Вход

Многомерный аналог признака орбитальной устойчивости Пуанкаре

Курсовая работа по математике
Дата добавления: 28 декабря 1999
Язык курсовой: Русский
Word, rtf, 1.2 Мб (архив zip, 68 кб)
Курсовую можно скачать бесплатно
Скачать
Не подходит данная работа?
Вы можете заказать написание любой учебной работы на любую тему.
Заказать новую работу

3





Рассмотрим систему

, ,

(1)

где – дважды непрерывно дифференцируемая вектор-функция. Пусть – некоторая траектория системы (1), содержащаяся при в ограниченной области . В дальнейшем будем также предполагать, что в замыкании области .

Введём в рассмотрение симметричную не особую матрицу , где – дважды непрерывно дифференцируемые вектор-функции, и дважды непрерывно дифференцируемую вектор-функцию , удовлетворяющую неравенству

.

Пусть – некоторая симметричная – матрица, –дифференцируемая функция, и –числовые последовательности, удовлетворяющие условиям , , . Здесь и – некоторые числа.

Введём также обозначение

.

Теорема. Пусть выполнено неравенство

  1. .

Тогда если квадратичная форма на множестве положительно определена и выполнено неравенство

  1. , то траектория орбитально асимптотически устойчива.

Если квадратичная форма на множестве не вырождена, может принимать отрицательные значения и выполнены неравенства

  1. , , , то траектория будет орбитально неустойчивой.

Доказательство. Рассмотрим множество . Здесь – некоторое достаточно малое число.

Зафиксируем некоторую точку и будем изучать поверхность в некоторой достаточно малой окрестности точки . Из следует, что найдётся число такое, что , . Возьмём число , близкое к . В этом случае .Определим теперь отображение точки в гиперплоскость таким образом, чтобы

.

(2)

При этом число будем выбирать так, чтобы , а матрицу такой, чтобы имело место соотношение (2). Ясно, что

.

Здесь , считаем, что величина является большой. Отсюда следует, что для выполнения соотношения (2) достаточно, чтобы выполнялось равенство


.

(3)

Из соотношения (2) следует, что вектор ,нормальный к в точке , может быть определён следующим образом:

,

где

,

.

Заметим, что

.

Поэтому

.

Отсюда и из соотношения (3) получим, что

.


(4)

Покажем теперь, что траектория системы (1), проходящая в момент времени через точку , удовлетворяет с точностью до соотношению

.

(5)

Для этого отметим, что при малых .Поэтому вектор с точностью до принадлежит гиперплоскости , которая параллельна гиперплоскости, касательной к поверхности , и проходит через точку

.

Ясно также, что проходит через расположенную в гиперплоскости точку , где

.

Отсюда, из соотношения и того факта, что векторы, нормальные к и в точке , совпадают с точностью до , следует соотношение (5).

Из включения (5), равенства (4) и условия 1) теоремы вытекает при всех соотношение , где – некоторая непрерывная функция, удовлетворяющая неравенству

.

Используя это неравенство, условия 2), 3) теоремы и стандартную ляпуновскую технику, получим утверждение теоремы.

В случае , , , , получим широко известный признак Пуанкаре.


Список использованных источников


  1. Демидович Б. П. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1970.

  2. Леонов Г. А. Многомерный аналог признака орбитальной устойчивости Пуанкаре.// Дифференциальные уравнения, 1988 №9

  3. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1970.

© Рефератбанк, 2002 - 2017