* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.
Задача на моменты инер ции
Для плоской фигуры, со стоящей из двутавра № 16 и рав нополочного уголка 90 Ч90Ч8 т ребуется :
1. Определить координаты центра тяжести площади этой фигуры .
2. Найти осевые и центробежные момен ты инерци и относительно осей, проходящих через центр тяжести фигуры, одна из которых (ось Y ) - горизонтальна , а другая (ось Z ) вертикальна .
3. Найти положение главных централь ных осей U и V .
4. Найти моменты инерции относитель но главных центральных осей I u и I v (главные моменты инерции).
Рисунок 3 – Расчет моментов инерции плоской фигуры.
1. Определение характеристик стандартных профиле й.
Х арактеристик и дв утаврового и уголкового профиля выбираются и з таблиц соответствующих ГОСТов. [ 5, П риложение 2, стр. 352 ] .
Для двутаврового профиля № 16 из таб л.1 [ 5, Приложение 2, стр. 352 ] ГОСТ 8239-72:
- площадь сечения проф иля F I = 20,2 см 2 ;
- моменты инерции относительно центральных осей I Y 1 = 873 см 4 и I Z 1 = 58,6 см 4 ;
- центробежный мом ент инерции отно сительно центральных осей равен н улю I Y 1 Z 1 = 0 , так как профиль симметричен относительно этих осей.
Для уголкового п рофиля 90 Ч90Ч8 из табл. ГОСТ 8509-72 [ 5 ] :
- площадь сечения про филя F J = 13,9 см 2 ,
- расстояние от ц ентра тяжести п лощади до наружной кромки полки Z о = 2,51 см,
- моменты инерции относительно его центральных осе й I Y 2 = I Z 2 = 106 см 4
- центробежный момент инерции уголкового профиля о тносительно его центральных осей Y 2 и Z 2 определим по формуле:
Здесь значение ц ентробежного момента инерции принимается положительн ым, если полки основной своей площадью располагают ся в первой и треть ей четверти, и отрицательным, если п олки располагаются во второй и чет вертой четверти , где центробежные моменты отрицат ельны.
I max , I min – представляют собой момент ы инерции уголкового профиля относительно его главных центральных осе й Y 20 и Z 20 , эти оси являются г лавными, потому что про ходят через центр тяжести уголкового профиля и одна из них – ось симмет рии.
Из таблицы [ 5 ] :
I max = I Y 20 = 168 см 4
I min = I Z 20 = 43 ,8 см 4
Определение цен тробежного момента инерции уголкового профиля:
2. Определение координат центра тяжести площади фигуры.
Для этого необхо димо выбрать координатные о си. В целях упрощения вычисл ений за координатные оси принимаем центральные ос и одной из фигур, например Z 1 и Y 1 . Координаты будем определять п о формулам:
где S Z 1 и S Y 1 – статические моменты всей фигуры относительно координатных осей Z 1 и Y 1 , определяются как суммы статических м оментов отдельных фигур
F – площадь всей фигуры определяется как сумма площ адей отдельных фигур;
Здесь и далее ин дексы « I » и « J » указывают на отношение величин к двутавру или к уголку.
Статический момент двутаврового и уголкового про филя относительно выбранной оси Z 1 , будет ра вен:
,
Получаем путем у множения площади фигуры на расстояние до выбранной координатной оси Z 1 . Подставим вышеописанные выражения в об щую формулу:
Откладываем пол ученные координаты на оси Y 1 , Z 1 получаем центр тяжести площад и фигуры. Правильно найденный центр тяжести должен находиться на отрезк е, соединяющим центры тяжести составляющих фигур (при двух фигурах). Чере з полученный центр тяжести проводим оси Y и Z , пар аллельные центральным осям этих фигур.
3. О севые и центробежные моменты инерции относительно центральных осей Y и Z .
Для этого воспол ьзуемся формулами перехода от центральных осей отдельных фигур к параллельным осям Y и Z . Определим осевые моме нты инерции по формул ам :
Затем необходим о определить центробежный момент инерции составн ой фи гуры относительно осей Y и Z . Он равен сумме центробежных мо ментов инерции составляющих фигур .
4 . Положение главных центральных осей U и V составного профиля.
У гол наклона главных центральных осей U и V относительно горизонта ли
Угол по л учился с минусом, поэтому поворот осей производим по часовой стрелке.
5 . М оменты инерц ии относительно главных центральных осей I u и I v (главные моменты и нер ции).
Производим пров ерку:
1889+511 = 2135+265
Равенство показывае т, что вычисление положения гл авны х центральных осей выполнены правильно.
Если момент инер ции I y будет меньше чем I z , то в первой формул е перед корнем надо ставит ь знак минус, а во второй форму ле плюс, тогда I u = I min , I v = I max .