Арифметика комплексных чисел (факультативный курс для старших классов средней школы)

МОСКОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Гаврилова Евгения Валентиновна

АРИФМЕТИКА КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

/Факультативный курс для старших классов средней школы/

Дипломная работа.

Научный руководитель:

Москва 2001

Содержание.

Введение ..............................................................................................................3

ГЛАВА 1: Психолого-педагогические и исторические основы построения

факультативных занятий в средней школе.....................................7

§1. Факультативные занятия в средней школе.........................................7

§2.Психолого-педагогические особенности построения факультативов для учащихся старших классов ..........................................................10

ГЛАВА 2: Методические особенности изучения курса “Арифметика

комплексных чисел”.......................................................................18

§1. Анализ содержания учебной литературы по теме “комплексные

числа” ..............................................................................................18

§2. Содержание факультативного курса “Арифметика комплексных

чисел” .............................................................................................20

§3. Методические рекомендации по проведению занятий ..............54

§4. Экспериментальная проверка ......................................................65

Заключение .....................................................................................................68

Литература ......................................................................................................70

Приложения ...................................................................................................74

Введение.

Цель современной школы развитие личности учащегося, формирование его ценностного сознания. Ее невозможно достичь без ориентации подростков на значимые для него ценности, без развития духовного мира школьника, его нравственной и эстетической воспитанности.

Полноценная познавательная деятельность школьника выступает в обучении главным условием развития у них инициативы, активной жизненной позиции, находчивости.

Дополнительное образование в школе, а значит и наличие факультативных курсов позволяет, во-первых, создать широкий общекультурный, эмоционально значимый для ученика фон усвоения различных направлений стандарта общего образования и, во-вторых, предметно ориентировать его в таких областях деятельности, которые будут содействовать определению его жизненных планов.

Интеллектуальное и эмоциональное удовлетворение, которое получает ученик в самой деятельности, и есть залог формирования у учащихся увлеченности наукой, техникой, искусством, трудом, без чего невозможно всестороннее развитие личности.

Важно не только то, что изучают учащиеся, но и то, как они это делают, какими методами самостоятельного приобретения знаний и применения их на практике они овладевают.

При знакомстве с новыми объектами ранее приобретенные знания, умения и навыки обязательно найдут себе применение в процессе выявления взаимосвязи этих объектов с другими математическими понятиями.

В 5-6 классах средней школы изучается курс арифметики, содержащей основы науки о числах. Это название происходит от греческих слов "арифмос"-число и "техне"-искусство.

От сознательного и прочного усвоения арифметики целиком зависит успешность усвоения многих других предметов, в частности алгебры, геометрии, тригонометрии, физики, химии, астрономии.

В старших классах средней школы уже заложена определенная база знаний для изучения понятия комплексного числа, представления его в различных формах записи. А тот фундамент, который был заложен в 5-6 классах дает возможность построить на факультативных занятиях арифметику новых объектов и познакомиться с их многочисленными свойствами.

Говоря о значении комплексных чисел в математическом образовании учащихся, прежде всего следует иметь ввиду большое идейное богатство этого понятия.

Понятие комплексных чисел обогащает и завершает одну из основных идей школьной математики – идею обобщения понятия числа. Знание комплексных чисел позволяет учащимся глубже осмыслить такие разделы школьной программы, как решение уравнений и неравенств, тригонометрические функции. Открытие комплексных чисел не только обогатило математику новыми числами более общего вида, но и вооружило ученых более общими методами исследования.

Многие теоремы алгебры, которые раньше приходилось разбивать на ряд частных случаев, после введения комплексных чисел приобрели общность, стала в итоге развиваться одна из важнейших ветвей математического анализа – теория функций комплексного переменного.

Весь этот разнообразный материал не может быть доведен до сведения учащихся, однако, некоторые вопросы могут быть изучены в школе на факультативных занятиях, а это расширит представления учащихся и об аппарате комплексных чисел и о методах математических исследований.

Существуют пособия для школьников, где кратко изложена теория делимости в кольце комплексных чисел. Возможно неоднократно поднимался вопрос о включении этой темы в школьную программу, но на данный момент эта проблема осталась нерешенной.

Школьники уже знакомы с различными видами чисел, правилами выполнения возможных операций над ними, о существовании не всегда выполнимых математических действий в определенных числовых множествах. Знакомство с арифметикой гауссова кольца расширит понятие о числе и покажет, что наряду с "привычной" арифметикой есть еще и другая, где тоже имеет место теорема об однозначности разложения на простые множители. Все вышесказанное обусловило объект, предмет, цели и научную проблему исследования.

Объектом исследования является процесс обучения математике в старших классах.

Предметом исследования является процесс систематизации знаний по математике в старших классах.

Цель исследования заключается в разработке методики организации и проведения занятий по теме "Арифметика комплексных чисел".

В ходе исследования была выдвинута гипотеза, согласно которой разработанный факультативный курс будет способствовать повышению уровня знаний, умений и навыков во многих других разделах школьного курса и упорядочит те разрозненные знания, которые были изучены старшеклассниками ранее.

Научная проблема исследования состоит в обосновании и разработке наиболее эффективных методов организации повторения и углубления знаний старшеклассников.

Для решения проблемы были сформулированы следующие задачи:

• выявление психолого-педагогических и методических особенностей преподавания математики в старших классах с целью повышения эффективности изучения курса "Арифметика комплексных чисел".

• разработка содержания и методики изучения факультативного курса "Арифметика комплексных чисел".

• используя педагогический эксперимент проверить правильность выдвинутой гипотезы.

Основные методы исследования анализ содержания психолого-педагогической, математической и методической литературы, а также содержания школьных учебников и учебных пособий по теме "комплексные числа", анализ работ по методике преподавания математики.

ГЛАВА1. Психолого-педагогические и исторические основы построения факультативных занятий в средней школе.

§1. Факультативные занятия в средней школе.

С1967/1968 учебного года в 7-10 классах средней школы введены факультативные занятия по выбору учащихся. Цель таких занятий- расширение, углубления знаний, развитие интересов и способностей учащихся в избранных ими областях знаний и воспитание у них определенных навыков самостоятельной работы.

Применительно к математике эта цель заключается в ознакомлении школьников с важнейшими современными понятиями и идеями математики, и отдельными вопросами , связанными с ее приложениями. Факультативный курс включает в себя такое содержание, которое предстоит осваивать школьникам за пределами общеобразовательного государственного стандарта. По сравнению с другими формами повышенной подготовки учащихся (специальными школами и классами с углубленным изучением отдельных предметов) факультативные занятия являются самой массовой формой, доступной для учащихся.

Специфика факультативных занятий разрешает определенную автономность содержания факультативного курса, что позволяет преподавателю проявлять самостоятельность в отборе материала для изучения и выборе форм его изложения. Одной из важнейших задач обучения математике в общеобразовательной школе является формирование и развитие средствами математики интеллектуальных качеств личности.Специфика факультативных курсов позволяет решать сложные проблемы: повышение интереса к наукам, обеспечение высокого теоретического уровня знаний, ориентация учащихся в отношении выбора жизненного пути.

Учитывая то, что учащийся вправе сам выбирать вид деятельности, занятия в соответствии со своими интересами, склонностями и способностями, и то, что индивидуальные различия учащихся в характере мыслительной деятельности, степени подготовки тоже присутствуют, особую значимость в ходе факультативных занятий обретает индивидуальный подход и самостоятельность в процессе изучения содержания курса. Отсутствие обязательного минимума знаний и умений, которыми должны овладеть учащиеся дает учителю возможность применять индивидуальный подход к каждому ученику с учетом его способностей. С другой стороны, заинтересованность и добровольное посещение учащимися факультативов создает благоприятную почву для получения, понимания и усвоения новых знаний.

В работах И.М.Смирновой рассмотрена концепция разделения учащихся по отношению к школьному курсу математики на три группы.

Первую группу должны составлять школьники, для которых математика является лишь элементом общего развития и в их дальнейшей деятельности будет использоваться лишь в незначительном объеме. Для этой категории существенно овладение общей математической культурой, а вовсе не ремесленными навыками решения стандартных задач.

Во вторую группу могут входить учащиеся, для которых математика будет важным инструментом в их профессиональной деятельности. Для этой категории существенны не только знания о математических фактах, навыки логического мышления, пространственного представления, но и прочные навыки решения математических задач. Наконец, в третью группу нужно отнести тех учащихся, которые выберут математику (или близкие к ней области знания) в качестве основы своей будущей деятельности. Учащиеся этой группы проявляют повышенный интерес к изучению математики и должны творчески овладеть ее основами. Таким образом получаем, что современная трактовка дифференциации делится на уровневую и профильную.

Уровневая дифференциация вытекает из того, что обучаясь в одном классе, по одной программе и учебнику, школьники по-разному усваивают материал. Определяющим здесь является уровень обязательной подготовки и достижение его свидетельствует об усвоении.

Профильная дифференциация предполагает обучение различных групп школьников по программам, отличающимися глубиной изложения материала, объемом, формами и методами преподавания.

Этот вид дифференциации предполагает наличие достаточно единого базового образования и утверждения школьников в своих склонностях. Таким образом, наличие в современной школе классов с различной специализацией, а также всевозможных типов учебных заведений (гимназий, лицеев и др.), наложило отпечаток на организацию и проведение факультативных занятий, особенно в старших классах.

При разработке факультативного курса надо учитывать:

• в каких классах (с какой специализацией) будут проводиться факультативные занятия;

• в каком объеме в них изучается выбранная для факультативна тема;

• в каком порядке целесообразно рассматривать программный и факультативный материал;

В старших классах современной школы факультативные занятия способствуют: учету индивидуальных способностей и склонностей учащихся при обучении, стимуляции интереса к наукам, достижению высокого уровня знаний, возможности профессионально ориентировать школьников, ликвидации перегрузки учебных планов и программ.

§2. Психолого-педагогические особенности построения факультативов для учащихся старших классов.

Любой факультативный курс конструируется таким образом, что несет в себе выполнение основных образовательных функций :

психолого-педагогическую, познавательную и практическую.

• Психолого-педагогическая функция включает воспитание математической культуры учащихся. Сюда входят знания и умения в формировании которых математика участвует наряду с другими школьными предметами, и также те знания и умения, которые составляют специфику самой математики.

Овладение практически любой современной профессией требует тех или иных знаний по математике. С математикой связана и компьютерная грамотность. Развитие науки и техники, высокий интеллектуальный уровень специалистов-все это приводит людей к необходимости пополнять свои знания и стремиться к повышению квалификации. Это выдвигает перед школой задачу всемерного развития у учащихся математических способностей, склонностей и интересов.

Важнейшая задача обучения математике- пробудить у школьников потребность активно мыслить, преодолевать трудности при решении разнообразных задач, искать наиболее рациональные пути решения этих задач. Научить их доказывать существование вводимых математических понятий, опровергать ложные предложения, проверять правильность обратного предложения и т.д.- такими логическими умениями должен овладеть школьник.

Решение выдвинутых задач возможно на факультативных занятиях по математике, учитывая их специфику: это и малочисленность группы учащихся, и их заинтересованность в посещении таких занятий, а также присутствие интереса к "новым открытиям", которые трудно реализовать в полном объеме.

• Факультативный курс должен способствовать формированию и развитию самостоятельной, творческой и мыслительной деятельности учащихся.

Психология является необходимой базой методики любого учебного предмета, в том числе и математики. Знакомство с психологическими теориями и концепциями помогает учителю глубже понять основные направления в совершенствовании учебного процесса по математике. Огромную роль здесь играет принцип единства сознания и деятельности, разработанный А.Н.Леонтьевым и С.Л.Рубинштейном. Его суть состоит в том, что человеческая психика проявляется и формируется в деятельности- трудовой, учебной, игровой.

Какими бы природными задатками ни обладал от рождения человек, они смогут получить свое развитие лишь в процессе деятельности. Важно, чтобы школьник усваивал материал в порядке активной работы над ним. Задача преподавателя заключается в том, чтобы работа эта была насыщена элементами самостоятельности, творчества, только тогда ученики смогут направлять свою интеллектуальную активность и ранее усвоенные знания на "открытие" важных существенных признаков новых понятий и применять их в своей дальнейшей познавательно-практической деятельности. Развивает не само знание, а специальное его конструирование. Факультативный курс должен не просто излагать систему знаний, а особым образом организовывать познание ее ребенком.

Здесь очень многое зависит от учителя, задача которого состоит в создании психолого-педагогических условий, стимулирующих учащихся к использованию и выбору наиболее рациональных, личностно-значимых способов.

При таком подходе в центре внимания оказывается не усредненный ученик, а каждый школьник, как личность в своей самобытности, уникальности.

• При разработке факультативного курса нужно учитывать самостоятельность и индивидуальный подход в обучении.

Хорошо известно, что все люди разные. Выявляются различия в типе темперамента, в психических свойствах и в скорости протекания нервных процессов. Люди рождаются с различными задатками, которые развиваются в различные способности.

При значительном разбросе индивидуальных особенностей учеников и их численности, обычно учитель не может учесть в достаточной мере особенности каждого, и учебный процесс строится в расчете на среднего ученика, который только и чувствует себя более или менее комфортно при таком обучении. Но учитель всегда должен учитывать индивидуальные особенности учащихся.

Процесс изучения факультативного курса должен быть организован так, чтобы каждый учащийся в данный отрезок времени овладел одним и тем же объемом теоретического материала, выбрав такой уровень изложения этого материала, который соответствует его индивидуальным особенностям. При разработке курса для старшеклассников должен быть учтен и критерий самостоятельности в обучении. Сочетание индивидуализации и самостоятельности при изучении содержания факультативного курса дает возможность школьникам выполнять различное количество упражнений разного уровня.

• При разработке факультативного курса нужно учитывать и возрастные особенности учащихся.

Школа занимает большое место в жизни старших подростков, но у разных детей проявляется по-разному, несмотря на осознание важности и необходимости учения. Известно, что дети различаются по некоторым важным параметрам: отношение к учению, общему развитию, способам усвоения учебного материала. Учет перечисленных различий дает более полноценное усваивание новых знаний школьниками.

Для старших подростков обучение в 10-11 классах это период выработки жизненной позиции, сознательного отношения к выбору профессии. Таким образом при обучении старшеклассников имеется возможность использовать специфические достоинства возраста :

возросшие моральные и интеллектуальные силы и их продолжающийся рост; рост произвольности психических процессов, лежащих в основе умения управлять собой; формирование обобщенных форм самосознания, отношение к себе как к реально взрослым; умение увидеть сильные и слабые стороны своего развития.

Самообразование главным образом связано с выбором будущей профессии. Кроме того, возникает потребность в само регуляции, т.е. в управлении и развитии личности.

Все большее значение мышлении старшеклассника наряду с конкретным занимает абстрактное мышление.Учащиеся стремятся к установлению причинно-следственных связей и других закономерностей между явлениями окружающего мира, проявляют критичность мышления, умение аргументировать суждения, более успешно осуществляют перенос знаний и умений из одной ситуации в другую. В ходе усвоения учебного материала старшеклассники стремятся самостоятельно раскрывать отношения общего и конкретно выделять существенное, а затем формулировать определения научных понятий.

Учащиеся старших классов умеют абстрагировать и обобщать материал, происходит формирование теоретического мышления. Теоретическое мышление характерно тем, что совершается в форме абстрактных понятий и рассуждений. Поэтому при построении занятий со старшеклассниками удобно использовать такие особенности мышления, как:

• умение сравнивать - сопоставлять объекты познания с целью нахождения сходства и различия между ними

• умение анализировать - мысленное расчленение предмета познания на части

• умение синтезировать - мысленное соединение отдельных элементов в единое целое

• умение абстрагировать - мысленное выделение каких-либо существенных свойств и признаков объектов при одновременном отвлечении от всех других их свойств и признаков. Это умение особенно важно для математических наук, т.к. многие математические понятия являются абстрактными объектами

• умение обобщать - мысленное выделение общих свойств в двух или нескольких объектах и объединение этих объектов в группы (от частного к общему); мысленное выделение в рассматриваемом объекте или нескольких объектах их свойств в виде общего понятия (от общего к частному)

• умение конкретизировать - может выступать в двух формах: мысленный переход от общего к единичному или восхождение от абстрактно-общего к конкретно частному путем выявления различных свойств и признаков этого абстрактно-общего [36].

Формирование у учащихся способности к выполнению умозаключений влечет за собой развитие логического мышления. Развитие интеллекта в юношеском возрасте тесно связано с развитием творческих способностей. Старшеклассники не просто усваивают информацию, а проявляют интеллектуальную инициативу, стремятся к созданию чего-то нового, любят исследовать и экспериментировать. Все это создает благоприятную основу для развития творческого мышления. Результат такого мышления не просто применение известных представлений, понятий и операций, а создание новых образов, значений и способов решения задач. В юношеском возрасте происходит активный процесс формирования мировоззрения. Молодые люди стремятся свести все принципы в определенную целостную систему, понять окружающий мир, оценить его, определить свое отношение к нему. Поэтому старшеклассники в большей степени интересуются предметами, которые им нужны в связи с выбранной профессией. Для них на этот период времени целесообразнее сосредоточить свое внимание на избранных науках, чем изучать все подряд в ознакомительных целях. Поэтому одной из важнейших задач является формирование у старшеклассников правильных представлений о той роли, которую играет тот или иной раздел обучения в жизни общества.

• Факультативный курс должен способствовать появлению у учащихся умения решать задачи.

Решение задач занимает в математическом образовании огромное место. Психологические исследования проблемы обучения решению задач показывают, что основные причины несформированности у учащихся общих умений и способностей в решении задач состоят в том, что школьникам не даются необходимые знания о сущности задач и их решений, а поэтому они решают задачи, не осознавая должным образом свою собственную деятельность. У учащихся не вырабатываются отдельно умения и навыки в действиях, входящих в общую деятельность по решению задач, поэтому им приходится осваивать эти действия в самом процессе решения задач, что многим школьникам не под силу.

За время обучения в школе каждый ученик решает огромное число задач. При этом все учащиеся решают одни и те же задачи. Но в итоге некоторые ученики овладевают общим умением решения задач, а многие встретившись с задачей незнакомого или малознакомого вида, теряются и не знают, как к ней подступиться.

Одной из причин является то, что одни ученики вникают в процесс решения задачи, стараются понять, в чем состоят приемы и методы решения задач, изучают задачи. Другие же, к сожалению, не задумываются над этим, стараются лишь как можно быстрее решить заданные задачи. Эти учащиеся не анализируют в должной степени решаемые задачи и не выделяют из решения общие приемы и способы. Задачи решаются лишь ради получения ответа. Не стимулируется постоянный анализ учащимися своей деятельности по решению задач и выделению в них общих подходов и методов, их теоретического осмысления и обоснования.

Все это можно реализовать на факультативе. Во-первых, время преимущественно распределяет сам преподаватель, во-вторых, он вправе выбрать тот оптимальный ход урока, который будет способствовать не только прочному усвоению новых знаний, но и выработке умения решать задачи. Главный принцип здесь- научить учащихся такому подходу к задаче, при котором задача выступает как объект тщательного изучения, а ее решение- как объект конструирования и изобретения.

• Факультативный курс должен вызывать интерес учащихся к содержанию и процессу обучения.

Только благодаря появлению эмоционального переживания возникает интерес к предмету, отдельному явлению, появляется потребность в деятельности. Без интереса ученик не учится, без потребности по той или иной причине он не решает задачи, без устойчивости этих сопровождающих деятельность потребностей невозможно формирование системы ценностей. Поэтому изучаемый материал должен вызывать интерес у учащихся.

Как бы ни старался учитель, к каким бы методикам не прибегал, какой бы техникой не владел - повысить эффективность обучения, не вызывая у обучающихся интереса к учебному материалу, невозможно.

При построении занятий со старшеклассниками необходимо учитывать их психолого-педагогические возможности и потребности:

развивать логическое мышление, которое учит внимательности, аккуратности, умению абстрагироваться от конкретного содержания; обращать внимание учащихся на межпредметные связи; подбирать задания, способствующие проявлению самостоятельности и творческих способностей учащихся;создавать возможности для углубления и совершенствования знаний в направлении выбранной ими профессии; подкреплять все новые понятия историческими сведениями для дальнейшего развития математической культуры.

ГЛАВА 2.Методические особенности изучения курса "Арифметика комплексных чисел".

§1. Анализ содержания учебной литературы по теме "комплексные числа".

Существует достаточное количество пособий по комплексным числам. Рассмотрим поподробнее, как изложен в них учебный материал по комплексным числам.

В пособии для факультатива [1] А.А.Абрамова, Н.Я.Виленкина содержится глубокий традиционный курс: построение комплексных чисел в виде a+bi, далее идет знакомство с тригонометрической формой комплексных чисел. Рассматривается показательная, логарифмическая и тригонометрическая функции комплексного переменного. Большое место в пособии занимают приложения комплексных чисел: рассматривается основная теорема алгебры многочленов и ее следствия; применение комплексных чисел для описания всевозможных перемещений плоскости; затронуты и дифференциальные уравнения.

В пособии под редакцией В.А.Жарова [16] исследуется расширение понятия числа, комплексные числа представлены через вектора.

Учебник алгебры и математического анализа для учащихся 11 классов с углубленным изучением математики Н.Я.Виленкина и др. [10] также содержит тему "Комплексные числа". Первоначально комплексные числа представлены упорядоченными парами, а далее учащимся предложено перейти к алгебраическому виду. Основные сведения по комплексным числам даны обзорно и в минимальном объеме. Из приложений можно выделить лишь применение основной теоремы алгебры многочленов.

В пособии [15] А.П.Иванова и В.М.Кондакова рассматривается тригонометрическая форма записи комплексного числа и соответствие между комплексными числами и точками плоскости. Решение алгебраических уравнений n-ой степени выделены в виде приложений комплексных чисел. Объем изложенного материала с текстом упражнений занимает всего 10 страниц, что говорит о чрезмерной краткости.

В пособии [40]Лисичкина сначала вводится понятие мнимой единицы, а только потом идет определение комплексного числа. Далее рассматриваются действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах и, показательная форма комплексного числа. На этом знакомство с комплексными числами заканчивается.

В пособии Л.А.Калужнина [17] сразу вводятся толшько целые комплексные числа. Дальше определяются операции над ними. Потом следует определение нормы целого комплексного числа. Рассматриваются взаимосвязи между простыми гауссовыми и простыми рациональными числами. Поднимается вопрос о том, когда же положительное целое рациональное число является нормой некоторого целого гауссова числа.

Материал, содержащийся в этом издании, отличается своей неординарностью и конкретными целями изложения, но теория делимости здесь четко не выстроена, т.к. часть необходимых формулировок и доказательств отсутствует.

Именно поэтому наша задача при создании факультативного курса "Арифметика комплексных чисел" объединить "традиционную часть" (определение понятия комплексного числа, возможные формы записи комплексных чисел, правила выполнения действий над ними и т.д.) с постепенным углублением в построение арифметики комплексных чисел, показывая тем самым, что основная теорема арифметики может быть применима к "новым объектам".

§2.Содержание факультативного курса “Арифметика комплексных чисел”.

Проанализировав психолого-педагогические особенности построения факультативов для учащихся старших классов, содержание учебной литературы, содержащей тему “комплексные числа”, мы подобрали оптимальное на наш взгляд содержание факультативного курса, которое приведем ниже.

1. Понятие комплексного числа. Действия над комплексными числами.

2. Сопряженные комплексные числа.

3. Геометрическая интерпретация комплексного числа.

4. Тригонометрическая форма комплексного числа. Решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицателен.

5. История открытия комплексных чисел. Целые гауссовы числа, как частный случай комплексных чисел.

6. Целые гауссовы числа и их расположение на комплексной плоскости.

7. Отношение делимости на множестве целых гауссовых чисел. Простые гауссовы числа.

8. НОД целых гауссовых чисел.

9. Основная теорема арифметики в кольце гауссовых чисел. Основное свойство простого числа.

10. Алгоритм факторизации целого гауссова числа.

Занятие №1.

ТЕМА: Понятие комплексного числа. Действия над комплексными числами.

Определение 1: символ  -1 будем называть мнимой единицей и обозначать i: i= -1.

Следуя определению находим, что i²= -1.

Введение мнимой единицы позволяет извлекать квадратные корни из отрицательных чисел.

Пример:

 -36= -36(-1)= -36 -1= 6i

Рассмотрим степени мнимой единицы:

I¹=1, i²= -1, i³= i^{2 }i=(-1)i=-i, i= i^3 i= -ii=1, ...... далее значения степеней начнут повторяться.

Т.е. если выписывать все значения степеней числа i подряд, то получим последовательность: i, -1, -i, 1, i, -1, -i, 1....... и т.д.

Определение 2: выражения вида z=a+bi, где a и b-действительные числа, i-мнимая единица, будем называть комплексными числами.

a-действительная часть числа z

bi-мнимая часть числа z, z=a+bi-алгабраическая форма комплексного числа z.

Определение 3: два комплексных числа z=a+bi, z=c+di условимся считать равными тогда и только тогда, когда в отдельности равны их действительные и мнимые части.

Определение 4: суммой комплексных чисел z₁=a+bi, z₂=c+di называют комплексное число z= (a+c)+ (b+d)i.

Определение 5: разностью комплексных чисел a+bi, z₂=c+di называют комплексное числo z= (a-c)+ (b-d)i .

Определение 6: произведением комплексных чисел z₁=a+bi, z₂=c+di называют комплексное число z=(ac-bd)+(ad+bc)i.

Замечание: на практике нет нужды пользоваться формулой произведения. Можно перемножать данные числа как двучлены, а потом учитывать, что

i²= -1.

Таким образом, видим, что сложение, вычитание и умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами.

Задания.

1. Вычислите значение выражения:

1. I²⁸+i³³+i¹³⁵ , (b) (i¹³+i¹⁴+i¹⁵)i³², (c)i⁴³+i⁴⁸+i⁴⁴+i⁴⁵,(d)  -64+ -16+9

Решим (а):

Выяснив, что значения степеней числа i повторяются с периодом 4, получаем алгоритм вычисления любой степени числа i:

• Показатель степени делится на 4, значение степени равно 1

• Показатель степени при делении на 4 дает остаток 1, значение степени равно i

• Показатель степени при делении на 4 дает остаток 2, значение степени равно -1

• Показатель степени при делении на 4 дает остаток 1, значение степени равно –i

28=47, i²⁸=1

33=48+1, i³³=i

135=433+3, i¹³⁵= -i

Таким образом, получаем: i²⁸+ i³³+ i¹³⁵=1+i –i=1

1. Найти такие значения x, y при которых комплексные числа z₁ , z₂ будут равны:

1. z₁=3y+5xi и z₂ =15-7i

2. z₁=7x+5i и z₂ =1-10iy

Решение (а):

По определению комплексные числа равны, если 3y=15, 5x= -7.

Отсюда находим x=(-7)/5, y=5.

1. При каких x и y справедливы равенства?

1. (2x+3y)+(x-y)i=7+6i

2. x+(3x-y)i=2-i

3. (3i-1)x+(2-3i)y=2-3i

1. Выполните действия:

• (3+5i)+(7-2i)

Решение:

(3+5i)+(7-2i)=(3+7)+(5i-2i)=10+3i;

1. (-5+2i)-(5+2i);

2. (5-4i)+(6+2i);

1. Найдите значение выражения:

(2+3i)²

Решение:

Здесь рациональнее будет использовать формулы сокращенного умножения, а не разбивать в произведение некоторого числа скобок.

(2+3i)²=4+2*2*3i+9i²=4+12i-9=-5+12i

1. (3-5i)²;

2. (17+6i)³;

3. (11-7i)(11+7i);

Занятие №2.

ТЕМА: Сопряженные комплексные числа.

Определение 1: два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.

Пример:

25+3i и 25-3i – сопряженные комплексные числа

-6+i и -i-6 – сопряженные комплексные числа

8,2-i и -i+8,2 – не сопряженные комплексные числа

Задания.

1. Выполните деление (2+3i)/(5-7i)

Чтобы выполнить деление, произведем дополнительное действие:

умножим делимое и делитель на комплексное число, сопряженное делителю

((2+3i)/(5-7i))((5+7i)/(5+7i))=(10+14i+15i+21i²)/(25-49i²)=

=(-11+29i)/74=-11/74+29/74

1. 5/(3+2i);

2. (1-i)/(1+i);

3. (6-7i)/i;

1. Вычислите значение выражения:

1. I¹²³+(1-i)⁶-(1+i)⁸;

2. [(1+i)/(1-i)]¹²+[(1-i)/(1+i)]¹²;

Решение В:

[(1+i)/(1-i)]¹²+[(1-i)/(1+i)]¹² =[((1+i)(1+i))/((1-i)(1+i))]¹²+

+[((1-i)(1-i))/(1+i)(1-i))]¹²=[(1+i)²/(1-i²)]¹²+=[(1-i)²/(1-i²)]¹²=

=[(1+2i+ i²)¹²+(1-2i+ i²)¹²]/2¹²=[2¹²*i¹²+2*(-i)¹²]/ 2¹²=i¹²+(-i)¹²=1+1=2

1. Найдите число , сопряженное данному:

5-17,7i; 5-7i; 33i+12; 6i; -8-63i; 11i

4.Найдите сумму числа z и ему сопряженного: z=113,75+21i

5.Найдите число сопряженное сопряженному, если z=39+i

1. Найдите произведение z и числа ему сопряженному, если z=11-i.

2. Найдите сумму сопряженных чисел,у одного из которых действительная часть равна –3, мнимая 17.

Занятие №3.

ТЕМА: Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Комплексное число z=a+bi можно изобразить точкой Z плоскости с координатами (a, b).

Для этого выберем на плоскости декартову систему координат (рис.1).

Действительные числа изображаются

точками оси абсцисс. Чисто мнимые числа, т.е. числа вида bi (b0), изображаются точками оси ординат. Заметим, что:

числа, т.е. вида bi (b0), изображаются точками оси ординат.

Существует другой способ геометрической интерпретации комплексных чисел.

• каждой точке плоскости с координатами (а, b) соответствует

один и только один вектор с началом О(0, 0) и концом Z(a, b).

Поэтому комплексное число z=a+bi можно изобразить в виде вектора с началом в точке О(0, 0) и концом в точке Z(a, b). Очевидно, что при таком изображении:

• Сопряженные комплексные числа изображаются точками, симметричными относительно оси абсцисс (рис.2).

1. z=5+3i, z=5-3i;

2. z=i, z=-i ;

Задания.

1. Изобразите на координатной плоскости следующие числа

• в виде точек плоскости;

• при помощи векторов;

z₁=5, z₂=-3i, z₃=3+2i, z₄=5-2i, z₅=-3+2i, z₆=-4-5i

1. Изобразить на плоскости комплексное число z₁=7+i, ему сопряженное z₂. Найти площадь треугольника, заключенного между векторами ОМ₁ и ОМ_{2 ,}( где ОМ₁ –изображение комплексного числа z_1, ОМ₂ – изображение z₂) и отрезком M₁M₂.

Решение:

z=7+i, z=7-i

Построив оба вектора, соответствующие

комплексным числам, видим, что высота

треугольника OM₁ M₂ равна 7, основание 2.

По формуле ищем площадь треугольника:

S=(1/2) M₁M_2h=(1/2)27=7

1. Найдите площадь фигуры, заключенной между векторами, изображающими комплексные числа z₁=2-2i, z₂=1+3i и прямой, проходящей через точки А(2, -2), С(1, 3).

1. Даны четыре комплексных числа: z₁=3, z₂=-3, z₃=3i, z₄=-3i. Изобразите их точками комплексной плоскости, соединив эти точки, определите какая фигура будет изображена и найдите длины диагоналей этой фигуры.

Занятие №4.

ТЕМА: Тригонометрическая форма комплексного числа. Решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицателен.

Пусть комплексное число z=a+bi изображено в виде вектора r

r=z 

=argZ

с началом О(0, 0) и концом Z(a, b)( рис.1) Вектор ОZ можно задавать не только его координатами a и b, но также длиной r и углом , который он образует с положительным направлением оси абсцисс. При этом a=rcos, b=rsin и число z принимает вид z=r(cos+isin), который называется тригонометрической формой комплексного числа. Число r называют модулем комплексного z и обозначают z. Число  называют аргументом z и обозначают Arg z.

Определение 1: модулем комплексного числа z=a+bi называется длина вектора z, которую можно можно вычислить по формуле z =a² + b².

Обозначив модуль комплексного числа буквой r=z =a² + b².

Определение 2: аргументом комплексного числа z=a+bi называется угол , который образует вектор z с положительным направлением оси абсцисс, отсчитываемый против часовой стрелки.

Т.к cos, sin - функции периодические с периодом 2, то =+2k, где k- целое число.

Назовем главным аргументом  при k=0 и при составлении тригонометрической формы комплексного числа будем искать этот угол.

Из этих соотношений видим, что cos =a/r, sin =b/r, тогда

z=a+bi=rcos + irsin =r(cos +isin )-тригонометрическая форма

комплексного числа.

Задания.

1. Записать каждое комплексное число в тригонометрической форме:

z=1+i; z=-2+2i3; z= -3i; z=5; z=6i

Решение: z=1+i

a=1, b=1, r= z =1²+1²=2

cos =1/2=2/2

sin =1/2=2/2

=/4

z=1+i=2(cos/4+isin/4).

• z=-2+2i3

Решение:

а=-2, b=23

r=(-2)²+(23)²=16=4

cos = -1/2

sin =23/4=3/2

=2/3

z=-2+23=4(cos 2/3+isin 2/3)

Рассмотрим теперь решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом

1. Решить уравнение ²-6x+13=0

Решение:

D=b²-4ac=(-6)²-4113=36-52=-16

D=-16=16(-1)=4i

_1,2=(-bD)/2a

₁=(6-4i)/2=2(3-2i)/2=3-2i, ₂=(6+4i)/2=2(3+2i)/2=3+2i

Таким образом получаем, что если D<0 , то уравнение всегда имеет два решения в комплексных числах.

1. Решить уравнение²+3x+4=0;

2. Найти корни x₁ и x₂ уравнения 4²-20x+26=0;

Занятие №5.

ТЕМА: История открытия комплексных чисел. Целые гауссовы числа, как частный случай комплексных чисел.

Древнегреческие математики под числами понимали только натуральные числа.

Постепенно складывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел. В III веке Архимед разработал систему обозначения вплоть до такого громадного числа как 10^810.

Наряду с натуральными числами применяли дробные числа, составленные из целого числа с долей единицы. В практических расчетах дроби применялись за две тысячи лет до нашей эры в древнем Египте и древнем Вавилоне.

Долгое время полагали, что результат измерения всегда выражается или в виде натурального числа, или в виде отношения таких чисел, то есть дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что “элементы чисел являются элементами всех вещей и весь мир в целом является гармонией и числом.”

Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием, сделанным одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей недостаточно для того, чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1. Есть основания утверждать, что именно с этого открытия начинается эра теоретической математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощью опыта, не прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно.

Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел. Это было сделано китайскими математиками за два века до нашей эры. Отрицательные числа применял в III веке древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действия с ними, а в VII веке эти числа уже подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения величин. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения – положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя: нет такого числа х, чтобы х²= -9.

В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений вида (х³+px+q=0) появились кубические корни и квадратные корни:

^3(-q/2+(q²/4+p³/27))+ ^3(-q/2-(q²/4-p³/27))

Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень (х³+3х-4=0), а если оно имеет три действительных корня (х³-7х+6=0), то под знаком квадратного корня оказываются отрицательные числа. Получилось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

Вслед за тем, как были решены уравнений четвертой степени, математики усиленно искали формулу для решения уравнения пятой степени. Но Руффини (Италия) на рубеже XVIII и XIX веков доказал, что буквенное уравнение пятой степени (х⁵+ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0) нельзя решить алгебраически, точнее его корень нельзя выразить через буквенные величины a, b, c, d, e с помощью шести алгебраических действий (сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в степень, извлечение корня).

В 1830 году Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение, степень которого больше, чем четыре, нельзя решить алгебраически. Тем не менее всякое уравнение n-ой степени имеет (если рассматривать и комплексные числа) n корней, среди которых могут быть и равные.

В этом математически были убеждены ещё в XVII (основываясь на разборе многочисленных частных случаев), но лишь на рубеже XVIII и XIX веков упомянутая теорема была доказана Гауссом.

Итальянский алгебраист Джон Кардане в 1545 году предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений

х+y=10

xy=40

не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решение вида (х=5-15, y=5-15), нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что

-а-а=-а. Кардане называл такие величины “чисто отрицательные”, считая их бесполезными и старался не употреблять. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название “мнимые числа” ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века – Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа -1 (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу.

Термин “комплексные числа” так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т.д., образующих единое целое.

В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.

Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами.

На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-ой степени сначала из отрицательных, а затем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра (1707 год):

(cosj+isinj)ⁿ= cos(nj)+isin(nj)

С помощью этой формулы можно было вывести формулы для косинусов и синусов кратных дуг.

Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу: e^i= cosx+isinx,

которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число e в любую комплексную степень. Любопытно, например, что e^i=-1. Можно находить синус и косинус от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, то есть строить теорию функций комплексного переменного.

В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняет мнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Ещё раньше швейцарский математик Я. Бернулли применял комплексные числа для вычисления интегралов.

В течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т.д. Однако ещё не было строго логического обоснования теории этих чисел. Поэтому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающее характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами.

“Никто ведь не сомневался в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы иероглифы нелепых количеств” - Л. Харна.

В конце XVIII века, в начале XIX века было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изобразить комплексное число (z=a+bi) точкой М(a,b) на координатной плоскости. Позднее оказалось, что ещё удобней изображать число не самой точкой М(a,b), а ОМ – вектором, идущим в эту точку от начала координат. При таком истолковании сложению и вычитанию комплексных чисел соответствует эти же операции над векторами. Вектор ОМ можно задавать не только его координатами a и b, но также длиной r и углом , который он образует с положительным направлением оси абсцисс. При этом a=rcos, b=rsin и число z принимает вид z=r(cos+isin), который называется тригонометрической формой комплексного числа. Число r называют модулем комплексного z и обозначают z. Число  называют аргументом z и обозначают Arg z.

Заметим, что если z=0, значение Arg z не определено, а при z0 оно определено с точностью до кратного 2.

Упомянутая ранее формула Эйлера позволяет записать число z в виде

z=re^i (показательная форма комплексного числа).

Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия связанные с функцией комплексного переменного, расширило область их применения. Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются на векторной плоскости. Например:

при изучении течения жидкости;

задачи теории упругости.

Мы не будем уделять время на изучение всех приложений комплексных чисел, рассмотрим более подробно арифметику целых комплексных чисел, с которыми мы уже знакомы. Их еще будем называть целыми гауссовыми.

Принято считать, что арифметика предшествует алгебре, что это более элементарная часть математики. Между тем, арифметика, если ее понимать как учение о свойствах целых чисел и о действиях над ними, трудный и далеко не элементарный раздел математики. Рассмотрим, например, основную теорему арифметики. Эту теорему все хорошо знают и часто пользуются ею при арифметических вычислениях(например, при нахождении общего знаменателя дробей). Первую часть основной теоремы арифметики составляет утверждение о том, что каждое целое число может быть представимо в виде произведения простых чисел. Доказательство этого утверждения довольно просто. Труднее доказывается второе утверждение теоремы, которое в школьных учебниках считают очевидным.

Его можно сформулировать так: если некоторое число n разложимо двумя способами в произведение простых сомножителей

n=p_1p_2…..p_к=q_1 q_2….q_t, то эти разложения совпадают с точностью до порядка сомножителей, т.е оба они обладают одним и тем же числом сомножителей, k=t, и каждый сомножитель, встречающийся в первом разложении, встречается столько же раз во втором разложении.

Трудность с доказательством этого утверждения не случайна, а связана с глубокими свойствами арифметики целых чисел. Оказывается, что наряду с привычной арифметикой существуют многочисленные другие

“ арифметики”. В одних арифметиках утверждения основной теоремы справедливы, в других нет, причем не выполняется как раз утверждение об однозначности разложения.

Рассмотрим, например, множество четных чисел 2Z и покажем на простом примере, что в нем не выполняется утверждение об однозначности разложения. Очевидно, что в нем числа 10, 50 и 2 являются простыми, но для них выполняются следующие равенства: 100=1010=502. Таким образом, число 100 из множества 2Z имеет два различных разложения в произведение простых множителей. Мы же рассмотрим еще одну арифметику, в которой основная теорема выполняется- арифметику целых комплексных чисел.

Занятие №6.

ТЕМА: Целые гауссовы числа. Расположение целых гауссовых чисел на комплексной плоскости.

Определение 1: целым гауссовым числом называется комплексное число, действительная и мнимая части которого являются целыми рациональными числами, т.е. это комплексные z вида z = a+bi, где a и b – целые рациональные числа.

Определение 2: нормой целого гауссого числа z = a+bi называется неотрицательное целое рациональное число N (z) = a²+b².

Теперь рассмотрим как расположены целые гауссовы числа на комплексной плоскости (т.е. где определены действительная и мнимая оси).

Т.о. видим все точки с целочисленными координатами, лежащие в вершинах квадратов со стороной, равной 1 и будут являться изображением целых гауссовых чисел. Т.е. в отличие от целых рациональных чисел, которые располагаются на одной прямой, целые гауссовы числа создают решетку при нанесении их на комплексную плоскость.

Задания.

1) Среди комплексных чисел найдите целые и вычислите их нормы:

1. 147,3+(3/2)i

2. 2,5+7i

3. 3i

4. 5i+2

5. 147.3+(3/2)i

2)Доказать теорему 1: норма комплексных чисел мультипликативна, т.е. N (??) = N (?)N(?)

Задача 2:

Норма целого комплексного числа 1+ i равна 2, а целого комплексного числа 2+ i равна 5. Будет ли норма произведения этих чисел равна 10?

3)Доказать теорему 2: положительное целое рациональное число C является нормой некоторого целого гауссова числа тогда и только тогда, когда число С представимо в виде суммы квадратов двух целых чисел.

Задача 3:

Будет ли 9 являться нормой некоторого целого гауссова числа?

Решение: рассмотрим алгоритм, позволяющий представить целое рациональное число в виде суммы двух квадратов.

9=3, рассмотрим натуральные числа n 3. В данном примере такие числа 1, 2, 3. Возводим каждое такое число в квадрат и вычитаем этот результат из 9. Если находится такая разность, которая есть квадрат какого-либо натурального числа, то мы подобрали ту пару чисел, сумма квадратов которых и будет являться исходным числом.

9-1=8- не квадрат, 9-2=5- не квадрат.

Вывод- следуя алгоритму мы выяснили, что 9 не является нормой некоторого целого гауссова числа.

4)Выберите те положительные целые рациональные числа, которые являются нормой некоторых целых гауссовых чисел: 26; 16; 10; 13; 18; 7; 17; 61; 24; 29; 50

Замечание: норма целого гауссова числа всегда является натуральным числом.

Занятие №7

ТЕМА: Отношение делимости на множестве целых гауссовых чисел. Простые гауссовы числа.

Определение 1: будем говорить, что целое гауссово число ??0 делит целое гауссово число ? и записывать этот факт через ??? – если найдется целое гауссово число ? такое, что имеет место равенство: ?=??

Замечание: так как норма мультипликативна, то N(?)=N(?) N(?), и так как ??0, то N(?) ?0, то необходимым условием для ??? является делимость N(?)?N(?), где N(?), N(?) - целые рациональные числа.

Известно, что в случае целых рациональных чисел имеются только два числа, которые делят все целые числа: +1 и –1.

В случае целых гауссовых чисел таких числа четыре.

Опр: числа +1, -1, +i, -i называются делителями единицы.

Действительно: ?=?1 ?=(-i?)I

?=(-?)(-1) ?=(i?)(-i)

Определение 2: целое гауссово число ? не являющееся делителем единицы называется простым, если в любом его разложении ?=?? в произведение двух целых гауссовых чисел один из сомножителей является делителем единицы.

Теорема 1: Если р- норма целого гауссова числа ? является простым рациональным числом, то ? будет простым гауссовым числом.

Доказательство: пусть ?=a+bi – целое гауссово число и N(?)=p – простое рациональное число. Тогда если ?=??, то N(?)=p=N(?)N(?). Следовательно возможны два случая:

1. N(?)=p, N(?)=1, а значит ? – делитель единицы

2. N(?)=1, N(?)=p, а значит ? – делитель единицы

Таким образом, по определению 2, ? – простое гауссово число.

Теорема доказана.

Задания.

1. Выяснить, является ли ? делителем ? :

   1. ?=5-7i; ?=5+7i

   2. ?=1+i; ?=3i+1

   3. ?=2+i; ?=3i+1

   4. ?=3+7i; ?=19+25i

   5. ?=4-i; ?=19+25i

   6. ?=-5+i; ?=11i-3

2. Проверить для тех случаев, когда ??? из задания 1, выполняется ли условие, что если ???, то N(?)?N(?).

1. Среди указанных ниже гауссовых чисел выписать порстые гауссовы числа:

1. 3i+2, 4i+1, -2i+3, -4i-1, 5+5i;

2. -5i+6, 7i+1, 1+5i, -4+i, 3+2i;

3. -7-i, 13+i, 4-i, i-1, 2+3i;

Занятие №8

ТЕМА: НОД целых гауссовых чисел.

Определение 1: два целых гауссовых числа называются ассоциированными, если они отличаются друг от друга на сомножитель, равный делителю единицы.

Пример: ?, -?, i?, -i? – ассоциированные целые гауссовы числа, если ? – целое гауссово число.

Определение 2: общим делителем целых гауссовых чисел ?₁, …, ?_n называется целое гауссово число ?, такое что ???₁, …,???_n.

Определение 3: наибольшим общим делителем целых гауссовых чисел ?₁, …, ?_n называется целое гауссово число ?, такое что

1. ???₁, …, ???_n

2. Для любого другого ? общего делителя ?₁, …, ?_n верно ???.

Утверждение: примем без доказательства факт существования НОД у целых гауссовых чисел ? и ?, хотя бы одно из которых не равно 0, и его представление в виде линейной комбинации этих чисел.

Т.е. ?=??+??, ?=НОД (?, ?); ?, ? – целые гауссовы числа.

Определение 4: целые гауссовы числа ?, ? называются взаимно простыми, если их НОД ассоциирован с 1.

Воспользовавшись утверждением, получаем (?, ?)=1 тогда и только тогда, когда существуют ?, ? – целые гауссовы числа, что верно ??+??=1.

Лемма: если ? взаимно просто с ?₁ и ? взаимно просто с ?₂, то ? взаимно просто с ?1?2.

Доказательство: так как НОД (?, ?₁) ассоциирован с 1, то по критерию взаимной простоты найдутся такие числа ? и ?, что 1=??+??.

т.к. НОД (?, ?₂) ассоциирован с 1, то найдутся ? и ?, что 1= ??+??

Перемножая равенства имеем:

1=(??+??₁)(??+??₂)=?(???+???₁+???₂)+(??)(?₁?₂),

положим ?=???+???₁+???₂ и ?=??, тогда ? и ? – целые гауссовы числа и 1=??+?(?₁?₂), а это и показывает, что ? и ?₁?₂ взаимно простые числа.

Лемма доказана.

Следствие: если ? взаимно просто с числами ?₁, ?₂, …, ?_k, то ? взаимно просто с их произведением.

Доказательство: проведем методом математической индукции по числу сомножителей.

1. Если k=2, то утверждение совпадает с леммой

2. Допустим, утверждение доказано для числа сомножителей < k. Пусть теперь ? взаимно просто с ?₁, ?₂, …, ?_k, значит и с ?₁, ?2, …, ?_k-1. Тогда по предположению индукции ? взаимно просто с ?1?2…?_k-1 и по условию ? взаимно просто с ?_k, тогда по лемме ? взаимно просто с произведением ?1?2…?_k, что и требовалось доказать.

Теорема о делении с оcтатком: пусть ?, ? (??0) – два целых гауссовых числа, тогда существуют такие целые гауссовы числа ? и ?, причем N(?)

Занятие №9.

ТЕМА: Основная теорема арифметики в кольце гауссовых чисел. Основное свойство простого гауссого числа.

Основная теорема: всякое целое гауссово число ?, норма которого больше единицы, разложимо в произведение простых гауссовых чисел ?=?_12…?_k (?_i – простые гауссовы числа, не обязательно все различные), причем это разложение единственно с точностью до ассоциированности и порядка следования сомножителей.

Доказательство:

Существование разложения: индукция по норме числа ?

а) Если N(?)=2, то ?=1+i, где 1+i – простое гауссово число

б) Пусть N(?)=n, а для всех целых гауссовых чисел с меньшей нормой утверждение уже доказано. Тогда или ? – простое число и всё доказано, или ?=??, где N(?)

По предположению индукции, для ? и ? разложения существуют: ?=?₁*?₂*…*?_k и ?=?₁*?₂*…*?_l, тогда ?=?₁*…*?_k*?₁*…*?_l – разложение для ?.

Однозначность: индукция по норме числа ?.

а) Если N(?)=2, то ?=1+i, так как если ?=x+iy, то N(?)=x²+y², а это уравнение в целых числах х²+у²=2 имеет ровно 4 решения:

х=1, у=1; х=-1, у=-1; х=1, у=-1; х=-1, у=-1;

Эти решения соответствуют гауссовым числам 1+i, -1+i, 1-i, -1-i, которые являются ассоциированными.

б) Предположим, что доказанное свойство уже установлено для всех чисел ?, таких что N(?)1*?₂*…*?_s=?₁*?₂*…*?_t – это два разложения числа ? в произведение простых ?₁, ?₂, …, ?_s и ?₁, ?₂, …, ?_t соответственно.

Заметим, что число, ассоциированное с ?_s встречается среди простых чисел ?: ?₁, ?₂, …, ?_t. Если бы это было не так, т.е. ?_s не ассоциировано с ?_i, i=1, 2, …, t, то ?_s было бы взаимно просто со всеми числами ?_i, а значит и с произведением ?₁*?₂*…*?_t (по лемме), т.е. с числом ?.. Но это невозможно, т.к. ?_s??.

Итак, ?_s ассоциировано с каким-то из простых чисел ?₁, ?₂, …, ?_t. Можно считать, что ?_s ассоциировано с ?_t.

Получаем: ?=?₁*…*?_s-1*?_s=?₁*…*?_t-1*?_t, откуда

?=???_s=?₁*…*?_s-1=?₁*…*?_t-1.

Но N(?)1*…*?_s-1 и ?₁*…?_t-1 совпадают с точностью до порядка ассоциированности сомножителей. А так как ?_s=?_t, то это же верно и для последовательностей ?₁, …, ?_s и ?₁, …, ?_t.

Основная теорема арифметики целых гауссовых чисел доказана.

Основное свойство простого гауссова числа: если простое гауссово число ? делит произведение гауссовых чисел ? и ?, то ? делит ? или ? делит ?.

Доказательство: ????, следовательно N(?)?N(??), а значит N(??)>N(?)>2. Тогда по основной теореме, ?? обладает каноническим разложением. Делимость ???? означает, что ? входит в каноническое разложение ??, а каноническое разложение произведения есть произведение канонических разложений. Следовательно, ? входит в каноническое разложение ? или ?, т.е. ??? или ???, что и требовалось доказать.

Занятие №10.

ТЕМА: Алгоритм факторизации целого гауссова числа.

Лемма 1: всякое простое гауссово число является делителем простого рационального числа.

Доказательство: так как N(?)=??, то при каждом ??0 верно ??N(?). Пусть теперь ? – простое гауссово число. Тогда ??N(?).

N(?) – рациональное целое число, значит его можно представить как произведение простых рациональных чисел p₁*…*p_s. Тогда ??p₁*…*p_s, по основному свойству простого числа имеем: ??р_i

для некоторого i (i=1, 2, …, s). Следовательно, ? делит некоторое простое рациональное число.

Лемма 2: норма N(?) простого гауссова числа ? является или простым рациональным числом, или квадратом простого рационального числа.

Доказательство: по лемме 1 найдется простое рациональное р, такое, что ??р, т.е. р=??.

р²=N(p)=N(??)=N(?)*N(?)

N(?)*N(?)=p²

N(?)?1, т.к. ? – простое гауссово число.

Тогда возможны случаи:

1. N(?)=N(?)=p

2. N(?)=p², N(?)=1, что и требовалось доказать.

Утверждение: простое рациональное число р, отличное от 2, не является простым гауссовым числом тогда и только тогда, когда р имеет вид 4k+1.

1. Алгоритм для выяснения: является ли данное целое гауссово число ? простым.

1. 1.Вычислить N(?)

а) если N(?) – простое рациональное число, то ? – простое гауссово число

б) если N(?)=p², где р – простое рационального вида 4k+3, то ? – простое гауссово

в) во всех остальных случаях ? не является простым гауссовым числом.

1. Алгоритм факторизации гауссова числа:

1. вычислить N(?)

2. разложить N(?) в произведение простых рациональных чисел р_1…р_s

3. все р_i (i=1, 2, …, s) вида 4k+3 оставляем без изменений, а все p_j вида 4k+1 раскладываем в сумму двух квадратов: p_j=x²+y² и

   1. ? ассоциировано с x+yi

   2. ? ассоциировано с y+xi

4. считаем все возможные произведения полученных в каждом из случаев гауссовых чисел до тех пор, пока не получим число, ассоциированное со сходным числом ?.

Задания

1. факторизовать ?=7+4i.

N(?)=7²+4²=49+16=65=513

?=??, N(?)=5, N(?)=13

5 и 13 – числа вида 4k+1, разложимы в сумму двух квадратов: 5=2²+1² и 13=2²+3²

Возможны случаи: ? ассоциировано с 2+i или с 1+2i; ? ассоциировано с 3+2i или 3i+2.

а) ?'=1+2i, ?'=3+2i

Тогда ?'?'=(1+2i)(3+2i)=-1+8i – это число не ассоциировано с 7+4i

б) ?'=1+2i, ?'=2+3i

Тогда ?'?'=(1+2i)(2+3i)=-4+7i=i(7+4i)??'?'(-i)=7+4i

Возьмем ?=?'(-i)=2-i

Ответ: 7+4i=(2-i)(2+3i)

1. Разложить на простые множители ?=-12+6i.

N(?)=144+36=180=2^23^25

5 – число вида 4k+1? оно разложимо в сумму двух квадратов: 5=2²+1².

3 – число вида 4k+3?оно остается без изменений ?=????, где N(?)=N(?)=2, ?=3, N(?)=5

Возможны случаи: ? и ? ассоциированы с 1-i; ? ассоциировано с 2+i или 1+2i.

а) ?'=?'=1-i, ?'=2+i

Тогда ?'?'?'?'=-24-12i – не ассоциировано с –12+6i

б) ?'=1+i, ?'=1-i, ?'=1+2i

Тогда ?'?'?'?'=6+12i=(-i)(-12+6i) ? ?'?'?'?'i=-12+6i

Пусть ?= ?'i=(1+2i)i=-2+i

-12+6i=(1+i)(1-i)3(-2+i)

§3.Методические рекомендации по проведению факультативного курса “Арифметика комплексных чисел”.

Данный факультативный курс предназначен для изучения в старших классах средней школы, где уже существует определенная база знаний и сформулированы прочные навыки выполнения арифметических операций. Школьники знакомы с различными видами чисел, правилами выполнения возможных операций над ними, изучена теория делимости кольца целых рациональных чисел. Наличие же в данном возрасте более полного, глубокого, разностороннего мышления и возможности самостоятельно выделять общее и частное, благоприятствует восприятию этого факультативного курса.

Первые четыре занятия посвящены знакомству с самими комплексными числами, правилами выполнения действий над ними. Рассматривается тригонометрическая и алгебраическая форма записи комплексных чисел. Целесообразно при объяснении нового материала пользоваться слайдами или плакатами.(см.Приложения).

Если класс с углубленным изучением естественно-математических дисциплин, то материал первых четырех занятий можно только повторить, а потом задать вопросы, чтобы проверить уровень усвоения материала.

Так, например ответы на вопросы:

1. Можно ли назвать число –7i противоположным числу 7i?

2. Какое множество образует пересечение множества всех действительных чисел с множеством всех мнимых?

3. Как изображается комплексное число на координатной плоскости?

покажут уровень усвоения материала и помогут выбрать учителю оптимальный темп каждого урока.

Возможность по-разному формулировать задания способствует сообразительности и находчивости учащихся.

Опираясь на знания полученные при изучении математики и учитывая возраст учащихся, многие вычислительные задания можно предложить школьникам попробовать выполнить самостоятельно, в случае неудачи, учитель дает подсказку.

Изучение “традиционной части ” позволяет повторить и закрепить материал программного содержания.

Так например, при рассмотрении тригонометрической формы записи комплексного числа учитель имеет возможность вспомнить с учащимися определения тригонометрических функций, их основные свойства, связь с геометрией, а также повторить тригонометрические формулы, которые вызывают затруднения при запоминании.

Основные понятия этого блока : комплексные числа и действия над ними, число i, мнимые числа, действительные числа, как часть множества комплексных чисел.

Главная методическая особенность состоит в том, что комплексные числа определяются как формальные выражения a+bi, где a и b действительные числа. Говорим о формальных выражениях, не приписывая никакого смысла знакам + и i, при помощи которых они составляются.

Эти выражения являются совершенно новыми объектами, и с самого начала надо договориться о том, какие из них считать равными и определять действия над ними. Завершая рассказ о действиях над комплексными числами следует подчеркнуть, что четыре основных действия(сложение, вычитание, умножение и деление) обладают теми же свойствами, что и действия над действительными числами.

Рассматривая выражение вида a+0i, можно убедиться, что их арифметика совпадает с арифметикой действительных чисел. В самом деле, вычисляя сумму и произведение чисел z₁= a+0i и z₂=с+0i, получим (a+0i)+(с+0i)=(a+c)+0i и (a+0i)( с+0i)=ас+0i, откуда видно, что сумме чисел z₁₊ z₂ соответствует сумма действительных чисел а+с, произведению z_1* z₂ произведение ас.

Поскольку соответствие между комплексными числами вида a+0i и действительными числами взаимно-однозначно, то можно число a+0i считать раным соответствующему ему действительному числу а.

В результате такого отождествления множество действительных чисел становиться частью множества комплексных чисел.

Обозначив комплексное число 0+1i через i и , убедившись в том, что число 0+bi можно истолковать как произведение действительного числа b и числа i, получаем возможность рассматривать любое комплексное число как сумму комплексного числа а= a+0i и произведения комплексных чисел b=b+0i и i=0+1i.

А так как i²=(0+1i)( 0+1i)= -1+0i = -1, то полезно подчеркнуть, что при выполнении действий над комплексными числами нет надобности помнить формальные определения, а можно действовать как в случае с обычными выражениями с переменными, заменяя i² на –1.

При изучении геометрического изображения комплексного числа с помощью точки плоскости важно подчеркнуть, что не только комплексному числу z=a+bi ставится в соответствие точка(a, b) координатной плоскости, но и всякая точка плоскости является образом некоторого комплексного числа, т.е. соответствие между точками плоскости и комплексными числами является взаимно-однозначным. Принято термином “комплексная плоскость” обозначать координатную плоскость, каждой точке которой поставлено в соответствие комплексное число.

Геометрическое изображение комплексных чисел в виде векторов позволяет сразу же дать геометрическую интерпретацию сложения и вычитания комплексных чисел.

Модуль комплексного числа есть расстояние от точки Z до точки О, или длина вектора ОZ. Таким образом для z=a+bi , z=a²+b² .

Здесь полезно заметить, что для действительных чисел а= a+0i модуль равен а=a²+0² ,т.е совпадает с привычным понятием модуля действительного числа и является расстоянием от точки числовой прямой до начала отсчета.

Главным аргументом argZ комплексного числа z называется угол между положительным направлением оси абсцисс и направлением на точку, изображающую данное число, отсчитываемый против часовой стрелки. Таким образом, в силу этого определения 0argZ2.

Встречается и другое определение главного аргумента, при котором оказывается -

Произвольный аргумент комплексного числа z- это любое из целых чисел вида argZ+2k, где k принадлежит множеству целых. Введение общего понятия аргумента связано с тем, что в целом ряде случаев понятие главного аргумента оказывается неудобным(например при перемножении комплексных чисел, сумма главных аргументов которых больше 2).

Тригонометрическая форма комплексного числа понимается как запись вида z=r(cos+isin), где r=z, а -главный аргумент этого числа.

Любое комплексное число z0 может быть записано в тригонометрической форме. Число 0 не имеет аргумента и, следовательно, тригонометрической формы.

Занятие №5 целесообразно провести в форме лекции. С одной стороны такая форма проведения урока служит хорошей психологической подготовкой к занятиям в ВУЗе, а с другой – материал об истории открытия комплексных чисел подведет итог первоначального знакомства с ними и позволит плавно перейти к частному случаю комплексных чисел-целым гауссовым числам. К тому же присутствие исторического материала открывает учащимся другой взгляд на математику, как на развивающуюся науку, в которой ведется интенсивный поиск новых закономерностей и новых методов решения задач, поставленных несколько столетий назад.

После изучения “традиционной части” начинается построение арифметики целых гауссовых чисел. Этому посвящены занятия 6,7,8,9,10.

В нескольких теоремах этого блока доказательства ведутся методом математической индукции.Чтобы в дальнейшем не сосредотачивать внимание на этом методе целесообразнее будет ввести его до перехода к изучению арифметики гауссовых чисел.

Метод математической индукции является одним из высокоэффективных методов поиска новых результатов и доказательства истинности выдвинутых предположений.

Хотя этот метод в математике не нов, но интерес исследователей к нему возрос в связи с развитием дискретной математики. Вряд ли удастся найти какую-нибудь серьезную книгу по дискретной математике, в которой не использовался бы метод математической индукции.

Встречаются разные формы и виды математической индукции, нам будет достаточно одной.

Рассматривается какое-либо подлежащее доказательству свойство бесконечной последовательности математических объектов. Для метода математическойц индукции безразлична природа этих объектов. Они могут быть геометрическими, теоретико-числовыми и т.д.

Преподавателю нужно учитывать, что не всегда тот факт, который учащимся предстоит доказывать, выглядит для них естественным.

А положение, представлляющееся искусственным, не наглядным, вызывает у многих учащихся чувство внутреннего сопротивления, что препятствует усвоению данной темы.

Относительно связи метода математической индукции со шеольной математикой можно сказать, что она вполне может стать столь же тесной, как и в так называемой высшей математике. Надо только умело использовать этот метод, рассредоточив его применение по всему курсу школьной математики. Тем самым упрощаются доказательства многих рассуждений или появляется возможность посмотреть на одни и те же факты и явления с разных сторон. Нельзя упускать из виду следующую особенность метода математической индукции. Метод математической индукции оказывается применимым к широкому кругу задач, относящихся к различным разделам математики, граничных со школьными(задачи из теории чисел, применения формулы Эйлера, начала теории графов и т.д).

Таким образом, владение этим методом рассуждения значительно расширяет возможности учащихся.

Перейдем теперь к построению арифметики кольца целых гауссовых чисел. Хорошо замечено Л.А.Калужниным:

“…суть состоит в том, что и школьная арифметика и высшая арифметика относятся к одной и той же области знания. Было бы полезно, если бы школьники старших классов, имеющие склонность к математике, углубляли тот набор знаний, который они приобрели в младших классах. Такое углубление необходимо, впрочем, и для того, чтобы в дальнейшем познакомиться с высшей арифметикой.”

Целые комплексные числа являются естественным обобщением целых рациональных чисел. Важно также заметить, что связь между областями гауссовых чисел и целых гауссовых чисел аналогична связи между рациональными числами и целыми рациональными числами. Всякое рациональное число является комплексным(мнимая часть равна нулю) и всякое целое рациональное число является целым комплексным(гауссовым) числом.

Для дальнейшего полезно представить расположение целых гауссовых чисел на комплексной плоскости. Они представляются точками с целочисленными координатами, в вершинах сетки квадратов со стороной равной 1, покрывающей комплексную плоскость.

Следует обратить внимание, что геометрически модуль комплексного числа-это расстояние соответствующей точки на комплексной плоскости от начала координат.

Как и в кольце целых рациональных чисел, так и в кольце целых гауссовых чисел основной интерес представляет вопрос делимости. В случае целых рациональных чисел имеются только два числа, которые делят все целые числа: +1 и –1.

В случае целых гауссовых таких числа четыре: +1, -1, +i, -i.

Других чисел с данными свойствами среди целых гауссовых чисел нет. Можно предложить учащимся доказать этот факт самостоятельно.

Действительно, если некоторое целое гауссово число  делит все целые гауссовы числа, то оно, в частности, должно делить число 1(поэтому такие числа называются делителями единицы).

Из N() следует, что N()=1. Если =x+yi, то x²+y²=1.

Очевидно это уравнение имеет в целых рациональных числах в точности четыре решения:

х=1, у=0; х=0, у=1; х=0, у=-1; х=-1, у=0.

Эти четыре решения как раз и соответствуют целым гауссовым числам +1, -1, i, -i.

Далее для целых гауссовых чисел, аналогично тому, как это делалось для целых рациональных чисел определяются понятия общего делителя, наибольшего общего делителя, взаимно простых и простых чисел.

Первые три понятия трактуются дословно как и в случае целых рациональных чисел. Но на определении простого гауссова числа нужно остановиться поподробнее. Иначе, данное определение простого гауссова числа можно преподнести следующим образом:

простое гауссово число - это такое целое гауссово число норма которого больше единицы и которое не разложимо в произведение двух целых гауссовых чисел, нормы которых меньше, чем норма числа .

После введения этого определения учитель может предложить каждому ученику составить по одному примеру простого числа.

Следует обратить внимание учащихся на понятие ассоциированности целых гауссовых чисел. Оно вводится для того, чтобы можно было компактнее сформулировать само утверждение об однозначности разложения.

Доказательство утверждения можно вести по пути установления свойств наибольшего общего делителя и свойств взаимно простых чисел в кольце целых гауссовых чисел.

Ключом всего доказательства является утверждение о возможности деления с остатком в кольце целых гауссовых чисел, которую можно сформулировать без доказательства.

Далее займемся описанием множества простых гауссовых чисел. Здесь целесообразно рассмотреть несколько вспомогательных утверждений. Важно обратить внимание, на то, что простое рациональное число является всегда целым гауссовым числом, но как гауссово число оно не обязательно простое, а может делиться на целые гауссовы числа с меньшей нормой.

Так, например, число 2-простое, если его рассматривать как целое рациональное число, но оно не будет являться простым, если его рассматривать, как целое гауссово число.

Действительно, в области целых гауссовых чисел 2 допускает разложение 2=(1+i)(1-i) и ни один из сомножителей 1+i и 1-i не является делителем единицы.

Очевидно, что и 5 не является простым в кольце гауссовых чисел , так как 5=(2+i)(2-i).

Можно также показать, что все простые числа вида 4n+1 представимы в виде суммы двух квадратов, т.е. являются нормами целых гауссовых чисел, а поэтому не являются простыми гауссовыми числами и, следовательно принадлежат к классу тех простых рациональных чисел, которые разложимы в произведение двух комплексно-сопряженных простых гауссовых чисел. Доказательство этого утверждения основано на теории сравнений, поэтому для школьников оно будет слишком абстрактным и весьма объемным. Поэтому целесообразнее было бы предложить им алгоритм, при помощи которого можно разложить число вида 4n+1 в сумму двух квадратов.

Предполагая известным, что все простые числа вида 4n+1 представимы в виде суммы двух квадратов, можно установить, каковы все целые рациональные числа, представимые в виде суммы двух квадратов.

Поэтому при составлении алгоритмов для выяснения простоты целого гауссова числа  и для алгоритма факторизации целого гауссова числа можно ввести следующий критерий представимости целого рационального числа в виде суммы двух квадратов:

Для того, чтобы целое рациональное число было представимо в виде суммы двух квадратов, необходимо и достаточно, чтобы простые числа вида 4n+3 входили в разложение этого числа на простые множители в четных степенях.

Имея в запасе достаточное количество знаний можно заняться доказательством основной теоремы арифметики в кольце гауссовых чисел. Особое внимание следует обратить на однозначность. Существеннную роль здесь играет ассоциированность, определение которой было дано ранее.

На последнем занятии данного факультативного курса важно отработать алгоритм для выяснения простоты целого гауссова числа.

Навыки, полученные при этом, пригодятся при выяснении простоты произвольного целого гауссова числа.

Заканчивается факультативный курс алгоритмом факторизации целого гауссова числа. Необходимо прорешать достаточно примеров, чтобы прочно освоить такой метод разложения целых комплексных чисел на простые множители. В результате проведения 10 занятий главные цели факультативного курса будут достигнуты:

• Построена арифметика целых комплексных чисел.

• Выявлен ряд свойств целых комплексных чисел.

• Доказана однозначность разложения на простые множители.

• Построен алгоритм факторизации.

Однако для того, чтобы у старшеклассников не сложилось впечатления, что во всех арифметиках имеет место теорема об однозначности разложения на простые множители, целесообразно было бы привести пример “арифметики”, гда основная теорема не выполняется.

Будем рассматривать комплексные числа вида =х+у-5, где х и у-целые рациональные числа.

Легко проверить, что сумма, разность и произведение чисел вида =х+у-5 опять являются числами этого же вида. Обозначив совокупность всех этих чисел через Г. Очевидно, что Г содержит все целые рациональные числа (при у=0).

Так же как в случаях целых рациональных и целых гауссовых чисел, можно говорить о делимости в Г:

 делит  , если  опять число из Г, т.е. представимо в виде

= х+у-5.

Как и в случае целых гауссовых чисел, в вопросе о делимости важную роль играют нормы чисел из Г:

N()=N(х+у-5)=( х+у-5)( х-у-5)=x²+5y² .

Так же как и в случае целых гауссовых чисел, естесственно вводится понятие делителей единицы и определение простых чисел.

В отношении делителей единицы дело обстоит здесь даже проще, чем для целых гауссовых чисел.

Делителями единицы здесь являются только +1, -1.

Действительно, для делителей единицы должно выполняться условие N()=x²+5y²=1, но это уравнение имеет решения х= 1, у=0.

Факт о существовании представления каждого числа из Г в виде произведения простых чисел доказывается индукцией по норме также, как и в случае целых гауссовых чисел. А вот утверждение об однозначности такого разложения здесь уже неверно.

Пример:

Покажем сначала, что 2=2+0-5, 3=3+0-5, 1+-5, 1--5 –простые числа в Г.

Действительно, N(2)=4, N(3)=9, N(1+-5)=N(1--5)=6.

Если бы одно из этих чисел не было простым в Г, то оно могло бы делиться только на некоторое число = х+у-5, для которого

N()=N(х+у-5)=x²+5y²=2 или N()=N(х+у-5)=x²+5y²=3.

Но таких чисел в Г нет, т.к. очевидно, что уравнения x²+5y²=2 и x²+5y²=3 не имеют целочисленных решений.

Значит указанные четыре числа- простые в Г.

Тогда 6=23=(1+-5) (1--5) различные разложения 6 на простые множители.

Таким образом, на протяжении всего курса должна вестись целенаправленная и систематическая работа не только по усвоению нового материала и общему развитию учащихся, но и, прежде всего, по развитию их логического мышления. Это и работа с новыми математическими объектами, выявлению их логической структуры; обучение школьников возможным приемам доказательств и рассуждений.

§4.Экспериментальная проверка.

Экспериментальная проверка предложенного в работе факультативного курса проводилась в школе- гимназии №4 г.Подольска в 11-ом математическом классе исостояла из 3-х этапов. На пепрвом этапе был проведен констатирующий эксперимент, во время которого изучались знания, умения и навыки учащихся, приобретенные ими в процессе изучения темы “комплексные числа” в школьном курсе математики.

Так, например, неправильные ответы на вопросы:

1. Какие множества образует

1. Объединение множества всех действительных чисел с множеством всех комплексных чисел;

2. Пересечение множества всех действительных чисел с множеством всех мнимых;

3. Пересечение множества всех действительных чисел и множества всех комплексных чисел?

1. Можно ли назвать число -2i

1. Противоположным числу 2i ;

2. Отрицательным ;

3. Сопряженным числу 2i ;

позволили судить о недостаточно глубоком уровне усвоения материала и требует повторного рассмотрения основных понятий и теорем.

Результаты констатирующего эксперимента позволили сделать следующие выводы:

• У учащихся 11 классов понятие комплексного числа интуитивное, не имеет прочной теоретической основы.

• Действия с комплексными числами в тригонометрической форме и применение комплексных чисел к доказательству тождеств нередко вызывают у учащихся затруднения, что приводит к потере интереса при дальнейшем углублении этой темы.

Сделанные выводы определили цель второгоэтапа эксперимента- поискового. Целью поискового эксперимента являлось выявление такого содержания занятий, которое будет направлено на расширение представления арифметики целых комплексных чисел, а также на определение оптимальных условий проведения занятий.

Здесь решались следующие задачи:

1. Отработка факультативного курса “Арифметика комплексных чисел”, отвечающего за повышение уровня знаний и развития математической культуры учащихся.

2. Проверка доступности отобранного материала.

3. Проверка эффективности методики преподавания факультативного курса.

На 3-ем обучающем этапе были проведены 7 уроков. Поскольку “традиционная часть” темы комплексных чисел входит в программный материал классов с углубленным изучением физико-математических дисциплин, то курс начинался с кратких исторических сведений об открытии комплексных чисел. Далее были проведены 6 занятий посвященные возможности изучения арифметики на множестве целых гауссовых чисел. В эксперименте участвовало 14 человек.

По окончанию проведения курса всем участникам были выданы карточки с индивидуальными заданиями. Анализ приведенных результатов показал, что вопросы, разработанные на занятиях, хорошо усваиваются учащимися. Проверка этих работ позволила сделать следующие выводы:

• Благодаря ранее изученной арифметике натуральных чисел, арифметика комплексных чисел, как арифметика новых объектов, усваивается старшеклассниками хорошо.

• Наличие интереса к изучаемой теме положительно влияет на сам процесс обучения и на уровень усвоения знаний.

• Знания по делимости и по комплексным числам, которые были изучены как две разные темы школьного курса математики в результате своего объединения дали возможность построить новую арифметику и познакомиться с ее свойствами.

Заключение.

В ходе теоретического и экспериментального исследования на тему "Арифметика комплексных чисел" (факультативный курс для учащихся старших классов средней школы) были получены следующие результаты:

1. Проведен анализ учебных пособий, содержащих материал по комплексным числам. Анализ показал, что учебник для классов с углубленным изучением дисциплин естественно-математического цикла тема "Комплексные числа" указана как обязательная для изучения, а пособия для факультативов по данной теме сохранили свой прежний материал, т.е. не учтен уже изученный материал. Приложения комплексных чисел часто касаются функции комплексной переменной, геометрических преобразований, решений алгебраических уравнений. Теория делимости целых комплексных чисел затронута в пособии [14],е и замечено, что школьная арифметика и высшая арифметика относятся к одной и той же области знаний.

1. Исходя из психолого-педагогических особенностей учащихся старших классов, разработан и практически реализован факультативный курс для учащихся старших классов "Арифметика комплексных чисел", позволяющий продемонстрировать наличие других арифметик, кроме арифметики, изучаемой в школьном курсе, а также выполнение в гауссовом кольце основной теоремы арифметики об однозначности разложения на простые множители

1. Обоснована целесообразность изучения школьной арифметики на новых объектах в старших классах средней школы. Это способствует повышению уровня знаний, умений и навыков во многих других разделов школьного курса, позволяет привести в систему те разрозненные знания, которые были изучены старшеклассниками ранее.

Литература.

1. Абрамов А.М., Виленкин Н.Я., Дорофеев Г.В. и другие. Избранные вопросы математики; 10 класс. Факультативный курс. – М.: Просвещение, 1980 г.

2. Андронов И.К. Математика действительных и комплексных чисел. – М.: Просвещение, 1975 г.

3. Андронов И.К. Факультативные курсы по математике в средней школе. Выпуск 1 – М.: 1974 г., Выпуск 2 – М.: 1975 г.

4. Андронов И.К., Брадис В.М. Арифметика: пособие для средней школы. – М.: Учпедгиз, 1962 г.

5. Андронов И.К., Окунев А.К. Арифметика рациональных чисел. – М.: просвещение, 1971 г.

6. Антипов И.Н., Березин В.Н., Егоров А.А. и другие. Избранные вопросы математики. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1983 г.

7. Архангельская В.М. Элементарная теория чисел: учебное пособие. Издательство саратовского университета, 1962 г.

8. Балк М.Б., Балк Г.Д. Математический факультатив – вчера, сегодня, завтра. // Математика в школе. – М.: 1987 г.

9. Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике. Учебное пособие для техникумов. – М.: Высшая школа, 1973 г.

10. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Уч.пособие для учащихся школ и классов с углубленным изуч.математики. – М.: Просвещение, 1993 г.

11. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.:Физмат, 1963 г.

12. Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в современном мире. – М.: Просвещение, 1985 г.

13. Гнеденко Б.В., Черкасов Р.С. О преподавании математики в предстоящем тысячелетии. // Математика в школе. – М.: 1996 г.

14. Захарова А.В. Психология обучения старшеклассников. – М.: Знание,

15. Иванов А.П., Кондаков В.М. Математика.- Пермь: из-во Перм.ун-та, 1994 г.

16. Избранные вопросы факультативных и внеклассных занятий по математике./Под ред. В.А.Жарова – Ярославль, 1971 г.

17. Калужнин Л.А. Основная теорема арифметики. – М.: Наука, 1969 г.

18. Кон И.С. Психология юношеского возраста. Учебное пособие для студентов педагогических институтов. – М.: Просвещение, 1979 г.

19. Корешкова Т.А. Научно-методические основы взаимосвязи математических курсов педвузов и школьных дисциплин. – М.: 1991 г.

20. Крутецкий В.А., Лукин Н.С. Очерки психологии старшего школьника. – М.: Учпедгиз, 1963 г.

21. Крутецкий Р.О., Фадеев Д.К. Алгебра и арифметика комплексных чисел: Пособие для учителей средних школ. – Л.: Учпедгиз, ленинградское отделение, 1939 г.

22. Липилина В.В. Пути осуществления преемственности факультативного и основного курсов математики. Автореферат диссертации. – М.: 1988 г.

23. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л.Математика: Учеб.пособие для техникумов.- М.: Высшая школа, 1991 г.

24. Менчинская Н.А. Психология обучения арифметике. – М.:Учпедгиз, 1955 г.

25. Менчинская Н.А., Моро М.И. Вопросы методики и психологии обучения арифметики в начальных классах. - М.: Просвещение, 1965 г.

26. Ольшанский Д.В. Я сам (очерки становления и развития детского “Я”). – М.: Знание, 1986 г.

27. Петрова Е.С. Организация познавательной деятельности учащихся старших классов средней школы в условиях углубленного изучения математики. – Саратов, 1991 г.

28. Пидкасистый П.И. Самостоятельная познавательная деятельность школьников в обучении. – М.: Педагогика, 1980 г.

29. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегрированное исчисление для вузов. – М.: Физмат, 1963 г.

30. Под ред. Петровского А.В. Возрастная и педагогическая психология. – М.: Просвещение, 1973 г.

31. Под редакцией Петровского А.В. Возрастная и педагогическая психология. Учебное пособие для педагогических институтов. – М.: Просвещение, 1973 г.

32. Симонов А.Я., Бакаев Д.С. и другие. Система тренировочных задач и упражнений по математике. – М.: Просвещение, 1991 г.

33. Симоновская Г.А. Факультативный курс “Комплексные числа и их приложения” для старших классов средней школы. Диссертация. –

34. Скобелев Г.Н. Контроль на уроках математики. Пособие для учителя. – Минск: Народная асвета, 1986 г.

35. Фатеева Г.И. Факультативные занятия и их роль в развитии познавательных интересов учащихся. Диссертация. – М.: 1974 г.

36. Фридман Л.В., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: книга для учащихся старших классов средней школы. – М.: Просвещение, 1989 г.

37. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математики в школе: Учителю математики о педагогической психологии. –

38. Чередов И.М. Формы учебной работы в средней школе: Книга для учителя. – М.: Просвещение, 1988 г.

39. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Решение задач: Учебное пособие для десятых классов общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 1994 г.

40. Яглом И.М. Комплексные числа. – М.: Физматгиз, 1963 г.