Исследование статистических характеристик случайной последовательности

На тему : Исследование статистических характеристик случайной последовательности I . Цель работы Целью работы является: 1. Исследование свойств базой случайной последовательности; 2. Освоение методов оценки вероятностных характеристик случайной последовательности: математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения и автокорреляционной функции; 3. Освоение метода проверки гипотезы о законе распределения по критерию согласия хи-квадрат Пирсона. II . Теоретические сведения. 1. Имитаци я случайных последовательностей При моделировании сложных систем одной из важнейших частей является имитация случайных воздействий, действующих на исследуемую систему. Существует два основных метода имитации случайных воздействий: 1. Моделирование на натурных, экспериментальных данных 2. Моделирование с помощью алгоритмических датчиков. При реализации первого способа приходиться сталкиваться с трудностями последовательного ввода в оперативную память ЭВМ больших массивов информации и изменения параметров случайных воздействий. Свободным от этих недостатков, более предпочтительным является второй способ, позволяющий программно реализовать случайные воздействия на ЭВМ и легко изменять их характеристики. В основе этого метода положена генерация некоторых стандартных объектов, назваными базовыми случайными воздействиями и последующее их функциональное преобразование. Таким базовым случайным воздействием является последовательность чисел x 1, x 2,……, xn , представляющих собой реализацию независимых равномерно распределенных в интервале [0,1] случайных воздействий. В данной работе в качестве базовой случайной последовательности x 1, x 2,……, xm рассматривается М-последовательность, вырабатываемая генератором псевдослучайных чисел. Генератор строится на базе регистра, состоящего из n ячеек х i я i =1, n я , в которых записываются целые числа от 0 до я q -1 я , где q -основание системы исчисления я Рис1. я Случайные числа М- последовательности снимаются с последнего элемента регистра Х n . Числа записанные в ячейках Х m и Х n складываются по модулю q т.е. R = Xm + Xn (1) где " + " - знак сложения по модулю q . Сложение по модулю q означает, что сумма R не должна превышать и быть равной q . В противном случае R = R - q (2) затем производится сдвиг чисел в регистре: Х i :=Х i -1 -1 ( i = n ,2) (3) В первую ячейку записывается содержимое сумматора: Х 1 := R (4) Такая процедура повторяется М раз: M = q n -1 (5) где М- общее количество случайных чисел, вырабатываемых генератором. q - основание системы исчисления n - количество разрядов в регистре генератора. В результате проведения повторяющихся циклов получается базовая псевдослучайная последовательность x 1, x 2,……, xm Рис1. Генератор псевдослучайных чисел 2. Оценка вероятностных характеристик случайной последовательности Для полученной случайной последовательности x 1, x 2,……, x М производится оценка ее вероятностных характеристик. В качестве основных вероятностных характеристик рассматриваются: - математическое ожидание; -среднеквадратическое отклонение; -дисперсия; - автокорреляционная функция. Математическим ожиданием случайной величины х называется сумма произведений случайной величины на ее вероятность, т.е. m x = M [ x ]= X i * Pi (6) Но, так как вероятности случайной величины Х i неизвестны, то оценка математического ожидания для случайной последовательности производится по формуле: m X * = X i (7) Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т.е. D X =M [X i -m X ] 2 = [X i -m X ] 2 *P i (8) Так как вероятности P i неизвестны, то оценка д исперсии производится : D X * = [ X i - m * X ] 2 (9) Среднеквадратическим отклонением называется корень квадратный из дисперсии, т.е. X = (10) Ее оценка производится по этой же формуле. Автокорреляционной функцией называется математическое ожидание произведения отклонений случайной величины от ее математического ожидания, зависящих от величины сдвига r , как от аргумента: K(r)=M [(X i -m X )(X i+r -m X )]= (X i -m X )(X i+r -m X )P i (11) Оценка автокорреляционной функции производится по формуле: K * (r)= ( X i -m * X )(X i+r -m * X ) (12) ( r =1, M - r ) Для получения нормированной автокорреляционной функции необходимо все значения K * ( r ) поделить на оценку дисперсии D X * . Для случайной последовательности с равномерным законом распределения нормированная автокорреляционная функция K * ( r ) имеет вид (Рис 2.) Рис2. Нормированная автокорреляционная функция случайной последовательности с ра вномерным законом распределения 3. Оценка закона распределения Оценка закона распределения при большом объеме случайной последовательности производится по статистическому ряду, графическое изображение которого называется гистограммой. Для построения гистограммы диапазон возможных значений случайной последовательности разбивается на L участков точками U 1, U 2,… UL -1 (Рис 3.) Крайние точки U 1 и UL в общем случае могут быть бесконечными. Длины участков U могут быть не обязательно одинаковыми. Если они различные, то чаще всего они выбираются так, чтобы вероятности попаданий во всех участках были одинаковы или близки друг к другу. В связи с тем, что моделируемый генератор М-последовательности вырабатывает целые случайные числа от 0 до я q -1 я ,то участки выделяются точками U 1=1, U 2=2,…. Uq = q . Статистический ряд представляет совокупность чисел V 1, V 2,… VL , где Vj -количество элементов последовательности попавших в j -тый участок и удовлетворяющий неравенству U j -1 X j < U j ( j =1, L ) (13) Графическое представление статистического ряда, то есть гистограмму, удобно строить в относительных величинах. Поэтому производится нормирование, чтобы: =1 (14) Статистическая (выборочная, эмпирическая) функция распределения для равномерного закона F ( x ) является оценкой для интегральной функции распределения и вычисляется по формуле: F ( x )= Где Хк-к-тый элемент статистического ряда, в котором элементы расположены в порядке возрастания их числовых значений. Графическое представление интегральной функции распределения показано на Рис4. Рис3. Гистограмма Рис4 . Интегральная функция распределения 4. Проверка гипотезы о законе распределения Гипотеза о законе распределения элементов последовательности задается названием закона и численным значением его параметров. Она может быть задана плотностью вероятности в виде формулы или графика статистического ряда (Рис3). Иногда может быть задана интегральная функция распределения (Рис4). Тогда зная эту функцию распределения F ( x ), можно всегда найти плотность вероятности как f ( x )= F ’ ( x ) (16) Для проверки гипотезы о законе распределения при большом объеме последовательности ( M >100) пользуются критерием X 2 Пирсона. По построенному статистическому ряду (гистограмме) вычисляется статистика X 2 (