Переходные процессы в линейных цепях

МЭИ

Типовой расчет по Электротехнике.

(Переходные процессы в линейных цепях.)

Студент Ухачёв Р.С.

Группа Ф-9-94

Преподаватель Кузнецов Э.В.

Вариант 14

Москва 1996

Типовой расчет по дисциплине

Основы теории цепей для студентов гр. Ф-9-94

Содержание работы

В коммутируемой цепи содержатся источники постоянных э.д.с. E или тока J, источники гармонической э.д.с. e=E_m sin(wt +j) или тока j=J_m sin(wt +j) c частотой w =1000 c^-1 или источник с заданной линейной зависимостью напряжения или тока от времени, три коммутируемых в заданные моменты времени ключа . Непосредственно перед первой коммутацией в цепи имеется установившийся режим.

Рассчитать:

1. Классическим методом ток, указанный на схеме, на трех интервалах, соответствующих коммутациям ключей, при наличии в цепи постоянных и синусоидальных источников .

2. Операторным методом тот же ток.

3. Любым методом на четвертом интервале ток i₁=(t) после замены синусоидального источника источником с заданной зависимостью напряжения или тока от времени.

Задание

1. Схема замещения анализируемой цепи и значения параметров выбираются на рис. 1 и в таблице 1 в соответствии с номером варианта N-номером в списке учебной группы. Остальные параметры рассчитываются по формулам E=10N (В), E_m=10N (В), J=0,4N (А), J_m=0,4N (А), j =30N (°). Для всех вариантов L=20 мГн, C=100 мкФ. Зависимости токов и напряжений источников, включаемых в начале четвертого интервала, приведены на рис. 2.

2. Ключи коммутируются по порядку их номеров через одинаковые интервалы времени Dt=T/6, где T=2|p|/w_св -период свободных колебаний. Для апериодического процесса Dt =1/|p|, где p -наименьший по модулю корень характеристического уравнения. Четвертый интервал начинается также через Dt после коммутации последнего ключа.

Указания

1. Для каждого интервала времени сначала рекомендуется провести расчет классическим методом, а затем-операторным. При совпадении результатов расчета обоими методами можно приступать к расчету переходного процесса на следующем интервале времени.

2. Результаты расчетов следует оформить с помощью ПЭВМ в отчете, содержащем описание задания, формулы, числовые значения, графики искомых функций.

Типовой расчёт по Элекротехнике вариант №14

Исходные данные:

R₁=95 Ом R₂=5 Ом R₃=4 Ом

C=100 мкФ L=20 мГн

e=140sin(1000t+4200) В

1. Расчёт ПП для первой коммутации:

Uc_пр=E=140В i_Cпр=0 А i_1пр=i_2пр=E/(R₁+R₂)=1,4 A

1.2 Расчёт классическим методом:

i₂

Замкнули К₁ t=0 i₂(0)=0 Uc(0)=E=140В

{ i₁R₁=Uc

{ i₂=0 (1.2.1)

{ CU'c+i₁=i₂

решив (1.2.1) получим i₁=1,47A i₂=0A U'c=-14700B/c

Составим характеристическое ур-е: Z_вх(р)=0

=0 или 0,000019p²+0,0675p+100=0

p₁=-177,632+703.394j p₂=-177,632-703.394j

Т.к. Uc(t)=Uc_св(t)+Uc_пр(t) (1.2.2)

Uc_св=A₁e^p1t+A₂e^p2t Uc_пр=ER₁/(R₁+R₂)=133B

найдём константы A₁ и A₂ из системы

Uc(0)=A₁+A₂+133=0 или A₁+A₂=7 A₁=3,5+9,565j

U'c(0)=A₁p₁+A₂p₂=0 A₁p₁+A2p₂=-14700 A₂=3,5-9,565j

Подставив данные в (1.2.2) получим Uc(t)=e^-177,632t(7cos(703.394t)-19.14sin(703.394t))+133 B

i_c(t)=CU'c(t)=-e^-177,632t(1.471cos(703.394t)+0.152sin(703.394t)) A

i₁(t)=Uc/R1= A

i₂(t)=i_c(t)+i₁(t)= A

1.2 Расчёт операторным методом:

{ I₂(pL+R₂)+I_c/pC=Li₂(0)+E/p-Uc(0)/p

{ I₂-I_c-I₁=0

{ I₁R₁=I_c/pC-Uc(0)/p

решив систему для I₂,I_c,I₁ имеем вектор решений

далее используя обратные преобразования Лапласа получим окончательно

i_c(t)=CU'c(t)=-e^-177,632t(1.471cos(703.394t)+0.152sin(703.394t)) A

i₁(t)=Uc/R1= A

i₂(t)=i_c(t)+i₁(t)= A

2. Расчёт ПП для второй коммутации:

i₂

Возьмём интервал времени Dt=T/6=|p|/3w_св=0,001с

тогда Uc(Dt)=133,939 В

2.2 Расчёт классическим методом:

Составим характеристическое ур-е: Z_вх(р)=0

R₂

=0 p=-2105,63

Uc_пр(t)=133 В Uc_св(Dt)=Ae^-2106,63t

Uc(Dt)=A=0.939 В

Uc(t)=0.939e^-2106,63t+133 В

i_c(t)=CU'c(t)=-0,198e^-2106,63t A

i₁(t)=Uc(t)/R₁=0,0099e^-2106,63t+1,4 A

i₂(t)=i_c(t)+i₁(t)=-0,188e^-2106,63t+1,4 A

2.3 Расчёт операторным методом:

{ I₁R₁=I_c/pC+Uc(Dt)/p

{ I₂=I₁+I_c

{ I₁R₁+I₂R₂=E/p

решив систему для I₁,I₂,I_с имеем вектор решений

Обратные преобразования Лапласа дают окончательно

i_c(t)=CU'c(t)=-0,198e^-2106,63t A

i₁(t)=Uc(t)/R₁=0,0099e^-2106,63t+1,4 A

i₂(t)=i_c(t)+i₁(t)=-0,188e^-2106,63t+1,4 A

3 . Расчёт ПП для третьей коммутации:

3.1 Расчёт классическим методом:

Принуждённые составляющие токов

e

рассчитаем как суперпозицию от

постоянного и синусоидального источника

3.2 Расчёт на постоянном токе:

| i₁R1+i₂R₂=E

{ i₂R2+i₃R₃=0 ---> i₁=1.44sin(1000t)

| i₁+i₃=i₂

3.3 Расчёт на синусоидальном токе:

{ I₁R₂+I₃R₃=E=140e^{j 73,27}

{ I₂R₂-jXcIc=0

{ I₁R₁+jXcIc=0

{ I₂-I₁-I₃-Ic=0

i₂=14.85sin(1000t+0.83)A

i₁=0.02sin(1000t+0.29) A

Суперпозиция даёт для i_1пр=

_{Ucпр(t)=i1пр/R1}

_{Uc(t)= Ucпр(t)+Aept}

Составим характеристическое ур-е: Z_вх(р)=0

p=

Dt=1/|p|=0.00022 c

Uc(Dt)=133.6 В

A=3.2

_{i2(t)=(E-Uc(t))/R2}

_{2(t)= A}

3.4 Расчёт операторным методом:

e=140sin(1000t+4200)

{ I₁R₁=Ic/pC+Uc(0)/p

{ I₂R₂+I₃R₃=E(p) =>I₁,I₂,I₃,Ic

{ I₁R₁+I₂R₂=E/p

{ I₂-I₃-I₁-Ic=0

I₂(p)=

Используя обратные преобразования Лапласа получим окончательно

i₂(t)= _A

_{4. Расчёт ПП после замены синусоидального источника источником с заданной линейной}

_{зависимостью ЭДС от времени.}

e

Начальные условия Uc(0)=0

E(p)

R₃

Uc(0)/p

R₂

i₂

R₁

1/pC

Для расчёта воспользуемся операторным методом

{ I₂R₂+I₃R₃=1/p

{ I₁R₁=Ic/pC+Uc(0)/p =>I₁,I₂,I₃,Ic

{ I₁R₁+I₂R₂=0

{ I₂-I₃-I₁-Ic=0

Обратные преобразования Лапласа дают i₂(t)=h(t)= _A

_{Запишем интеграл Дюамеля:}

_{fв(t)=140-140t/Dt}

_{f’в(t)=-140/Dt}

Графики тока i2(t) для 1-й,2-й и 3-ей коммутации: