Основы Теории Управления

1.Понятие sys. Структура, орг-ция и классификация sys.

Любой процесс или совок. действий напрвлен. на достижение конкр. цели наз-ся управлением. Процесс упр-ия неразр-но связан с понятием sys.- это целое, сотавл-ое из частей, др. словами sys – это совок-ть эл-ов, связан. друг с другом, и образ-их опред. целостность. Эл-нт sys – это часть ее, выпол-яя оред. ф-ции. Эл-нт sys может рассматриваться как sys и часто наз-ся подсистемой. Любая sys может рассм-ся как подсис-ма более общей sys, в состав кот. она может входить. Одной из важнейших хар-ик sys яв-ся структура sys.- это сов-ть внутр-их устойч. связей м/у эл-ми, опред-щая осн-ые св-ва sys., н-р, иерархич. стр-ра предполагает соподчиненность эл-ов sys. Орг-ция sys – это внутр. упорядоченность и согласованность взаимод-ия эл-ов. Организация sys выраж-ся в ограничении разнообразия состояния эл-ов. Др. словами в орг-ной sys эл-ты выполняют вполне опред. ф-ии. Целостность sys – это принцип-ая несводимость св-ств sys к сумме св-ств ее эл-ов. Sys всегда проявляет нечто новое, кот. неприсуще ни одному ее эл-ту, н-р, св0во транспортировать людей автомашинами не принадлежит ни одной ее части (по отдельности). Это св-во наз-ся эмерджентностью sys.

Классификация sys:

1)В самом общем плане sys делятся на материальные и абстрактные. Мат-ые-предст-ют собой совок-ть мат. объектов: к ним относятся технич., химико-техн., живые, человеко-машинные и соц-ые sys. Абстрактн. sys.- это те sys., кот. яв-ся продуктом человеч. мышления или человеч. фантазии: к ним отн-ся sys. знаний, научн. теории, аксиоматика, гипотезы и др. 2) По времен. зависимости sys. делятся на статич. и динамич. Статич.- не меняют свое состояние во времени. В динамич.- состояние постоян. меняется в процессе их функционирования. Дин. sys. могут быть детерминированными и стохастическими. Состояние детерм. sys может быть опред-но в будущем и прошлом по ее состоянию в настоящем, др. словами дет. sys прогнозируемы как в будущее так и в прошлое. В отличие от дет. sys стохастич. sys не прогнозируемы, т.е. их состояние не может быть определено по ее настоящему состоянию. 3) По отношению к внешней среде sys бывают закрытыми и открытыми. Закрытые sys не взаимодействуют, а открытые- взаим-ют с внешн. средой. Под внешн. средой sys понимается часть более общей sys, в кот. входит и данная sys в кач-ве подsys. 4)По сложности ф-ии sys делятся на простые, сложные и большие. Под простой sys понимается sys, неимеющая подsys с развитой структурой и иерархичностью. Сложная sys – это совокупность подsys с развитой структурой. Др. словами сложная sys – это совокупность простых sys. Большая sys – это сложная sys, обладающая иерарх-ю, открытостью, самоорганизацией, кот. трудно поддается подробному описанию. Описание sys неразрывно связано с ее моделированием. Сложные и большие sys не удается исследовать во всей их полноте, поэтому для их исследования прибегают к методу моделирования. Моделью наз-ют отображение определенных св-ств объекта с цель. его изучения. Модель яв-ся карикатурой объекта и отражает лишь те св-ва, кот. необходимы с точки зрения решаемой пр-мы по отношению к объекту.

2.Моделирование sys, изоморфизм и гомоморфизм.

По сложности ф-ии sys делятся на простые, сложные и большие. Под простой sys понимается sys, неимеющая подsys с развитой структурой и иерархичностью. Сложная sys – это совокупность подsys с развитой структурой. Др. словами сложная sys – это совокупность простых sys. Большая sys – это сложная sys, обладающая иерарх-ю, открытостью, самоорганизацией, кот. трудно поддается подробному описанию. Описание sys неразрывно связано с ее моделированием. Сложные и большие sys не удается исследовать во всей их полноте, поэтому для их исследования прибегают к методу моделирования. Моделью наз-ют отображение определенных св-ств объекта с цель. его изучения. Модель яв-ся карикатурой объекта и отражает лишь те св-ва, кот. необходимы с точки зрения решаемой пр-мы по отношению к объекту. Центральной проблемой моделирования яв-ся степень близости модели и объекта, др. словами адекватность модели. В связи с адекватностью модели важными яв-ся гомоморфность и изоморфность.

Пусть даны 2 sys А и В. Если все эл-ты, связи и преобразования sys А нах-ся во взаимооднозначном соответствии с эл-ми, связями и преобр-ми sys В, то говорят, что эти sys изоморфны. Если 2 sys изоморфны, то каждая из них может быть моделью другой. Изоморфными могут быть sys разл. природы, т.е. мат-ая sys может быть изоморфна абстрактной sys. Их эл-ты имеют различн. природу, однако для исследования абстр. модель, как изоморфная мат-ой может быть исследована мат-ой.

Sys В наз-ся гомоморфной отн-но sys А, если каждой связи, эл-ту и преобр-ию си А соответствует опр-ая связь, эл-нт и преобр-ие sys В. В гомоморфных sys неск. эл-ам, связям и преоб-ям sys А могут соотв-ть один эл-нт, одна связь и одно преоб-ие sys В.

РИС.1

Т.о. гомоморфный образ яв-ся упрощенной моделью прообраза. Обычно модель конструируется как гомоморфный образ объекта и как изоморфный образ изучаемых св-ств и их хар-ик.

3.Матем. модели и их классификация. Управляемость sys.

Модели могут быть реализованы как физич. (мат-ми), так и абстрактными sys. Физич. моделями яв-ся макеты приборов, машин и т.д. В абстрактных моделях описание объектов и яв-ий производится на к.-л. языке. В кач-ве языка может быть использован естеств. язык, язык чертежей, схем или матем. язык. Матем. моделью свободн. колебаний пружинного маятника яв-ся диф-ые ур-ия

РИС. 2

Где m-масса груза, x(t)-переменная состояния, кот. выражает отклонение груза от равновесного состояния, -упругая хар-ка пружины, кот наз-ся жесткостью пружины.

Этим же ур-ем описываются св. колебания в эл-ом контуре. Преимуществом матем. моделей яв-ся то, что они описывают разл. физич., биологич., соц-ые и др sys. При этом параметры, входящие в эти модели могут иметь разл. смысл, в зависимости от моделируемого объекта, но сама модель, ее внешн. вид остается одним и тем же.

4.С.У. и ее структура. Анализ и синтез С.У.

Sys в кот. осущ-ся процесс упр-ия, т.е. целенопр-ое действие наз-ся системой упр-ия (СУ). СУ состоит из объекта упр-ия (ОУ), управляющего органа (УО) и исполнит. органа (ИО).

Схема СУ:

РИС. 3

В процессе функционирования УО получает осведомляющую инф-ию о текущ. состоянии ОУ и входную инф-ию о том, в каком состоянии должен нах-ся ОУ. Iвх – хар-ет цель упр-ия и вырабатывается вышестоящим или директивным органом. Отклонение ОУ то задан. состояния происходит под воздействием внешн. возмущений V. В рез-те сравнения инф-ий Iвх и Iос в УО выраб-ся Iу, кот. напр-на на ИО. На основе этой инф-ии ИО преобразует эту инф-ию в Управляющее воздействиеU, кот. ликвидирует отклонение ОУ от задан. состояния. Как видно из этой схемы для функц-ия СУ необх-ма инф-ия. На этой схеме изображены 3 ее потока: Iвх, Iу, Iос. Iвх сообщает УО в каком состоянии должен нах-ся ОУ при задан. внешн. возд-ии. Iу -инф-ия обратной связи о текущ. состоянии ОУ. Эта инф-ия , возникающая в рез-те обработки УО инф-ий Iос, и Iвх.

Iвх сод-ит в себе цель упр-ия, опред-щую смысл самого упр-ия. Если упр-ие наилучш. образом соотв-ет поставленной цели, то оно наз-ся оптимальным ур-ем. Критерием оптимальности яв-ся некот. измеряемая или вычисляемая ф-ия (вел-на) называемая целевой ф-ей. При оптим. упр-ии целевая ф-ия достигает экстремального зн-ия (max или min).

5.Автоматизированные информац. sys и их структура.

Sys в кот. осущ-ся процесс упр-ия, т.е. целенопр-ое действие наз-ся системой упр-ия (СУ). СУ состоит из объекта упр-ия (ОУ), управляющего органа (УО) и исполнит. органа (ИО).

Схема СУ:

РИС. 3

В зав-ти от стр-ры СУ различают sys автом. упр-ия (САУ) и автоматизированные инф-ые sys (АИС). В САУ описание объекта упр-ия и алг. упр-ия ими заранее известны, поэтому такие sys могут функ-вать без участия человека, как правило САУ исп-ся в технич. и технол. sys В таких sys в кач-ве УО исп-ся комп-ры. В АИС в УО кроме комп. вкл-ся лицо, принимающее решение. АИС имеют след. схему:

РИС. 4

Как правило АИС исп-ся в социально-эконом. sys, обязат. компонентом кот. яв-ся человек или группа людей.

6,8.Постановка задач управления, схема процесса управления

Для формального описания задач упр-ия предположим, что вся доступная инф-ия о поведении ОУ сод-ся в n-фу-ях: . Сов-ть этих ф-ий наз-ся вектором состояния

В СУ перем. x_i(t) наз-ся выходн. перемен. для ОУ и одновременно входн. перемен. для УО. Схема процесса упр-ия состоит из 2-х подsys:

РИС. 5

Вектор состояния x(t) меняется в зав-ти от неконтролируемого внешн. воздействия f(t) и управ-его возд-ия U(t). U(t) наз-ся вектором упр-ия и выходом для У.О. Управляющий вектор одн-но яв-ся входом для О.У. В каждый момент вектор состояния x(t) яв-ся ф-ей от управл-го вектора U(t), вектора внешн. возмущения и от нач. возмущения. (1) Эта зависимость создает закон функционирования О.У. и служит его матем. моделью. Цель упр-ия формально опред-ся фиксирован. зн-ем J^* некот. функционала (фун-ия от фун-ции) (2), где J^* наз-ся критерием упр-ия,

Решение задачи упр-ия состоит в том, чтобы найти такие векторы x^*(t) и U^*(t), при кот. вып-ся рав-во (3). Соотношения (1),(2),(3) есть постановка задачи упр-ия. Т.о. задача упр-ия состоит в том, чтобы найти такие векторы x^*(t) и U^*(t), чтобы выполнялось (3). В зависимости от типа sys упр-ия вектор состояния x^*(t) наз-ют планом или программой упр-ия, а вектор U^*(t) – управл-им воздействием или решением.

9.Матем. описание САУ, матем. модель, модель непр-го звена

Матеем. описание sys А.У. можно получить на основе физич., химич., логич. и иных законов, кот. подчиняются процессы в этих sys. Матем. модель любой sys в общем виде можно представить след. образом: (1), где X(t)- вых. вел-на, x(t) – производная выхода, U(t) – вх. вел-на.

Под вх. вел-ной понимается вел-на, зависящая от переменных состояния, в частности, она может совпадать с переменной состояния. Схемат. модель (1) :

РИС. 6

Принимается, что при постоян. вх. воздействии U⁰ (U=U⁰) вых. вел-на тоже имеет постоян. limX(t)=X⁰ (t??). Состояние sys при t?? наз-ся стационарным или установившимся режимом. При стационарн. состоянии X(t)=0 и ур-ие (1) принимает вид F(X⁰,0,U⁰)=0 (2) - уравнение статики АСУ. В отличие от ур-ия (1), кот. наз-ся динамич. ур-ем. В дальнейшем, будем рассматривать лин. стационарн. непрерывные sys упр-ия, матем. модели кот. представляют собой лин. диф-ое ур-ие с постоян. коэф-ом.

Под стационарн. sys понимается sys , матем. модель кот. представляет собой ур-ие с постоян. коэф-ом. Матем. модель в любой части sys наз-ся звеном, в частности, звено может быть матем. моделью всей sys , либо ее эл-ом. Рассмотрим стацион. лин-ое непр-ое звено с 2-мя входами:

РИС 7

(3)

Звено с двумя входами опис-ся след. лин. sys:

Аналогично можно писать ур-ия звена со многими входами. Лин. sys обладают тем замечат. св-ом, что ур-ия, описывающие эти sys подчиняются принципу суперпозиции, кот. состоит в след-ем: Решение лин. ур-ий

вида (5), где L – лин. оператор имеет решение

Рав-во (6) означает, что для нахождения решения лин. ур-ий, когда в правой части их стоит сумма задан. ф-ий, достаточно найти решение неск. ур-ий в правых частях кот. стоит единая ф-ия, одна из слагаемых правой части первонач. ур-ия. После нахождения решений этих ур-ий нужно их суммировать: y_реш(f_i), L(y)=f_i, i=1,n – это наз-ся принципом суперпозиции.

Легко можно показать, что ур-ие (4) яв-ся лин. д.у. n-го порядка. Правая часть этой sys считается известной, т.к. вх-ые вел-ны U и f яв-ся известн. ф-ями. Пользуясь принципом суперпозиции лин. sys со многими вх-ми приводятся к sys с одним входом, поэтому, в дальнейшем будем рассматривать ур-ие вида:

10. , Упр-ие лин. стац. звена с одним входом и одним выходом.

Матеем. описание sys А.У. можно получить на основе физич., химич., логич. и иных законов, кот. подчиняются процессы в этих sys. Матем. модель любой sys в общем виде можно представить след. образом: (1), где X(t)- вых. вел-на, x(t) – производная выхода, U(t) – вх. вел-на.

Под вх. вел-ной понимается вел-на, зависящая от переменных состояния, в частности, она может совпадать с переменной состояния. Схемат. модель (1) :

РИС. 6

Принимается, что при постоян. вх. воздействии U⁰ (U=U⁰) вых. вел-на тоже имеет постоян. limX(t)=X⁰ (t??). Состояние sys при t?? наз-ся стационарным или установившимся режимом. При стационарн. состоянии X(t)=0 и ур-ие (1) принимает вид F(X⁰,0,U⁰)=0 (2) - уравнение статики АСУ. В отличие от ур-ия (1), кот. наз-ся динамич. ур-ем. В дальнейшем, будем рассматривать лин. стационарн. непрерывные sys упр-ия, матем. модели кот. представляют собой лин. диф-ое ур-ие с постоян. коэф-ом.

Под стационарн. sys понимается sys , матем. модель кот. представляет собой ур-ие с постоян. коэф-ом. Матем. модель в любой части sys наз-ся звеном, в частности, звено может быть матем. моделью всей sys , либо ее эл-ом.

11,12.Передат. ф-ия лин. стац. звена. Преобразование Лапласа.

Рассмотрим лин. sys с 1 входом и 1 выходом:

Применяя к обеим частям ур-ия (7) преобразование Лапласа при нулевых нач. ус-ях получим след. ур-ие:

, где

где р – комплексное число: p=?+iq; ?,q€R

Передаточной ф-ей звена, описываемого ур-ем (7) наз-ся отн-ие преобр-ия Лапласа

При получении ф-лы (8) исп-ны след. св-ва ф-лы Лапласа:

1.Линейность, т.е.L(??_i ,y_i)=??_iL(y_i)

2.L(y⁽ⁿ⁾)=pⁿL(y)-при нулевых нач. ус-ях, т.е.

y(0)=y¹(0)=...=y^(n-1)(0)=0

Передаточной ф-ей sys (звена) наз-ся отношение преобр-ий Лапласа:

Если sys (звено) будет иметь q входов и r выходов, тогда sys (или звено) будет иметь qr передат. ф-ий.

РИС.8

13. Частотные хар-ки sys. Частотно - передат. ф-ии.

Передаточной ф-ей sys (звена) наз-ся отношение преобр-ий Лапласа:

В ф-ле (9) если параметр Лапласа заменить на чисто мнимое число (т.е. p=iq(?=0)), тогда ф-ла (9) приобретет след. вид:

Ф-ия (10) наз-ся частотной передаточной ф-ей. Слово «частотные» возникает в связи с тем, что част. перед. ф-ия хар-ет реакцию sys на переодич. вх-ое воздействие при больших временах. Част. перед. ф-ия, как и перед. ф-ия яв-ся комплексн. ф-ей

W(iq)=U(q)+iV(q) (11); U(q)=ReW(iq); V(q)=ImW(iq)

Ф-ия U и V наз-ся соотв-но вещ-ой и мнимой част. ф-ми.

Ф-ия A(q) наз-ся частотно-амплитудной хар-кой sys. Ф-ия ?(q) наз-ся фазово-част. хар-кой sys.

На компл-ой плоскости UV ф-ия W(i,q) представляет собой вектор ОВ, длина кот. = A(q), а угол между вектором и положит. напр-ем оси OU представляет собой фазово-част. ф-ию sys.

РИС9.

Годограф этого вектора, т.е. кривая, описываемая концом этого вектора при его изменении от частоты наз-ся ампл-но-част. хар-ой sys.

Аналогично строится фазово-част. хар-ка sys. Рассматривают также логариф. част. хар-ки след. образом: L(q)=20lgA(q)-это и есть логарифмическо-част. хар-ка. График строится в зав-ти от lgq. Зав-ть ф-ии ?(q) от lgq наз-ся логарифмич. фазово-част. хар-кой.

РИС10

14.Времен. хар-ки лин. sys. Переходная и весовая ф-ии.

Перех. ф-ей h(t) наз-ся реакция sys (звена) на единичные ступенчатые воздействия на входе.

РИС 11

Рассмотрим связь между перех. ф-ей и передат. звеном, изображенным на рис.1. По опред-ию передат. ф-ии

Второй, более универс. времен. хар-кой sys яв-ся весовая ф-ия или импульсно-перех. ф-ия. Весовой ф-ей g(t) sys наз-ся реакция sys на единичное имп. воздействие ?(t). (РИС)

15.Осн. св-ва ? – ф-ии.Связь между весовой и передат. ф-ми.

Передаточной ф-ей sys (звена) наз-ся отношение преобр-ий Лапласа:

Более универс. времен. хар-кой sys яв-ся весовая ф-ия или импульсно-перех. ф-ия. Весовой ф-ей g(t) sys наз-ся реакция sys на единичное имп. воздействие ?(t) (РИС)

Ед-ным имп-ом или ? ф-ей наз-ся ф-ия опред-ая след. св-ми:

Найдем связь между передат. ф-ей и весовой, а также связь весовой ф-ии с произв. внешн. воздействием.

По опред-ию вес. ф-ия это реакция sys на имп. внешн. воздействие, т.е. на ?-образн. ф-ию. Тогда ур-ие вес. ф-ии:

Применим преобр-ие Лапласа к ур-ию (15):

Т.о. оказывается П.Л. вес. ф-ии совпадает с передат. ф-ей sys (звена). С др. стороны передат ф-ия по общему опред-ию есть отношение П.Л. вых. величины к П.Л. соотв-ей вх. вел-ны: W(p)=L(y(t))/L(U(t)), где y(t) – выход, U(t) - вход. (17). Из равенств (16) и (17) имеем:

L(y(t))=L(g(t))*L(U(t)) (18)

По теореме свертки из теории П.Л. рав-во (18) для оригинальн. ф-ий получим

Рав-во (19) выражает суть след. важной теоремы о связи между реакцией лин. sys на произв. входн. воздействие с весовой ф-ей g(t):

Теорема: Реакция лин. sys y(t) на любое внешн. воздействие опред-ся по реакции sys на имп. воздействие (по весовой ф-ии g(t)) по ф-ле (19).

В частности, если U(t)=1(t), h(t)=?g(t-?)d? (20). Рав-во (20) можно писать в дифференц. форме след. образом: g(t)=dh(t)/dt (21)

При получении ф-лы (21) использован метод дифференц-ия интеграла, зависящего от параметров. Т.о. резюмируя результаты данной темы можно нарисовать след. схему:

Если звено имеет перед. ф-ию W(p), тогда вх. отверстие в виде импульса (?(t)) имеет вых. отверстие g(t), а если возд. ступенчатое – тогда выход опред-ся h(t)

РИС 12.

Т.о. из времен. хар-ик sys (звена) наиб. универс. яв-ся весовая ф-ия.

16.Связь между весовой и переходной ф-ми.

Перех. ф-ей h(t) наз-ся реакция sys (звена) на единичные ступенчатые воздействия на входе.

РИС 11

Второй, более универс. времен. хар-кой sys яв-ся весовая ф-ия или импульсно-перех. ф-ия. Весовой ф-ей g(t) sys наз-ся реакция sys на единичное имп. воздействие ?(t) (РИС)

Рассмотрим связь между перех. и весовой ф-ми h(t) и g(t):

Для рис. 2:

- Св-во между преоб-ми Лапласа от перез. и от весовой ф-ми.

Переходя к оригиналам в формуле (13) получим

Ф-ла (14) получается из след. св-ва преобр-ия Лапласа: Если некот. преор-ие F(p)=F₁(p)*F₂(p), тогда L^-1(F)=?L^-1(F₁)

17.Элементарные звенья и их хар-ки.

Любую дробно-рац-ую передат-ую фун-ию можно представить виде разложения на элем-ые дроби след-ей формы: 1/р, 1/p+d₁, 1/(p²+d₁p+d₂), а любую передат-ую ф-ию виде полинома от переменной р можно разложить на элем-ые множ-ли вида: k, p, p+d₁, p²+pd₁+d₂. Это известно из высшей алгебры из теории многочлена.

Звенья передаточной ф-ии, кот. имеют вид элем-ых множ-ей или элем-ых дробей наз-ются элементарными звеньями. Элем-ые мн-ва предст-ие собой полиномы 1-го и 2-го порядков привод-ся к стандартному виду. Полином 1-го пор.: ар+в~к(Тр+1),к>0-перед-ый коэф-ент, Т>0-времен. хар-ка. к-может иметь люб. размерность, а Т- имеет раз-ть времени. Полином 2-го пор.: ар² +вр+с~ к(Т²р²±2?Тр±1),0? ? <1 , ?-коэф-ент демпфирования.

При вычислении амплитудной и фазовой частотных функций будем пользоваться известным правилом из теории комплексного числа: модуль произ-ия 2-х комп-ых чисел= произ-ию модулей , а аргумент – сумме аргументов его сомнож-ей; модуль дроби = отнош-ию модулей, а аргумент- разности арг-ов числителя и знаменателя. Рассмотрим теперь основные типы элем-ых звеньев :

1. Пропорциональное звено (звено усиления).

18

w(p)=k W(i)=k, U()=k, V()=0,

()=0, A()==k, L()=20lgA() =20lg k; w(t)=L­^-1(W(p))= L­^-1(k)=k(t)

iv (u,v) A()=

A() W()=u+iv

0 ()=arctg(v / u)

k u h(t)=L^-1(p^-1W(p))=

A()=k =L^-1(k / p)=k*1(t)

2. Дифференцирующее звено

W(p)=kp, W(i)=ik, U()=ReW(i)=0,

V()=ImW(i)=k.

A()=|W(i)|=k, ()=/2, (t)=L^-1(W(p)) =L^-1(kp)=k’(t)

h(t)=L^-1(p^-1W(p))=L^-1()=k(t)

(t) h(t)

k(t) k

t t

если  увелич, то вектор растет.

iV

23

A(), A(0)=0, A() при 

U

L()=20lg k+20lg 

19

3. Интегрирующее звено.

W(p)=kp^-1W(i)== , U()=0,

V()=-k / ; tg ()=V/U= -, ()=-/2,

A()=k/; (t)=L^-1(k/p)=k*1(t)

h(t)=L^-1(p^-1W(p))=L^-1(k / p²)=kt

(t), h(t) iV iV

k h(t) A(0)=

(t) A()=0

=

t U U

A() ()=-/2

-весовая ф-ция

L()=20lg A()= 20lg k – 20lg 

20

4. Форсирующее звено 1 порядка

W(p)=k(Tp+1)W(i)=k(Ti+1)U()=k,

V()=kT, A()=k;tg()=iT;

(t)=L^-1(W(p))=kT’(t)+k(t); h(t)=kT(t)+

+k*1(t) iV 0()< /2

A()

k U

21

6. Апериодическое звено

W(p)==

=U()=,

V()= -; A()=

()= -arctg T; (t)=;

h(t)= k()

A(0)=k; (0)=0; ()= -/2 , U(0)=k,

V(0)=0, U()=0, V()=0

Vmin=V(=1/T)=- k /2, (1/T)=/4

22

6. Колебательное звено.

24

W(p)= W(i)=

==

0<1, k>0, T>0

=

U()=;

V()=

A()=

tg = ,V()<0, V(0)=0, V()=0

если 0< 1/T, то U()0, тогда U+iV на IV квадратный; если >1/Т, то U()<0 и U+iV на III квадр; ()= - arctg

при 0 1/T

()= arctg - при >1/T

V() имеет min при = 1/Т

U(1/T)=0, (1/T)= -/2

U(0)=k, U()=0

Временные хар-ки колебательного звена

Для их нахождения преобразуем передаточную ф-ию  образом

W(p)=

= 

воспользуемся формулой устанавливающей связь м/у Лапласовым преобразованием и оригиналом ф-ии

 p=/T, ²=

(1) соответствует

e^-tsin t, V(p)=

²+²=1/T²

(t)=Z^-1(W(p))=e^-t sin t

h(t)=Z^-1(1/p W(p))=

*=k/ (-e^-tcos t –

- e^-tsin t)=k/ (-e^-t(cos t+ sin t))=

=k/ (-e^-t(cost+(/)sin t))=|/=ctg₀|

=(k/)(a-e^-t(sin(t+₀)/sin ₀)=k(1-e^-t *

*sin(t+₀)/sin _0­­­)=|1/sin^2₀=1+ctg^2₀|=

=k(1-e^-t )=

=k(1-e^-tsin(+₀));

h(t)=k(1-e^-t sin (t+₀)), ctg₀=/; h(0)=k(1-1)=0, h()=k

в частность если в колебательном звене =0, то такое звено называется консервативным звеном.

W(p)=1/ T²p²+1, W(i)=1-T^22

U()=Re[W(i)]=1/1-T^22;

V()=Im[W(i)]=0

25

A()==|u()|, tg ()=0

()=0, если 0<1>

()-, если 1/Т<

Если в полученных формулах колеб звена =0, =1/Т, весовая ф-ция примет вид:

(t)=(k/T) *sin(t/T)

h(t)=k[1-sin(t/T +/2)]-k(1-cos t/T)

Опред-е: структурной схемой наз-ся графическое представление математическ. модели системы в виде соединения зыеньев условно обозначаемых в виде прямоугольников с указанием входных и выходных величин.

Внутри условных прямоугольников указывается передаточные ф-ции звеньев или же уравнения данного звена.

В некоторых случаях обозначения звеньев вместо прямоугольника изображается в виде круга. как правило это делается для суммирующих звеньев, т.е. для звеньев когда выходная величина этого звена равна сумме входных величин.

Основные типы соединений звеньев:

1. последовательные соединения – это соединения при котором выходная величина предшествующего звена является входным воздействием для последующего звена.

х0W1—X1W2—…--Xn-1Wn Xn

При преобразованиях структурных схем в цепочку из последовательных соединенных звеньев можно заменить одним звеном

Х0W Xn,

Действительно по определению

Параллельное соединение

Это такое соединение, при котором на вход всех звеньев подается одно и то же воздействие, а выходные величины складываются.

W1 X1

g W2 X2 X=Xi

Wn Xn

При преобразованиях цепь из ||-х звеньев заменяется одним звеном с передаточной функцией = передаточных ф-ций отдельных звеньев.

g W X

Обратное соединение

Это такое соединение звеньев, когда выходной сигнал одного звена ч/з какое либо другое звено подается на вход первого

e

g   Wn X

x1--- Wос

e=g+X1

В случае, когда сигнал обратной связи Х1 вычитается из выходной величины g, то обратная связь называется отрицательной, в противном случае, т.е. когда сигнал обратной связи Х1 прибавляется, то обратная связь наз-ся положительной.

26

Если передаточная ф-ция звена обратной связи Wос=1, то такая обратная связь наз-ся единичной и ее структурная схема выглядит  образом:

g --- ---- e –Wn ------X--

При преобразованиях звено обратной связи заменяется одним звеном с передаточной ф-цией (*)

g--- W --x

27

В последней формуле знак “-” когда обратная связь положительна и “+” – отрицательна.

Импульсная система.

Импульсом длительности _и наз-ся процесс который описывается ф-цией

А(t)= (t),t[t’, t’+_и]

0, t[t’, t’+_и] где t – произвольное число – начало импульса t0 t’R

график ф-ции (t) задает ф форму импульса который м может быть разнообр-й.

Независимо от формы импульс характериз-

ся амплитудой А, т.е. мах-ом ф-ции (t) и шириной (длительностью) _и. эти величины наз-ся основными параметрами импульса.

Последовательность импульсов характ-ся еще периодом Т_и и частотой 1/Т_и следования импульса. Кроме того последовательность импульсов характ-ся положением импульсов относительно фиксированных моментов времени (тактовых) и относительной длительностью

=_и/ Т_и.

Последовательность импульсов наз-ся модулированной, если один из ее параметров изменяется в соответствии с заданным сигналом. В зависимости от того, какой из параметров изменяется (модулируется) различают амплитудно-

-импульсную, широтно-импульсную и время-импульсную модуляцию. Различают так же импульсную модуляцию 1-го рода при которых модулируемый параметр изменяется в соответствии со значением входного сигнала в дискретные моменты времени, называемые моментами съема сигнала , и импульсную модуляцию 2-го рода, при которых модулируемый параметр изменяется в соответствии с текущими значениями входного сигнала в течении всего времени существования импульса.

Модулируемая последовательность импульсов наз-ся импульсным сигналом. Элемент системы, преобразующий непрерывный сигнал в импульсный наз-ся импульсным эл-том или импульсным модулятором. Система автоматического управления, содержащая импульсный элемент наз-ся импульсной.

При импульсной модуляции 1го рода осуществляется квантование

(дискретизация) сигнала по времени, т.е. выделение значения непрерывного сигнала в фиксированные моменты времени – в моменты съема сигнала.

Импульсные системы относятся к классу дискретных систем, в которых используется квантование сигнала которое может быть как по времени, так и по уровню. Квантование по уровню называется преобразование его в сигнал который принимает только дискретные значения вида k, где -постоянная величина называемая интервалом квантования по уровню, а k=0,1,2…

Если в системе хотя бы одна величина квантована по времени и по уровню, то такие системы наз-ся цифровыми.

Решетчатые функции

Решетчатая наз-ся функция вида

U[iTu]= U(t) при t=iTu

0 при tiTu, I=0,1,2…

где U(t) непрерывная ф-ция, определенная на положительной полуоси. Одной и той же решетчатой функции может соответствовать несколько непрерывных функций, но непрерывной функции соответствует одна решетчатая.

Разностные уравнения

Процессы в импульсных системах автомат-

го управления в отличии от непрерывных систем которые описываются дифференциальными уравнениями, описываются разностными уравнениями. Рассмотрим линейные разностные уравнения.

Линейным разностным уравнением n-го порядка называют уравнение вида:

a0X[(l+n)Tи]+a1X[(l+n-1)Tи]+…+an-1X[

[(l+1)Tи]+anX[lTи]=b0g[(l+m)Tи]+

+b1g[(l+m-1)Tи]+…+bm-1g[(l+1)Tи]+

+bmg[lTи]

mn, g[lTи]- известная решетчатая ф-ция

x[lTи] – неизвестная решетчатая ф-ция

ai, bi – постоянные коэффициенты

l=0, 1, 2…

Порядком разностного уравнения наз-ся число n.

Обычно принимается Tи=1

Введем конечные разности следующим образом: конечную разность n-го порядка назовем величину X[lTи]=X[(l+1)Tи]-

28

-X[lTи]

Конечная разность 1-го порядка это разность двух соседних решетчатых функций или это есть приращение решетчатой ф-ции при переходе от аргумента lTи к соседнему значению (l+1)Tи

Конечная разность высшего порядка

²x[lTи]=(x[lTи])=x[(l+2)Tи]-(x[(l+1)Tи]-

-x [lTи])=x[(l+2)Tи]-2x[(l+1)Tи]+x[lTи]…

²x[lTи]=(^n-1x[lTи])

29

для того чтобы получить компактную формулу для конечных разностей произвольного порядка введем оператор смещения Ex[lTи]=x[(l+1)Tи]x[(l+2)Tи]=

=Ex[(l+1)Tи]=EEx[(lTи)]=E²x[lTи]…

x[(l+r)Tи]=E^rx[lTи]

an[lTи]=a0x[(l+n)Tи]+a1x[(l+n-1)Tи]+…=

=b0g[(l+m)Tи]+b1g[(l+m-1)Tи]+…

+bmg[lTи]=>(a0Eⁿ+a1E^n-1+…+an-1E+an)

x[lTи]=(b0E^m+b1E^m-1+…+bm-1E+bm)

g[lTи] характерный многочлен относительно оператора.

Вопрос №30. Z-преобразования.

Для ислед. св-в решетчатых ф-ий вводится понятие z-преобр-ия. следующим образом: Рассм. решетчатые ф-ии, обладающие след.

св-вами: 1) x[lTu ]=0 при l<0 2) Cуществует R>0 такое, что x[l Tu] < R^l (возрастают степенным образом). Соотношение x*(z)= Z{x[lTu]}=Cумм (l=0 до оо)x[lTu]*z^-l ,

|z|> R – аналог. преоб-ия Лапласа. Соотношение (I), ставящее решетчатой ф-ии x[lTu] в соответствие ф-ию x*(z) наз. Z-преобразованием или преобр-ем Лорана. Где x[lTu]-оригинал, а ф-ия X*(z) – Z изображение. Наряду с z-преобр-ем, пользуются так же модифицированным Z-преоб, которое прим. к смещённой решетчатой ф-ии:

X*(Z, E) = Z{x[(l + E)Tu]}=Сумм(l=0 до оо)x[(l+E)Tu]*z^-e , |z|>R

Вопрос № 31.

Линейность.теорема запазд. для модиф. звена

Св-ва модиф. звена:

1) Св-во линейности: a_i = const, i=1,n, то Z{cумм(i=1 до n)aixi[(l+E)Tu]}=Cумм(i=1 до n) aiz{xi[(l+E)Tu]}, x[lTu]=0, l<0>

2) Теорема запаздывания: z{x[(l+E+m)Tu]}= Z^-m,

Z{x[(l+E)Tu]}= Z^-m x* (z₀E). ДОК-ВО:

Z{x[(l+E+m)Tu]}=Сумм(l=0 до оо)x[(l+E-m)Tu]z^-l = | l-m=k и l=m+k| = Сумм (к=-m до oo)x[(k+E)Tu]z^-(m+k) = Z^-m {сумм(к=-m до -1) x[(k+E)Tu] z^-k + Cумм(k=0 до оо)x[(k+E)Tu]Z^-k }= -Z^-m X*(z,E). ЧТД.

Вопрос №32. Теорема опережения.

Z{x[(l+E+m)Tu]}=Z^mX*(Z,E)-Z^mСумм(l=0,m-1) x[(l+E)Tu]Z^-e . ДОК-ВО:

z{x[l+E+m)Tu]}=Cумм(l=0 до oo)x[(l+E+m)Tu]z^-l =

|l+m=k => l=k-m|=Cумм(к=m до oo)x[(k+E)Tu]Z^-k+m = Zm[Cумм(к=0 до oo)x[(k+E)Tu]Z^-k – Cумм(k=0 до m-1)x[(k+E)Tu]Z^-k]= Z^mx*(z,E)-Z^mСумм(l=0,m-1) x[(l+E)Tu]z^-l . ЧТД.

Следствие:x[ETu]= x[(1+E)Tu]=…= x[(m-1+E)Tu]=0 =>Cумм(l=0,m-1)x[(1+E)Tu]z^-l=0 => z{x[(l+E+m)Tu]} =Z^mx*(z,E).

Вопрос№ 33.Умножение оригинала на число (l+e)Tu: z{(l+E)Tu x[(l+E)Tu]}= -TuZd/dz x*(z,E) + ETux*(z,E). ДОК-ВО: z{(l+E)Tu x[(l+E)Tu}= =Сумм(l=0,oo)(l+E)Tu x[(l+E)Tu]Z^-l = TuСумм(l=0,oo)lx[(l+E)Tu]Z^-l +ETuСумм(l=0,oo)* x[(l+E)Tu]z^-l = |lZ^-l =z d/dz*Z^-l |=-Tuz d/dz Cумм(l=0,oo)x[(l+E)Tu]Z^-l +ETux*(z,E)=-Tuz d/dz* x*(z,E)+ETux*(z,E). ЧТД.

Умножение оригинала на число a^-(l+E)Tua

Z{a^-(l+E)Tuax[(l+E)Tu]}a^-EaTu]}=a^-EaTux*(a^aTuz,E)

ДОК-ВО:

z{a^-(l+E)aTux[(l+E)Tu]}=Сумм(l=0,oo)a^-(l+E)aTu x[(l+E)Tu]z^-l = a^-EaTuСумм(l=0,oo)a^-laTux[(l+E)Tu]z^-l =

a^-EaTu Сумм(l=0,oo)x[(l+E)Tu](a^aTuz)^-L =a^-EaTu x*(a^aTuz,E). ЧТД.

Вопрос №34 Свертка Z-изображений.

z{x₁[(l+e)Tu]}z{x₂[(l+E))Tu]}}=z{Сумм(k=0,l)x₁[(k+E)Tu]x₂[(l-k+E)Tu]}. Док-во:

Сумм(l=0,oo)x₁[(l+e)Tu]^z-l*Сумм(l=0,oo)x₂[(l+E)Tu]z^-l =[x₁[ETu]+x₁[(1+E)Tu]z^-l+x₁[(2+E)Tu]z^-2+…

+x₁[(l+E)Tu]z_-l+…]*[x₂[ETu]+x₂[(1+E)Tu]z^-1 +X₂[(2+E)Tu]Z^-2+…+x₂[(l+E)z^-l+…]=x₁[ETu]x₂[ETu]
+{x₁[ETu]x₂[(1+E)Tu]+x₁[(1+E)Tu]x₂[ETu]}z^-l +

+{x₁[ETu]X₂[(2+E}Tu]+x₁[(1+E)Tu]x₂[(1+E)Tu}+

+ x₁[(2+E)Tu]x₂[ETu]}x^-2+…+[x₁[ETu]x₂[(l+E)Tu]+

+x₁[(l+E)Tu]x₂[ETu]}z^-l+…=

=Сумм(l=0,oo)(Сумм(l=0,oo)x₁[(l+E)Tu]x₂[ETu]}z^-l

+…= Сумм(l=0,oo)(Сумм(l=0,oo)* x₁[(k+E)Tu]x₂[(l+k+E)Tu]z^-l =

=z{Сумм(k=0,l)x₁[(k+E)Tu]x₂[(l-k+e)Tu]}. ЧТД

Вопрос №35. Теорема о начальном значении решетчатой ф-ии.

x[(l+E)Tu]|_l=0 =x[ETu]=Lim(z->oo)z{x[(l+E)Tu]}

Док-во: lim(z->oo) z{ x[(l+E)Tu] }= lim(z->oo) Сумм(l=0,oo)x[(l+E)Tu]z^l = Сумм(l=0,oo) x[(l+E)Tu] lim(z->oo)z^-l=z[ETu]. ЧТД . Ряд равномерно сходится и правомерен почленный переход к пределу: Теорема о значении решетчатой фу-ии на бесконечности: x[oo]= Lim(z->1)(z-1)z{x[(l+E)Tu]}

Док-во: (z-1)z{x[(l+E)Tu]=(z-1)Сумм(l=0,oo)x[(l+E)Tu]z^-l= Сумм(l=0,oo)x[(l+E)Tu]z^-l+1= Сумм(l=0,oo)x[(l+E)Tu]z^-l=x[ETu]z+{ Сумм(l=1,oo)x[(l+E)Tu]Tu]z^-(l-1)- Сумм(l=0,oo)x[(l+3)Tu]z^-l=x[ETu]z+ Сумм(l=0,oo)(x[(l+1+E)Tu]-x{(l+E)Tuz-l=(если z->1)=x[ETu]+ Сумм(l=0,oo)(x[(l+1+E)Tu]-x[(l+E)Tu])=x[ETu]+x[(1+ETu]-x[ETu]-x[ETu]+x[(2+E)Tu]-x[(1+E)Tu]+…+x[(l+E)Tu]-x[(l-1+2(Tu]+Lim(l->oo)x[l+eTu]=x[oo]если существует.

Вопрос №36

Передаточная функция импульсных систем.

Опр: Дискретнй передаточной ф-ей W*(z) импульсной САУ, называют отношение изображений выходной и входной величин, при нулевых начальных условиях. Под изображением понимается Z-преобразование решетчатой ф-ии. Рассмотрим импульсную систему, описываемую разностным Ур-ем n-ого порядка.

a₀x[(l+n)Tu]+a₁x[(l+n-1)Tu]+…+a_nx[lTu] =b₀g[(l+m)Tu]+b₁g[(l+m-1)Tu+…+b_mg[lTu],

где a0?0,b?0,n€n,m€N. l=0,1,2…(n>>m)

x[lTu]-выходная величина.

g[lTu]-входная величина.

x[0]=x[T]=…=x[(n-1)]=0

g[0]=g[Tu]=…=g[(m-1)Tu]=0