Вход

Контрольная работа по дисциплине «Высшая математика»

Контрольная работа по математике
Дата добавления: 09 июля 2013
Язык контрольной: Русский
Word, rtf, 2.1 Мб (архив zip, 161 кб)
Контрольную можно скачать бесплатно
Скачать



РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт дистанционного образования







Контрольная работа по дисциплине

«Высшая математика»











СОДЕРЖАНИЕ


1. Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного 3

2. Дифференциальное исчисление функций и его приложение 6

3. Интегральное исчисление функции одного переменного 10

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 11























1. Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного


1. Вычислить предел

Решение

.

Ответ: 0.


2. Найти асимптоты функции

Решение

Т.к. нет точек разрыва, вертикальной асимптоты у функции нет.

.

Значит, горизонтальной асимптоты у функции нет.

,

.

Следовательно, график функции имеет наклонную асимптоту .

Ответ: вертикальной и горизонтальной асимптот нет;

- наклонная асимптота.


3. Определить глобальные экстремумы , при

Решение

Вычислим производную функции: . Решая уравнение , получаем две точки возможного экстремума: и . Но в интервал точка не входит.

,

,

.

Ответ: (т. глобального максимума),

(т. глобального минимума).


4. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции

Решение

Вычислим производную функции: . Решая уравнение , получаем две точки возможного экстремума , .

+ +

-1 - 3 x

- т. максимума,

- т. минимума.

- функция возрастает,

- функция убывает.


5. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции

Решение

Вычислим первую производную функции: .

Для нахождения критических точек вычислим вторую производную:

Решая уравнение , получаем .

+ +

1



Значит, точек перегиба нет, - направление выпуклости графика вниз.


2. Дифференциальное исчисление функций и его приложение


1. Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции

Решение

1. .

2. График функции не имеет точек пересечения с осью 0x, но пересекает ось 0y в точке (0;-1).

3. Исследуем поведение функции вблизи точки разрыва . Т.к. при , при , то прямая является вертикальной асимптотой графика функции.

.

Значит, горизонтальной асимптоты у графика нет.

,

.

Следовательно, график функции имеет наклонную асимптоту .

4. , , , .


+ +

- 1 -


– т. максимума,

- т. минимума.

- функция возрастает, - функция убывает.

5.

Т.к. в нуль не обращается, то точек перегиба нет.

+

- 1


- направление выпуклости графика вверх, а на - вниз.

6. Эскиз графика


2. Найти локальные экстремумы функции

Решение

Первые частные производные функции имеют вид

= , = .

Для нахождения подозрительных на локальный экстремум точек необходимо решить систему уравнений:

Следовательно, O (2;2) – точка возможного экстремума.

Определяем вторые частные производные:

, , .

.

Поскольку , то в точке O (2;2) экстремума нет.

Ответ: точек экстремума нет.


3. Определить экстремумы функции , если , , .

Решение

Составляем функцию Лагранжа , где - неопределенный числовой множитель.

Ее первые производные равны , .

Составляем и решаем систему уравнений:

При , O (1;1) – точка возможного экстремума.

Определяем вторые производные функции Лагранжа

, , .

Составляем выражение:

.

Находя производные:

, и подставляя их в равенство , получаем связь или .

Значит, .

При , , . В точке O (1;1) функция имеет строгий условный максимум.

Ответ: - строгий условный максимум.


3. Интегральное исчисление функции одного переменного


1-3. Найти неопределенный интеграл

1. .

2. .

3.

.

4. Вычислить

Решение

.

Ответ: .


5. Определить длину кривой, описываемой графиком функции , .

Решение


.

Ответ: .























СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ


  1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры – М.: Наука, 1980, 1984.

  2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1980, 1984.

  3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Наука, 1981, 1985.

  4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Задачник. – М.: Наука, 1982.

  5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1980, 1984.

  6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 1980, ч. I, II.

  7. Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы. – М. Физматгиз, 1962-1963; М.: Наука, 1964-1975.

  8. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов / Под. Ред. БП. Демидовича. – М.: Физматгиз, 1959-1963; М.: Наука, 1964-1978.

  9. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии.- М.: Гостехиздат, 1954-1956; М.: Физматгиз, 1958-1963; М.: Наука, 1965-1980.

  10. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. – М.: Наука, 1970-1985, т.1, 2.



© Рефератбанк, 2002 - 2017