Расчет надежности, готовности и ремонтопригодности технических средств и вычислительных комплексов

Республика Армения г.Ереван, Российско-Армянский Государственый унив ерситет Расчет надежности , готовности и ремонтопригодности технических средств и вычислительных комплексов 2002г. Курсовой проект Спец . Курс : “ Технологии тестирования , диагностирования и отладки технических средств и программ- ного о беспечения вычислительных комплек- сов.” Факультет : Прикладной математики и информатики. Кафедра :Системного програмирования. Специальность :Системный программист. Студентка :III курс Асланян Асмик Руководитель :ст . Преподаватель РАУ к.т.н.Нахапетян С.Х. 1.Введение Вычислительной системой (ВС ) будем называть совокупность вычислительных средств , включающих не менее двух вы числительных машин или процессов предназначенных для автоматической обработки информации в соответствии с заданным алгоритмом. Качеством называется совокупность свойств , определяющих пригодность использования вычислительной машины или системы , по назначен ию . Качеством является совокупностью свойств , поэтому оно оценивается множеством показателей . Выбор показателей определяется назначением вычислительной машины или системы , ее структурой , видом избыточности , длительностью функционирования и т.п . Показатель качества - это вектор , компонентами которого служат показатели свойств , являющиеся частными показателями качества . Показатели качества можно классифицировать по пригодности , оптимальности и превосходству . Вычислительные машины или системы , удовлетворяюие показателям оптимальности - являются наилучшими , т.е . обладают наивысшим качеством ; удовлетворяющие показателям превосходства считаются превосходящими по качеству остальные машины или системы . При оценке качества вычислительной системы в процессе ее разра ботки или эксплуатации встречаются с двумя трудностями . В большинстве случаев не удается установить единый обобщенный показатель качества , который позволил бы сравнить пазличные системы и выбрать наилучшую . Это объясняется тем , что качество оценивается мн о жеством свойств . Вторая трудность состоит в том , что не существует методики установления требований на показатели качества . Это объясняет тем , что не удается разработать на все случаи жизни критерия оптимальности системы в смысле ее качества. Основными характеристиками вычислительных машин и систем , определяющими их качество , являются надежность , ремностопригодность , готовность , эффективность . Надежностью называется свойство технического устройства сохранять свои характеристики в данных условиях эксплу атации. Показателями надежности невосстанавливаемых вычислительных машин и систем могут быть : вероятность безотказной работы , среднее время безотказной работы T, частота отказов , и интенсивность отказов . Показателями надежности восстанавлимаемых машин и систем являются : средняя частота отказов и наработ ка на отказ . Показатели надежности связаны , между собой зависимостями : (1.1) Показатели надежности невосстанаялияаемых систем могут также характеризовать надежность восстанавливаемых систем , если оценивается их функционирование до первого отказа . При этом восстановление о тказавших резервных устройств допускается в прецессе работы машины или системы. Наличие больших чисел показателей вовсе не означает , что всегда необходимо оценивать надежность вычислительной системы по всем показателям. Наиболее полно характеризует надежно сть невосстанаялияаемой системы частота отказов . Это объясняется тем , что является плотностью распределения , а поэтому несет в себе всю информацию о случайном явлении-времени безотказной работы.Такие характеристики , как вероятность безотказной работы , интенсивность отказов , среднее время безотказной работы являются лишь характеристиками распределения и всегда могут быть получены , если известно . Однако оценивать надежность вычислительной системы частотой отказов в большинстве случаев нецелесообразно , так как она не обладает достаточной наглядностью и не входит в друг ие более общие характеристики качества ВС . Она используется обычно при определении доверительных вероятностей при обработке данных статистичесих испытаний технических устройств. Интенсивность и средняя частота отказов – наиболее удобны e характеристики наде жности простых элементов . Это объясняется тем , что интенсивности отказов многих экементов электроники и вычислительной техники есть величины постоянные и характеризуются одним числом . Кроме того , по этим характеристики надежности машины и системы . Средн ее время безотказной работы является достаточно наглядной характеристикой надежности невосстанавливаемых машин и ВС . Однако применеие этого показателя нецелесообразно в тех случаях , когда время работы ВС гораздо меньше среднего времени безотказной работы, закон распределения времени безотказной работы , закон распределения времени безотказной работы не однопараметрический и для достаточно полной оценки требуется моменты высших порядков , машина или ВС резервированы , интенсивность отказов непостоянна , элемент ы ВС работают не одновременно. Ремонтопригодностью называется способность технического устройства к восстановлению в процессе эксплуатации . Показателями ремонтопригодности могут быть : вероятность восстановления системы за заданное время , среднее время восстановления , закон распеределения времени восстановления , интеносивность восстановления . Вероятность является интервальным показателем , - интегральным , а и -точечными показателями ремонтопригодности. Наиболее часто для оценки ремонт опригодности ВС применяется среднее время восстанавления . Эта характеристика наиболее наглядна , она во многом определяет такой важный показатель качества ВС , как готовность . Она является интегральной , поэтому обладает следующим недостатком : неполно характ е ризует ремонтопригодность ВС , если закон распределения времени восстаналения не однопараметричный и для оценки ремонтопригодности требуется знание моментов высшего порядка . Важнейшей характеристикой ремонтопригодности технических устройств вычислительных машин и систем является интенсивность их восстановления . Это объясняется тем , что большинство показателей качества ВС в процессеих проектирования вычисляются через интенсивности восстановления их устройств . Готовностью называется способность техническог о устройства быть готовы м к действию в любой момент времени . Она зависит от надежности и от ремонтопригодности ВС.Чем выше надежность и ремонтопригодность ,тем выше готовность. Показателями готовности могут быть : функция готовности и коэффициент готовности . Функция готовности есть вероятность того , что в любой мо мент времени система готова к действию . Эта характеристика обычно имеет вид , показанный на рис . 1.1. Из рисунка видно , что =1, т.е . считается , что ВС начинает эксплуатироваться исправной . С ростом убывает и при функция готовности стремится к постоянной , отличной от нуля величине , которая является финальной вероятностью и называется коэффициентом готовности . Таким образом , между функцией и коэффициентом готовности существует зависимость . (1.2) Функция и коэффициент готовности являются характеристиками точечными . Эта означает , что ордината , показанная на рис . 1.1, есть вероятность того , что в момент времени система исправна . До момента она могла сколь угодно раз отказывать и ремонтироваться. Коэффициент гот овности легко вычисляется , если известны интегральные характеристики надежности и ремонтопригодности (1.3) где -наработка на отказ вычислительной системы ; - среднее время восстановления ВС. Функция готвности может иметь возрастающей функции или колебательной . В случае возрастающей функции , когда в начале эксплуатации Вс имеет неисправные резервные устройства . Если же анализ готовности системы начинается с момента времени , когда система вообще неисправна и ремотируется , то . Колебательный процесс изменения функции готовности наблюдается при обслуживании ВС с определенным видом приоритета и длительностью времени восстановления. Независимо от вида кривых финальная вероятность для данной системы всегда постоянна и имеет одно и то же значение , определяемое выражением (1.3), т.е . коэффициент готовности не зависит от начальн ого состояния ВС , из которого начинается ее эксплуатация. 2. Надежность , готовность и ремонтопригодность технических средств и вычислительных комплексов 2.1 Граф состояний вычислительной системы Вычислительная система в процессе функционирования может находиться в большом числе различных состояний . Например , все устройства системы исправны или i-е (i=1,2,… ,N) устройств отказало , а остальные исправны , или i-е и j-е устройства отказали , а остальные исправны и т. п . При восстановлении отказавших устройств система в дискретные моменты времени переходит из одного состояния в другое . В процессе длительной экслпуатации она может побывать в каждом из возможных состояний многократно . Тогда ее функционирование может быть описано графов , узлы которого соответствуют состояниям системы , а ветви указывают все возможные переходы из состояния.Если в графе имеется n узлов , то среди них будет k узлов , отражающих отказовые состояния , и n-k узлов , отражающих исправные состояния. Час то интересуются функционированием системы до некоторого l – го состояния , например до первого ее отказа . Тогда l-е состояние называется поглощающим . Система , попавшая в l-е состояние , уже не может перейти в другие , и в графе отсутствуют ветви переходов из этого состояния (экран ). Вид графа зависит от структуры системы (схемы расчета надежности ), числа обслуживающих бригад и дисциплины обслуживания . Обычно узлы графа нумеруются и отмечаются (например , крестом ) те , которые соответствуют отказвым состояниям си стемы . На графе также указываются все интенсивности переходов. 1 N 2 0 Рис .2.1 Граф состояний восстанавливаемой нерезервированной машины Сформулируем ряд важных свойств графов состояний : 1.Граф состояний полностью описывает функционирование ВС как системы массового обслуживание . Вид графа определяется структурной схемой системы , надежностью и ремнотопригодностью элементов , а также дисциплиной обслуживания системы . На основании э того свойства можно утверждать , что все количественные характеристики надежности , готовности и ремонтопригодности ВС могут быть определены непосредственно из графа ее состояний. 2.Граф , не содержащий поглощающих состояний , описывает поведение системы при н еограниченном ремонте. 3.Число узлов графа состояний может быть больше или меньше 2 n где n - число элементов структурной схемы . Это объясняется тем , что граф описывает поведение ВС совместно с обслуживающим органом. 4.Функционирование ВС при обратном прио ритете обслуживания отказавших элементов описывается графом типа дерева . 2.2 Описание функционирования вычислительной системы дифференциальными уравнениями Составить систему дифференциальных уравнений для определения количественных характеристик надежн ости , готовности и ремонтопригодности ВС можно по виду графа состояний системы . Сформулируем первоначально правило состовления уравнений для определения вероятности пребывания системы в i-м состоянии в момент времени t. Часть графа с состотянием i-1,i,i+1 показана на рис .2.2 Тогда дифференциальное уравнение для вероятности пребывания системы в i-м состоянии в момент времени t будет иметь вид : Из уравнения видно , что слева пишется производная по времени от вероятности пребывания системы , в i-м состоянии в момент времени t, а справа – сумма произведений интенсивност ей переходов из всех соседних состояний в i-е состояние и из i-го – во все соседние на соответствующие вероятности состояний . Знаки в правой части уравнения определяются по направлению стрелок в ветвях графа . Если стрелка направлена в i-е состояние , то пр и соответсвующей ей интенсивности перехода ставится знак “ +” , в противном случае – знак “-” . Это правило справедливо при любом числе соседних с i-м состояний. Рис .2.2 Фрагмент графа состояний системы 2.3 Анализ надежности , ремотопригодности и восстанавливаемости ВС по уравнениям функционирования Рассмо трим способы определения количественных характеристик надежности ВС при следующих допущениях : – поток отказов элементов системы являются простейшими, – время восстановления изменяется по показательному закону, – котроль состояния системы непрерывный, – обс луживание осуществляется при неограниченном восстановлении . При указанных предположениях будем определять следующие количественные характеристики надежности , готовности и ремонтопригодности системы : вероятность безотказной работы , среднее время безотказно й работы , функцию и коэффициент готовности , наработку на отказ и среднее время восстановления системы. Для определения вероятности безотказной работы строится граф состояний системы . На графе отмечаются все отказовые состояния , из которых запрещаются переходы в соседние исправные состояния (ставятся экраны ). По графу состояний формально записывается система дифференциальных уравнений . Из анализа модели функционирования системы формулируются начальные условия эксплуатации . При определении вероятности безотказной работы в течение времени t обычно предполагается , что в момент t=0 все элементы системы и справны , т.е . эксплуатация начинается с нулевого состояния (нулевого уровня ). Тогда начальными условиями функционирования системы будут , . При этих начальных условиях можно определить вероятность безотказной работы в течение времени t, используя одно из следующих соотношений : (2.1) (2.2) где N+1 - число узлов в графе , равное числу состояний системы ; k- число узлов гр афа , соответствующих исправным состояниям системы ; - вероятность того , что система я течение времени t попадет в i-е исправное состояние ; - вероятность того , что система я течение времени t попадет в j- е отказовое состояние. Если число исправных состояний системы больше , чем отказовых , то следует пользоваться соот ношением (2.1), в противном случае целесообразно использовать (2.2). Вероятность и при известных начальных условниях всегда можно определить из исходной системы дифференциальных уравнений . Наиболее просто найти искомые вероятности в преобразованиях Лапласа с последующим отысканием оригиналом функций и . Среднее время безотказной работы может быть вычисленно при известной вероятности безотказной работы по формуле . Так как по определению , то при s=0 имеем . (2.3) Из этого выражения видно , что для определения среднего времени безотказнох работы достато чно найти преобразование Лапласа вероятности безотказной работы системы и в полученное выражение подставить s=0. Для определения функции готовности строится граф состояний системы , на графе отмечаются все отказовые состояния и составляется формально по виду графа система дифференциальных уравнений . Для определения используется одно из следующих соотношений : (2.4) (2.5) где - вероятность застать систему в момент времени t в i-м испраном состоянии ; - вероятность застать систему в момент времени t в j-м неисправном состоянии ; k-число узлов графа , соответствующих исправным состояниям системы ; N+1 – общее число узлов в графе , равное числу состояний системы . Если число отказовых состояний системы меньше числа исправных , то следует пользоватся выражением (2.5), в противном случае (2.4). Вероятности и вычисляются так же , как и в случае определения вероятности безотказной работы. Сравнивая процедуры вычисления вероятности безотказной работы и функции готовности , можно убедиться , что они идентичны . Отличие состоит лишь в том , что при определен ии функции готовности , можно убедиться , что они идентичны . Отличие состоит лишь в том , что при опрделении функции готовности в графе состояний системы отсутствуют поглощающие состояния , а поэтому в системе дифференциальных уравнений появляются дополнитель н ые члены. Коэффициент готовности является финальной вероятностью пребывания системы в исправном состоянии . Его легко вычислить , если известна функция готовности или , воспользовавшись соотношением (2.6) Из этог о соотношения видно , что для определения коэффициента готовности достаточно из уравнений функционирования системы найти преобразование Лапласа коэффициента готовности и вычислить предел . Функция готовности системы при неограниченном востановлении обычно и м еет вид : (2.7) причем . Тогда для вычисления предела достаточно в функции , определяемую выражением (2.7), подставить s=0. Из (2.6) и (2.7) следует : ( 2.8) Так как , то (2.9) Это соотношение может быт ь весьма полезным при определении наработки на отказ или среднего времени восстановления системы.Для получения одного из этих показателей нет необходимости решать систему уравнений типа массового обслуживания . Достаточно лишь вычислить свободные члены и в выражении (2.7). В дальнейшем будет показано , что и модут быть получены непосредственно из графа состояний системы. Коэффициент готовности , ялвляясь финальной вероятностью , не зависит от выбора начальных условий . Начальные условия определяют лишь переходны е процессы в системе массового обслуживания типа система-ремонтоное предприятие . Это следует иметь в виду при составлении и решении уравнений функционирования системы . Вычислять коэффициент готовности целесообразно при таких начальных условиях , при которы х достигается наибольшая простота раскрытия определителей. Решение большого количества прикладных задач показывает , что переходные процессы в системах массового обслуживания , применительно к задачам надежности вычислительных систем обшего назначения , прак тически заканчиваются уже после двух-трех восстановлений . Поэтому часто на практике не интересуются функцией готовности , а за основу количественную характеристик надежности принимают коэффициент готовности . Наработка на отказ является математическим ожи данием времени между соседними отказами восстанавливаемой системы . Эта характеристика мажет быть вычислена из соотношения : (2.10) где - вероятность того , что в течение времени t, отсчитанного от момента начала работы системы после i-го ее восстановления , не возникает отказ всей системы , т.е . , где - время между началом работы устройства после i-ого восстановления и (i+1)-м отказом . Вероятность может быть определена из системы уравнений функционирования системы. Для определения наработки на отказ нет необходимости вычи слять и интегрировать в соответствии с выражением (2.10). Достаточно найти преобразование Лапласа вероятности . Так как по определению , то (2.11) Из последнего выражения видно , что для получения наработки на отказ достаточно найти , как и в случае вычисления среднего времени безотказной работы , преобразование Лапласа суммы вероятностей исправных состояний систем ы и положить в полученном выражении s=0, Отличие состоит лишь в том , что вероятность определяется при начальных условиях , отличных от начальных уловий , при которых определяется вероятность в выражении (2.3). Описанный выше способ определения наработки на отказ применим лишь для частного случая , когда система им еет лишь одно отказовое состояние . В большинстве же практических случаев таких состояний много . Так же практических случаев таких состояний много . Так например при эксплуатации нерезервированной системы , состоянщей из N элементов , можно получить N отказ о вых состояний (Рис .2.1). В таких случаях определлить из уравнений функционирования системы затруднительно . Это объясняется тем , что неизвестно , при каких нача льных условиях следует определять , так как предотказовых состояний может быть несколько , так как предотказовых состояний может быть несколько . В ряде случае в удается найти наработку на отказ , воспользовавшись общей формулой для коэффициента готовности (2.12) Пользоваться этой формулой на практике целесообразно в следующих случаях : 1. среднее время восстановления системы известно из опыта ; 2. система имеет лишь одно отказовое состояние , причем из этого состояни я в соседние возможен переход с одной и той же интенсивностью . Тогда ; 3. система имеет несколько отказовых состояний , но интенсивности переходов из этих состояний в соседние одинаковы . Тогда среднее время восстановления системы равно , как в прежнем случае , . Случаи 2 и 3 легко распознаются по графу состояний . Тогда для определения наработки на отказ достаточно найти описанным ранее способом. На практике наиболее часто встречаются случаи , когда число отказовых состояний , системы велико , а значения интенсивностей восстановления зависят от отказового состояния . Тогда среднее время восстановления системы неизвест но , а наработку на отказ невозможно определить непосредственно по формуле (2.12). Покажем , что среднее время восстановления и наработку на отказ мажно определить , если известны финальные вероятности пребывания системы во всех возможных состояниях и интенси вности переходов из отказовых в предотказвые состояния. Интенсивность восстановления системы равна сумме произведений интенсивностей переходов из отказовых с остояний в исправные на соответствующие вероятности отказвых состояний , т.е . (2.13) где - вероятность того , что если система откажет , то она попадет в i-е отказовое состояние ; - сумма интенсивностей переходов из i-го откаового состояния во все исправные состояния , граничащие с i-м отказовым состоянием ; - подмоножество отказовых состояний , граничащих с исправными. Вероятность легко вычислить по формуле (2.14) где -финальная вероятность пребывания системы в i-м отказовом состоянии , граничаще м с исправным ; - финальная вероятность пребывания в j-м отказовом состоянии , граничащем или не граничащем с исправным состоянием ; -подмножество всех отказовых состояний. Интенсивности легко определить по графу состояний , воспользовавшись соотношением : (2.15) где – интенсивность переходов из i – го отказового состояния в j – е граничащее исправное состояние ; - подмножество исправных состояний , граничащих с отказовыми. Подставляя занчения и из (2.14) и (2.15) в (2.13), получим : (2.16) Так как среднее время и интенсивность восстановления связаны соотношением (2.17) Зная сре днее время восстанояления , легко найти наработку на отказ , воспользовавшись зависимостью (2.12). Так как , а , где E t - подмножество всех исправных состояний , то . (2.18) Заключение Методы расчета , о снованные на решении уравнений массового обслуживания , являются классическими . Однако они лишь в редких случаях могут буть использованы при оценке надежности , готовности и ремонтопригодности вычислительных систем . Это объясняется тем , что ВС являются резе р вированными , имеют сложную структуру и дисциплину обслуживания . Граф состояний таких систем имеет сотни и тысячи узлов . Большое число дифференциальных уравнений не дает возможности вычислить количественные характеристики даже с помошью ЦВМ .