Двойной интеграл в полярных координатах
Пусть
в двойном интеграле 
(1)
при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая
x = r cos , y = r sin . (2)
Область
интегрирования S
разобьем на элементарные ячейки Si
с помощью координатных линий r
= ri
(окружности) и = i
(лучи) (рис.1).
Введем
обозначения:
rj = rj+1 - rj,
i = i+1 - i
Так
как окружность перпендикулярна
(ортогональна) радиусам, то внутренние
ячейки Si
с
точностью до бесконечно малых высшего
порядка
малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями rji и rj; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна:
Si = rj i rj (3)
Что касается ячеек Sij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.
В качестве точки Mij Sij для простоты выберем вершину ячейки Sij с полярными координатами rj и i. Тогда декартовые координаты точки Mij равны:
xij = rj cos i, yij = rj sin i.
И следовательно,
f(xij,yij) = f(rj cos i, rj sin i) (3')
Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым
интегральной
суммы, являющиеся бесконечно малыми
высшего порядка малости, поэтому учитывая
формулы (3) и (3'), получаем:
(4)
где d - максимальный диаметр ячеек Sij и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины i и rj суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости Or. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции
f(r cos, r sin)r,
соответствующая
прямоугольной сетке с линейными
элементами i
и ri.
Следовательно 
(5)
Сравнивая
формулы (4) и (5), получим окончательно
(6)
Выражение
dS = r d dr
называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение (7).
Для
вычисления двойного интеграла (6) его
нужно заменить повторным. Пусть область
интегрирования S
определяется неравенствами 
Где r1(), r1() - однозначные непрерывные функции на отрезке [,]. (рис 2).
Имеем
(8)
Где
F(r,) = rf(r cos, r sin)
Пример 1.
Переходя
к полярным координатам и r,
вычислить двойной интеграл
Где
S
- первая четверть круга радиуса R=1,
с центром в точке О(0,0) (рис 3).
Так как
то
применяя формулу (6),
получим
Область
S
определена 
Неравенствами
Поэтому
на основании формулы (8) имеем
Пример 2.
В
интеграле
(9)
перейти к полярным координатам.
Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1 (рис 4).
В полярных координатах уравнения
этих прямых записываются
следующим образом: =0,
=/4, r cos=1 и,
следовательно, область S
определяется неравенствами
Отсюда
на основании формул
(6) и(8), учитывая, что
имеем