ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИ ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ
По заданному выражению аналитической функции f(x) вычислить приближенно определенный интеграл от этой функции на заданном интервале [a,b]:
,
используя одну из трех квадратурных формул:
прямоугольников;
трапеций;
парабол.
Сравнить результаты вычислений для различных чисел разбиений интервала n.
Исходные данные для решения задачи приведены в табл. 3
Исходные данные для интегрирования аналитически заданных функций
|
Вариант |
Функция |
Интервал |
Формула |
Числа разбиений |
||
|
№ |
f(x) |
a |
b |
№ |
n1 |
n2 |
|
00 |
|
1 |
2 |
1 |
10 |
20 |
|
01 |
|
2 |
3 |
2 |
8 |
16 |
|
02 |
|
1 |
2 |
3 |
16 |
32 |
|
03 |
|
0 |
1 |
1 |
12 |
24 |
|
04 |
|
0 |
3 |
2 |
10 |
20 |
|
05 |
|
1 |
2 |
3 |
8 |
16 |
|
06 |
|
2 |
3 |
1 |
12 |
24 |
|
07 |
|
2 |
3 |
2 |
10 |
20 |
|
08 |
|
1 |
2 |
3 |
8 |
16 |
|
09 |
x+sinx-0,2 |
1 |
2 |
1 |
12 |
24 |
|
10 |
|
1 |
2 |
2 |
16 |
32 |
|
11 |
|
0 |
1 |
3 |
12 |
24 |
|
12 |
|
1 |
2 |
1 |
10 |
20 |
|
13 |
|
3 |
4 |
2 |
8 |
16 |
|
14 |
|
2 |
3 |
3 |
14 |
28 |
|
15 |
|
1 |
2 |
1 |
12 |
24 |
|
16 |
|
2 |
3 |
2 |
10 |
20 |
|
17 |
|
0 |
1 |
3 |
8 |
16 |
|
18 |
|
0 |
1 |
1 |
12 |
24 |
|
19 |
|
1 |
2 |
2 |
16 |
32 |
|
20 |
|
1 |
2 |
3 |
10 |
20 |
|
21 |
|
2 |
3 |
1 |
14 |
28 |
|
22 |
|
1 |
2 |
2 |
8 |
16 |
|
23 |
|
0 |
1 |
3 |
12 |
24 |
|
24 |
|
1 |
2 |
1 |
16 |
32 |
|
25 |
|
2 |
3 |
2 |
10 |
20 |
РЕКОМЕНДАЦИИ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ
При разработке модуля программы численного интегрирования функции необходимо иметь ввиду следующее.
Вычисление определенного интеграла от функции f(x) с пределами интегрирования а и b, как известно, равносильно определению площади фигуры, ограниченной ординатами а и b, осью абсцисс и графиком подинтегральной функции f(x). См. рис. 1.
Рис.1. Графическое представление численного интегрирования
При численном интегрировании отрезок [a,b] разбивается на n интервалов длиной
h=(b-a)/n, и тогда искомая площадь представляется суммой площадей n элементарных фигур.
В зависимости от того, каким образом определяется площадь элементарной фигуры S, получает название метод численного интегрирования. См. рис. 2.
Если площадь элементарной фигуры определяется приближенно как площадь прямоугольника – получаем метод прямоугольников (рис. 2-1).
Если площадь элементарной фигуры представляется площадью соответствующей трапеции – получаем метод трапеций (рис. 2-2).
Если элементарная фигура заменяется фигурой, в которой функция f(x) представляется параболой – получаем метод парабол, или метод Симпсона (рис. 2-3).
Рис. 2. Графическое представление методов численного интегрирования
Просуммировав площади всех элементарных фигур на интервале [a, b], получаем следующие формулы численного интегрирования:
Метод прямоугольников
.
Метод трапеций
.
Метод Симпсона
.
Разумеется, все эти формулы являются приближенными. С увеличением числа n точность возрастает.
Для оценки правильности принятого алгоритма и составленной по нему программы интегрирования функции рекомендуется провести их проверку на решении следующей тестовой задачи:
при
n=32.
Для этого необходимо в программе решения задачи предусмотреть возможность интегрирования наряду с заданной функцией по индивидуальному заданию также и функции f(x)=ex с пределами интегрирования a=0, b= (=3,141592..=4arctg(1)) и числом n=32.
Тестирование можно считать успешным, если значение интеграла от ex, вычисленное по разработанной программе, будет совпадать с тестовым с точностью до второго знака.
Результаты тестирования должны выводиться наряду с основными результатами интегрирования заданной функции.
