Вход

Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного

Реферат по математике
Дата добавления: 23 июня 2006
Язык реферата: Русский
Word, rtf, 651 кб (архив zip, 79 кб)
Реферат можно скачать бесплатно
Скачать
Данная работа не подходит - план Б:
Создаете заказ
Выбираете исполнителя
Готовый результат
Исполнители предлагают свои условия
Автор работает
Заказать
Не подходит данная работа?
Вы можете заказать написание любой учебной работы на любую тему.
Заказать новую работу

Контрольная работа по математике за 1 семестр


Вариант 4


«Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного»


  1. Вычислить предел

ex? - e-x?

lim ———————

x?0 x

ln? (1+ ?)

2

Решение.

ex?- e-x? 0 ex?~1+ x? 1+x? ?1 + x? 2x?

lim ———— = ( ? ) = e-x? ~1? x? = lim ——————— = lim —— = 8

x?0 x 0 x x x?0 x? x?0 x?

ln? (1+ ?) ln (1+ ?) ~ ? 4 4

2 2 2



Ответ: 8.


  1. Найти асимптоты функции

x

y = ——— + x

2x - 1

Решение. Данная функция определена для

1 1

2x – 1 ? 0 => x Є (-?; ?) U (?; ?).

2 2

x 1

Так как lim (——— +x) = -?, то прямая x = — является вертикальной

x?0,5 – 0 2x – 1 2


асимптотой. Горизонтальных асимптот график функции не имеет, так как

x x

lim (——— + x) = +? и lim (——— +x) = -?.

x?+? 2x - 1 x?-? 2x - 1

Определим, существуют ли наклонные асимптоты:

x

—— + x

f (x) 2x – 1 1

k = lim —— = lim ————— = lim (——— + 1) = 1;

x?+? x x?+? x x?+? 2x - 1

1

Заметим сразу, что lim (———— +1) = 1.

x?-? 2x -1


x x 1

b = lim (f(x) – kx) = lim (——— + x – x) = lim ——— = —.

x?+? x?+? 2x – 1 x?+? 2x – 1 2

x 1

Также b = lim ——— = —.

x?-? 2x1 2

1

Таким образом, график функции имеет наклонную асимптоту y = x + — .

2

1

Ответ: x = — - вертикальная асимптота, горизонтальных асимптот нет,

2

1

y = x + — - наклонная асимптота.

2


  1. Определить глобальные экстремумы

f (x) = x? ln x, при xЄ[1, e]


Решение. Данная функция определена для xЄ[1, e]. Находим производную

x?

f ? (x) = (x? ln x)?= 2xlnx + — = 2xlnx + x и критические точки:

x

2xlnx + x = 0 => x1 = 0 или x2 = e-0,5.

Т.к. {x1,x2}? [1, e], то вычислим значения функций на концах данного интервала:

f (1) = 0,

f (e) = e2.

Среди функций находим наибольшее и наименьшее:

inf f (x) = 0 (1),

[1, e]

sup f (x) = e2 (e).

[1, e]

Ответ: f (1) = 0 — т. глобального минимума,

f (e) = e2 т. глобального максимума.






  1. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции

f (x) = x3 (x + 2)2


Область определения функции — вся числовая ось. D (f (x)) = (-?; +?). Вычислим первую производную и исследуем ее знаки:

f?(x) = 3x2(x+2)2 + 2x3(x+2) и определяем критические точки: f (x) = 0 при

6

x1 = 0, x2 =-2 или x3 = - —.

5


Исследуем знак первой производной до и после критической точки.



f ?(x) + + +

-2 -1,2 0

x


f (x)



f ?(x) > 0 для x Є (-?; -2) U (-1,2; ?) — функция возрастает;

f ?(x) < 0 для x Є (-2; -1,2) — функция убывает.

В точках x = -2, x = -1,2 и x = 0 производная f ? (x) = 0, но в окрестностях точек x = -2 и x = -1,2 она меняет знак, поэтому в этих точках функция имеет экстремумы.

Вычислим значения: f (-2) = 0 (т. максимума), f (-1,2) = -1,1059 (т. минимума).

В окрестности точки x = 0 производная f ?(x) не изменяет знака, следовательно, точка x = 0 не является точкой экстремума функции.


Ответ: x Є (-?; -2) U (-1,2; ?) — функция возрастает;

x Є (-2; -1,2) — функция убывает;

f (-2) = 0 (т. максимума), f (-1,2) = -1,1059 (т. минимума)



  1. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции

f (x) = x3 3x2 + 1


Решение. D (f (x)) = (-?; +?). Находим производные:

f ? (x) =3x2 6x; f ?? (x) = 6x6.

Приравняв к нулю вторую производную, получим критическую точку II рода: 6x6 = 0; x = 1. Исследуем знак второй производной в окрестности этой точки:


f ?? (x) +

— 1 x


Следовательно, для x Є (-?; 1) f ?? (x) < 0 и график функции выпуклый вверх, а для x Є (1; ?) f ?? (x) > 0 — выпуклый вниз. Таким образом, при переходе через точку x = 1 f ?? (x) меняет знак. Значит, точка M (1; -1) — точка перегиба графика данной функции.

Ответ: x Є (-?; 1) — график функции выпуклый вверх;

x Є (1; ?) — график функции выпуклый вниз;

M (1; -1) — точка перегиба функции.


«ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ»


  1. Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции

x3

f (x) = — + x2 + 2

3


Решение.

1. D (f (x)) = (-?; ?).

(-x)3 x3

2. f (-x) = —— + (-x)2 + 2 = - — + x2 + 2.

3 3

Функция не является четной или нечетной.

3. Вертикальных асимптот нет, так как нет точек разрыва.

4. Горизонтальных асимптот функция не имеет, т.к.

x3 x3

lim (— + x2 + 2) = +? и lim (— + x2 + 2) = -?.

x?+? 3 x?-? 3

Определим, существуют ли наклонные асимптоты:



x3

— + x2 + 2

f (x) 3 x2 2

k = lim —— = lim ————— = lim ( — + x + —) = +?;

x?+? x x?+? x x?+? 3 x

x2 2

Заметим сразу, что lim ( — + x + —) = +?

x?-? 3 x

Таким образом, график функции не имеет наклонных асимптот.

5. Вычислим первую производную:

f ? (x) = x2 + 2x и определяем критические точки:

x1 = 0, x2 =-2.

Исследуем знак первой производной до и после критической точки.



f ?(x) + +

-2 0

x


f (x)




f ?(x) > 0 для x Є (-?; -2) U (0; ?) — функция возрастает;

f ?(x) < 0 для x Є (-2; 0) — функция убывает.

В точках x = -2 и x = 0 производная f ? (x) = 0 и в окрестностях этих точек она меняет знак, поэтому в этих точках функция имеет экстремумы.

1

Вычислим значения: f (-2) = 3 — (т. максимума), f (0) = 2 (т. минимума).

3


6. Находим вторую производную:

f ?? (x) = 2x+2

Приравняв к нулю вторую производную, получим критическую точку II рода: 2x + 2 = 0; x = -1. Исследуем знак второй производной в окрестности этой точки:


f ?? (x) +

— -1 x


Следовательно, для x Є (-?; -1) f ?? (x) < 0 и график функции выпуклый вверх, а для x Є (-1; ?) f ?? (x) > 0 — выпуклый вниз. Т.о., при переходе через точку x = -1 f ?? (x) меняет знак.

2

Значит, точка M (-1; 2 —) — точка перегиба графика данной функции.

3

  1. Точки пересечения с осями координат:

если x = 0, то f (x) = 2;

если f (x) = 0, то x ? -3,5.

8. Результаты этих исследований наносим на график.

  1. Найти локальные экстремумы функции

f (x, y) = 2x3 – xy2 + 5x2 + y2

Решение. Находим частные производные первого порядка:

f ?x (x, y) = 6x2 – y2 + 10x;

f ?y (x, y) = - 2xy+ 2y.

Решая систему

6 x2 y2 + 10 x = 0,

- 2xy+ 2y = 0,

5

находим стационарные точки: M1 (0; 0), M2 (- —; 0), M3 (1; 4), M4 (1; - 4).

3

Находим вторые частные производные:

f ??xx (x; y) = 12x + 10;

f ??xy (x; y) = - 2y;

f ??yy (x; y) = - 2x+ 2.

Для каждой стационарной точки вычисляем соответствующее значение дискриминанта:

1) M1 (0; 0): A1= 10; B1 = 0; C1= 2; ?1 = A1 C1 B21; ?1 = 20 > 0, A1 > 0 в точке M1 (0; 0): функция имеет минимум fmin (x; y) = 0;

5 1 160

2) M2 (- —; 0): A2= - 10; B2 = 0; C2= 5 —; ?2 = - —— < 0 — экстремума нет;

3 3 3

3) M3 (1; 4): A3= 22; B3 = -8; C3= 0; ?3 = -64 < 0 — экстремума нет;

4) M4 (1; - 4): A4= 22; B4 = 8; C4= 0; ?4 = -64 < 0 — экстремума нет.

Ответ: fmin (0; 0) = 0 (т. минимума).


  1. Определить экстремумы функции


x2 + y2

f (x; y) = e , если x + y = 1

Решение. Т.к. x + y = 1, то x = 1 – y.


1 2y + y2+ y2 1 2y +2y2

F (y) = e =e

Вычислим первую производную:

1 2y +2y2

F ? (y) = (-2 + 4y) e и определяем критические точки:

y = 0, 5; x = 0, 5. M (0, 5; 0, 5) — критическая точка.

Вычислим вторую производную:


1 2y +2y2 1 2y +2y2

F ?? (y) = 4 e + (-2 + 4y)2 e .



F ?? (0, 5) = 4e 0, 5 > 0

Ответ: M (0, 5; 0, 5) = e0, 5 т. минимума.



« Интегральное исчисление функции одного переменного»


1-3. Найти неопределенный интеграл

dx dx dx 2 ?7 2?7 x - ?7

1.? ————= - ? ————= - ? ———————— = - —— arctg ———— + C.

x – x2 - 2 x2 - x + 2 (x 0, 5)2 + 1, 75 7 7




t = arcsin ?x

arcsin?x dx

2.? ———— dx = dt = ——————— = ? 2t dt = t2 + C = arcsin2 ?x + C.

?x(1- x) 2?x(1- x)

u = x; cos3x dx = dv; 1 1 1

3.? x cos3x dx = 1 = — x sin3x - ? — sin3x dx = — x sin3x +

du = dx; v = — sin 3x. 3 3 3

3

1

+ — cos3x + C.

9



  1. Вычислить

1 ex dx 1 (1 + ex) ? dx 1 d(1+ ex) 1

? ——— = ? ————— = ? ———— = ln (1 + ex) ?= ln (1 + e) – ln 2 =

0 1 + ex 0 1 + ex 0 1 + ex 0

1 + e

= ln ———.

2


  1. Определить длину кривой, описываемой графиком функции

4

y = ?x3 , 0 ? x ?

3

4/3 4/3 8 4/3 56

L = ? ? 1 + (y?) 2 dx = ? ? 1 + (1, 5x0,5)2 dx = (1 + 2, 25 x)1,5 ?= — .

0 0 27 0 27

2

Ответ: L = 2 —.

27

© Рефератбанк, 2002 - 2017