Математические основы теории систем

Саратовский Государственный Технический Университет Балаковский Институт Техники Технологии и Управления Кафедра: Специальность: Курсовая работа МОТС Выполнил: Принял: Балаково 2009 г. I-часть Задание1: По виду электрической схемы построить математическую модель объекта управления в пространстве состояния. Задание2: По построенной модели составить структурную схему и сигнальный граф. Задание3: Используя формулу Мейсона найти передаточную функцию объекта управления. Задание4: По передаточной функции объекта управления определить временные и частотные характеристики. Построить их зависимость: АЧХ, ФЧХ. Задание5: По полученным зависимостям определить прямые и косвенные оценки качества объекта управления. II -часть. Задание1: По заданной корреляционной функции Kx ( ) определить спектральную плотность Sx ( ) для белого шума, который подается на вход формирующего фильтра. Задание2: По заданным статистическим характеристикам Se , Sv определить пер е даточную функцию формирующего фильтра (р) Задание3: Представить объект управления в виде V ( t ) X ( t ) Y ( t ) и оценить качество полученной системы по переходной характеристике. Задание4: Сделать вывод по работе. I-часть Данные R1 R2 R3 R4 L1 L2 C2 I2 Ом Гн. 10 -6 Ф ? 328 395 118 215 24 24 19605 L1 e(t) L2 1. Построить математическую модель объекта управления в пространстве с о стояния. В схеме три элемента, запасающих энергию: , следовательно, матем а тическая модель должна быть третьего порядка. 2. Построение математической модели. Задаемся направлением контурных токов . Составляем три уравнения по второму закону Кирхгофа для контуров: (1) (2) (3) В уравнении (3) есть интеграл, поэтому дифференцируем его: (3*) В уравнениях (3*), (2), (3) есть производные, в качестве выбираем эл е менты с производными и производные берем на порядок ниже: (4) (5) (6) Запишем введенный вектор состояния в виде дифференциальных уравнений первого порядка. Уравнение в пространстве состояний записывается в левой части: В полученных уравнениях имеется шесть переменных . Необход и мо уйти от , выразив их через Из выражения (1) выразим : Получили три дифференциальных уравнения и одно уравнение для выходного параметра. Запишем полученную систему уравнений в матричном виде: Получим матричное уравнение для выходной переменной: 2. Построение сигнального графа. Перепишем уравнения в общем, виде для построения графа системы: Построение графа произведем в два шага: Шаг 1. Ставим точки входа, выхода системы и векторы параметров Шаг 2. Соединяем все параметры связями согласно системе уравнений. Построим структурную схему. e X 3 X 3 X 2 X 2 i 2 X 1 X 1 3) Нахождение передаточной функции по формуле Мейсона. k-количество возможных путей от входа к выходу -определитель графа P k -коэффициент передачи k пути от входа к выходу -определитель всех касающихся контуров при удалении k-ого пути =1-(сумма коэффициентов передачи всех отдельных контуров)+(сумма всевозмо ж ных произведений из двух некасающихся контуров) - (сумма всевозможных комбин а ций из трех некасающихся контуров)+…+… Последовательность нахождения w(p) по формуле Мейсона: 1) В данном случае есть 1 путь от входа к выходу: 2) В системе имеется 4 замкнутых контуров: 3) Определитель системы включает 4 контура и 2 пары некасающихся контуров L 1 , L 2 ; L 1 , L 4 4) Количество сомножителей равно количеству прямых путей. Выражение для записывается как выражение для , но разрываются контуры, через которые проходит прямой путь P i . Сомножитель для первого пути. При размыкании первого пути 2 контура размыкаю т ся, кроме L 2 ,L 4 5) Запишем и преобразуем выражение передаточной функции: Найдем переходную функцию и построим ее график: Найдем амплитудно-частотную характеристику (АЧХ): Найдем фаза частотную характеристику (ФЧХ): Определим оценки качества системы: прямые и косвенные. Прямые оценки определяются графически по графику переходного процесса. Время переходного процесса: tn =11 Перерегулирование: Колебательность: п=0,5 Время нарастания регулируемой величины: t =0,385 Время первого согласования: tm =0,66 Косвенные оценки качества системы определяются по графику АЧХ. Колебательность: Резонансная частота: p =0,83 Частота среза: с p =10 Полоса пропускания частот: II -часть Задание1: По заданной корреляционной функции Kx ( ) определить спектральную плотность Sx ( ) для белого шума, который подается на вход формирующего фильтра. По данной корреляционной функции определим спектральную плотность: Найдем корни характеристических уравнений передаточной функции фильтра: Изобразим эти корни на комплекснрй плоскости: Система будет устойчивой, если корни характеристического уравнения лежат во 2-ом квадранте, следовательно, условию устойчивости системы соответствуют корни: P 7= -0,583+7,05 i P 9= - 0,550+9,98 i P 10= -0,570 Из этого следует, что передаточная функция фильтра будет иметь следующий вид: С учетом фильтра наша схема будет иметь следующий вид: Найдем переходную функцию данной системы, построим ее график и определим прямые оценки качества системы. Вывод: По графику видно, что фильтр вносит в систему изменения, приводящие к неустойчивости системы. Вследствие чего оценки качества системы определить нельзя.