Методика подготовки к ЕГЭ по информатике по теме «основы логики»

Введение

Подготовка к ЕГЭ по информатике стала актуальной с введением экзамена по информатике по выбору при окончании средней школы и введением в некоторых ВУЗах, включая и гуманитарные, вступительных экзаменов по информатике.

Тема «Логика. Логические основы компьютера» – один из разделов, изучаемых в рамках учебной дисциплины «Информатика и ИКТ» на профильном уровне. В силу своей предельной общности и абстрактности логика имеет отношение буквально ко всем конкретным отраслям науки и техники. Потому, что как бы ни были различны и своеобразны эти отрасли, все же законы и правила мышления, на которых они основываются, едины.

Изучение логики развивает: ясность и четкость мышления; способность предельно уточнять предмет мысли; внимательность, аккуратность, обстоятельность, убедительность в суждениях; умение абстрагироваться от конкретного содержания и сосредоточиться на структуре своей мысли.

Предмет исследования – методы подготовки к ЕГЭ по информатике по теме «Основы логики».

Объект исследования – раздел «Основы логики» школьного курса информатики.

Цель: комплексное, системное изучение методики подготовки к ЕГЭ по информатике по теме «Основы логики».

Достижение поставленной цели требует постановки и решения следующих задач:

1. провести теоретический анализ раздела «Основы логики»;

2. рассмотреть возможные трудности при решении задач данной темы.

Глава 1. Теоретический анализ раздела «Основы логики»

§1. Формы мышления. Алгебра высказываний.

Логика — наука о способах и формах мышления, которая возникла в Древнем Китае и Индии.

Основоположником формальной логики по праву считается Аристотель. Логика позволяет, отвлекаясь от содержательной стороны, строить формальные модели окружающего мира. Свойства, связи, и отношения объектов окружающего мира в сознании человека отражают законы логики.

Мышление всегда осуществляется в следующих формах: понятие, высказывание и умозаключение.

Алгебра высказываний позволяет определять истинность или ложность составных высказываний.

В алгебре высказываний простым высказываниям или суждениям соответствуют логические переменные. Истинному высказыванию соответствует значение логической переменной 1, а ложному — значение 0. Над высказываниями можно производить определенные логические операции, в результате которых получаются новые, составные высказывания[14, 98 c.].

Для образования новых высказываний наиболее часто используются базовые логические операции, выражаемые с помощью логических связок «и» (логическое умножение (конъюнкция)), «или» (логическое сложение (дизъюнкция)), «не» (логическое отрицание (инверсия)).

Конъюнкция. Операцию логического умножения (конъюнкцию) принято обозначать значком «&» либо «/\»:

F = А /\В.

Функция логического умножения F может принимать лишь два значения «истина» (1) и «ложь» (0). Значение логической функции определяется с помощью таблицы истинности:

А	В	А /\ В
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Дизъюнкция. Операцию логического сложения обозначают «v» либо «+».

F = A\/B

Таблица истинности:

A	B	A\/B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Инверсия. Операцию логического отрицания обозначают F = ¬A.

Таблица истинности логического отрицания:

A	¬A
0	1
1	0

Равносильными логическими выражениями называются логические выражения, у которых совпадают последние столбцы таблиц истинности.

Логическое следование (импликация) — это логическая функция, которую можно описать помощью оборота «если..., то...», и обозначается:

А –> В.

Таблица истинности:

A	B	А–>В
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Логическое равенство (эквивалентность) — это логическая функция, которую можно описать помощью оборота «тогда и только тогда, когда ...» и обозначается А<–>В.

Таблица истинности:

A	B	А<–>В
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

§2. Логические выражения и функции

Логические выражения. Составные высказывания можно представить в виде логического выражения или формулы, которая состоит из логических переменных, обозначающих высказывания, и знаков логических операций.

Логические операции выполняются в следующем порядке: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция. Скобки позволяют этот порядок изменить:

F = (A\/B) /\ (A\/B)

Таблицу истинности можно построить для каждого логического выражения. Она определяет его значение при всех возможных комбинациях значений логических переменных [14, 99 c.].

Построение таблицы истинности:

1. Количество строк N в таблице истинности равно количеству возможных комбинаций значений логических переменных n и определяется по формуле: N = 2".

2. Количество столбцов в таблице истинности равно количеству логических переменных плюс количество логических операций.

3. Построить таблицу истинности с необходимым количеством строк и столбцов и записать значения исходных логических переменных.

4. Заполнить таблицу истинности по столбцам, в соответствии с таблицами истинности.

§3. Логические законы

Закон тождества. Всякое высказывание тождественно самому себе:

А = А.

Закон непротиворечия. Высказывание не может быть одновременно истинным и ложным:

А /\ ¬А = 0.

Закон исключенного третьего. Высказывание может быть либо истинным, либо ложным:

A \/ ¬A = 1.

Закон двойного отрицания. Двойное отрицание дает в итоге исходное высказывание:

¬¬А = А

Законы де Моргана:

¬(A \/ B) = ¬A /\ ¬B

¬(A /\ B) = ¬A \/ ¬B

Закон коммутативности.

А /\ В = В /\ А

A \/ B = B \/ A

Закон ассоциативности:

(А /\ В) /\ С = А /\ (В /\ С)

(A \/ B) \/ C = A \/ (B \/ C)

Закон дистрибутивности. Отличается от подобного закона в алгебре — за скобки можно выносить не только общие множители, но и общие слагаемые:

(A /\ B) \/ (A /\ C)=A /\ (B \/ C)

(A \/ B) /\ (A \/ C) = A \/ (B /\ C)

§4. Базовые логические элементы

В основе обработки компьютером информации лежит алгебра логики, разработанная английским математиком Дж. Булем. Схемные реализации логических операций называются логическими элементами.

Логический элемент НЕ преобразует сигнал в противоположный, например, если на вход элемента подана логическая единица, то на выходе этого элемента будет логический ноль и наоборот.

НЕ

Логический элемент ИЛИ преобразует два сигнала, поданных на вход, в один сигнал на выходе по следующему принципу. Если на любой вход логического элемента ИЛИ будет подана логическая единица, то на выходе элемента будет логическая единица. Если на оба входа подан логический ноль, то на выходе элемента ИЛИ также будет ноль.

Логический элемент И преобразует два сигнала, поданных на вход, в один сигнал на выходе по следующему принципу. Если на любой вход логического элемента И будет подана логическая единица, а на другой вход логический ноль, то на выходе элемента будет логический ноль. Если на оба входа подана логическая единица, то на выходе элемента И также будет единица.

Из тысяч и миллионов таких элементов строится ЭВМ [14, 103 c.].

Рассмотрим, как из логических элементов можно сконструировать устройство для сложения двух двоичных чисел — так называемый одноразрядный сумматор или полусумматор. Это устройство должно давать на выходе следующие сигналы:

0 + 0 = 00

0 + 1 = 01

1 + 0 = 01

1 + 1 = 10

Многоразрядный сумматор состоит из полных одноразрядных сумматоров, соединенных следующим образом: на каждый разряд ставится одноразрядный сумматор, причем выход (перенос) сумматора младшего разряда подключается ко входу сумматора старшего разряда.

Глава 2. Методика подготовки к ЕГЭ по теме «Основы логики»

§1. Кодификатор

Код блока	Код контролируемого элемента	Элементы содержания, проверяемые заданиями КИМ
1		Информационные процессы и системы
1.3		Основы логики.
	1.3.1	Алгебра логики.
	1.3.2	Логические выражения и их преобразование.
	1.3.3	Построение таблиц истинности логических выражений.

Материал, проверяемый ЕГЭ

На уровне воспроизведения знаний проверяется такой фундаментальный теоретический материал, как: основные элементы математической логики.

Материал на проверку сформированности умений применять свои знания в стандартной ситуации:

• создавать и преобразовывать логические выражения;

• формировать для логической функции таблицу истинности и логическую схему.

Материал на проверку сформированности умений применять свои знания в новой ситуации: решать логические задачи.

§2. Разбор заданий

По теме «Основы логики» в экзаменационной работе содержалось пять заданий: три с выбором ответа и два с кратким ответом (что составляет 12,5% от максимального первичного балла за всю работу). Эти задания включали в себя проверку умения строить таблицы истинности и логические схемы, преобразовывать логические выражения, решение логического уравнения. Уровень сложности, максимальный первичный балл и время выполнения определяется по спецификации. Обозначения: Б – базовый уровень, сложности, П – повышенный уровень сложности, В – высокий уровень сложности.

№	Обозначение задания в работе	Проверяемые элементы содержания	Коды проверяемых элементов содержания по кодификатору	Коды видов деятельности (п.4 спецификации)	Уровень сложности задания	Макс. балл за выполнение задания	Примерное время выполнения задания (мин.)
1	А7	Знание основных понятий и законов математической логики	1.3.1	3	П	1	3
2	А8	Умение строить и преобразовывать логические выражения	1.3.2.	2	Б	1	1
3	А9	Умения строить таблицы истинности и логические схемы	1.3.3.	2	Б	1	2
4	В4	Умение строить и преобразовывать логические выражения	1.3.2	3	В	1	10
5	В6	Умение строить и преобразовывать логические выражения	1.3.2.	2	П	1	8

В экзаменационных заданиях используются следующие соглашения:

1. Обозначения для логических связок (операций):

1. отрицание (инверсия) обозначается ¬ (например, ¬А);

2. конъюнкция (логическое умножение, логическое И) обозначается /\ (например, А /\ В);

3. дизъюнкция (логическое сложение, логическое ИЛИ) обозначается \/ (например, A \/ В);

4. следование (импликация) обозначается –> (например, А –> В);

5. символ 1 используется для обозначения истины (истинного высказывания); символ 0 — для обозначения лжи (ложного высказывания).

2. Два логических выражения, содержащих переменные, называются равносильными (эквивалентными), если значения этих выражений совпадают при любых значениях переменных. Так, выражения А –> В и (¬А) \/ В равносильны, а А \/ В и А /\ В – нет (значения выражений разные, например, при А = 1, В = 0).

3. Приоритеты логических операций: инверсия (отрицание), конъюнкция (логическое умножение), дизъюнкция (логическое сложение), импликация (следование), эквивалентность (равносильность). Таким образом, ¬А /\ В \/ С /\ D совпадает с ((¬А) /\ В) \/ (С /\ D). Возможна запись А /\ В /\ С вместо (А /\ В) /\ С. То же относится и к дизъюнкции: возможна запись А \/ В \/ С вместо (А \/ В) \/ С.

§3. Основные трудности при решении заданий

Задание А7 повышенного уровня на проверку знания основных понятий и законов математической логики. Задание А8 базового уровня на преобразование логических выражений, задания А9 и В4 проверяют сформированность умений применять свои знания в новой ситуации. Это умение преобразовывать сложные логические высказывания.

Задание В6 относится к высокому уровню сложности, требует от экзаменуемого решить логическую задачу. Решить логическую задачу - значит, найти истинное высказывание, отвечающее на поставленный в задаче вопрос. Необходимо подчеркнуть, что в качестве данных и в качестве разыскиваемой величины выступают высказывания, которые при решении алгебраических задач обозначаются символами.

А7.

Знание основных понятий и законов математической логики.

Уровень сложности задания: повышенный.

Максимальный балл за задание: 1.

Примерное время выполнения: 2 мин.

Типичные ошибки:

• можно «забыть» отрицание (помните, что правильный ответ – всего один!);

• можно перепутать порядок операций (скобки, «НЕ», «И», «ИЛИ», «импликация»);

• нужно помнить таблицу истинности операции «импликация», которую очень любят составители тестов;

• этот метод проверяет только заданные числа и не дает общего решения, то есть не определяет все множество значений X, при которых выражение истинно;

• нужно помнить законы логики (например, формулы де Моргана);

• при использовании формул де Моргана нужно не забыть заменить «И» на «ИЛИ» и наоборот.

А8.

Умение строить и преобразовывать логические выражения.

Уровень сложности задания: базовый.

Максимальный балл за задание: 1.

Примерное время выполнения: 2 мин.

Типичные ошибки:

• серьезные сложности представляет применяемая в заданиях ЕГЭ форма записи логических выражений с «закорючками», поэтому рекомендуется сначала внимательно перевести их в «удобоваримый» вид;

• нужно хорошо помнить законы алгебры логики, которые не имеют аналога в математике (и «математическая» интуиция отказывает), но часто используются при упрощении логических выражений;

• при использовании законов де Моргана часто забывают, что нужно заменить «И» на «ИЛИ» и «ИЛИ» на «И»;

• расчет на то, что при использовании законов де Моргана инверсия сложного выражения по ошибке «просто пропадет», и все сведется к замене «ИЛИ» на «И»;

• иногда для решения нужно упростить не только исходное выражение, но и заданные ответы, если они содержат импликацию или инверсию сложных выражений.

А9.

Умения строить таблицы истинности и логические схемы.

Уровень сложности задания: повышенный.

Максимальный балл за задание: 1.

Примерное время выполнения: 4 мин.

Типичные ошибки:

• серьезные сложности представляет применяемая в заданиях ЕГЭ форма записи логических выражений с «закорючками», поэтому рекомендуется сначала внимательно перевести их в «удобоваримый» вид;

• расчет на то, что ученик перепутает значки  и ;

• в некоторых случаях заданные выражения-ответы лучше сначала упростить, особенно если они содержат импликацию или инверсию сложных выражений.

В4.

Умение строить и преобразовывать логические выражения.

Уровень сложности задания: высокий.

Максимальный балл за задание: 1.

Примерное время выполнения: 10 мин.

Типичные ошибки:

• Плохое знание таблиц истинности;

• Ошибки из-за невнимательности к значкам, которыми в выражениях обозначают логические операции. Это происходит от того, что в разных учебниках эти значки отличаются по написанию;

• нужно помнить правила преобразования логических выражений и хорошо владеть этой техникой;

• легко запутаться в многочисленных столбцах с однородными данными (нулями и единицами).

В6.

Умение строить и преобразовывать логические выражения

Уровень сложности задания: повышенный.

Максимальный балл за задание: 1.

Примерное время выполнения: 8 мин.

Типичные ошибки:

• длинное запутанное условие, из которого нужно выделить действительно существенную информацию и формализовать ее;

• легко по невнимательности перепутать порядок букв в ответе;

Последовательность решения логической задачи:

1. обозначение символами исходных и разыскиваемых высказываний;

2. составление логических выражений (сложных высказываний) для всех требований задачи с использованием логических связок (элементарных логических операций);

3. вычисление значений полученного выражения при всех возможных комбинациях истинности и ложности исходных высказываний или преобразование сложного выражения к виду, который однозначно дает ответ;

4. проверка полученного решения по условию задачи.

§4. Анализ выполнения заданий этой темы

По разделу «Основы логики» в экзаменационной работе содержится пять заданий: три с выбором ответа и два с кратким ответом. Два задания базового, два повышенного и одно – высокого уровня сложности. Экзаменуемые хорошо справились с заданием А11 базового уровня на проверку умения строить таблицы истинности и логические схемы: 79% выполнения в среднем (результат практически эквивалентен 2006 и 2007 годам) а также с заданием А10 базового уровня на преобразование логических выражений: 83% выполнения в среднем при 79% в 2007 г. и 73% в 2006 г. Результат выполнения задания А9 повышенного уровня на проверку знания основных понятий и законов математической логики также выше результатов прошлых лет: 74% при 57% в 2007 г. и 69% в 2006 г [2, 90 c.].

Как и в прошлые годы задание В2 на решение логического уравнения дало результат не соответствующий высокому уровню сложности задания, в среднем 49% при 51% в 2007 г. Задание В4 повышенного уровня с кратким ответом представляет собой текстовую логическую задачу. В этом году результат оказался ниже прошлых лет: 52% при 64% в 2007 г. и 57% в 2006 г.

В целом в 2008 году по теме «основы логики» результаты полностью соответствуют и иногда даже превосходят результаты, прогнозировавшиеся комиссией. Можно сделать окончательный вывод о том, что повышенное внимание, уделенное этому разделу при разборе результатов ЕГЭ предыдущих лет, дало свои плоды: результат усвоения этой темы не выбивается из общего ряда.

Глава 3. Решения демо-версий ЕГЭ за 2007-2010 г.

2007 год

A9. Для какого числа X истинно высказывание

((X>3) \/ (X<3> (X<1)

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

Решение:

((X>3) \/ (X<3> (X<1>3) \/ (X<3>

Высказывание Х>3 истинно при Х = 4, а высказывание (X<3) ложно, значит, дизъюнкция истинна.

Высказывание Х<1 при X = 4 ложно. Из истины следует ложь – импликация ложна.

Высказывание Х>3 ложно при Х = 3, и высказывание (X<3) ложно, значит, дизъюнкция ложна.

Высказывание Х<1 при X = 3 ложно. Из лжи следует ложь – импликация истинна.

При Х=2 Получим из истины следует ложь – импликация ложна.

При Х=1 – аналогично.

Ответ: 3

A10. Какое логическое выражение равносильно выражению

¬ (A /\ B) /\ ¬C?

1) ¬A \/ B \/ ¬C 2) (¬A \/ ¬B) /\ ¬C 3) (¬A \/ ¬B) /\ C 4) ¬A /\ ¬B /\ ¬C

Решение:

Применим формулу де Моргана ¬(В \/ С) = ¬ В /\ ¬ С.

Получим:

¬ (A /\ B) /\ ¬C = (¬A \/ ¬B) /\ ¬C

Ответ: 2

A11. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z.

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

x	y	z	F
0	1	0	0
1	1	0	1
1	0	1	0

Какое выражение соответствует F?

1) ¬X \/ Y \/ ¬Z 2) X /\ Y /\ ¬Z 3) ¬X /\ ¬Y /\ Z 4) X \/ ¬Y \/ Z

Решение:

x	y	z	¬x	¬y	¬z	F1	F2	F3	F4	F
0	1	0	1	0	1	1	0	0	1	1
1	1	0	0	0	1	1	1	0	1	1
1	0	1	0	1	0	0	0	0	1	1

Из таблицы делаем вывод:

F = X \/ ¬Y \/ Z

Ответ: 4

В2. Каково наибольшее целое число X, при котором истинно высказывание (90 (X < (X -1)) ?

Решение:

Импликация ложна, когда посылка истинна, следствие ложно, в остальных случаях истинна.

Посылка истинна 90 X>9 или X < -9.

Проверим следствие при этих значениях Х > 9 => (X<(X-1)) – ложно. Импликация ложна.

Проверим следствие при этих значениях Х < - 9 => (X<(X-1)) – ложно. Импликация ложна.

Посылка ложна, если – 9 ? X ? 9. Проверим следствие. (X < (X -1)) – ложно. Импликация истинна. Наибольшее число 9.

Ответ: 9

B4. В школьном первенстве по настольному теннису в четверку лучших вошли девушки: Наташа, Маша, Люда и Рита. Самые горячие болельщики высказали свои предположения о распределении мест в дальнейших состязаниях. Один считает, что первой будет Наташа, а Маша будет второй. Другой болельщик на второе место прочит Люду, а Рита, по его мнению, займет четвертое место. Третий любитель тенниса с ними не согласился. Он считает, что Рита займет третье место, а Наташа будет второй. Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов.

Какое место на чемпионате заняли Наташа, Маша, Люда, Рита? (В ответе перечислите подряд без пробелов числа, соответствующие местам девочек в указанном порядке имен.)

Решение:

	Наташа	Маша	Люда	Рита
1 болельщик	1	2
2 болельщик			2	4
3 болельщик	2			3

Ответ: 1423

2008 год

А9. Для какого из указанных значений числа X истинно высказывание

((X < 5) –> (X < 3)) /\ ((X < 2) –> (X < 1))

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

Решение:

((X < 5) –> (X < 3)) /\ ((X < 2) –> (X < 1)) – истина, если (X < 5) –> (X < 3) – истина и (X < 2) –> (X < 1) – истина.

Подставляем значения Х:

1)Х = 1

(1 < 5) –> (1 < 3) – истина;

(1 < 2) –> (1 < 1) – ложь, отсюда следует,

((X < 5) –> (X < 3)) /\ ((X < 2) –> (X < 1)) – ложь.

2) Х = 2

(2 < 5) –> (2 < 3) – истина;

(2 < 2) –> (2 < 1) – истина, отсюда следует,

((X < 5) –> (X < 3)) /\ ((X < 2) –> (X < 1)) – истина.

3) Х = 3

(3 < 5) –> (3 < 3) – ложь;

(3 < 2) –> (3 < 1) – истина, отсюда следует,

((X < 5) –> (X < 3)) /\ ((X < 2) –> (X < 1)) – ложь.

4) Х = 4

(4 < 5) –> (4 < 3) – ложь;

(4 < 2) –> (4 < 1) – истина, отсюда следует,

((X < 5) –> (X < 3)) /\ ((X < 2) –> (X < 1)) – ложь.

Ответ: 2

А10. Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению

¬(А\/¬В\/С)

1) ¬А \/ В \/ ¬С 2) А /\ ¬В /\ С 3) ¬А \/ ¬В \/ ¬С 4) ¬А /\ В/\ ¬С

Решение:

Применим формулу де Моргана ¬(В \/ С) = ¬ В /\ ¬ С.

Получим:

¬(А \/ ¬В \/ С) = ¬А /\ В /\ ¬С

Ответ: 4

А11. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов X, Y, Z.

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

x	y	z	F
1	1	1	1
1	1	0	1
1	0	1	1

Какое выражение соответствует F?

1) X \/ ¬Y \/ Z 2) X /\ Y /\ Z 3) X /\ Y /\ ¬Z 4) ¬X \/ Y \/ ¬Z

Решение:

x	y	z	¬x	¬y	¬z	F1	F2	F3	F4	F
1	1	1	0	0	0	1	1	0	1	1
1	1	0	0	0	1	1	0	1	1	1
1	0	1	0	1	0	1	0	0	0	1

Из таблицы делаем вывод:

F = X \/ ¬Y \/ Z

Ответ: 1

В2. Сколько различных решений имеет уравнение

((K \/ L) –> (L /\ M /\ N)) = 0

где K, L, M, N – логические переменные?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Решение:

K	L	M	N	K\/L	L/\ M	L/\ M/\N	F
0	0	0	0	0	0	0	1
0	0	0	1	0	0	0	1
0	0	1	0	0	0	0	1
0	0	1	1	0	0	0	1
0	1	0	0	1	0	0	0
0	1	0	1	1	0	0	0
0	1	1	0	1	1	0	0
0	1	1	1	1	1	1	1
1	0	0	0	1	0	0	0
1	0	0	1	1	0	0	0
1	0	1	0	1	0	0	0
1	0	1	1	1	0	0	0
1	1	0	0	1	0	0	0
1	1	0	1	1	0	0	0
1	1	1	0	1	1	0	0
1	1	1	1	1	1	1	1

Ответ: 10

В4. Перед началом Турнира Четырех болельщики высказали следующие предположения по поводу своих кумиров:

А) Макс победит, Билл – второй;

В) Билл – третий, Ник – первый;

С) Макс – последний, а первый – Джон.

Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов.

Какое место на турнире заняли Джон, Ник, Билл, Макс? (В ответе перечислите подряд без пробелов места участников в указанном порядке имен.)

Решение:

	А	В	С
Макс	1		4
Бил	2	3
Ник		1
Джон	1

Ответ: 3124

2009 год

А7. Для какого из указанных значений X истинно высказывание

¬ ((X>2) ? (X>3))?

1) 1 2) 2 3) 3 4)4

Решение:

(X>2) – А;

(X>3) – В.

А	В	А?В	¬ (А?В)
0	0	1	0
0	1	1	0
1	0	0	1
1	1	1	0

Ответ: 3

А8. Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению

А/\ ¬(¬В\/С)

1) ¬А \/ ¬В \/ ¬С 2) А /\ ¬В /\ ¬С 3) А /\ В /\ ¬С 4) А /\ ¬В /\ С

Решение:

Применим формулу де Моргана ¬(В \/ С) = ¬ В /\ ¬ С и формулу ¬(¬В) = В.

Получим:

А\/¬(¬В \/ С) = А /\ В /\ ¬С

Ответ: 3

А9. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов X, Y, Z.

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

x	y	z	F
1	0	0	1
0	0	0	1
1	1	1	0

Какое выражение соответствует F?

1) ¬X /\ ¬Y /\¬Z 2) X /\ Y /\ Z 3) X \/Y \/ Z 4) ¬X \/ ¬Y \/ ¬Z

Решение:

x	y	z	¬x	¬y	¬z	F1	F2	F3	F4	F
1	0	0	0	1	1	0	0	1	1	1
0	0	0	1	1	1	1	0	0	1	1
1	1	1	0	0	0	0	1	1	0	0

Из таблицы делаем вывод:

F = ¬X \/ ¬Y \/ ¬Z

Ответ: 4

В4. Каково наибольшее целое число X, при котором истинно высказывание

(50(X+1) ·(X+1))?

Решение:

Допустим, что Х² > 50, тогда из математических соображений следует, что (Х+1)² > 50 и, следовательно, вся импликация ложна. При Х² ? 50 импликация всегда будет истинной, не зависимо от правой части. Найдем наибольшее целое число Х, такое что Х² ? 50. Очевидно Х = 7.

Ответ: 7

В6. Классный руководитель пожаловался директору, что у него в классе появилась компания из 3-х учеников, один из которых всегда говорит правду, другой всегда лжет, а третий говорит через раз то ложь, то правду. Директор знает, что их зовут Коля, Саша и Миша, но не знает, кто из них правдив, а кто – нет. Однажды все трое прогуляли урок астрономии. Директор знает, что никогда раньше никто из них не прогуливал астрономию. Он вызвал всех троих в кабинет и поговорил с мальчиками. Коля сказал: "Я всегда прогуливаю астрономию. Не верьте тому, что скажет Саша". Саша сказал: "Это был мой первый прогул этого предмета". Миша сказал: "Все, что говорит Коля, – правда". Директор понял, кто из них кто. Расположите первые буквы имен мальчиков в порядке: "говорит всегда правду", "всегда лжет", "говорит правду через раз". (Пример: если бы имена мальчиков были Рома, Толя и Вася, ответ мог бы быть: РТВ)

Решение:

Саша сказал, что прогулял один раз – это, правда, т. к. по условию директор знает, что ученики прогуляли астрономию один раз. Коля сказал, что всегда прогуливает (это ложь), и что Саша лжет (это ложь). Миша сказал, что Коля говорит правду, а мы выяснили, что Коля солгал, следовательно, Миша тоже солгал. Из наших рассуждений следует: Саша всегда говорит правду, Коля всегда лжет, а Миша говорит через раз то правду, то ложь.

Ответ: СКМ

2010 год

А7. Какое из приведенных имен удовлетворяет логическому условию

¬ (первая буква гласная ? вторая буква гласная) /\ последняя буква гласная

1. ИРИНА 2)МАКСИМ 3)АРТЕМ 4) МАРИЯ

Решение:

А – первая буква гласная;

В – вторая буква гласная;

С – последняя буква гласная.

F = ¬(А?В) /\ С = 1

A	B	C	A?B	¬(A?B)	F
0	0	0	1	0	0
0	0	1	1	0	0
0	1	0	1	0	0
0	1	1	1	0	0
1	0	0	0	1	0
1	0	1	0	1	1
1	1	0	1	0	0
1	1	1	1	0	0

Первая буква – гласная;

Вторая буква – согласная;

Последняя буква – гласная.

Ответ: 1

А8. Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению

¬(¬А \/ ¬В) /\ С

1) ¬А \/ В \/ ¬С 2) А /\ В /\ С 3) (А \/ В) /\ С 4) (¬А /\ ¬В) \/ ¬С

Решение:

¬(x \/ y) = ¬x /\ ¬y

¬(¬А \/ ¬В) /\ С = А /\ В /\ С

Ответ: 2

А9. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов X, Y, Z.

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

x	y	z	F
1	1	1	1
1	1	0	1
1	0	1	1

Какое выражение соответствует F?

1) ¬X /\ ¬Y /\¬Z 2) X /\ Y /\ Z 3) X \/Y \/ Z 4) ¬X \/ ¬Y \/ ¬Z

Решение:

x	y	z	¬x	¬y	¬z	F1	F2	F3	F4	F
1	1	1	0	0	0	1	1	1	0	1
1	1	0	0	0	1	0	0	1	1	1
1	0	1	0	1	0	0	1	1	0	0

Из таблицы делаем вывод:

F = X \/Y \/ Z

Ответ: 3

В4. Сколько различных решений имеет уравнение

J /\ ¬K /\ L /\ ¬M /\ (N \/ ¬N) = 0

где J, K, L, M, N – логические переменные?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений J, K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Решение:

F = J /\ ¬K /\ L /\ ¬M /\ (N \/ ¬N) = 0

J	K	L	M	N	¬K	¬M	¬N	J/\¬K	J /\¬K	J/\¬K/\L/\¬M	N\/¬N	F
0	0	0	0	0	1	1	1	0	0	0	1	0
0	0	0	0	1	1	1	0	0	0	0	1	0
0	0	0	1	0	1	0	1	0	0	0	1	0
0	0	0	1	1	1	0	0	0	0	0	1	0
0	0	1	0	0	1	1	1	0	0	0	1	0
0	0	1	0	1	1	1	0	0	0	0	1	0
0	0	1	1	0	1	0	1	0	0	0	1	0
0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	0	1	0
0	1	0	0	0	0	1	1	0	0	0	1	0
0	1	0	0	1	0	1	0	0	0	0	1	0
0	1	0	1	0	0	0	1	0	0	0	1	0
0	1	0	1	1	0	0	0	0	0	0	1	0
0	1	1	0	0	0	1	1	0	0	0	1	0
0	1	1	0	1	0	1	0	0	0	0	1	0
0	1	1	1	0	0	0	1	0	0	0	1	0
0	1	1	1	1	0	0	0	0	0	0	1	0
1	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	1	0
1	0	0	0	1	1	1	0	1	0	0	1	0
1	0	0	1	0	1	0	1	1	0	0	1	0
1	0	0	1	1	1	0	0	1	0	0	1	0
1	0	1	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	0	1	0	1	1	1	0	1	1	1	1	1
1	0	1	1	0	1	0	1	1	1	0	1	0
1	0	1	1	1	1	0	0	1	1	0	1	0
1	1	0	0	0	0	1	1	0	0	0	1	0
1	1	0	0	1	0	1	0	0	0	0	1	0
1	1	0	1	0	0	0	1	0	0	0	1	0
1	1	0	1	1	0	0	0	0	0	0	1	0
1	1	1	0	0	0	1	1	0	0	0	1	0
1	1	1	0	1	0	1	0	0	0	0	1	0
1	1	1	1	0	0	0	1	0	0	0	1	0
1	1	1	1	1	0	0	0	0	0	0	1	0

Ответ: 30

В6. На одной улице стоят в ряд 4 дома, в которых живут 4 человека: Алексей, Егор, Виктор и Михаил. Известно, что каждый из них владеет ровно одной из следующих профессий: Токарь, Столяр, Хирург и Окулист, но неизвестно, кто какой и неизвестно, кто в каком доме живет. Однако, известно, что:

1) Токарь живет левее Столяра

2) Хирург живет правее Окулиста

3) Окулист живет рядом со Столяром

4) Токарь живет не рядом со Столяром

5) Виктор живет правее Окулиста

6) Михаил не Токарь

7) Егор живет рядом со Столяром

8) Виктор живет левее Егора

Выясните, кто какой профессии, и кто где живет, и дайте ответ в виде заглавных букв имени людей, в порядке слева направо. Например, если бы в домах жили (слева направо) Константин, Николай, Роман и Олег, ответ был бы: КНРО

Решение:

По первым четырем условиям, мы определили, что первый дом Токаря, второй дом Окулиста, третий дом Столяра, четвертый дом Хирурга. Теперь нам нужно определить, кого как зовут. По пятому условию видно, что Виктор может быть Столяром или Хирургом. По условию Михаил не Токарь, значит, он может быть либо Окулистом, либо Столяром, либо Хирургом. Егор может быть или Столяром или Хирургом. Виктор живет левее Егора. Можно сделать вывод, что Виктор Столяр, Михаил Окулист, Егор Хирург, а Алексей Токарь.

Ответ: АМВЕ

Заключение

Тема «Логика. Логические основы компьютера» – один из разделов, изучаемых в рамках учебной дисциплины «Информатика и ИКТ» на профильном уровне.

Изучение логики развивает: ясность и четкость мышления; способность предельно уточнять предмет мысли; внимательность, аккуратность, обстоятельность, убедительность в суждениях; умение абстрагироваться от конкретного содержания и сосредоточиться на структуре своей мысли.

Важна роль задач в изучении этого раздела. Ученики должны понимать, что логика в силу своей предельной общности и абстрактности имеет отношение буквально ко всем конкретным отраслям науки и техники.

В работе представлены решения задач по теме «Основы логики», взятые из демо-версий ЕГЭ по информатике разных лет.

Таким образом, в результате проделанной работы были достигнута цель и решены поставленные задачи.

Список литературы

1. Бочкин А. И. Методика преподавания информатики. – Минск: Высшая школа, 1998. – 431 с.

2. ЕГЭ 2009. Информатика. Федеральный банк экзаменационных материалов / Авт.-сост. П. А. Якушкин, С. С. Кры­лов. — М. : Эксмо, 2009. — 160 с.

3. Информатика : ЕГЭ-2009 : Самые новые задания/авт.-сост. О.В. Ярцева, Е.Н. Цикина. — М.: ACT: Астрель, 2009. — 126 с.

4. Информатика и ИКТ: Учебник. Начальный уровень / Под ред. Н. В. Макаровой. — СПб.: Питер, 2007.

5. Информатика и ИКТ: Учебник. 8-9 класс / Под ред. Н. В. Макаровой. — СПб.: Питер, 2007.

6. Информатика и ИКТ: Практикум. 8-9 класс. / Под ред. Н. В. Макаровой. — СПб.: Питер, 2007.

7. Информатика и ИКТ: Учебник. 10 класс. Базовый уровень / Под ред. Н. В. Макаровой. — СПб.: Питер, 2007.

8. Информатика и ИКТ: Учебник. 11 класс. Базовый уровень / Под ред. Н. В. Макаровой — СПб.: Питер, 2007.

9. Информатика и ИКТ: Методическое пособие для учителей. Т. 1. / Под ред. проф. Н. В. Макаровой. — СПб.: Питер, 2007.

10. Информатика и ИКТ: Методическое пособие для учителей. Т. 2. / Под ред. проф. Н. В. Макаровой. СПб.: Питер, 2007.

11. Информатика и ИКТ: Методическое пособие для учителей. Т. 3. / Под ред. проф. Н. В. Макаровой. СПб.: Питер, 2007.

12. Лапчик М. П. и др. Методика преподавания информатики. – М.: Академия, 2001. – 624 с.

13. Лыскова В. Ю., Ракитина Е. А. Логика в информатике. – М.: ЛБЗ, 2001. – 160 с.

14. Молодцов В.А. Информатика : тесты, задания, лучшие методики / Молодцов В.А., Рыжикова Н.Б. — Ростов н/Д : Феникс, 2008. — 217 с.

15. Подготовка к ЕГЭ по дисциплине «Информатика и ИКТ» / Под ред. Н. В. Макаровой. — СПб.: Питер, 2007.

16. Семакин И. Г., Шеина Т. Ю. Преподавание базового курса информатики в средней школе. Методическое пособие. – М.: БИНОМ. ЛБЗ, 2006.

17. Софронова Н. В. Теория и методика обучения информатике. – М.: Высшая школа, 2004. – 223 с.