министерство образования рф
орловский государственный технический
университет
факультет электроники и приборостроения
кафедра «высшая математика»
Т.А. Павлова
методические указания
к выполнению типового расчета
по высшей математике
дифференциальные уравнения
Орел 2003
Автор: ассистент кафедры «высшая математика» Т.А. Павлова
Рецензент: профессор, д.т.н. В.А. Гордон
аннотация
Методические указания по выполнению типового расчета, проведению практических занятий и самостоятельной работе студентов по теме: «Дифференциальные уравнения», предназначены для студентов I курса ОрелГТУ всех специальностей, выполняющих во втором семестре типовой расчет «Дифференциальные уравнения» и контрольную работу «Дифференциальные уравнения первого порядка».
Автором рассмотрены уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные уравнения, уравнения Бернулли, уравнения в полных дифференциалах и уравнения высших порядков; указаны основные методы их решений.
Редактор
Инженер по маркетированию и верстке
Подписано к печати . Формат 60х84 1/16.
Печать офсетная. Усл. печ. л. . Тираж экз. Заказ №
Отпечатано с готового оригинала – макета
На полиграфической базе ОрелГТУ,
г. Орел, ул. Московская, 65.
ОрелГТУ, 2003-02-22
Павлова Т.А.
содержание
уравнения с разделяющимися переменными 4
однородные уравнения 1-го порядка 4
линейные уравнения 1-го порядка 6
уравнение Бернулли 9
уравнения в полных дифференциалах 10
метод изоклин 11
геометрические задачи, приводящие к решению
дифференциальных уравнений 1-го порядка 12
дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка 13
линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 15
метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) 18
литература 20
уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальные уравнения вида:
(1)
называются уравнениями с разделяющимися переменными. Решая такие уравнения, необходимо преобразовать их так, чтобы одна часть уравнения содержала только переменную у, а другая - только х, а затем проинтегрировать обе части (по у и по х соответственно).
Например, уравнение (1) надо разделить на , тогда получим . Проинтегрировав обе части, найдем общий интеграл:
. (2)
Кроме найденного общего интеграла (2) уравнению (1) могут также удовлетворять решения, получаемые из уравнения . Если эти решения не входят в общий интеграл (2), то они будут особыми решениями уравнения (1).
Приведем примеры решения конкретного уравнения этого типа.
Задача №1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения (ответ представить в виде (х, у)=с).
1.31 .
Решение. Уравнение представлено в дифференциальной форме. Для разделения переменных перенесем все слагаемые в одну часть уравнения и сгруппируем содержащие dx и dy:
Разделим обе части уравнения на , получим
.
Почленно интегрируя, получим искомый общий интеграл:
.
В первообразных модули можно опустить, т.к. 1+х2 и 4+у2 величины всегда неотрицательные.
Умножая обе части уравнения на 2 и учитывая свойства логарифма, получим
.
В нашем примере уравнение представлено в дифференциальной форме. Возможны случаи, когда уравнение разрешено относительно производной, т.е. оно имеет вид и, когда не разрешено относительно производной - .
Например, для первого случая . В таких задачах нужно учитывать, что . Тогда, .
Пример ко второму случаю: . Уравнение можно разрешить относительно производной и, таким образом, придем к первому случаю.
однородные уравнения первого порядка
Уравнение первого порядка называется однородным, если f(x,y) можно представить как функцию только одного отношения переменных , т.е. уравнение вида .
Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными посредством замены функции у (или х) новой функцией t по формуле y=tx (x=ty), причем .
Дифференциальное уравнение типа:
приводится к однородному с помощью переноса начала координат в точку (х0,у0) пересечения прямых , т.е. замена переменных Х=х-х0, У=у-у0.
Если эти прямые не пересекаются, то , и рассматриваемое уравнение сводится к виду , которое приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой , тогда
Задача №2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
2.31 .
Решение. Данное уравнение первого порядка уже разрешено относительно производной. Установим, что она является функцией только отношения переменных , т.е. установим, что данное уравнение является однородным. Для этого числитель и знаменатель дроби разделим на x2. (Другими словами, сократим дробь на x2.)
.
Далее вводим новую функцию . Отсюда, . После подстановки данное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными . Разделим переменные: и, интегрируя, найдем
Возвращаясь к старым переменным, получим
Ответ:
Задача №3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
3.31
Решение. Также как и в задаче №2 это тоже однородное дифференциальное уравнение. Докажем это, найдя точку пересечения прямых, стоящих в числителе и знаменателе и сделав соответствующую замену переменных.
Из последней системы легко видеть, что . Подставим найденные х и у в исходное уравнение, получим
.
Далее решаем полученное однородное уравнение путем замены.
Возвращаясь к старым переменным, получим:
,
что и является ответом.
линейные уравнения первого порядка
Линейным уравнением первого порядка называется дифференциальное уравнение первого порядка линейное относительно y и y/ т.е.
(3)
1).Если в (3) Q(x)=0, то (3)называется однородным:
Уравнение (5) является общим решением уравнения (4).
2). Будем считать произвольную постоянную с неизвестной функцией с(х), т.е.
Полученные выражения для y и y/ подставим в (3) и найдем с (х):
Решение уравнения (3) запишется в виде (подставим в (5))
Рассмотренный способ называется методом вариации произвольной постоянной.
Уравнение (3) можно решить с помощью подстановки: y=UV, где U=U(x), V=V(x). Тогда .
Подставим и в (3):
Во многих примерах необходимо решить задачу Коши (например, в задачах №4, №5, №6,№11).Процесс решения сводится к отысканию частного интеграла дифференциального уравнения n-го порядка (n=1,2,3,...),удовлетворяющего n начальным условиям вида
.
.
Т.е. ищут общее решение дифференциального уравнения, а затем, воспользовавшись начальными условиями, находят значения всех n произвольных постоянных c1, c2,..., cn, входящих в общий интеграл уравнения.
Задача №4. найти решение задачи Коши:
4.31 .
Решение. Перед нами линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Решим его двумя способами.
I-способ. Решение уравнения ищется в виде произведения двух функций U=U(X) и V=V(X), т.е. y=UV, одна из которых выбирается произвольным образом; . Подставляя в исходное уравнение, получим
.
Исходя из того, что одну из функций ищут произвольным образом, полученное уравнение разбивают на два следующим способом:
.
Выпишем первое уравнение из системы и решим его:
Мы можем воспользоваться частным случаем функции V, например, когда c=1, V=x (значение для c берут таким образом, чтобы функция V не оказалась тождественно равной нулю, в противном случае невозможно будет искать функцию U). Подставим найденное значение для V во второе уравнение системы и найдем функцию U: .
Следовательно, функция .
Таким образом, найдено общее решение исходного уравнения. Подставляя начальное условие, найдем c: c=0.
Т.е. решением задачи Коши, удовлетворяющем данному начальному условию является , что и будет ответом.
II-способ. Метод вариации произвольной постоянной.
Составим и решим соответствующее однородное уравнение:
.
Теперь предположим, что константа c является функцией от переменной x, т.е. c=c(x), тогда y=xc(x). Найдем и подставим в исходное уравнение:
.
Интегрируя обе части уравнения, получим
.
Тогда - общее решение исходного дифференциального уравнения. Подставляя начальное условие, найдем, что c=0 и - частное решение.
Задача №5 .Решить задачу Коши
Решение. Так же как и в задаче№4 это линейное уравнение 1-го порядка, если рассматривать x как функцию от y. Преобразуем уравнение:
Решим его методом вариации произвольной постоянной.
1)
2)
3)
Подставляя 2) и 3) в исходное уравнение, получим
(Интегрировать уравнение (*) удобнее, если преобразовать правую часть, воспользовавшись тригонометрическими формулами.)
Тогда
- общее решение исходного уравнения.
Подставляя начальное условие, найдем, что c=-2. Тогда решением задачи Коши будет
уравнение Бернулли
Уравнение вида , (6)
где ? - любое действительное число (??0,? ?1) называется уравнением Бернулли.
Преобразование уравнения в линейное будем проводить в следующей последовательности:
умножим обе части уравнения на ;
введем подстановку , отсюда и ;
решаем получившееся линейное уравнение;
возвращаемся к искомой функции, заменяя на .
Задача №6. Найти решение задачи Коши:
6.31 .
Решение. Поделив обе части уравнения на , увидим, что это уравнение Бернулли:
.
Введем новую переменную . Тогда, или . Наше уравнение примет вид - линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Решая его любым способом, рассмотренным в задаче №5, получим или . Тогда - общее решение исходного дифференциального уравнения.
Определим произвольную постоянную c используя начальное условие:
.
Решением задачи Коши будет являться
.
Замечание. В начале нашего решения мы обе части уравнения делили на x?0 и могли, таким образом, потерять решение уравнения. Подставляя x=0 в исходное уравнение, убеждаемся, что оно не является его решением.
уравнения в полных дифференциалах
Уравнение , в котором левая часть является полным дифференциалом функции U(x,y), т.е.
(7)
(8)
называется уравнением в полных дифференциалах.
Это имеет место в том и только в том случае, когда выполняется равенство:
.
Тогда .
Интегрируем уравнение (7) по x:
(9).
Уравнение (9) продифференцируем по y:
(10).
Сравнивая (10) и(8):
.
Отсюда
.
Подставляя найденную функцию в (9) найдем U(x,y).
Задача №7. найти общий интеграл дифференциального уравнения.
.
Решение. Сгруппируем слагаемые содержащие dx и dy
.
Докажем, что это уравнение в полных дифференциалах.
Пусть , а . Т.е., необходимо показать, что .
и .
Теперь наша задача заключается в том, чтобы найти функцию U(x,y)=c, такую чтобы ее полный дифференциал был таким же, как левая часть нашего дифференциального уравнения.
Пусть (1), а (2).
Проинтегрируем уравнение (1) по переменной x, а вместо произвольной постоянной прибавим функцию, зависящую от y, т.е. (это необходимо, т.к. функция U зависит от двух переменных, а интегрируем мы только по одной).
(3).
Продифференцируем уравнение (3) по переменной y, получим
(4).
Сравнивая уравнения (2) и (4),получим
,
.
Подставим найденную функцию ?(y) в уравнение (3):
.
Т.к., решение уравнения мы искали в виде U(x,y)=c,то ,
что и будет являться ответом.
Замечание. Уравнения в полных дифференциалах можно решать и другим способом. Заключается он в следующем. Ищут интегралы от M(x,y) и от N(x,y) по dx и dy соответственно. Затем ко всем известным членам из первого результата дописывают недостающие члены из второго, получают функцию U(x,y).
метод изоклин
Задача№8 для данного дифференциального уравнения построить интегральную кривую, проходящую через точку М.
.
Для решения подобной задачи можно также применить метод изоклин. Изоклиной уравнения называется всякая кривая, определяемая уравнением f(x,y)=k при фиксированном k, где k=tg?=y’.
Решение. Для приближенного (графического) решения нашего уравнения построим на плоскости изоклины для нескольких значений k. (Существование и единственность заданного дифференциального уравнения следует из того, что f(x,y)=x+2y и непрерывны всюду на плоскости XOY).
Т.к. поле направлений исходного уравнения:
Тогда уравнения изоклин будут
.
Исследуем вид правой части заданного уравнения:
1. найдем линию экстремумов.
, отсюда .
Полученная прямая является линией экстремумов. (Непосредственной подстановкой убеждаемся, что она не является решением нашего уравнения).
когда . Значит интегральные кривые убывают до пересечения с прямой . когда . Следовательно, кривые возрастают после пересечения с прямой .
Значит, сама прямая является линией минимумов.
2. Найдем линию перегибов.
, т.е. или . Тогда . Отсюда .
Но, т.к. эта прямая является решением исходного уравнения, то она не может быть линией перегибов. А из того, что если и если следует, что вогнутые интегральные кривые расположены выше этой прямой, а выпуклые – ниже.
Составим таблицу.
k |
-1/2 |
0 |
1 |
4 |
5 |
Изоклины
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
arctg4 |
arctg5 |
На поле направлений совпадает с самой прямой. Точка М(1,2) принадлежит изоклине . (Читателю будет полезно сравнить приближенное решение с точным, решив дифференциальное уравнение самостоятельно.)
геометрические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений 1-го порядка
В задачах геометрии, в которых требуется найти уравнение кривой по заданному свойству ее касательной, нормали или площади криволинейной трапеции, используется геометрическое истолкование производной (угловой коэффициент касательной) и следующие общие формулы для определения длин отрезков касательной t, нормали n, подкасательной St и поднормали Sn:
При решении таких задач с помощью дифференциальных уравнений рекомендуется следующая последовательность действий:
выполнить чертеж и ввести обозначения;
отделить условия, имеющие место в произвольной точке искомой линии, от условий, выполняющихся лишь в отдельных точках (начальных условиях);
выразить все упомянутые в задаче величины через координаты произвольной точки и через значения производной;
по условию задачи составить дифференциальное уравнение, для которого искомая кривая является интегральной кривой.
Задача№9. Найти линию, проходящую через точку M0 и обладающую тем свойством, что в любой ее точке M касательный вектор
с концом на оси OY имеет проекцию на ось OY, равную a.
M0(e,0), a=1.
Решение. Ищем функцию y=y(x). Воспользуемся геометрическим свойством производной: y/ представляет угловой коэффициент касательной к графику этой функции (с положительным направлением оси OX), т.е.. Найдем
.
С другой стороны (из треугольника AMN):
.
Тогда
.
Решая это уравнение, найдем, что
.
Подставим M0(e;0) и a=1: 0=-1+c, отсюда c=1. Тогда линия, проходящая через точку M0 удовлетворяющая условиям нашей задачи, будет иметь вид
.
дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
Первый тип. Уравнения, содержащие только производную порядка n и независимую переменную
Это уравнения вида . Если удается разделить их относительно , то . Общее решение последнего уравнения имеет вид:
.
Т.е. решение получается путем n-кратного интегрирования.
Второй тип. Уравнения, не содержащие искомой функции
Такое уравнение имеет вид: . Порядок его может быть понижен с помощью подстановки: , где - новая искомая функция.
Если уравнение имеет вид , то подстановка понижает порядок на k единиц.
Третий тип. Уравнения, не содержащие независимой переменной
.
Понижение порядка на единицу достигается подстановкой , где – новая искомая функция.
Частный случай. Если уравнение имеет вид , и его удается решить относительно так, что , то интегрирование можно привести так. Умножим обе части на :
.
Т.к. и , то . Отсюда,
и
.
Задача №10. найти общее решение дифференциального уравнения.
10.31. .
Решение. Имеем неоднородное дифференциальное уравнение 1-го порядка не содержащее искомой функции y. Порядок его может быть понижен с помощью подстановки , где - новая искомая функция. Эта подстановка приводит к уравнению:
.
Это линейное уравнение относительно z и z/. Разделим его обе части на коэффициент при z/ и получим
.
Решением этого уравнения является функция . (Способы решения см. в задаче№4). Но , а потому .
Пришли к случаю, когда уравнение содержит только производную и независимую переменную, т.е. . Такие уравнения решаются путем интегрирования n-раз обеих частей уравнения, причем общее решение должно содержать в себе n констант. В нашем случае n=1.
- общее решение.
Уравнение действительных решений не имеет, поэтому нет и особых решений.
Задача №11. Найти решение задачи Коши.
11.31. .
Решение. Уравнение не содержит независимой переменной x. Понижение порядка на единицу достигается подстановкой , где P(y) – новая искомая функция.
Уравнение перепишется так:
.
Тогда . Но .
Для облегчения решения этого уравнения найдем c1, воспользовавшись начальными условиями, т.е. . Подставляя их в последнее уравнение, получим c1=0.
Тогда - уравнение с разделяющимися переменными, решением которого будет .
Подставляя начальные условия, установим, что .
Ответ. .
Существует и второй способ решения этого уравнения. Если разрешить его относительно y//, т.е. и умножить обе части на , то .
Левая часть этого уравнения ,а в правой - , поэтому последнее уравнение перепишется так:
.
Отсюда следует, что.
Последнее уравнение допускает разделение переменных. Предварительно с помощью начальных условий можно установить, что c1=0,а . С помощью начальных условий найдем, что . Таким образом, пришли к тому же результату, что и в I способе.
линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами
(11)
можно решить с помощью метода неопределенных коэффициентов и метода вариации произвольных постоянных.
метод неопределенных коэффициентов
I. Т.к. уравнение (11) неоднородное, его общее решение будет состоять из суммы общего однородного и частного неоднородного уравнений, т.е.
.
Составляем соответствующее однородное уравнение
(12)
Его характеристическое уравнение
(13)
структура фундаментальной системы решений зависит от вида корней характеристического уравнения (13).
Различают 3 случая.
а). Все корни характеристического уравнения (13) различны и вещественны. Обозначим их . Фундаментальная система решений:
,
а общее решение имеет вид:
.
б). Все корни характеристического уравнения (13) различны, но среди них имеются комплексные. Пусть - комплексный корень уравнения (13). Тогда - тоже является корнем этого уравнения. Этим корням соответствуют два линейно независимых частных решения:
.
Если и то частные решения будут иметь вид
.
Написав линейно независимые частные решения, соответствующие другим сопряженным парам комплексных корней и всем вещественным корням и составив линейную комбинацию из этих решений с произвольными постоянными коэффициентами, получим обще решение уравнения (12).
в). Среди корней характеристического уравнения имеются кратные. Пусть k1 вещественный r-кратный корень. Тогда ему соответствуют r линейно независимых частных решений вида:
.
Если - комплексные корни уравнения (13) кратности r, то им соответствует 2r линейно независимых частных решений вида:
Написав линейно независимые частные решения указанного вида, соответствующие всем простым и кратным вещественным корням, а также сопряженным парам простых и кратных комплексных корней, получим фундаментальную систему решений.
II. По виду правой части уравнения (11) подбирают частное решение неоднородного уравнения.
Возможны случаи.
1). , где P(x) – многочлен от x степени n.
а). Если число 0 не является корнем характеристического уравнения (13), то частное решение неоднородного уравнения (11) можно найти в виде , где Q(x) – многочлен от x той же степени n, что и P(x) в общем, виде (т.е. с неопределенными коэффициентами).
Например,
б). Если же 0-корень характеристического уравнения кратности r, то
.
2)..
а). Если число ? не является корнем характеристического уравнения (13), то
.
3) , где - многочлены степени m и n соответственно (один из многочленов может быть тождественно равен нулю);
а) если не является корнем уравнения (13), то
,
где - многочлены степени .
б) если является корнем характеристического уравнения кратности r, то
.
4) где - функции вида, рассмотренного 1), 2), 3). Если являются частными решениями, которые соответствуют функциям , то
.
Задача 12. найти общее решение дифференциального уравнения.
12.31 .
Решение. Это неоднородное дифференциальное уравнение 3-го порядка, которое не содержит искомой функции y. Данное уравнение может быть разрешено как минимум еще двумя способами: методом вариации произвольных постоянных и методом неопределенных коэффициентов для определения частного решения неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим второй способ.
Составим соответствующее однородное уравнение
.
Характеристическое уравнение имеет корни: (случай Iа). Частные решения однородного уравнения:
.
Соответственно обще однородного .
Теперь рассмотрим правую часть исходного уравнения: - многочлен второй степени (случай II1). По его виду составим частное решение неоднородного уравнения: .
Множитель x появляется исходя из того, что x=0 является корнем характеристического уравнения. Находя и подставляя найденное в исходное уравнение, получим
.
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему
,
из которой A=1/3, B=1, C=1/2. Подставляя эти значения в общий вид частного решения, получим
.
Учитывая, что общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего однородного и частного неоднородного, имеем
.
Задача 13. найти общее решение дифференциального уравнения.
13.31 .
Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Характеристическое уравнение имеет корни: (случай Iа). Поэтому .
По виду правой части составим общий вид частного решения неоднородного уравнения, учитывая, что =2 – является корнем характеристического уравнения (случай II2б): .
Дифференцируя последнее 3 раза и подставляя в исходное уравнение, найдем, что A=1, B=0. Тогда частным решением исходного уравнения будет функция .
Следовательно, общее решение исходного дифференциального уравнения
.
Задача 14. найти общее решение дифференциального уравнения.
.
Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
.
Характеристическое уравнение имеет двукратный корень k=2 (Iв). Поэтому .
По виду правой части легко составить в общем виде частное решение исходного уравнения: , т.к. 2-6i не является корнем характеристического уравнения (II3а). Для этой функции ищут y/ и y// и подставляют в данное нам уравнение. Таким образом, определяют, что B=0 и A=-1/36.
Тогда, - частное решение нашего неоднородного уравнения, а искомое решение имеет вид:
.
Задача 15. найти общее решение дифференциального уравнения.
15.31 .
Решение. Т.к. корни характеристического уравнения , то - общее решение однородного уравнения. Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде
.
Функция составлена по виду правой части, с учетом того, что x=0 является корнем характеристического уравнения, а 10i – нет.
Подставляя эту функцию в исходное уравнение, найдем, что
Тогда, общим решением дифференциального уравнения будет являться функция:
.
метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
1. Для уравнения (11) составляют соответствующее однородное уравнение (12) и находят его общее решение yо.о.:
. (14)
2. В уравнении (14) полагают константы функциями от x, т.е. . Эти функции находят из системы:
Решают эту систему методом Крамера. Определитель этой системы – определитель Вронского (он будет отличен от нуля для линейно независимых функций).
.
Тогда: . Отсюда
.
Подставляя эти значения в (14), получим общее решение уравнения (11):
.
Задача 16. Найти решение задачи Коши
.
Решение. Воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. (Следует иметь в виду, что метод имеет место, когда коэффициент при старшей производной равен единице!)
Найдем общее решение уравнения ; т.к. корнями характеристического уравнения являются числа , то .
Предполагая, что с1 и с2 – есть функции от x, будем искать решение исходного уравнения в виде , где c1(x) и c2(x) найдем из системы:
Составим определитель этой системы – определитель Вронского:
.
(Т.к. определитель отличен от нуля, система имеет решение и при том единственное.)
.
Тогда . Отсюда, интегрированием находим
.
Таким образом, общее решение исходного уравнения будет выглядеть так:
.
Для решения задачи Коши найдем y/:
.
Подставляя начальные условия в у и у/ найдем, что с1=1, с2=0. Тогда - частное решение.
литература
Учебники:
Шипачев В.С. Высшая математика. – М.: Высшая школа, 1990.
Берман А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для ВТУЗов. – М.: Изд. «Наука». Гл.ред. физ.-мат. лит.,1967.
Пособия по решению задач:
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевников Т.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах – М.: Высшая школа, 1986.
Запорожец Г.И. руководство по решению задач по математическому анализу – М.: Высшая школа, 1964.
Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике – Харьков: Изд. ХГУ им. М.Горького, 1965.
Методическая литература:
1.Скорик А.И., Шевердинская В.П. Методические указания по выполнению ТР – 2 и контрольной работы «Дифференциальные уравнения». Часть I. – Орел, 1990.
2.Скорик А.И., Шевердинская В.П. Методические указания к выполнению ТР и для индивидуальной работы студентов. Дифференциальные уравнения высших порядков. – Орел, 1992.
Задачники:
Сборник задач по математике для ВТУЗов. Специальные разделы математического анализа. Под. ред. Ефимова А.В., Демидовича Б.П. – М: «Наука», Гл.ред. физ. – мат. лит., 1986.
Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) – М.: Высшая школа, 1983.
Справочники:
1.Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. – М.: Наука, Гл.ред. физ. – мат. лит., 1986.