Педальный треугольник

Научно – практическая конференция школьников

Понятия и свойства

педального треугольника

Подготовила Собенина Татьяна

МОУ СОШ №8 10Б класс

Руководитель Мельник Г.И.

Г. Когалым Ханты-Мансийский АО

2005 год

Содержание:

1. Вступление.

1. Педальный треугольник: стр.3-14

1. Определение педального треугольника.

2. Свойства педального треугольника.

3. Теоремы о педальном треугольнике.

4. Вычисление площади педального треугольника.

1. Ортоцентрический треугольник:

1) Определение ортоцентрического треугольника.

2) Свойства ортоцентрического треугольника.

3) Теоремы об ортоцентрическом треугольнике.

4) Минимальное свойство ортоцентрического треугольника по Г.Шварцу и то же минимальное свойство ортоцентрического треугольника по Л.Фейеру.

1. Практическая часть. Задачи и упражнения.

1. Список литературы.

6. Заключение.

ПЕДАЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

План:

1. Определение педального треугольника.

2. Свойства педального треугольника.

3. Теоремы о педальном треугольнике.

4. Вычисления площади педального треугольника.

Педальный треугольник.

Определение.

рис.1

Определение.

Пусть Р - любая точка внутри данного треугольника АВС (рис.1), и пусть перпендикуляры, опущенные из точки Р на стороны ВС, АС, АВ треугольника, будут РА₁ ,РВ₁ и РС₁. Треугольник А ₁В₁С₁ , вершинами которого являются основания этих перпендикуляров, называется педальным треугольником треугольника АВС для педальной точки Р.

Свойства педального треугольника.

Свойство1.

Если расстояния от педальной точки до вершин треугольника АВС равны x, y, z, то длины сторон педального треугольника равны

ax , by , cz, где R – радиус описанной окружности.

2R 2R 2R

Доказательство.

Около каждого из полученных четырёхугольников АС₁РВ₁, ВА₁РС₁, СВ₁РА₁ можно описать окружность (рис.1).

рис.2

Прямые углы в точках С₁ и В₁ указывают на то, что эти точки лежат на окружности с диаметром АР; другими словами, точка Р лежит на окружности, описанной вокруг треугольника АВ₁С₁. Аналогично, точка Р лежит на окружностях, описанных вокруг треугольников СА₁В₁, ВС₁А₁.Опишем окружность около четырёхугольника АВ₁РС₁; её диаметром будет АР (рис.2). Пусть В₁С₁=а , тогда на основании теоремы синусов для треугольника С₁АВ

а₁/sin A= AP (1)

Применив теорему синусов к самому треугольнику АВС, получим

а/sin A= 2R (2)

Разделив почленно равенство (1) на равенство (2):

а₁/а= АР/2R; а₁=аАР/2R.

Аналогично

b₁=bBP/2R; с₁= сСР/2R ,

где b₁=C₁A₁ , c₁= B₁A₁.

Если АР= x, ВР= y, СР= z, то длины сторон педального треугольника равны

a₁ =ax/2R; b₁=by/2R; с₁= сz/2R.

Таким образом, свойство доказано.

Замечание.

В частном случае, когда точка Р является центром описанной окружности (x=y=z=R), (рис.3), длины сторон педального треугольника равны:

а₁=а/2; b₁=b/2; с₁=с/2.

рис.3

Свойство2.

Основания перпендикуляров, опущенных из точки на стороны треугольника, лежат на одной прямой, тогда и только тогда , когда эта точка лежит на описанной окружности.

Прямая, содержащая эти основания, известна как прямая Симсона данной точки относительно данного треугольника. Прямая Симсона приписывалась ему, поскольку она казалась типичной для его геометрических идей. Однако историкам не удалось найти её в работах учёного. В действительности она была открыта в 1797 году Вильямом Уоллесом.

Доказательство.

Рассмотрим случай, когда точка Р лежит на описанной окружности(рис.4).

рис.4

Для определения будем считать, что точка Р лежит на дуге СА, не содержащей точку В.

Все остальные случаи могут быть получены преобразованием вершин буквами А, В, С. Так как углы А₁, В₁ и С₁ прямые, то точка Р также находится на окружностях, описанных вокруг треугольников А₁ВС₁, А₁В₁С и АВ₁С₁.Поэтому

^APC= 180°- ^B=^ C₁PA₁

и, вычитая ^APA₁, выводим, что

^A₁PC=^C₁PA.

Но так как точки А₁,С, Р, В₁ лежат на окружности , то

^A₁PC=^A₁B₁C,

и так как точки В , А, Р, С лежат на окружности, то

^C₁PA=^C₁B₁A,

Таким образом,

^A₁B₁C=^C₁В₁A;

Отсюда следует, что точки А₁, В₁, С₁ лежат на одной прямой, т. е. Педальный треугольник «вырождается».Наоборот, если точка Р расположена так, что педальный треугольник АВС вырождается, то, очевидно. Что точка Р должна лежать внутри одного из углов треугольника АВС и вне противолежащей ему стороны. Переобозначая вершины, если это необходимо, мы можем предположить, что этот «один угол» является углом В и что точка С₁ лежит на продолжении стороны ВА за точку А (рис.4). Повторяя проведенные выше рассуждения об углах в обратном порядке, мы получим, что точка Р лежит на описанной окружности.

Следовательно, свойство доказано и справедливо.

Замечание.

Требование, чтобы точка педальная точка находилась внутри треугольника по определению, можно ослабить, запретив лишь этой точке лежать на окружности, описанной вокруг треугольника АВС (рис.4).

Теоремы о педальном треугольнике.

Теорема1.

Если из точки L внутри треугольника АВС опущены перпендикуляры l_a, l_b, l_с , соответственно на стороны a, b, c треугольника, то

l_a/h_a + l_b/h_b + l_с /h_c =1.

Доказательство.

Соединим точку L с вершинами треугольника. Треугольник АВС разобьётся на три треугольника (рис.5).

рис.5

Назовем площади этих треугольников S_а, S_b, S_c.Имеем:

S_a/S= l_a /h_a; S_b/S =l_b/h_b; S_c/S=l_c/h_c.

Сложив левые и правые части равенств, получим

(S_a + S_b + S_c )/ S= l_a /h_a + l_b/h_b + l_c/h_c.

Так как S_a + S_b + S_c = S, то l_a /h_a + l_b/h_b + l_c/h_c =1.

Теорема доказана.

Следствие.

В равностороннем треугольнике сумма расстояний от произвольной точки, взятой внутри треугольника, до его сторон есть величина постоянная, равная высоте треугольника.

Доказательство.

В равностороннем треугольнике высоты равны, т.е. можно записать такое равенство:

l_a /h + l_b/h + l_c/h =1;

(l_a + l_b + l_c)/h =1;

l_a + l_b + l_c= h.

Следствие доказано.

Теорема2.

Перпендикуляры, опущенные из точки, лежащей в плоскости треугольника, на его стороны, определяют на сторонах шесть отрезков так, что сумма квадратов трёх отрезков, не имеющих общих концов, равна сумме квадратов трёх других.

Доказательство.

Пусть OL, OM, ON- перпендикуляры , опущенные из произвольной точки О соответственно на стороны: АВ, ВС, АС (рис.6).

рис.6

Тогда по теореме Пифагора из треугольников АОL и ВОL следует

АО² – АL² = AO² – BL ²

или

AL² – BL² = AO² – BO².

Аналогично, из треугольников ВМО и СМО

ВМ² – СМ² = ВО² – СО²,

А из треугольников CON и AON –

CN² – AN² = CO² – AO² .

Сложив эти равенства, получим:

AL² – BL² + BM² – CM² + CN² – AN² =0

или

AL²+ BM²+ CN²= BL² + CM² + AN².

Теорема доказана.

Обратная теорема.

Если на сторонах треугольника три точки определяют шесть отрезков так. Что сумма квадратов трёх отрезков, не имеющих общих концов, равна сумме квадратов трёх других, то эти три точки можно рассматривать как проекции некоторой точки на стороны треугольника.

Доказательство (метод от противного).

Пусть данное нам утверждение не верно, т.е. если точки L, M, N не являются проекцией точки О на стороны треугольника, то

AL² – BL² + BM² – CM² + CN² – AN²?0,

что противоречит условию

AL²+ BM²+ CN²= BL² + CM² + AN².

Теорема доказана.

Следствие 1.

Перпендикуляры, восстановленные из середин сторон треугольника, пересекаются в одной точке.

Следствие 2.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство.

рис.7

Из треугольников BLC и ALC , выразив сторону CL по теореме Пифагора, имеем:

BL²– АL² = a² – b² .

Аналогично, из треугольников ВАМ и САМ:

CM² - ВМ² =b² – c² .

Из треугольников СВN и АВN:

AN² - CN² = c²– a² .

Сложив эти равенства, получим:

AL²+ BM²+ CN²= BL² + CM² + AN².

По обратной теореме 2, получим, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Теорема доказана.

Перейдём к одной очень интересной задаче, с помощью которой можно доказать следующую теорему о педальных треугольниках. В ней рассматриваются педальные треугольники педальных треугольников. Данная задача в то же самое время прекрасно демонстрирует роль воображения в геометрии. Эта задача, по-видимому, впервые появилась в 1892 году, когда она была добавлена редактором Ж. Нейбергом в шестое издание классического труда Джона Кейси «Продолжение первых шести книг Начал Евклида».

рис.8

На рис.8 внутренняя точка Р использована для определения треугольника А₁В₁С₁(первого) педального треугольника АВС. Та же самая педальная точка Р снова использовалась для определения педального треугольника треугольника А₁В₁С₁, который мы обозначим через А₂В₂С₂ и назовём «вторым педальным треугольником» треугольника АВС. Третья операция даёт треугольник А₃В₃С₃– педальный треугольник треугольника А₂В₂С₂, где для «третьего педального треугольника» использовалась та же точка Р. В этих терминах открытие Нейберга можно выразить следующим образом.

Теорема 3.

Третий педальный треугольник подобен исходному.

Доказательство.

Доказательство следует из чертежа (рис.8), стоит лишь соединить точки Р и А.

Если рассмотреть окружности, описанные вокруг треугольников АВ₁С₁, А₂В₁С₂, А₃В₃С₂, А₂В₂С₁ и А₃В₂С₃, то точка Р принадлежит каждой из них, поэтому

^C₁AP = ^C₁B₁P = ^A₂B₁P = ^A₂C₂P = ^ B₃C₂P = ^B₃A₃P

и

^PAB₁ = ^PC₁B₁ = ^PC₁A₂ = ^PB₂A₂ = ^PB₂C₃ = ^PA₃C₃.

Другими словами, две части, на которые прямая АР делит угол А, имеют двойников: одна- при вершине В₁, а другая при вершине С₁, далее при вершинах С₂ и В₂ и, наконец, обе- при вершине А₃. Следовательно, треугольник АВС и треугольник А₃В₃С₃ имеют равные углы при вершинах А и А .Аналогично, они имеют равные углы В и В₃, т. е. по первому признаку подобия треугольники подобны.

Теорема доказана.

Для того, чтобы перейти к следующей теореме, рассмотрим такое понятие, как точки и углы Брокара.

Брокаром в 1875 году была поставлена следующая задача. В треугольнике АВС найти точку Q так, чтобы ^QAB = ^QBC = ^QCA.

Точку Q обычно называют точкой Брокара. Угол ?, равный каждому из углов QAB, QBC, QCA, называется углом Брокара.

Для построения точки Брокара приведём следующий способ:

Построим окружность, проходящую через точки А и С и касающуюся стороны АВ в точке А. Через А проведем АN||ВС. Эта прямая пересечёт окружность в точке N. Точка пересечения прямой NB с окружностью есть искомая точка Q (рис.9).

рис.9

Доказательство.

Обозначим угол QBC через ?, тогда угол ANB также равен ?. Угол QAB, как составленный касательной и хордой, измеряется половиной дуги AQ и поэтому равен ?.

Задача доказана.

Также по рис.9 можно доказать, что расстояние от точки Брокара до вершин треугольника АВС равны:

AQ = 2R*b*sin?/a, BQ = 2R*c*sin?/b, CQ = 2R*a*sin?/c.

А синус угла Брокара вычисляется по следующей формуле:

sin? = a*b*c/2R*? (b²c² + c²a² + a²b²)

или, т.к. a*b*c/4S = R,

sin? = 2S/?(b²c² + c²a² + a²b²).

Задача доказана.

Теорема 4.

Педальный треугольник точки Брокара подобен исходному.

Доказательство.

рис.10

1 способ.

По свойству 1 педальных треугольников, имеем:

a₁ /a*AQ =b₁ /b*BQ =c₁ /c*CQ =1/2R.

Подставляя значения AQ,BQ,CQ (рис.10) из только что доказанной задачи, имеем:

a₁*a/a*b*2R*sin? =b₁*b/b* c*2R*sin? =c₁*c/c*a*2R*sin? =1/2R,

a₁/b= b₁/c= c₁/a.

Следовательно, педальный треугольник точки Брокара подобен данному по третьему признаку.

Теорема доказана.

2 способ.

Доказательство данной теоремы построено на основе свойств педальных треугольников.

Следствие.

Педальный треугольник точки Брокара и данный треугольник имеют равные углы Брокара.

Доказательство: рис.10.

Вычисление площади педального треугольника.

Решение.

Пусть М- точка пересечения прямых n, т.е. прямых, делящих стороны треугольника пропорционально n-м степеням прилежащих сторон, и А₁С₁В₁– медальный треугольник точки М (рис.11).

рис.11

Тогда

S_А1В1С1= S_С1МВ1 + S_A1MB1= S_A1MC.

Так как данный треугольник и треугольник С₁МВ₁ отличается тем свойством, что ^A + ^ M = ?,то

S_С1МВ1/ S= С₁М* МВ₁ / c* b;

S_С1МВ1 = S*С₁М* МВ₁ / c* b.

Так как С₁М= 2S*с^n-1/(aⁿ + bⁿ +cⁿ), МВ₁= 2S*b^n-1/(aⁿ + bⁿ +cⁿ), A₁M= 2S*a^n-1/(aⁿ + bⁿ +cⁿ),

то S_А1В1С1= 4S³ * с^n-1* b^n-1/(aⁿ + bⁿ +cⁿ)²* c* b= 4S³ * с^n-2* b^n-2/(aⁿ + bⁿ +cⁿ)² .

Определив аналогично площади треугольников A₁M В₁ и A₁M С₁ и сложив полученные значения, найдём площадь педального треугольника:

S_А1В1С1= 4S³ *(b^n-2c^n-2 + c^n-2a^n-2 + a^n-2b^n-2)/ (aⁿ + bⁿ +cⁿ)² .

Задача решена.

Рассмотрим три случая, когда педальная точка данного треугольника занимает определённое место в нём, т.е. точку пересечения медиан (центр тяжести), точку пересечения биссектрис (центр вписанной окружности) и точку пересечения высот (ортоцентр).

1. Площадь педального треугольника центра тяжести.

Решение.

рис.12

По определению медиан: АК=КС, следовательно:

АК/ КС=с⁰/а⁰,…

т.е. n=0.Тогда

S_А1В1С1= 4S³ *(b^-2c^-2 + c^-2a^-2 + a^-2b^-2)/ 9.

S_А1В1С1= 4/9S³ * (a² + b² + c²)/ a²* b²* c².

Задача решена.

2. Площадь педального треугольника центра вписанной окружности.

Решение.

рис.13

По свойству биссектрисы в треугольнике:

АК/ КС=с/а,…

т.е. n=1.Тогда

S_А1В1С1= 4S³ *(1/bc + 1/ca + 1/ab)/ (a + b +c)² =4S³ *(a + b + c)/2р*a* b* c=

= 2 S³ *р/ р²*a* b* c=2 S³/ р*a* b* c= 4S²*r/2a* b* c= S*r/2R.

Задача решена.

3.Площадь педального треугольника точки пересечения высот.

Решение.

рис.14

По свойству высот в треугольнике: АВ₁/В₁С = с²/а²,…

Таким образом, n=2. Тогда

S_А1В1С1=4S³ *3/ (a² + b² + c²)²= 12 S³/ (a² + b² + c²)².

Задача решена.

ОРТОЦЕНТРИЧЕСКИЙ

ТРЕУГОЛЬНИК

План:

1) Определение ортоцентрического треугольника.

2) Свойства ортоцентрического треугольника.

3) Теоремы об ортоцентрическом треугольнике.

4) Минимальное свойство ортоцентрического треугольника по Г.Шварцу и то же минимальное свойство ортоцентрического треугольника по Л.Фейеру.

Ортоцентрический треугольник как

частный случай педального треугольника.

рис.15

Определение.

Пусть Р- точка пересечения высот треугольника АВС, т.е. его ортоцентр, и пусть перпендикуляры, опущенные из точки Р на стороны ВС, СА, АВ треугольника, будут РА₁, РВ₁, РС₁ соответственно. Треугольник А₁В₁С₁, называется ортоцентричеким треугольником относительно данного треугольника АВС.

Свойства ортоцентрического треугольника.

Свойство1.

Если высоты треугольника АВС пересекаются в точке H, то каждая из четырёх точек А, В, С, H есть ортоцентр треугольника с вершинами в трёх других точках.

Доказательство.

рис.16

Рассмотрим в качестве примера точку А (рис.16). Эта точка есть ортоцентр треугольника BHC, так как BD, HE, CF- его высоты. Прямая, соединяющая две из четырёх точек А, В, С, H, перпендикулярна прямой, соединяющей две другие точки.

Свойство доказано.

Свойство 2.

Шесть дуг описанной окружности, определяемых тремя вершинами остроугольного треугольника и тремя точками пересечения продолжений высот с описанной окружностью, попарно равны.

Доказательство.

рис.17

На рис.17 видно, что треугольники ADC и AFB подобны по первому признаку, так как они прямоугольные и угол А у них общий, поэтому ^ABB₁=^ACC₁. Аналогично ^BCC₁=^DFF₁ и ^CAA₁=^CBB₁.

Из теоремы о том, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается, следует, что

?АВ₁=?С B₁?=₁СА? , ₁ВА?= ₁ВС ? , СВ_1.

Свойство доказано.

Свойство 3.

Расстояние от ортоцентра до стороны треугольника равно отрезку от основания высоты до точки пересечения продолжений высоты с описанной окружностью.

Доказательство.

Треугольники AFH и AFB₁, ADH и ADC₁, BEA₁ и BEH равны по катету и острому углу (рис.17). Следовательно, HF= FB₁, HE= EA₁, HD= DC₁.

Свойство доказано.

Свойство 4.

Произведение отрезков, на которые высота остроугольного треугольника делит противоположную сторону, равно произведению высоты на отрезок её ортоцентра до основания высоты.

Доказательство.

Доказательство сводится к следствию из теоремы о том, что произведение отрезков хорды, проходящей через данную точку, есть величина постоянная, т.е. по рис.17:

AD*DB=CD*D C₁.

Так как по третьему свойству HD= DC₁, то

AD*DB=CD*НD.

Свойство доказано.

Свойство 5.

Произведение отрезков высоты от вершины до ортоцентра и от ортоцентра до основания есть величина постоянная.

Доказательство.

По той же теореме, на которую была ссылка в доказательстве четвёртого свойства, имеем:

ВН*НВ₁=АН*НА₁= СН*НС₁.

Или по третьему свойству:

2ВН*НF=2АН*НE= 2СН*НС₁,

таким образом,

ВН*НF=АН*НE= СН*НС₁.

Свойство доказано.

Теоремы об ортоцентрическом треугольнике.

Прежде чем сформулировать теоремы, введём следующие понятия:

Определение.

Если на стороне АВ треугольника АВС или на продолжении стороны выбрать произвольную точку D (рис.18) и через неё провести прямую DF так, чтобы ^ADF=^C,то прямая DF антипараллельна стороне ВС.

рис.18

Через произвольную точку D на стороне АВ треугольника АВС можно провести две антипараллели: DF, антипараллельную ВС, и DE, антипараллельную АС.

Если на гипотенузе прямоугольного треугольника выбрать произвольную точку и из этой точки восстановить перпендикуляр к гипотенузе, то этот перпендикуляр антипараллелен катетам. Высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, антипараллельна катетам.

Теорема 1.

Окружность, проведённая через вершины треугольника, пересекает две стороны треугольника в точках D и F так, что DF антипараллельна третьей стороны.

Доказательство.

рис.19

Имеем ^СDF + ^В= ?, как сумма противолежащих углов вписанного четырёхугольника (рис.19).

^CDF + ^FDA= ?.

Отсюда, ^В= ^FDA, тогда по определению DF и CB антипараллельны.

Теорема доказана.

Теорема 2.

Касательная, проведённая в вершине треугольника к окружности, описанной около треугольника, антипараллельна противоположной стороне.

Доказательство.

^EAB измеряется половиной дуги АМВ; ^C измеряется половиной дуги АМВ (рис.20). Следовательно, ^C= ^EAB.

рис.20

Теорема доказана.

Определение.

Треугольник, стороны которого касаются окружности, описанной около данного треугольника, в вершинах этого треугольника, называется тангенциальным треугольником. Треугольник А₁В₁С₁- тангенциальный относительно данного остроугольного треугольника АВС (рис.21).

рис.21.

Выразим углы тангенциального треугольника через углы данного. Угол А₁ измеряется полуразностью дуг САВ и ВС:

А₁= ?(?САВ – ?ВС)= ?(2?- 2?ВС)= ?- ?ВС = ?- 2^A.

Для углов В₁ и С₁ получаются аналогичные выражения:

А₁= ?- 2^A, В₁= ?- 2^В, С₁= ?- 2^A.

Теорема 3.

Стороны ортоцентрического треугольника антипараллельны сторонам данного.

Доказательство.

Углы АВ₂В и АА₂В прямые (рис.21), следовательно, около четырёхугольника АВ₂А₂В можно описать окружность, т.е. по теореме 1 В₂А₂ антипараллельна АВ. Аналогично, стороны В₂С₂ и С₂А₂ соответственно антипараллельны ВС и СА.

Теорема доказана.

Теорема 4.

В остроугольном треугольнике высоты треугольника являются биссектрисами внутренних углов при вершинах ортоцентрического треугольника.

Доказательство.

Треугольники А₂ВА и С₂ВС подобны по первому признаку, так как они прямоугольные и угол В у них общий, следовательно,

АВ/СВ= А₂В/С₂В;

рис.22

таким образом, треугольники А₂ВС₂ и АВС подобны по второму признаку подобия треугольников (рис.22).

Из подобия треугольников следует, что

^C₂A₂B= ^A, ^A₂C₂B= ^C

^AA₂C₂= ?/2 - ^C₂A₂B= ?/2 -^A, ^CC₂A₂= ?/2 - ^C.

Подобным же образом можно получить

^BB₂A₂= ?/2 -^B, ^CC₂B₂= ?/2 - ^C.

^AA₂B₂= ?/2 -^A, ^ BB₂C₂= ?/2 -^B.

Итак, высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами внутренних углов при вершинах ортоцентрического треугольника.

Теорема доказана.

Следствие.

Ортоцентричекий и тангенциальный треугольники остроугольного треугольника подобны.

Доказательство.

Действительно, углы ортоцентрического треугольника соответственно равны углам тангенциального треугольника (рис.22).

^A₁= ?- 2^A, ^B₁= ?- 2^B, ^C₁= ?- 2^C.

^A₂= 2(?/2 -^A) = ?- 2^A, ^B₂= ?- 2^B, ^C₂= ?- 2^C/

Теорема доказана.

Рассмотрим более обобщающую теорему, т.е. более сильное утверждение.

Теорема 5.

Если в треугольнике АВС две прямые ВМ и СN, исходящие из вершин треугольник, пересекаются на высоте АD, то эта высота есть биссектриса угла МDN.

Доказательство.

Опустим из точек M и N перпендикуляры MF и NH на сторону ВС (рис.23).

рис.23

ВМ?NH= G,CN?MF=E.

Треугольники NOG и EOM подобны, так как ^NOG= ^EOM – как вертикальные углы, ^NGO= ^OME – как внутренние накрест лежащие, т.е. по первому признаку подобию. Следовательно,

NG/ME= NO/OE= HD/DF.

Далее

ME/MF=AO/AD= NG/NH, т.е. NH/MF= NG/ME.

Сравнивая полученные равенства, получаем:

NH/MF= HD/DF.

Следовательно, треугольники NHD и MFD подобны, ^NDH= ^MDF и высота АD делит угол пополам.

(Теорема 4 есть частный случай доказанной теоремы.)

Теорема доказана.

Теорема 6.

Площадь остроугольного треугольника равна среднему геометрическому площадей ортоцентрического и тангенциального треугольников.

Доказательство.

рис.24

Обозначим площади и полупериметры основного, ортоцентрического и тангенциального треугольников соответственно через S, p, S_h, p_h, S_t, pt.Из подобия тангенциального и ортоцентрического треугольников получаем:

S_t/S_h= p_t²/p_h² (1), S_t= p_tR (2).

Площадь S треугольника АВС равна сумме площадей следующих трёх четырёхугольников: АВ₂ОС₂, А₂ОВ₂С, А₂ОС₂В (рис.24). Диагонали этих четырёхугольников взаимно перпендикулярны, так как радиусы ОА, ОВ, ОС соответственно перпендикулярны к прямым В₂С₂, А₂С₂, А₂В₂ (эти прямые параллельны касательным в вершинах треугольника к окружности, описанной около треугольника). Поэтому

S= ?(R* А₂С₂ + R* А₂В₂ + R* В₂С₂) = R*p_h (3).

Равенства (2) и (3) дают

S_t/ S= p_t/p_h (4).

Сравнивая равенства (1) и (4), получим:

S_t²/ S² = S_t/S_h.

Отсюда, S² = S_t*S_h, или S=? S_t*S_h.

Из равенства (3) следует p_h = S/R.

Теорема доказана.

Доказанная нами теорема есть частный случай следующей теоремы.

Теорема 7.

Если в данный треугольник и около данного треугольника описать треугольник так, чтобы их стороны были параллельны, то площадь данного треугольника равна среднему геометрическому между площадями вписанного и описанного треугольников.

Доказательство.

Пусть в треугольник АВС вписан треугольник DEF и около треугольника АВС описан треугольник MNP; стороны треугольника DEF параллельны сторонам треугольника MNP (рисю25).

рис.25

Соединим точку N с точками D, E, F и M с точками D и F.

S_ABC = S_AEF + S_EFD + S_ECD + S_BFD.

S_AEF = S_ENF (так как AN||EF)

S_BFD = S_MFD (так как MP||FD)

S_DCE = S_DNE (так как NP||DE)

S_DEF = S_DEF

S_ABC = S_ENF + S_MFD + S_DNE + S_BFD = S_DNF + S_MDF= DF*NK/2 + DF*ML/2 = b₁*H/2,

где DF = b₁, H- высота треугольника MNP, проведённая из вершины N/

S_MNP = b*H/2, где МР = b;

S_DEF = b₁*H₁/2, где Н₁- высота треугольника DEF.

Таким образом, имеем:

S_MNP/ S_DEF = b*H/b₁*H₁= b/b_1;

S_ABC/ S_DEF = H/H₁ = b/b₁; следовательно, S_MNP/ S_DEF = S_ABC/ S_DEF.

Теорема доказана.

Минимальное свойство ортоцентрического треугольника по Г.Шварцу и то же минимальное свойство ортоцентрического треугольника по Л. Фейеру.

Теорема.

Из всех треугольников, вписанных в данный остроугольный треугольник АВС, ортоцентрический треугольник имеет наименьший периметр.

Доказательство Г.А. Шварца.

Отразим треугольник АВС от стороны ВС; полученный таким образом треугольник А^’ВС отразим от стороны СА^’; результат этого второго отражения отразим от стороны А’B’ и после этого произведём ещё три отражения последовательно от сторон B’C’, C’A’ и А”B” (рисю26).

рис.26

Непосредственно видно из чертежа, что положение A”B”C” может быть получено простым параллельным переносом. Чтобы убедиться в этом, проследим, что происходит с треугольником после двух первых отражений. Вместо того, чтобы подвергать его двукратному отражению, можно перевести исходный треугольник в третье положение простым вращением его по часовой стрелке в его плоскости вокруг неподвижной вершины С на угол 2?(?,?,?-углы, соответствующие вершинам А, В и С). Точно так же можно перевести его из этого положения в пятое вращением по часовой стрелке в его плоскости вокруг неподвижной точки B’ на угол 2?, и вращением на угол 2? вокруг неподвижной точки А” можно перевести его в положение седьмое, то есть в конечное положение. В сумме мы повернули бы треугольник АВС по часовой стрелке на угол 2?+2?+2?, то есть на угол равный 2?. В результате, треугольник АВС совершает полный оборот и принимает то же самое положение, что и вначале, оказываясь передвинутым в своей плоскости параллельно самому себе. Следовательно, ВС параллельна B”C”.

Проследим теперь за теми изменениями, которые получит при этих последовательных отражениях ортоцентрический треугольник FEG.

Можно доказать, что ^AFG=^CFE. На основании этого утверждения замечаем, что отрезок EG в своём втором положении и, точно также, в последующих положениях одна из сторон треугольника будет последовательно располагаться на продолжении прямой, проходящей через FE. Поэтому, прямая EE” будет состоять их шести отрезков, из которых два равны FG, два – EG и два – FE; следовательно, она равна удвоенному периметру треугольника WUV.

Проследим точно таким же образом за положениями, которые будет последовательно принимать какой-либо другой треугольник WUV, вписанный в данный треугольник АВС. Так же убедимся, что ломаная линия UV’W’U’V”W”U”, равна удвоенному периметру треугольника WUV. В четырехугольнике EE”U”U противоположные стороны UE и U”E”

параллельны и равны, как соответственные отрезки в различных положениях треугольника АВС. Следовательно, EE”U”U – параллелограмм, а значит, UU’=EE’. Таким образом, UU” также равно данному периметру треугольника FEG.

Но с другой стороны, непосредственно очевидно, что UU” короче проведённой между теми же конечными точками ломаной. Следовательно, периметр треугольника FEG меньше периметра треугольника WUV, что и требовалось доказать.

Теорема доказана.

Доказательство Л. Фейера.

Пусть в данный остроугольный треугольник АВС вписан произвольный треугольник WUV так, что его вершина U лежит на стороне ВС, V – на стороне СА и W – на стороне АВ.

Отобразим зеркально вершину U от двух прямых АС и АВ. Пусть её зеркальными образами будут соответственно точки U’ и U”. В силу основных свойств зеркального отображения, отрезок UV равен отрезку U’V, а отрезок UW равен отрезку U”W. Поэтому периметр треугольника WUV, составленного из отрезков UV, VW и WU, будет равен длине ломаной линии U’VWU” (рис.27).

рис.27

Если оставить точку U на прежнем месте, а точкам V и W придать другое положение, то точки U’ и U”, положения которых определяются лишь только точкой U и данным треугольником АВС, останутся неподвижными. Это означает, что ломаная линия U’VWU”, длина которой всегда равна периметру треугольника WUV, при всех возможных положениях точек V и W останется натянутой между неподвижными концами U’ и U”. Но линия, соединяющая точки U’ и U”, будет кратчайшей лишь в том случае, если она будет прямой. Следовательно, отрезок U’U” даёт величину наименьшего периметра, который может иметь вписанный треугольник с фиксированной вершиной U. Обозначим две остальные вершины такого треугольника с минимальным периметром и фиксированной вершиной U через M и N.

Теперь необходимо сравнить между собой все минимальные треугольники, соответствующие различным положениям вершины U, и выбрать из них тот, периметр которого будет наименьшим периметром из всех возможных вписанных треугольников. Таким образом, вершину U требуется поместить так, чтобы отрезок U’U” был наименьшим. Заметим, что треугольник АU’U” равнобедренный, так как AU=AU’=AU”. Величина угла U’AU” от положения точки U не зависит и определяется заданным треугольником АВС. Действительно,

^UAB=^U”AB,

^UAC=^U’AC;

следовательно,

^U”AU=2^UAB

и

^U’AU=2^UAC,

таким образом,

^U’AU+^U”AU=2^UAB+2^UAC

или

^U’AU”=2^CAB.

Отрезок U’U”, который мы должны сделать наименьшим, является основанием равнобедренного треугольника AU’U”. Так как ^U’AU” от положения U не зависит, то во всех треугольниках AU’U”, полученных при возможных положениях U, углы при вершине совпадают. Из этих треугольников наименьшее основание имеет тот, у которого боковые стороны наименьшие. Но AU=AU’=AU”, следовательно, U’U” будет наименьшим, если точка U будет выбрана так, чтобы расстояние АU было наикратчайшим.

Но отрезок AU соединяет точку А с прямой ВС. Известно, что кратчайшим расстоянием от точки до прямой является перпендикуляр, следовательно, AU – высота треугольника АВС, опущенная из вершины А.

Построим искомый вписанный треугольник EFG наименьшего периметра.

рис.28

Пусть Е- основание перпендикуляра, опущенного из А на ВС. Пусть точка Е’- точка, симметричная точке Е относительно АС, Е”- симметричная точке Е относительно АВ. Тогда отрезок Е’Е” будет равен наименьшему периметру вписанного треугольника. Две другие вершины искомого треугольника определяются точками пересечения F и G прямой Е’Е” со сторонами АС и АВ.

Задача всегда имеет одно решение, так как точка Е – определённая (Е- основание высоты АЕ) и точки G и F при найденной точке Е также являются определёнными.

Точка Е получена как основание высоты, опущенной из вершины А. Вершины G и F получены другим способом. Но можно было бы начать решение задачи с отыскания вершины G, а не Е; тогда для её отыскания пришлось бы провести высоту СG. Так как задача допускает единственное решение, то точки G и F также служат основаниями высот и, следовательно, треугольник наименьшего периметра есть ортоцентрический треугольник.

Теорема доказана.

Замечание.

В доказательстве Шварца требование, чтобы треугольник был остроугольный необходимо, так как только в таком треугольнике его ортоцентрический треугольник целиком лежит внутри исходного треугольника. Это требование выражается в том, что ортоцентрический треугольник уже предполагается вписанным. Если же треугольник является прямоугольным или тупоугольным, то наименьший по периметру вписанный «треугольник» является вырожденным- он представляет собой дважды взятую высоту треугольника, опущенную из наибольшего угла (рис.29, периметр любого вписанного а АВС треугольника больше дважды взятой высоты.).

рис.29

В доказательстве Фейера остроугольность треугольника связана с тем, что угол U’AU” меньше ?, и точки пересечения M и N прямой U’U” с АС и АВ лежат на самих этих сторонах. Точно так же основание высоты АЕ лежит на стороне ВС, а не на её продолжении.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ.

Задачи и упражнения.

1. Тема: «Педальный треугольник».

Задача 1.

Определить стороны педального треугольника точки J (центра вписанной окружности) относительно треугольника АВС.

Решение.

рис.30

Пусть А₁В₁С₁– педальный треугольник (рис.30), тогда по теореме 1:

В₁С₁= а₁= ;

Из прямоугольного треугольника АВ₁J имеем:

АJ²= (p-a)² + r,

так как АВ₁= (р-а), и В₁J=r, где р =.

Следовательно, АJ²=(p-a)²+=*(p²–ap+p²–cp+b²)=

*=.

Значит,

АJ=

и

В₁С₁= а₁= = .

Итак,

В₁С₁= 2(p-a)*.

Аналогично

С₁А₁= 2 (p-b)* .

A₁B₁= 2(p-c)* .

Задача решена.

Задача 2.

Определить стороны педального треугольника точки G (центра тяжести треугольника) относительно треугольника АВС.

Решение.

рис.31

Пусть А₁В₁С₁– педальный треугольник. Пусть стороны педального треугольника равны а₁, b₁, c₁(рис.31).

По тереме1:

a₁=; b₁=; c₁= .

Так как AG = , то

а₁=;

a₁=.

Аналогично,

b₁=,

c₁=.

Задача решена.

Задача 3.

Две касательные к окружности, касающиеся её в точках В и С, пересекаются в точке А. Пусть А₁В₁С₁– педальный треугольник равнобедренного треугольника АВС для произвольной точки Р на этой окружности. Показать, что |РА₁|² =|РВ₁|*|РС₁|.

Решение.

рис.32

Проведём отрезки РВ, РС, С₁А₁, А₁В₁ (рис32). Вписанные четырёхугольники А₁РВ₁С и А₁ВС₁Р дают

^A₁B₁P= ^A₁CP= ^BCP= ^C₁BP= ^C₁A₁P,

^PA₁B₁ = ^PCB₁ = ^PCB= ^PBA₁ = ^PC₁A₁.

Тогда треугольники РА₁В₁и РС₁А₁ подобны по первому признаку подобия, то есть по определению |РА₁|² =|РВ₁|*|РС₁|.

Задача решена.

Задача 4.

Площадь треугольника со сторонами а, b, c равна S. Найдите площадь педального треугольника точки Брокара.

Решение.

По теореме 4, педальный треугольник точки Брокара относительно данного треугольника подобен последнему, причём

a₁/b= b₁/c= c₁/a= sin ?.

Следовательно, отношение площади педального треугольника S₁ точки Брокара к площади данного треугольника S равно:

S₁/S = sin²?.

Так как

sin²?= =,

то S₁/S =,

откуда S₁=.

Задача решена.