Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Примеры

Примеры: в нижеследующих примерах приведены образцы исследования элементарных функций, заданных формулами, содержащими обратные тригонометрические функции.

Пример №1. Исследовать функции arcsin(1/x) и arccos(1/y) и построить их графики.

Решение: Рассмотрим 1-ю функцию

y

y = arcsin(1/x)

y

Д(f): | 1/x | ? 1 ,

-?/2

?/2

| x | ? 1 ,

( - ? ; -1 ] U [ 1; + ? )

-1

0

1

x

y

x

Функция нечетная

( f(x) убывает на пр. [0;1] , f(y) убывает на пр. [0;?/2] )

Заметим, что функция y=arccosec(x) определяется из условий cosec(y)=x и y є [-?/2; ?/2], но из условия cosec(y)=x следует sin(y)=1/x, откуда

y

y=arcsin(1/x). Итак, arccos(1/x)=arcsec(x)

?

Д(f): ( - ? ; -1 ] U [ 1; + ? )

?/2

0

1

-1

Пример №2. Исследовать функцию y=arccos(x²).

Решение:

?/2

Д(f): [-1;1]

Четная

f(x) убывает на пр. [0;1]

f(x) возрастает на пр. [-1;0]

0

-1

x

1

Пример №3. Исследовать функцию y=arccos²(x).

Решение: Пусть z = arccos(x), тогда y = z²

f(z) убывает на пр. [-1;1] от ? до 0.

f(y) убывает на пр. [-1;1] от ?² до 0.

x

0

1

-1

Пример №4. Исследовать функцию y=arctg(1/(x²-1))

Решение:

Д(f): ( - ? ; -1 ) U ( -1; 1 ) U ( 1; +? )

Т.к. функция четная, то достаточно исследовать функцию на двух промежутках:

[ 0 ; 1 ) и ( 1 ; +? )

y

X ?/2	0	< x <	1	< x <	+?
u=1/(x2-1) 1 -1	-1	?	+ ? - ?	?	0
y=arctg(u) 0 x	- ?/4	?	?/2 - ?/2	?	0

-?/2

-?/4

Тригонометрические операции над аркфункциями

Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются алгебраически одна через другую, поэтому в результате выполнения какой-либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое выражение.

В силу определения аркфункций:

sin(arcsin(x)) = x , cos(arccos(x)) = x

(справедливо только для x є [-1;1] )

tg(arctg(x)) = x , ctg(arcctg(x)) = x

(справедливо при любых x )

Графическое различие между функциями, заданными формулами:

y=x и y=sin(arcsin(x))

x

y

0

x

y

0

1

-1

Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших тригонометрических операций над аркфункциями.

Аргумент функция	arcsin(x)	arccos(x)	arctg(x)	arcctg(x)
sin	sin(arcsin(x))=x
cos		x
tg			x	1 / x
ctg			1 / x	x

Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи рассуждений, приведенных ниже:

1. Т.к. cos²x + sin²x = 1 и ? = arcsin(x)

Перед радикалом следует взять знак “+”, т.к. дуга принадлежит правой полуокружности (замкнутой) , на которой косинус неотрицательный.

Значит, имеем

1. Из тождества следует:

1. Имеем

1. 

Ниже приведены образцы выполнения различных преобразований посредством выведения формул.

Пример №1. Преобразовать выражение

Решение: Применяем формулу , имеем:

Пример №2. Подобным же образом устанавливается справедливость тождеств:

Пример №3. Пользуясь

Пример №4. Аналогично можно доказать следующие тождества:

Пример №5. Положив в формулах

, и

, получим:

,

Пример №6. Преобразуем

Положив в формуле ,

Получим:

Перед радикалами взят знак “+”, т.к. дуга принадлежит I четверти, а потому левая часть неотрицательная.

Соотношения между аркфункциями

Соотношения первого рода – соотношения между аркфункциями, вытекающими из зависимости между тригонометрическими функциями дополнительных дуг.

Теорема. При всех допустимых х имеют место тождества:

arcsin(x)

arccos(x)

x

y

1

-1

Соотношения второго рода – соотношения между аркфункциями, вытекающие из соотношений между значениями тригонометрических функций от одного и того же аргумента. Посредством соотношений 2-го рода производятся преобразования одной аркфункции в другую (но от различных аргументов).

Случай №1. Значения двух данных аркфункций заключены в одной и той же полуокружности.

Пусть, например, рассматривается дуга ?, заключенная в интервале (-?/2; ?/2).

Данная дуга может быть представлена как в виде арксинуса, так и в виде арктангенса. В самом деле, дуга имеет синус, равный sin? и заключена, так же как и ?, в интервале (-?/2; ?/2), следовательно

Аналогично можно дугу ? представить в виде арктангенса:

А если бы дуга ? была заключена в интервале ( 0 ; ? ), то она могла бы быть представлена как в виде арккосинуса, так и в виде арккотангенса:

Так, например:

Аналогично:

Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых содержаться в одной и той же полуокружности (правой или верхней).

1. Выражение через арктангенс.

Пусть , тогда

Дуга , по определению арктангенса, имеет тангенс, равный и расположена в интервале (-?/2; ?/2).

Дуга имеет тот же тангенс и расположена в том же интервале (-?/2; ?/2).

Следовательно,

(1)

(в интервале ( -1 : 1 )

1. Выражение через арксинус.

Т.к. , то (2)

в интервале

1. Выражение арккосинуса через арккотангенс. Из равенства следует тождество

(3)

Случай №2. Рассмотрим две аркфункции, значения которых выбираются в различных промежутках (например, арксинус и арккосинус; арккосинус и арктангенс и т.п.). Если аргумент какой-либо аркфункции (т.е. значение тригонометрической функции) положителен, то соответственно аркфункция (дуга), заключенная в первой четверти, может быть представлена при помощи любой аркфункции; так, например,

Поэтому каждая из аркфункций от положительного аргумента может быть выражена посредством любой другой аркфункции.

Значение какой-либо аркфункции от отрицательного аргумента принадлежит либо промежутку от -?/2 до 0, либо промежутку от ?/2 до ? и не может быть представлено в виде аркфункции, значение которой принадлежит другому (из этих двух) промежутку.

Так, например, дуга не может быть значением арксинуса. В этом случае

Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых выбираются в различных полуокружностях.

1. Выражение арксинуса через арккосинус.

Пусть , если , то . Дуга имеет косинус, равный , а поэтому

При это равенство выполняться не может. В самом деле, в этом случае

, а для функции имеем:

так как аргумент арккосинуса есть арифметический корень , т.е. число неотрицательное.

Расположение рассматриваемых дуг пояснено на рисунке:

Х>0 X<0>

При отрицательных значениях Х имеем Х<0, а при положительных X>0, и

Таким образом, имеем окончательно:

если , (4)

, если

График функции

1

-1

Область определения есть сегмент [-1;1]; согласно равенству (4), закон соответствия можно выразить следующим образом:

, если

, если

1. Аналогично установим, что при имеем:

, если же , то

Таким образом:

, если (5)

, если

1. Выражение арктангенса через арккосинус. Из соотношения

при имеем:

Если же х<0, то

Итак,

, если (6)

, если

1. Выражение арккосинуса через арктангенс. Если , то

При имеем:

Итак,

, если (7)

, если

1. Выражение арктангенса через арккотангенс.

, если х>0 (8)

,если x<0>

При x>0 равенство (8) легко установить; если же x<0, то

.

1. Выражение арксинуса через арккотангенс.

, если (9)

, если

1. Выражение арккотангенса через арксинус.

, если 0(10)

, если х<0>

1. Выражение арккотангенса через арктангенс.

, если x>0 (11)

, если x<0>

Примеры:

Пример №1. Исследовать функцию

Решение. Эта функция определена для всех значений х, за исключением значения х=0 (при х=0) второе слагаемое теряет смысл). Воспользовавшись формулой (8) получим:

Y

y= 0 , если x>0

-? , если x<0>

X

На чертеже изображен график

данной функции

Пример №2. Исследовать функцию

Решение: Первое слагаемое определено для значений , второе – для тех же значений аргумента. Преобразим первое слагаемое по формуле (4).

Т.к. , то получаем

,

откуда:

на сегменте [0;1]

Пример №3. Исследовать функцию

Решение: Выражения, стоящие под знаками аркфункций не превосходят по абсолютной величине единицы, поэтому данная функция определена для всех значений х. Преобразуем первое слагаемое по формуле (4).

Приняв во внимание равенство

, если

, если

получим:

y = 0 , если

, если

Выполнение обратных тригонометрических операций над тригонометрическими функциями.

При преобразовании выражений вида

следует принимать во внимание в какой четверти находится аргумент х и в каком промежутке находится значение данной аркфункции. Рассмотрим, например, первое из данных выражений:

Согласно определению арксинуса, y – есть дуга правой полуокружности (замкнутая), синус которой равен sin x;

и

Областью определения функции служит интервал , так как при всех действительных значениях х значение промежуточного аргумента содержится на сегменте . При произвольном действительном х значение y (в общем случае) отлично от значения х.

Так, например, при х=?/6 имеем:

но при х=5?/6

В силу периодичности синуса функция arcsin x также является периодической с периодом 2?, поэтому достаточно исследовать ее на сегменте [-?/2; 3?/2] величиной 2?.

Если значение х принадлежит сегменту [-?/2; ?/2] то y=x, на этом сегменте график функции совпадает с биссектрисой координатного угла.

Если значение х принадлежит сегменту [?/2; 3?/2], то в этом случае дуга ?-х принадлежит сегменту [-?/2; ?/2]; и, так как

, то имеем y=?-х;

в этом промежутке график функции совпадает с прямой линией y=?-х. Если значение х принадлежит сегменту [3?/2; 5?/2], то, пользуясь периодичностью или путем непосредственной проверки, получим:

y=х-2?

Если значение х принадлежит сегменту [-3?/2; -?/2], то

y=-?-х

Если значение х принадлежит сегменту [-5?/2; -3?/2], то

y=х+2?

Вообще, если , то

y=х-2?k

и если , то

y=(?-х)+2?k

График функции представлен на рисунке. Это ломаная линия с бесконечным множеством прямолинейных звеньев.

-?

?

X

Y

Рассмотрим функцию

Согласно определению арккосинуса, имеем:

cos y = cos x, где

Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел; функция периодическая, с периодом, равным 2?. Если значение Х принадлежит сегменту [0; ?], то y = x. Если х принадлежит сегменту [?; 2?], то дуга 2?-х принадлежит сегменту [0; ?] и , поэтому:

Следовательно, на сегменте [?; 2?] имеем y = 2? - x

Если х принадлежит сегменту [2?; 3?], то y = x - 2?

Если х принадлежит сегменту [3?; 4?], то y = 4? – x

Вообще, если , то y = x - 2?k

Если же , то y = -x + ?k

Графиком функции является ломаная линия

-?

?

0

Х

Y

Формулы сложения

Формулы сложения дают выражения для суммы или разности двух (или нескольких) аркфункций через какую-либо данную аркфункцию. Пусть дана сумма аркфункций; над этой суммой можно выполнить любую тригонометрическую операцию. (....) В соответствии с этим дуга-функция может быть выражена посредством любой данной аркфункции. Однако в различных случаях (при одних и тех же аркфункциях) могут получаться различные формулы, в зависимости от промежутка, в котором берется значение рассматриваемой аркфункции.

Сказанное пояснено ниже на числовых примерах.

Примеры.

Пример №1. Преобразовать в арксинус сумму

Решение: эта сумма является суммой двух дуг ? и ?, где

;

В данном случае (т.к. , а следовательно, ), а также , поэтому .

Вычислив синус дуги ?, получим:

Т.к. сумма ? заключена на сегменте [-?/2; ?/2], то

Пример №2. Представить дугу ?, рассмотренную в предыдущем примере, в виде арктангенса. Имеем:

Откуда

Пример №3. Представить посредством арктангенса сумму

Решение: в данном случае (в отличие от предыдущего) дуга ? оканчивается во второй четверти, т.к. , а . Вычисляем

В рассматриваемом примере , так как дуги ? и заключены в различных интервалах,

, а

В данном случае

Пример №4. Представить дугу ?, рассмотренную в предыдущем примере, в виде арккосинуса.

Решение: имеем

Обе дуги ? и расположены в верхней полуокружности и имеют одинаковый косинус, следовательно, эти дуги равны:

Так как суммы и разности любых аркфункций можно выражать при помощи произвольных аркфункций, то можно получать самые разнообразные формулы сложения. Однако все эти формулы выводятся при помощи однотипных рассуждений. Ниже в качестве примеров даются некоторые из формул сложения, по этим образцам можно получить аналогичные формулы в различных прочих случаях.

Формулы сложения аркфункций от положительных аргументов.

Пусть ? и ? – две дуги, заключенные в промежутке от 0 до ?/2 (первая четверть):

, и

Сумма ? + ? заключена в верхней полуокружности , следовательно, ее можно представить в виде аркфункции, значение которой выбирается в том же интервале, т.е. в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса:

;

Разность ? – ? заключена в правой полуокружности:

Следовательно, она может быть представлена в виде арксинуса, а также в виде арктангенса:

;

Так как значение всякой аркфункции от положительного аргумента заключено в интервале (0; ?/2) то сумму двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса, а разность двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арктангенса.

Ниже приведены образцы соответствующих преобразований.

1. Преобразуем в арккосинус , где и

Имеем:

Откуда

1. Аналогично

, где 0 < x < 1, 0 < y < 1

, где 0 < x < 1, 0 < y < 1

Формулы сложения аркфункций от произвольных аргументов.

1. Выразить сумму через арксинус

По определению арксинуса

и ,

откуда

Для дуги ? возможны следующие три случая:

Случай 1:

Если числа x и y разных знаков или хотя бы одно из них равно нулю, то имеет место случай 1.

В самом деле, при и , имеем:

, и ,

откуда

При x > 0, y > 0 для дуги ? имеет место одна из следующих двух систем неравенств:

а) б)

Необходимым и достаточным признаком, позволяющим отличить один от другого случаи а) и б), является выполнение неравенства:

в случае а) и в случае б)

В самом деле, взаимно исключающие друг друга соотношения а) и б) влекут за собой взаимно исключающие следствия и (соответственно), а потому эти следствия служат необходимыми и достаточными признаками наличия данных соотношений.

Вычислив , получим:

При x > 0, y > 0 наличие случая 1 означает выполнения неравенства а) т.е. или

Откуда

и, следовательно,

Наличие случая 1 при x < 0, y < 0 означает выполнение неравенств

;

но тогда для положительных аргументов –x и –y имеет место случай 1, а потому

или

Случай 2.

В этом случае x > 0, y > 0, т.е. выполняется неравенство б); из условия получим

Случай 3.

Этот случай имеет место при x < 0, y < 0, и

Изменив знаки на противоположные придем к предыдущему случаю:

откуда

Дуги ? и имеют одинаковый синус, но (по определению арксинуса) , следовательно в случае 1 ;

в случае 2 и в случае 3 .

Итак, имеем окончательно:

, или

; x > 0, y > 0, и (1)

; x < 0, y < 0, и

Пример:

;

2. Заменив в (1) x на –x получим:

, или

; x > 0, y > 0, и (2)

; x < 0, y < 0, и

3. Выразить сумму через арккосинус

и

имеем

Возможны следующие два случая.

Случай 1: если , то

Приняв во внимание, что обе дуги и расположены в промежутке [0;?] и что в этом промежутке косинус убывает, получим

и следовательно, , откуда

Случай 2: . Если , то

,

откуда при помощи рассуждений, аналогичных предыдущим, получим . Из сопоставления результатов следует, что случай 1 имеет место, если , а случай 2, если

.

Из равенства следует, что дуги

и имеют одинаковый косинус.

В случае 1 , в случае 2 , следовательно,

,

, (3)

4. Аналогично

,

, (4)

пример:

5.

; xy < 1

; x > 1, xy > 1 (5)

; x < 0, xy > 1

При xy=1 не имеет смысла

6.

; xy > -1

; x > 0, xy < -1 (6)

; x < 0, xy < -1

7.

;

; (7)

;

8.

; (8)

;

9.

;

; x > 1 (9)

; x < -1

10. (10)

(11)

, если (12)

, если