Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции
Примеры
Примеры: в нижеследующих примерах приведены образцы исследования элементарных функций, заданных формулами, содержащими обратные тригонометрические функции.
Пример №1. Исследовать функции arcsin(1/x) и arccos(1/y) и построить их графики.
Решение: Рассмотрим 1-ю функцию
y
y = arcsin(1/x)
y
Д(f): | 1/x | ? 1 ,
-?/2
?/2
| x | ? 1 ,
( - ? ; -1 ] U [ 1; + ? )
-1
0
1
x
y
x
Функция нечетная
( f(x) убывает на пр. [0;1] , f(y) убывает на пр. [0;?/2] )
Заметим, что функция y=arccosec(x) определяется из условий cosec(y)=x и y є [-?/2; ?/2], но из условия cosec(y)=x следует sin(y)=1/x, откуда
y
y=arcsin(1/x). Итак, arccos(1/x)=arcsec(x)
?
Д(f): ( - ? ; -1 ] U [ 1; + ? )
?/2
0
1
-1
Пример №2. Исследовать функцию y=arccos(x2).
Решение:
?/2
Д(f): [-1;1]
Четная
f(x) убывает на пр. [0;1]
f(x) возрастает на пр. [-1;0]
0
-1
x
1
Пример №3. Исследовать функцию y=arccos2(x).
Решение: Пусть z = arccos(x), тогда y = z2
f(z) убывает на пр. [-1;1] от ? до 0.
f(y) убывает на пр. [-1;1] от ?2 до 0.
x
0
1
-1
Пример №4. Исследовать функцию y=arctg(1/(x2-1))
Решение:
Д(f): ( - ? ; -1 ) U ( -1; 1 ) U ( 1; +? )
Т.к. функция четная, то достаточно исследовать функцию на двух промежутках:
[ 0 ; 1 ) и ( 1 ; +? )
y
X ?/2 |
0 |
< x < |
1 |
< x < |
+? |
u=1/(x2-1) 1 -1 |
-1 |
? |
+ ? - ? |
? |
0 |
y=arctg(u) 0 x |
- ?/4 |
? |
?/2 - ?/2 |
? |
0 |
-?/2
-?/4
Тригонометрические операции над аркфункциями
Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются алгебраически одна через другую, поэтому в результате выполнения какой-либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое выражение.
В силу определения аркфункций:
sin(arcsin(x)) = x , cos(arccos(x)) = x
(справедливо только для x є [-1;1] )
tg(arctg(x)) = x , ctg(arcctg(x)) = x
(справедливо при любых x )
Графическое различие между функциями, заданными формулами:
y=x и y=sin(arcsin(x))
x
y
0
x
y
0
1
-1
Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших тригонометрических операций над аркфункциями.
Аргумент
функция |
arcsin(x) |
arccos(x) |
arctg(x) |
arcctg(x) |
sin |
sin(arcsin(x))=x |
|
|
|
cos |
|
x |
|
|
tg |
|
|
x |
1 / x |
ctg |
|
|
1 / x |
x |
Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи рассуждений, приведенных ниже:
Т.к. cos2x + sin2x = 1 и ? = arcsin(x)
Перед радикалом следует взять знак “+”, т.к. дуга принадлежит правой полуокружности (замкнутой) , на которой косинус неотрицательный.
Значит, имеем
Из тождества следует:
Имеем
Ниже приведены образцы выполнения различных преобразований посредством выведения формул.
Пример №1. Преобразовать выражение
Решение: Применяем формулу , имеем:
Пример №2. Подобным же образом устанавливается справедливость тождеств:
Пример №3. Пользуясь
Пример №4. Аналогично можно доказать следующие тождества:
Пример №5. Положив в формулах
, и
, получим:
,
Пример №6. Преобразуем
Положив в формуле ,
Получим:
Перед радикалами взят знак “+”, т.к. дуга принадлежит I четверти, а потому левая часть неотрицательная.
Соотношения между аркфункциями
Соотношения первого рода – соотношения между аркфункциями, вытекающими из зависимости между тригонометрическими функциями дополнительных дуг.
Теорема. При всех допустимых х имеют место тождества:
arcsin(x)
arccos(x)
x
y
1
-1
Соотношения второго рода – соотношения между аркфункциями, вытекающие из соотношений между значениями тригонометрических функций от одного и того же аргумента. Посредством соотношений 2-го рода производятся преобразования одной аркфункции в другую (но от различных аргументов).
Случай №1. Значения двух данных аркфункций заключены в одной и той же полуокружности.
Пусть, например, рассматривается дуга ?, заключенная в интервале (-?/2; ?/2).
Данная дуга может быть представлена как в виде арксинуса, так и в виде арктангенса. В самом деле, дуга имеет синус, равный sin? и заключена, так же как и ?, в интервале (-?/2; ?/2), следовательно
Аналогично можно дугу ? представить в виде арктангенса:
А если бы дуга ? была заключена в интервале ( 0 ; ? ), то она могла бы быть представлена как в виде арккосинуса, так и в виде арккотангенса:
Так, например:
Аналогично:
Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых содержаться в одной и той же полуокружности (правой или верхней).
Выражение через арктангенс.
Пусть , тогда
Дуга , по определению арктангенса, имеет тангенс, равный и расположена в интервале (-?/2; ?/2).
Дуга имеет тот же тангенс и расположена в том же интервале (-?/2; ?/2).
Следовательно,
(1)
(в интервале ( -1 : 1 )
Выражение через арксинус.
Т.к. , то (2)
в интервале
Выражение арккосинуса через арккотангенс. Из равенства следует тождество
(3)
Случай №2. Рассмотрим две аркфункции, значения которых выбираются в различных промежутках (например, арксинус и арккосинус; арккосинус и арктангенс и т.п.). Если аргумент какой-либо аркфункции (т.е. значение тригонометрической функции) положителен, то соответственно аркфункция (дуга), заключенная в первой четверти, может быть представлена при помощи любой аркфункции; так, например,
Поэтому каждая из аркфункций от положительного аргумента может быть выражена посредством любой другой аркфункции.
Значение какой-либо аркфункции от отрицательного аргумента принадлежит либо промежутку от -?/2 до 0, либо промежутку от ?/2 до ? и не может быть представлено в виде аркфункции, значение которой принадлежит другому (из этих двух) промежутку.
Так, например, дуга не может быть значением арксинуса. В этом случае
Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых выбираются в различных полуокружностях.
Выражение арксинуса через арккосинус.
Пусть , если , то . Дуга имеет косинус, равный , а поэтому
При это равенство выполняться не может. В самом деле, в этом случае
, а для функции имеем:
так как аргумент арккосинуса есть арифметический корень , т.е. число неотрицательное.
Расположение рассматриваемых дуг пояснено на рисунке:
Х>0 X<0>
При отрицательных значениях Х имеем Х<0, а при положительных X>0, и
Таким образом, имеем окончательно:
если , (4)
, если
График функции
1
-1
Область определения есть сегмент [-1;1]; согласно равенству (4), закон соответствия можно выразить следующим образом:
, если
, если
Аналогично установим, что при имеем:
, если же , то
Таким образом:
, если (5)
, если
Выражение арктангенса через арккосинус. Из соотношения
при имеем:
Если же х<0, то
Итак,
, если (6)
, если
Выражение арккосинуса через арктангенс. Если , то
При имеем:
Итак,
, если (7)
, если
Выражение арктангенса через арккотангенс.
, если х>0 (8)
,если x<0>
При x>0 равенство (8) легко установить; если же x<0, то
.
Выражение арксинуса через арккотангенс.
, если (9)
, если
Выражение арккотангенса через арксинус.
,
если 0
, если х<0>
Выражение арккотангенса через арктангенс.
, если x>0 (11)
, если x<0>
Примеры:
Пример №1. Исследовать функцию
Решение. Эта функция определена для всех значений х, за исключением значения х=0 (при х=0) второе слагаемое теряет смысл). Воспользовавшись формулой (8) получим:
Y
y= 0 , если x>0
-? , если x<0>
X
На чертеже изображен график
данной функции
Пример №2. Исследовать функцию
Решение: Первое слагаемое определено для значений , второе – для тех же значений аргумента. Преобразим первое слагаемое по формуле (4).
Т.к. , то получаем
,
откуда:
на сегменте [0;1]
Пример №3. Исследовать функцию
Решение: Выражения, стоящие под знаками аркфункций не превосходят по абсолютной величине единицы, поэтому данная функция определена для всех значений х. Преобразуем первое слагаемое по формуле (4).
Приняв во внимание равенство
, если
, если
получим:
y = 0 , если
, если
Выполнение обратных тригонометрических операций над тригонометрическими функциями.
При преобразовании выражений вида
следует принимать во внимание в какой четверти находится аргумент х и в каком промежутке находится значение данной аркфункции. Рассмотрим, например, первое из данных выражений:
Согласно определению арксинуса, y – есть дуга правой полуокружности (замкнутая), синус которой равен sin x;
и
Областью определения функции служит интервал , так как при всех действительных значениях х значение промежуточного аргумента содержится на сегменте . При произвольном действительном х значение y (в общем случае) отлично от значения х.
Так, например, при х=?/6 имеем:
но при х=5?/6
В силу периодичности синуса функция arcsin x также является периодической с периодом 2?, поэтому достаточно исследовать ее на сегменте [-?/2; 3?/2] величиной 2?.
Если значение х принадлежит сегменту [-?/2; ?/2] то y=x, на этом сегменте график функции совпадает с биссектрисой координатного угла.
Если значение х принадлежит сегменту [?/2; 3?/2], то в этом случае дуга ?-х принадлежит сегменту [-?/2; ?/2]; и, так как
, то имеем y=?-х;
в этом промежутке график функции совпадает с прямой линией y=?-х. Если значение х принадлежит сегменту [3?/2; 5?/2], то, пользуясь периодичностью или путем непосредственной проверки, получим:
y=х-2?
Если значение х принадлежит сегменту [-3?/2; -?/2], то
y=-?-х
Если значение х принадлежит сегменту [-5?/2; -3?/2], то
y=х+2?
Вообще, если , то
y=х-2?k
и если , то
y=(?-х)+2?k
График функции представлен на рисунке. Это ломаная линия с бесконечным множеством прямолинейных звеньев.
-?
?
X
Y
Рассмотрим функцию
Согласно определению арккосинуса, имеем:
cos y = cos x, где
Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел; функция периодическая, с периодом, равным 2?. Если значение Х принадлежит сегменту [0; ?], то y = x. Если х принадлежит сегменту [?; 2?], то дуга 2?-х принадлежит сегменту [0; ?] и , поэтому:
Следовательно, на сегменте [?; 2?] имеем y = 2? - x
Если х принадлежит сегменту [2?; 3?], то y = x - 2?
Если х принадлежит сегменту [3?; 4?], то y = 4? – x
Вообще, если , то y = x - 2?k
Если же , то y = -x + ?k
Графиком функции является ломаная линия
-?
?
0
Х
Y
Формулы сложения
Формулы сложения дают выражения для суммы или разности двух (или нескольких) аркфункций через какую-либо данную аркфункцию. Пусть дана сумма аркфункций; над этой суммой можно выполнить любую тригонометрическую операцию. (....) В соответствии с этим дуга-функция может быть выражена посредством любой данной аркфункции. Однако в различных случаях (при одних и тех же аркфункциях) могут получаться различные формулы, в зависимости от промежутка, в котором берется значение рассматриваемой аркфункции.
Сказанное пояснено ниже на числовых примерах.
Примеры.
Пример №1. Преобразовать в арксинус сумму
Решение: эта сумма является суммой двух дуг ? и ?, где
;
В данном случае (т.к. , а следовательно, ), а также , поэтому .
Вычислив синус дуги ?, получим:
Т.к. сумма ? заключена на сегменте [-?/2; ?/2], то
Пример №2. Представить дугу ?, рассмотренную в предыдущем примере, в виде арктангенса. Имеем:
Откуда
Пример №3. Представить посредством арктангенса сумму
Решение: в данном случае (в отличие от предыдущего) дуга ? оканчивается во второй четверти, т.к. , а . Вычисляем
В рассматриваемом примере , так как дуги ? и заключены в различных интервалах,
, а
В данном случае
Пример №4. Представить дугу ?, рассмотренную в предыдущем примере, в виде арккосинуса.
Решение: имеем
Обе дуги ? и расположены в верхней полуокружности и имеют одинаковый косинус, следовательно, эти дуги равны:
Так как суммы и разности любых аркфункций можно выражать при помощи произвольных аркфункций, то можно получать самые разнообразные формулы сложения. Однако все эти формулы выводятся при помощи однотипных рассуждений. Ниже в качестве примеров даются некоторые из формул сложения, по этим образцам можно получить аналогичные формулы в различных прочих случаях.
Формулы сложения аркфункций от положительных аргументов.
Пусть ? и ? – две дуги, заключенные в промежутке от 0 до ?/2 (первая четверть):
, и
Сумма ? + ? заключена в верхней полуокружности , следовательно, ее можно представить в виде аркфункции, значение которой выбирается в том же интервале, т.е. в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса:
;
Разность ? – ? заключена в правой полуокружности:
Следовательно, она может быть представлена в виде арксинуса, а также в виде арктангенса:
;
Так как значение всякой аркфункции от положительного аргумента заключено в интервале (0; ?/2) то сумму двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса, а разность двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арктангенса.
Ниже приведены образцы соответствующих преобразований.
Преобразуем в арккосинус , где и
Имеем:
Откуда
Аналогично
, где 0 < x < 1, 0 < y < 1
, где 0 < x < 1, 0 < y < 1
Формулы сложения аркфункций от произвольных аргументов.
Выразить сумму через арксинус
По определению арксинуса
и ,
откуда
Для дуги ? возможны следующие три случая:
Случай 1:
Если числа x и y разных знаков или хотя бы одно из них равно нулю, то имеет место случай 1.
В самом деле, при и , имеем:
, и ,
откуда
При x > 0, y > 0 для дуги ? имеет место одна из следующих двух систем неравенств:
а) б)
Необходимым и достаточным признаком, позволяющим отличить один от другого случаи а) и б), является выполнение неравенства:
в случае а) и в случае б)
В самом деле, взаимно исключающие друг друга соотношения а) и б) влекут за собой взаимно исключающие следствия и (соответственно), а потому эти следствия служат необходимыми и достаточными признаками наличия данных соотношений.
Вычислив , получим:
При x > 0, y > 0 наличие случая 1 означает выполнения неравенства а) т.е. или
Откуда
и, следовательно,
Наличие случая 1 при x < 0, y < 0 означает выполнение неравенств
;
но тогда для положительных аргументов –x и –y имеет место случай 1, а потому
или
Случай 2.
В этом случае x > 0, y > 0, т.е. выполняется неравенство б); из условия получим
Случай 3.
Этот случай имеет место при x < 0, y < 0, и
Изменив знаки на противоположные придем к предыдущему случаю:
откуда
Дуги ? и имеют одинаковый синус, но (по определению арксинуса) , следовательно в случае 1 ;
в случае 2 и в случае 3 .
Итак, имеем окончательно:
, или
; x > 0, y > 0, и (1)
; x < 0, y < 0, и
Пример:
;
2. Заменив в (1) x на –x получим:
, или
; x > 0, y > 0, и (2)
; x < 0, y < 0, и
3. Выразить сумму через арккосинус
и
имеем
Возможны следующие два случая.
Случай 1: если , то
Приняв во внимание, что обе дуги и расположены в промежутке [0;?] и что в этом промежутке косинус убывает, получим
и следовательно, , откуда
Случай 2: . Если , то
,
откуда при помощи рассуждений, аналогичных предыдущим, получим . Из сопоставления результатов следует, что случай 1 имеет место, если , а случай 2, если
.
Из равенства следует, что дуги
и имеют одинаковый косинус.
В случае 1 , в случае 2 , следовательно,
,
, (3)
4. Аналогично
,
, (4)
пример:
5.
; xy < 1
; x > 1, xy > 1 (5)
; x < 0, xy > 1
При xy=1 не имеет смысла
6.
; xy > -1
; x > 0, xy < -1 (6)
; x < 0, xy < -1
7.
;
; (7)
;
8.
; (8)
;
9.
;
; x > 1 (9)
; x < -1
10. (10)
(11)
, если (12)
, если