(
x1`).
Значение
х2` оказывается между Е и x1`.
Рассматриваем отрезок [a,
х2`] и находим новое приближение х3` и т.
д. В результате получим последовательность:
b>
x1`>
х2`> х3`>…>xn`>…>E
(7)
все
более точных приближённых значений
корня, причём:
xn+1`=
xn`-
f(xn`)/
f`(
xn`)
(8)
Эта
формула справедлива для всех четырёх
случаев, изображённых на рисунке 32. Для
оценки погрешностей полученных
приближений можно опять воспользоваться
формулой (5), как и в первом случае, легко
устанавливается сходимость последовальности
x1`,
х2`, х3`,…,xn`,…
к значению Е
Пример
№2. Методом касательных найдём
положительный корень уравнения
x^4-2x-4=0
с
точностью до 0,01.
Решение:
В
этом уравнении f(х)=х^4-2x-4,
f`(х)=4х^3-2,а
f``(х)=12x^2.Так
как f(х)
и f``(х)
при х0 = 1,7 имеют один и тот же знак, а
именно:
f(1,7)=0,952>0
и f``(1,7)>0,
то применяем формулу:
x1`=
х0- f(х0)/
f`(
х0), где f`(1,7)=4*1,7^3-2=17,652.
Тогда
x1=1,7-
0,952/17,652=1,646.
Применяем
второй раз способ касательных:
х2=
x1-
f(x1)/
f`
(x1),
где f(x1)=
f(1,646)=0,048,
f`
(1,646) =15,838;
x^2=1,646-0,048/15,838=1,643;
f(1,643)=0,004,
f`
(1,643)=15,740;
х3=1,643-0,004/15,740=1,6427.
Следовательно,
искомый корень с точностью до 0,01 равен
1,64.
1.3
Комбинированный способ
(комбинированное
применение способов хорд и касательных).
Этот
способ состоит в одновременном
использовании способов хорд и касательных.
Остановим своё внимание опять на случае,
отвечающем первому рисунку №2. Значения
x1
и x1`,
вычисляем по прежним формулам, т. е.
принимаем:
x1=a-(b-a)f(a)/f(b)-f(a),
(10)
x1`=b-f(b)/f`(b),
причём: x1
Теперь
вместо отрезка [a,
b]рассматриваем
отрезок [x1,x1`]
(рисунок №6). Это даёт:
х2=
x1-(
x1`-
x1)f(x1)/f(x1`)-f(x1),
х2`=x1`-
f(x1)/f(x1`),причём
х2
Далее
рассматриваем отрезок [х2, х2`] и т. д.
В
результате получаем:
хn
хn+1=
xn-(
xn`-
xn)f(xn)/f(xn`)-f(xn),
а хn+1`=
xn`-f(xn`)/f`(
xn`)
(11)
В
данном случае мы приближаемся к корню
сразу с обеих сторон (рисунок №6), а не
с одной стороны, как в способе хорд и
способе касательных. Поэтому разность
xn`-
xn
позволяет судить о качестве полученных
приближений, и никакие формулы для
оценки здесь не нужны.
Пример№3.
Комбинированным способом способом
вычислим с точностью до 0,0005 положительные
корни уравнения
X^5-x-0,2=0
Решение:
График многочлена f(x)=
X^5-x-0,2
для х>0 изображён на рисунке №7. Из
этого рисунка видно, что уравнение имеет
положительный единственный корень,
лежащий на отрезке 1
f(a)=f(1)=-0,2,
f(b)=f(1,1)=0,31051,
f`(b)=f`(1,1)=6,3205.
Формулы
(10) дают:
x1=1+0,1*0,2/0,51051=1,039,
x1`=1,1-0,31051/6,3205=1,051
При
этом x1`-
x1=0,012,
т. е. точность недостаточна. Совершаем
второй шаг:
f(1,039)=-0,0282;f(1,051)=0,0313,f`(1,051)=5,1005.
По
формулам(11):
х2=1,039=0,012*0,0282/0,0595=1,04469,х2`=1,051-0,0313/5,1005=1,04487.
При
этом х2`- х2=0,00018, т. е. точность достаточна.
Таким
образом:
1,04469
Любое
из фигурирующих здесь чисел можно взять
за приближённое значение Е, причём
ошибка не превзойдёт 0,00018.