Вход

Геометрия Гильбертового Пространства

Реферат по математике
Дата добавления: 29 октября 2006
Язык реферата: Русский
Word, rtf, 703 кб (архив zip, 190 кб)
Реферат можно скачать бесплатно
Скачать

25


Министерство общего образования Российской Федерации



Рязанская государственная радиотехническая академия



Кафедра высшей математики







Научный доклад по математическому анализу


Геометрия гильбертова пространства





Выполнили:

ст. группы 232

Прокофьева Анна

Луковникова Анастасия


Проверил

Яковлев Михаил Константинович






РЯЗАНЬ, 2004


Содержание.


  1. Предварительные определения, понятие скалярного произведения,

нормы, метрики, плотности, полноты…………………………………………. 3



  1. Определение гильбертова пространства,

теорема о линейном пр-ве в гильбертовом……………………………………. 8



  1. Ортогональные разложения в гильбертовых пр-вах(определение, свойства ортогональности, коэффициенты Фурье, основная теорема о разложении, критерий полноты системы………………………………………………….. 10


4 Изоморфизм…………………………………………………………………. 16


5 Сепарабельность………………………………………………………………19


6 Линейные операторы. Определение, примеры, действия с операторами, норма линейного оператора, собственные вектора, симметричные и вполне непрерывные операторы………………………………………………………………………….20


7. Список литературы……………………………………………………………….26












1.


Рассмотрим пространства, являющиеся обобщением n-мерных векторных арифметических евклидовых пространств. Для определения Гильбертового пространства важно рассмотреть следующие понятия.

Определение. Пусть X — линейное пространство. Число­вая функция, обычно обозначаемая (х,у), х X, у X, заданная на множестве упорядоченных пар точек (векторов) пространства X, называется скалярным произведением, если для любых точек х X, у X, z X и любых чисел µ R , и ? R выполняются следующие условия:

1) (коммутативность) (х,у) = (у,х);

2) (линейность) (? х +µ у,z) = ? (х,z) + µ (у,z);

3)(х,х) 0;

4) если (х,х) = 0, то x = 0.

Функция (х,у), удовлетворяющая условиям 1)-3), называется почти скалярным произведением. Очевидно, что скалярное произве­дение является и почти скалярным.

Лемма. Если (х,у) — почти скалярное произведение в линей­ном пространстве X, то для любых

х X и у X выполняется нера­венство


(х,у)* (1)


Это неравенство называется неравенством Коши-Буняковского.

Следствие. Для любых точек х X и у X имеет место неравенство (называемое неравенством треугольника

+ (2)

Скалярное произведение позволяет ввести понятие длины (нормы вектора).

Следствие. Если (х,у) — почти скалярное (в частности, ска­лярное) произведение в линейном пространстве X, то функция

=

является полунормой (соответственно нормой) в этом пространства и неравенство Коши-Буняковского можно записать в виде


(х,у) *

Вспомним, что норма – это некоторая функция, отображающая линейное пространство в пространство [0;] такая, что:

1). >0 x0

2). = *, R

3). +

Свойства полунормы (соответственно нормы) для функции = проверяются непосредственно. Например,


Докажем лемму. В силу свойства 3) почти скалярного произве­дения для любого действительного числа

t имеем

(tx+y, tx+y)0

Применив свойства 1) и 2) почти скалярного произведения, получим


t2(х,х) + 2t(х,у) + (у,у)0.(1)

Если (х, х) = 0, то 2t(х, у) + (у, у) 0. Поскольку это неравенство выполняется для любого действительного t, то (х,у) = 0 (в самом деле, если бы было (х,у) 0, то на числа t налагалось бы


ограниче­ние t- . Следовательно, неравенство (1) имеет место: обе его части обращаются в нуль.

Если же (х, х) 0, то дискриминант получившегося квадратного относительно t трёхчлена неположителен, т. е.

(х,у)2-(х,х)*(у,у)0. (*)

Это неравенство равносильно неравенству

\(х,у)\ *

(оно также называется неравенством Коши-Буняковского), из кото­рого очевидным образом вытекает неравенство (1). Докажем теперь неравенство (2):

(x+y, x+y) = (x, x) + (x, y) + (y, x)+ (y, y) (x, x)+2 * +(y, y)= (+)2


( это следует из неравенства (1)).


Если х 0, у 0, то по аналогии с конечномерным случаем коси­нус угла ? = ху между векторами х X и у X линейного прост­ранства X со скалярным произведением определяется равенством

Cos ?=(x,y)/ (* )


а сам угол ? определяется этим значением косинуса. Это равенство следует из неравенства Коши – Буняковского. Действительно, рассмотрим когда cos ? =1. Это возможно, только если дискриминант в доказательстве леммы (*) равен 0 ((x, y)= * ). Тогда один вещественный корень t0, а само уравнение t2(х,х) + 2t(х,у) + (у,у)= (t0x-y,t0x-y)=0.Откуда, в силу аксиомы (4) находим, что t0x-y=0 или y=t0x. Наш результат может быть сформулирован в геометрических терминах: если скалярное произведение двух векторов по абсолютной величине равно произведению их длин, то эти вектора коллинеарны.

В общем случае,

(x,y)= * *cos ?


Если e X, = 1, то вектор х = (х,е)*е называется проекцией вектора х на прямую у = t*е ,

- < t < +, а число

(х,е) =*cos xe

— величиной этой проекции.

Пример1. Множество действительных чисел R является прост­ранством со скалярным произведением, если под скалярным про­изведением (х,у) чисел х и у понимать их обычное произведение: (х,у)=x*y..

Пример 2. В арифметическом действительном линейном n -мерном пространстве R функция

(x,y)= , x=(x, … , x