Вход

Функции алгебры логики. Логический базис

Реферат по радиоэлектронике
Дата добавления: 04 июля 2009
Язык реферата: Русский
Word, rtf, 2 Мб (архив zip, 140 кб)
Реферат можно скачать бесплатно
Скачать
Данная работа не подходит - план Б:
Создаете заказ
Выбираете исполнителя
Готовый результат
Исполнители предлагают свои условия
Автор работает
Заказать
Не подходит данная работа?
Вы можете заказать написание любой учебной работы на любую тему.
Заказать новую работу

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ


Кафедра радиотехнических устройств








РЕФЕРАТ

На тему:


«Функции алгебры логики. Логический базис»














МИНСК, 2008


1. Функции алгебры логики (ФАЛ)


Радиоэлектроника в настоящее время во многом определяет научно- технический прогресс и объединяет ряд отдельных областей науки и техники, развившихся из радиотехники и электроники.

Радиотехника  область науки и техники, связанная с разработкой устройств и систем, обеспечивающих генерирование, усиление, преобразование, хранение, а также излучение и прием электромагнитных колебаний радиочастотного диапазона, используемых для передачи информации.

В современных радиотехнических системах и комплексах до 90% разрабатываемых устройств реализуется на элементах цифровой и вычислительной техники и используются цифровые методы обработки сигналов.

В настоящее время бурно развивается по экспоненциальному закону вычислительная техника и ее элементная база. А не так давно первые интегральные микросхемы (1958 год) содержали до десяти транзисторов. Сегодня современные микропроцессоры содержат до 10 миллионов транзисторов на один кристалл, и менее чем через десять лет это число достигнет 100 миллионов транзисторов.

Уже отошла в историю дискретная схемотехника, когда различные узлы строились на печатных платах с использованием отдельных навесных радиоэлектронных компонентов: транзисторов, резисторов, конденсаторов и других элементов. Ранее соединения выполнялись с помощью внешнего печатного монтажа, теперь соединения и монтаж осуществляется внутри кристалла. Поэтому современный инженер электронной техники должен владеть передовыми методами и технологиями, чтобы уметь приспособить их завтра к вычислительной технике будущих поколений, овладеть практическими приемами проектирования устройств на программируемых логических интегральных схемах.

Логические выражения n двоичных переменных с помощью конечного числа логических операций можно рассматривать как некоторую функцию, отражающую взаимную связь между входными и выходными переменными. Логические операции конъюнкции и дизъюнкции можно представить простейшими функциями вида: и . Эти функции называются аналогично логическим операциям – функциями И и ИЛИ.

Такие ФАЛ подобно логическим выражениям могут быть заданы аналитическим и табличным способами.

При аналитическом способе ФАЛ задается в виде логических выражений, получаемых путем логических преобразований с помощью законов и правил Булевой алгебры.

При табличном способе ФАЛ задается таблицей истинности, где число всех возможных наборов (комбинаций) аргументов конечно. Если число аргументов ФАЛ равно n, то число их возможных наборов , а число различных функций , тогда при n=2, F=16. Составим таблицу истинности для функций двух аргументов.

Таблица 1.

Аргументы

Функции

.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1


В таблице 1 приведены элементарные ФАЛ двух аргументов. В левой части таблицы перечислены все возможные наборы аргументов и , в правой части приведены значения ФАЛ на соответствующих входных наборах. Значения всей совокупности этих наборов переменных представлены в таблице последовательностью чисел в двоичной системе счисления.

Каждая ФАЛ обозначает одну из 16 возможных логических операций над двумя переменными и , имеет свою таблицу истинности, собственное название и условное обозначение.

Основные сведения об элементарных функциях даны в таблице 2. Таблицы истинности для каждой ФАЛ составляются отдельно по таблице 1.


Таблица 2

Функция

Операционные символы

Обозначения, названия

Зарубежные аналоги

0

Константа 0

Const 0

И – лог. умножитель

AND – Conjunctor

Запрет

Inhibition

Повторитель

BF – Buffer

Запрет

Inhibition

Повторитель

BF – Buffer

Исключающее ИЛИ

Exlusive – OR

ИЛИ – лог. сумматор

OR – Disjunctor

ИЛИ – НЕ, функция Пирса

NOR,

Peers F.

Исключ. ИЛИ – НЕ

EX – NOR

НЕ – инвертор

NOT – Invertor

Импликатор

Implicator

НЕ – инвертор

NOT – Invertor

Импликатор

Implicator

И – НЕ, функция Шеффера

NAND, Shaffer F.

1


Генератор 1


Generator 1


В таблице 2 часто применяемыми являются функции:

-повторители 1-го и 2-го аргументов;

– инверсии 1-го и 2-го аргументов;

– функция И (конъюнкция), логическое умножение;

– функция И-НЕ (базис Шеффера);

– функция ИЛИ (дизъюнкция), логическое сложение;

– функция ИЛИ-НЕ (базис Пирса);

– функция неравнозначности, реализуется ЛЭ “Исключающее ИЛИ” (сумматор по модулю два);

– функция равнозначности реализуется ЛЭ “Исключающее ИЛИ-НЕ”.


Рассмотренные элементарные функции двух аргументов играют важную роль при преобразованиях сложных логических выражений, а также при преобразовании функциональных цифровых узлов.

Функции n переменных, значения которых заданы во всех точках области определения, считаются полностью определенными ФАЛ. Если какая-либо функция имеет запрещенные наборы переменных и ее значения на указанных наборах не определены, то такая ФАЛ называется не полностью определенной. Такие наборы будем отмечать в таблицах истинности (*) и при необходимости доопределять их значениями 0 и 1. Эти вопросы будут рассматриваться позже.

Логические функции, которые считаются полностью определенными, могут быть представлены различными формами.

ДНФ – дизъюнктивная нормальная форма записи ФАЛ представляется в виде суммы (дизъюнкции) ряда элементарных членов (минтермов), каждый из которых является произведением (конъюнкцией) аргументов или их инверсий. Термин “нормальная форма” предполагает, что в логическом выражении, задающем функцию, последовательно выполняются не более двух базовых операций (кроме инверсии).

Запишем ФАЛ в ДНФ:

; (1)

Функцию (3.19) можно записать в виде дизъюнкции минтермов:

,

где - конъюнкции аргументов ФАЛ, называемые минтермами.

СДНФ – совершенная дизъюнктивная нормальная форма записи ФАЛ представляется в ДНФ, где в каждом элементарном члене (минтерме), имеющем одинаковую размерность, представлены все аргументы функции или их инверсии.

Запишем ФАЛ в СДНФ:

. (2)

Если записать ФАЛ в виде:

, (3)

то форма представления данной функции не является СДНФ, так как второй минтерм не содержит аргумента , а также не является ДНФ, так как третий минтерм не является элементарным.

Функцию можно упростить (минимизировать) и представить минимальной ДНФ (МДНФ).

(4)

Полученные элементарные члены МДНФ называются импликантами.

КНФ – конъюнктивная нормальная форма записи ФАЛ, представляется в виде произведения (конъюнкции) ряда элементарных членов (макстермов), которые являются суммой (дизъюнкцией) аргументов ФАЛ.

Запишем функцию в КНФ:

. (5)

СКНФ – совершенная конъюнктивная нормальная форма записи ФАЛ представляется в КНФ, где в каждом элементарном члене (макстерме) представлены все аргументы функции либо их инверсии.

Запишем функцию в СКНФ:

. (6)

По функциям, представленным в СДНФ и СКНФ, можно построить таблицу истинности и наоборот – по таблице истинности можно записать ФАЛ в СДНФ и СКНФ.

На основании общей табл. 1 составим таблицу истинности функции неравнозначности и запишем ее в СДНФ и СКНФ.



На наборах N(2,3), где функция принимает значения 1, записываем ФАЛ в СДНФ, а на наборах N(1,4) – в СКНФ. При записи ФАЛ в СДНФ аргументы x=0 записываются с инверсией , а в СКНФ – без инверсии.

При записи функции в СДНФ по таблице истинности необходимо записать столько дизъюнктивных членов (минтермов), представляющих собой конъюнкции всех аргументов, сколько единиц содержит функция в таблице. Минтермы соединяются знаком логического суммирования.

Если в наборе значение аргумента равно нулю, то в конъюнкцию входит инверсия данного аргумента.

При записи ФАЛ в СКНФ необходимо записать столько конъюнктивных членов (макстермов), сколько нулей содержит функция. Макстермы (конъюнкции аргументов) соединяются знаком логического умножения. Если в наборе значение аргумента равно нулю, то в дизъюнкцию входит аргумент без инверсии.


2. Логический базис


Логические функции могут быть реализованы простейшими логическими элементами. Совокупность логических элементов И, ИЛИ, НЕ, с помощью которых можно воспроизвести и реализовать любую ФАЛ, будем называть полным логическим базисом.

Базис И, ИЛИ, НЕ обладает избыточностью и не является минимальным. Из этой совокупности ЛЭ можно исключить логический элемент И (либо ЛЭ ИЛИ), тогда наборы И, НЕ и ИЛИ, НЕ также будут обладать свойством базиса.

При проектировании логических схем вычислительной техники самое широкое применение получили базис Шеффера И-НЕ и базис Пирса ИЛИ-НЕ, обладающие свойством логического базиса.

Следует отметить, что одну и ту же логическую функцию (операцию) можно реализовать в различных базисах. Покажем это на примерах простых логических операций дизъюнкции и конъюнкции:

; . (7)

Используя законы инверсии и , преобразуем логические выражения :

;. (8)

Выражения (7) отражают принцип двойственности алгебры логики: если в логическом выражении операцию дизъюнкции заменить на операцию конъюнкции (либо наоборот) и проинвертировать все переменные, то результат окажется инверсным прежнему значению.

Используя принцип двойственности алгебры логики, реализуем логическое выражение (7) в различных базисах.


Рис. 2


Из рис.2 следует: если переименовать все входы и выходы логического элемента ЛЭ1 на инверсные значения и заменить ЛЭ дизъюнкции на ЛЭ2 конъюнкции, то функции дизъюнкции можно выполнить с помощью элементов НЕ, И (ЛС3) либо базиса Шеффера И-НЕ (ЛС4).

Все логические схемы (рис. 2) выполняют логическую операцию (функцию) ИЛИ, которую можно реализовать на однотипных логических элементах И-НЕ, а при наличии инверсных сигналов в проектируемом устройстве – на одном ЛЭ И-НЕ.

На рис. 2 ЛС3 и ЛС4 – логические схемы, в состав которых входят несколько логических элементов ЛЭ.

Аналогично можно показать, что логическую операцию (функцию) И можно выполнить в базисах НЕ, ИЛИ либо в базисе Пирса ИЛИ-НЕ (рис. 3).


Рис. 3


Таким образом, логический базис, представляющий собой совокупность типов логических элементов, может быть выполнен на универсальных логических элементах И-НЕ и ИЛИ-НЕ, выпускаемых промышленностью в интегральном исполнении. Полный логический базис И, ИЛИ, НЕ обычно используется на начальной стадии проектирования функциональных узлов для составления функциональных схем.


ЛИТЕРАТУРА

1. Браммер Ю.А. Цифровые устройства: Учеб. пособие для вузов. –М.:Высш. шк., 2004. –229с.

2. Пухальский Г.И., Новосельцева Т.Я. Цифровые устройства: Учеб. пособие для втузов.- СПб.: Политехника, 1996.- 885 с.

3. Угрюмов Е.П. Цифровая схемотехника: Учеб. пособие для вузов.-СПб: БХВ-Петербург, 2000, 2004. – 528с.


© Рефератбанк, 2002 - 2017