Расчет установившихся режимов электроэнергетических систем

Расчет установившихся режимов электроэнергетических систем

ВВЕДЕНИЕ

В современных условиях расчет установившихся режимов электроэнергетиче­ской системы является наиболее часто решаемой задачей. При проектировании ЭЭС расчет установившихся режимов осуществляется с целью выбора и уточнения парамет­ров проектируемой системы.

В процессе эксплуатации подобные расчеты позволяют оперативно управлять и прогнозировать работу ЭЭС. При этом осуществляется оценка допустимости режима по условиям обеспечения нормальной работы оборудования и определение режимов, опти­мальных по технико-экономическим критериям.

Задача расчета установившихся режимов ЭЭС сводится к определению сово­купности параметров, характеризующих работу системы: напряжений в различных точ­ках системы, токов в её элементах, потоков мощности и потерь мощности и т.д.

Проведение расчета связано с рядом основных этапов:

1.Предварительные преобразования и переход к расчетной схеме электрической системы;

1. Формирование уравнения состояния по известным исходным данным с уче­том структуры расчетной схемы;

2. Выбор метода расчета и составление алгоритма и программы на ЭВМ;

3. Проведение расчета установившегося режима на ЭВМ;

4. Анализ точности полученных результатов.

5. Выводы.

Исходные данные:

Z₁ = 0.5 J₁ = -3

Z₂ = 0.3 J₂ = -5

Z₃ = 0.6 J₃= -4

Z₄ = 0.4 J₄ = 8

Z₅ = 0.9 J₅ = -6
Z₆ = 0.7 Е_В2 = 100

Z₇ = 0.8 Е_В5 = 300

Базисные величины: U_Б=U_{г ном} = 10,5 кВ; S_Б = S_{г ном} = 7 Мва.

Параметры генератора и системы: E_g = 1.07; U_c = 1 ; P_d = 60; Tj = 14c.

Угол ? между осью вращающегося магнитного поля обмотки статора и продольной осью ротора в генераторе: ? = ?/4

Примечание:

1. Расчет проводится в относительных единицах.

2. Направление ветвей и независимых контуров выбираются произвольно.

УСЛОВИЯ ЗАДАНИЙ:

Задание 1.

Используя расчетную схему и исходные данные для ручного счета, произвести сле­дующие действия:

• составить матрицы инциденции М и N;

• записать матрицы режимных параметров:

а) J, Z_B, Y_B ;

б) U_?, U_B в общем виде

в)предположить наличие ЭДС в ветвях 2,5 ( E_B2 , E_B5 ), записать матрицы E_B , E_K .
Задание 2.

Используя вариант расчетной схемы и исходные данные записать 1 и 2 законы Кирх­гофа в матричной форме и в виде системы уравнений.

Задание 3.

Для расчетной схемы записать в матричной форме обобщенное уравнение состоя­ния. Перейти к системе алгебраических уравнений относительно неизвестных токов в ветвях.

Задание 4.

1. Для расчетной схемы вычислить матрицу узловых проводимостей Y_? .

2. Составьте матрицу Y_? без перемножения матриц с учетом физического смысла ее элементов. Сравните полученный результат с матрицей Y_?, вычисленной в п.1.

3. Записать уравнение узловых напряжений в матричной форме и в виде системы уравнений.

Задание 5.

Предположив наличие ЭДС в ветвях 2,5 расчетной схемы Е_В2 = 100, Ев₅ = 300, записать уравнение контурных токов в матричной форме и в виде системы уравнений.

Задание 6.

1. Используя систему уравнений узловых напряжений, полученную в задании 4, рассчитать значение узловых напряжений методом Гаусса.

1. Проанализировать точность результатов расчета.

Задание 7.

1. Используя систему уравнений узловых напряжений (задание 4), рассчитать значения напряжений в узлах расчетной схемы методом Зейделя (провести 3 итерации).

2. Проанализировать сходимость итерационного процесса.

Задание 8.

На основе расчетной схемы с учетом постановки задачи раздела 3.2. и исходных данных о параметрах генератора, который подключен к 4-му узлу, определить устойчивость системы по корням характеристического уравнения.

Задание 9.

Для расчетной схемы задания 8 записать характеристическое уравнение с учетом переходных процессов в обмотке возбуждения. Проанализировать устойчивость системы по критерию Гурвица.

Задание 10.

Проанализировать устойчивость системы (задание 9) по критерию Михайлова. На миллиметровке построить кривую Михайлова.

ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЙ.

Выполнение задания 1:

Для расчета исходной схемы задаемся направлениями тока в ветвях и направлениями обхода контуров:

Рисунок 2

Составим матрицы инциденций M и N:

1 2 3 4 5 6 7

--------------------------------------

Б 1 0 0 -1 0 0 0

1 2 3 4 5 6 7

Запишем матрицы режимных параметров:

а) матрица задающих токов:

В общем виде: J =; По данным задания: J =

- диагональная матрица сопротивлений ветвей , диагональная матрица проводимости ветвей :

; ;

б) матрица узловых напряжений , матрица падений напряжений :

в) матрица Э.Д.С. в ветвях , матрица контурных Э.Д.С. :

Выполнение задания 2:

Первый закон Кирхгофа.

Матричная форма записи позволяет представить баланс токов для всех узлов схемы одновременно.

M·I = J

где, М — матрица инциденций первого рода;

I — матрица неизвестных токов в ветвях;

J — матрица задающих токов .

Матричная форма:

В виде системы уравнений:

J — матрица задающих токов .

J =

Второй закон Кирхгофа.

Матричная форма записи позволяет записать баланс напряжений для всех независимых контуров схем:

N·Z_B·I = E_K

где,

E_K = N·Е_B

отсюда,

N·Z_B·I = N·Е_B

Найдем вектор контурных Э.Д.С.

··=

отсюда,

В виде системы уравнений:

Выполнение задания 3:

Обобщенное уравнение состояния имеет вид:

A·I = F

где единая матрица коэффициентов имеет вид:

где объединенная матрица исходных параметров имеет вид:

Находим произведение N·Z_B:

N·Z_B =

отсюда,

A = ; F =

тогда обобщенное уравнение состояния в матричной форме имеет вид:

· =

Система алгебраических уравнений относительно неизвестных токов в ветвях:

Выполнение задания 4:

Определяем матрицу узловых проводимостей Y_?:

Y_? = M·Y_B·M_t

где M_T — транспонированная матрица М

Находим произведение M·Y_B:

· =

=

Тогда,

Y_? = M·Y_B·M_t =· =

=

Составим матрицу Y_? без перемножения матриц, с учетом физического смысла ее элементов. На главной диагонали расположены собственные проводимости узлов Y_B — равные сумме проводимостей ветвей, соединенных с узлом i:

=

Симметрично относительно главной диагонали расположены взаимные проводимости Y_ij = -Y_ji ( со знаком минус ), которые равны проводимости ветви (взятой со знаком минус, находящийся между узлами i и j, или нулю при отсутствии связи между узлами:

Y_? =

Запишем уравнения узловых напряжений в матричной форме Y_?·U_? = J:

·=

Составим уравнения узловых напряжений в виде системы уравнений:

Выполнение задания 5:

В матричной форме уравнение контурных токов ( II закон Кирхгофа ) имеет вид:

N·Z_B·I = E_K

Выразим матрицу токов I в ветвях через вектор контурных токов I_к , используя следующие известные уравнения связи между ними: I = N_t· I_К, тогда второй закон Кирхгофа будет иметь вид:

N·Z_B· N_t·I_К = E_K

Произведение трех матриц N·Z_B· N_T позволяет получить матрицу контурных сопротивлений:

Z_{K =} N·Z_B·N_t

где N_t — транспонированная матрица N:

N_t =

Тогда матричное уравнение контурных токов можно записать в виде:

Z_K·I_К = E_K

Определяем матрицу контурных сопротивлений:

Z_K = ··=

= ·=

Определяем матрицу контурных Э.Д.С:

E_K = · =

Запишем матричное уравнение контурных токов Z_K·I_К = E_K:

·=

Составим уравнение контурных токов:

Выполнение задания 6:

Данные из 4 задания:

Решим систему уравнений узловых напряжений с использованием алгоритма метода Гаусса с обратным ходом: алгоритм включает в себя 2 этапа:

1. этап. Прямой ход Гаусса состоит из одинаковых шагов, связанных с формированием из матрицы коэффициентов Y_? верхней треугольной матрицы:

1 шаг: Получим первое ключевое уравнение для чего разделим первое уравнение системы узловых напряжений на диагональный элемент Y_?11 = 5,33. Для исключения U_?1 из i-го уравнения мысленно помножим ключевое уравнение на коэффициент при U_?1 i-го уравнения, взятый с обратным знаком, а затем сложим ключевое и i-е уравнение:

2 шаг: Получаем второе ключевое уравнение:

3 шаг: Получаем 3-е ключевое уравнение:

4 шаг: Получаем 4-е ключевое уравнение:

5 шаг: Получаем пятое ключевое уравнение:

В результате прямого хода Гаусса уравнение узловых напряжений приобретает вид:

1. этап. Обратный ход метода Гаусса:

Проведем анализ точности решения, для этого рассчитаем невязки по исходной системе уравнений:

;

;

;

;

Рассчитаем суммарную невязку:

- определяет точность полученных значений узловых напряжений.

Выполнение задания 7:

Данные из 4 задания:

Расчет узловых напряжений с использованием метода Зейделя (метод итераций)

включает в себя следующие этапы:

Преобразуем исходную систему узловых напряжений к виду, удобному для итерационного процесса:

Зададимся начальным приближением узловых напряжений:

На первой итерации вычисляем значения первого приближения узловых напряжений , осуществляя подставку в систему уравнений:

Рассчитываем невязки на первой итерации для проверки точности полученных результатов. Для этого подставим значения напряжений в исходную систему узловых напряжений:

;

;

;

;

Рассчитаем суммарную невязку:

Так как >0,01 , то точность расчета не достигнута.

На второй итерации произведем подстановку в систему уравнений, а именно:

Рассчитаем невязки на второй итерации:

;

;

;

;

Рассчитаем суммарную невязку:

Так как >0,01 , то точность расчета не достигнута.

На третьей итерации произведем подстановку в систему уравнений, а именно:

Рассчитаем невязки на третьей итерации:

;

;

;

;

Рассчитаем суммарную невязку:

Так как >0,01 , то точность расчета не достигнута, следовательно, значения еще не являются искомым решением системы уравнений узловых напряжений. Однако, суммарная невязка на третьей итерации уменьшилась по сравнению с .

Выполнение условия < <<#img src="data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAABEAAAAOCAIAAABGj2DjAAABIUlEQVR4nGP5//8/A4mAhVQN1Naza9cuaWnpBw8erFu3rrW19e3bt0+ePHF3d8enZ8KECdu2bZORkVm1ahUTE5O2tnZRURG6nlOnTqmpqQkICNy/f//169esrKxAwf3794uJiQFtAJIcHBwobps3bx7QJVOmTImPj1dUVCwpKQGaeuPGjQAwACoAsoEiCD2/fv2aP3/+4cOH9+3bJysr++PHj3fv3tnb2yM7VQMMEHqAZlhaWt69exdIArnTp0/Py8vz8PAwMDCws7Pz8vLCEm7qYMDGxgZ09N69e11dXXV0dE6fPl1dXQ3xFRY97OzsycnJQAbQYXAJf39/oNeBZmHXgwk+f/4MdP2LFy+wymLXA4lEoFOBDGL1dHR0YBWHAADRC3L5eXsr1QAAAABJRU5ErkJggg=="> свидетельствует о сходимости итерационного процесса.

Выполнение задания 8:

Установившийся режим работ ЭЭС предполагает непрерывное, стохастическое изменение во времени большого количества нагрузок. Это приводит к появлению на генераторах системы дополнительных малых моментов ?М, которые также статистически увеличивают и уменьшают моменты, действующие на валах этих генераторов и смещающие их роторы на малые углы ?? .

Возникающие при этом переходные процессы могут быть описаны дифференциальными уравнениями относительно малых ??. Порядок уравнений определяется сложностью

рассматриваемой ЭЭС.

Рассмотрим простейший случай: станция – шины бесконечной мощности. Проанализируем статическую устойчивость системы согласно рисунку 1 При отсутствии нагрузки в узлах 1,2,3,5, Б и подключения к узлу 4 синхронного неявнополюсного генератора. Для решения этой задачи целесообразно привести исходную расчетную схему к эквивалентному виду, показанному на рисунке П.1.1.

Если не учитывать переходные процессы в обмотке возбуждения генератора, но

учесть демпфирующие моменты, дифференциальное уравнение относительно ?? имеет вид:

,

где

-эквивалентное сопротивление системы, которое соответствует сопротивлению узла, к которому подключен генератор.

Если вещественная часть обоих корней характеристического уравнения отрицательная, то электроэнергетическая система является устойчивой.

Данные для расчета:

- матрица сопротивлений ветвей,

m=7 - количество ветвей в схеме,

n=5 - количество узлов в схеме,

y=4 - номер узла к которому подключен генератор.

Данные генератора:

Е_q = 1,07 -синхронная ЭДС,

Х_d = 1,7-синхронное индуктивное сопротивление генератора по продольной оси,

U_C = 1 -напряжение системы,

P_d = 60 -коэффициент демпфирования,

Т_j = 14с -постоянная инерции генератора,

U_Б = U_{г ном} = 10,5кВ -номинальное напряжение генератора,

S_Б = S_{г ном} = 7МВА -номинальная мощность генератора,

? = ?/4 - угол между осью вращающегося магнитного поля обмотки статора и продольной осью ротора в генераторе.

Определим коэффициент С₁, для этого необходимо рассчитать значение эквивалентного сопротивления системы X_C, которое соответствует диагональному элементу матрицы

узловых сопротивлений Z_?:

Х_С = Z_?44,

так как генератор подключен к 4 узлу.

Матрица узловых сопротивлений Z_? обратна по отношению к матрице узловых проводимостей, поэтому выполняется соотношение:

где

Е = - единичная матрица

Z_?=-матрица узловых сопротивлений для расчетной схемы

Отсюда следует матричное уравнение для определения элементов четвертого столбца Z_?, а следовательно Z_?44:

Y_? · =

При решение системы уравнений воспользуемся уже имеющимся у нас результатами расчета узловых напряжений методом Гаусса по матричному уравнению

Поскольку матрица коэффициентов Y_? одинакова, заменим вектор неизвестных U_?i в уравнении

на Z_?ij , а столбец свободных членов J на столбец единичной матрицы. Тогда все преобразования до четвертого ключевого уравнения аналогичны.

Запишем преобразованную матрицу, начиная с четвертого ключевого уравнения:

Завершим прямой ход Гаусса:

Тогда

Ом

Ом

Переведем Х_С и T_j в относительные единицы:

,

(рад),

где - синхронная угловая частота при n = 3000 об/мин, ?₀ = 314 рад/сек,

Определим значение коэффициента С₁

Найдем корни характеристического уравнения вида:

Исходя из теоремы Ляпунова, система является статически устойчивой , поскольку оба корня содержат отрицательную вещественную часть.

Выполнение задания 9:

Рассмотрим применение алгебраического критерия Гурвица для анализа статической

устойчивости простейшей электрической системы, где учтены не только демпфирующие

моменты, но и переходные процессы в обмотке возбуждения генератора. В этом случае характеристическое уравнение будет иметь вид:

где – постоянная инерции генератора;

- коэффициент демпфирования;

- переходная постоянная времени генератора по продольной оси.

Значение коэффициента С1 вычисляется также как и в задании 8, а для определения С2 используется выражение:

где - переходное реактивное сопротивление генератора, по продольной оси;

Переходная постоянная времени генератора рассчитывается из выражения:

Исходные данные задания 8 и дополнительные справочные данные генератора в

относительных единицах:

= 7,26 - постоянная времени обмотки возбуждения синхронной машины при разомкнутой обмотке статора;

X’_d =0,172- переходное реактивное сопротивление генератора, по продольной оси;

E_g = 1,07-синхронная ЭДС,

X_d = 1,7-синхронное индуктивное сопротивление генератора по продольной оси,

U_C = 1 -напряжение системы,

P_d = 60 -коэффициент демпфирования,

T_j = 14c - постоянная инерции генератора,

U_? = U_гном = 10,5 кВ - номинальное напряжение генератора,

S_Б = S_гном = 7,0 мВА - номинальная мощность генератора,

? = ?/4- угол между осью вращающегося магнитного поля обмотки статора и продольной осью ротора в генераторе;

Xc = 0,249 - эквивалентное сопротивление системы;

,

(рад),

где - синхронная угловая частота при n = 3000 об/мин, ?₀ = 314 рад/сек,

,

Проведем расчет коэффициентов характеристического уравнения:

Для определения a₂ найдем значение коэффициента С₂ :

Тогда

Запишем характеристическое уравнение с учетом значений коэффициентов:

,

Составим определитель Гурвица для нашего характеристического уравнения:

?₃ =

Выделим миноры относительно главной диагонали ?₃ и применением критерий Гурвица. Для устойчивости электроэнергетической системы необходимо и достаточно, чтобы при а₀>0 все главные диагональные миноры определителя Гурвица были положительны:

а₀ = 4066,3 > 0;

?₁ = а₁ = 4451,5 > 0;

?₂ = = 4451,5?62,01 – 4066,3?0,432 = 283228 > 0

?₃ = а₃ ?₂ = 0,432?283228=122355 > 0.

Таким образом, рассматриваемая ЭЭС является статистически устойчивой , т.к. все главные диагональные миноры определителя Гурвица положительные.

Выполнение задания 10:

Критерий Михайлова является частотным критерием устойчивости. В его основу

положен принцип аргумента, известный из теории функций комплексного переменного. Рассмотрим использование частотного критерия Михайлова для анализа устойчивости простейшей ЭЭС, рассмотренной в предыдущих разделах.

Исходя из вида характеристического уравнения задачи 9, запишем характеристический многочлен Д (р) :

Осуществляя подстановку р = ј? , получим характеристический вектор Д (ј?)

Разделим вещественную и мнимую составляющую вектора, то есть

,

где ;

Вектор Д (ј?)изображенный в декартовых координатах на плоскости, при изменении

0 < ? < ?, вращается, и конец вектора описывает кривую, которая называется годографом характеристического уравнения.

Практическая формулировка критерия Михайлова: система будет устойчива, если при возрастании ? от 0 до ? годограф, начинаясь на положительной части вещественной оси, проходит последовательно в положенном направлении n квадратов, где n - степень характеристического уравнения.

Такое перемещение годографа соответствует повороту вектора Д (ј?) на угол 0,5 ?n. Для построения годографа определим точки пересечения с вещественной U и мнимой V осями:

а) пересечение годографа с осью U проходит при

;

Таким образом, первая точка пересечения при ?₁ = 0 соответствует ;

вторая точка при ?₂ = 0,123 соответствует

б) пересечения годографа с осью V проходит при

откуда ; таким образом точка пересечения при соответствует ;

Выбираются только положительные значения корней, т.к. ? изменяется от 0 до ?. Для построения графика зададимся рядом значений 0??

?	0	10-3	5?10-2	8?10-2	10-1	1,5?10-1	2?10-1	…	?
U(?)	0,432	0,428	-10,7	-28,1	-44,1	-99,7	-177,6	…	-?
V(?)	0	0,064	2,69	3,04	2,34	-4,12	-19,7	…	-?

Построим годограф данного характеристического уравнения:

Рисунок 3.

На основании данного графика система по критерию Михайлова устойчива, т.к. кривая годографа пересекает три квадранта и степень характеристического уравнения тоже три.