Математика. Решение системы линейных неравенств

Задание 1

Дано: 1) MN || AB, 2) MNAB, 3)(MN;AB)=45, M(-3;0), AB: x + 3y - 6=0.

Сделать чертеж.

Решение

AB: y = , k₁= -1/3, MN: y = k₂x + b₂.

1. MN || AB, k₁ = k₂ = -1/3, т.к M(-3;0) MN, то x = -3, y = 0.

0 = 1 + b₂, b₂ = -1. MN: y = .

1. MNAB, k₂ = -1/k₁, т.е. k₂ = 3, 0 = -9 + b₂, b₂ = 9.

MN: y = .

3) (MN;AB)=45, tg (MN;AB) = , tg 45 = 1,

k₂ + 1/3=1- k₂/3, k₂ = 0,5.

0 = -1,5 + b₂, b₂ = 1,5. MN: y = .

Задание 2

Дано: ABCO – трапеция, B (-2;1), BCO = 45, BC = AO.

Написать уравнения сторон трапеции.

Решение

1) Прямая CO лежит на оси абсцисс, т.е. уравнение CO: y = o (k₁ = 0)

2) Уравнение BC: y = k₂x + b₂,

tgBCO = , tg 45 = 1, k₂ = 1,

B BC, y =1, x = -2, 1 = -2 + b₂, т.е. b₂ = 3. уравнение BC: y = x + 3.

3) Уравнение AB: y = k₃x + b₃, AB || OC, т.е. k₃ = k₁=0,

B AB, y =1, x = -2, 1 = 0*(-2) + b₃, т.е. b = 1. Уравнение AB: y = 1.

4) O (0;0), уравнение AO: y = k₄x + b₄,

BC = AO, т.е. BCO =AOC = 45.

tg(180- AOC) = , tg 135 = -1, k₄ = -1,

OAO, y = 0, x = 0, 0 = 0*(-1) + b₄, т.е. b₄ = 0. Уравнение AO: y = -x.

Ответ: уравнение CO: y = 0,

уравнение BC: y = x+3,

уравнение AB: y = 1,

уравнение AO: y = -x.

Задание 3

Дано: ? ABC, A (-3;-12), B (-4;-5), C (-6;0), BB₁ – высота.

Найти: уравнение AC, уравнение BB₁, |BB₁|, A.

Решение

1) Подставляя координаты точек A и C в соотношение, получаем уравнение стороны AC:

, или y = -4x + 24 (k₁ = -4) .

2) BB₁ AC, уравнение BB₁: y = k₂ x + b₂.

k₂ = -1/k₁ k₂ = 1/4. BBB₁, т.е. -5 = (-4)*(1/4) + b₂. b2 = -4

y = .

3) BB₁ пересекает AC в точке B₁, т.е. y = -4x + 24 = x/4 – 4.

x = , y = , B₁ (;), BB₁ {}, | BB₁| = = .

4) Подставляя координаты точек A и B в соотношение, получаем уравнение стороны AB:

, или y = -7x - 33 (k₃ = -7).

tg A = = = .

Ответ:

1) уравнение стороны AC: y = -4x + 24

2) уравнение высоты BB₁: y = ;

3) | BB₁| = ;

4) A = arctg .

Задание 4

Дано: ABCD – параллелограмм, A (1;-2), B (3;2), ACBD = P (1;1), DD₁ и DD₂ – высоты, где D₁AB и D₂BC.

Найти: уравнения сторон и уравнение высот DD₁ и DD₂ .

Решение

1) Подставляя координаты точек A и B в соотношение, получаем уравнение стороны AB:

, или y = 2x - 4 (k₁ = 2).

2) Подставляя координаты точек A и P в соотношение, получаем уравнение стороны AP:

, или x = 1.

|AP| = = 3.

AP = PC, т.к. ABCD – параллелограмм.

C (x₁; y₁), т.к. CAP то x₁ = 1, PC = = 3, y₁ = 4, C (1; 4).

Подставляя координаты точек B и C в соотношение, получаем уравнение стороны BC:

, или y = -x + 5 (k₂ = -1).

3) Уравнение CD: y = k₃x + b₃.

AB||CD, т.е. k₁= k₃ = 2. CCD, т.е. 4 = 1*2 + b₃, b₃ = 2.

y = 2x + 2.

4) Уравнение AD: y = k₄x + b₄.

AD||BC, т.е. k₂ = k₄ = -1. AAD, т.е. -2 = 1*(-1) + b₄, b₄ = -1.

y = -x – 1.

5) Уравнение DD₁: y = k₅x + b₅.

Т.к. DD₁AB, то k₅ = -1/k₁ = -0,5.

ADDC = D.

D (-1;0).

Т.к. DDD₁, то 0 = (-1)*(-0,5) + b₅, b₅ = -0,5.

y = -0,5x - 0,5.

Уравнение DD₂: y = k₆x + b₆.

Т.к. DD₂BC, то k₆ = -1/k₂ = 1.

Т.к. DDD₂, то 0 = (-1)*(1) + b₆, b₆ = 1.

y = x + 1.

Ответ: уравнение стороны AB: y = 2x – 4,

уравнение стороны BC: y = -x + 5,

уравнение стороны CD: y = 2x + 2,

уравнение стороны AD: y = -x – 1,

уравнение высоты DD₁: y = -0,5x - 0,5,

уравнение высоты DD₂: y = x + 1.

Задание 5

Дано:

Построить на плоскости область решения системы линейных неравенств.

Решение

=>

Задание 6

Дано: 4x² + y² – 3x – 4y – 8 = 0,

x² – y² – 4x – 6y – 10 = 0,

2x² – 9y² + 4x + 18y – 25 = 0,

y² + x – 2y + 1 = 0,

y² + 5x² – 6y – 11 = 0,

y = 3 + 4.

Определить тип кривой, привести уравнение к каноническому виду, кривую и/или ее часть построить.

Решение

1) 4x² + y² – 3x – 4y – 8 = 0,

(4x² – 2*2*x+ ) + (y² – 4y + 4) - = 0,

(2x - )² + (y - 2)² = ,

+ = 1 – уравнение эллипса.

2) x² – y² – 4x – 6y – 10 = 0,

(x² – 4x + 4) – (y² + 6y + 9) = 5,

(x - 2)² – (y + 3)² = 5,

= 1 – уравнение гиперболы.

3) 2x² – 9y² + 4x + 18y – 25 = 0,

2x² + 4x + 2 – (9y² – 18y + 9) = 18,

2(x + 1)² – 9(y – 1)² = 18,

= 1 – уравнение гиперболы.

4) y² + x – 2y + 1 = 0,

(y – 1)² = -x – уравнение параболы.

5) y² + 5x² – 6y – 11 = 0,

(y – 3)² + 5x² = 20,

- уравнение эллипса.

6) y = 3 + 4,

y – 3 = 4,

(y – 3)²= 16(x – 1) – уравнение параболы.

Рисунок 1

Рисунок 2

Рисунок 3

Рисунок 4

Рисунок 5

Рисунок 6

Задание 7

Дано: a) , б) , в) (x² + y²)⁵ = y²

Построить кривую по ее уравнению в полярной системе координат (а и б), предварительно построив таблицу значений через 15, а в задании в) уравнение кривой записать в полярных координатах.

Решение

, ,

, ,

, ,

,, , ,

,,

, ,

, .

а)

б) , т.е.

в) (x² + y²)⁵ = y²,

, ,

,

,

,

,

.

Ответ: .