Шпенглер сказал, что не существует универсального стиля математического мышления (универсальной математики), поскольку не существует универсальной общечеловеческой культуры. В разные эпохи и у разных народов математика отличалась настолько сильно, что перед нами, в некотором смысле, различные культурные феномены (например, математика античная и математика нововременная). Другой важный тезис Шпенглера состоит в том, что существует теснейшая взаимосвязь между разнообразными сторонами жизни данного культурного организма: античная математика глубочайшим образом связана с античными мифологией, религией, искусством, архитектурой, организацией общественной жизни и т.д., а нововременная математика - с соответствующими сторонами нововременной культуры. При этом очевидно, что древние цивилизации (египтяне, шумеры, инки, майя, греки, римляне) достигли своего культурного величия благодаря развитию наук, толчком для которого была развитая математика. Однако нельзя утверждать, что математика породила их культуру, скорее наоборот.
КУЛЬТУРНАЯ роль математики состоит, в частности, в том, что повышение общематематической культуры естественным образом, в соответствии с функциями математики, содействует повышению и профессиональной и общей культуры (мышления, поведения, выбора).
Математика - это своего рода особая культура и искусство формализации знаний.
"Если поручить двум людям, один из которых математик, выполнение любой незнакомой работы, то результат всегда будет следующим: математик сделает ее лучше" (Д.Юнг).
Математика входит в мировую культуру и своим этическим аспектом. Наличие такового у математики может показаться странным. Он, однако, есть. Математика не допускает лжи. Она требует, чтобы утверждения не просто провозглашались, но и доказывались. Она учит задавать вопросы и не бояться непонимания ответов. Она по природе демократична: её демократизм обусловлен характером математических истин. Их непреложность не зависит от того, кто их провозглашает, академик или школьник. Эстетическая роль математики (эстетика - наука о прекрасном) состоит, в частности, в том, что она сводит разрозненные элементы и связи системы в целостную композицию, обладающую эстетическими качествами (красота, обаяние, цвет, форма, пропорция, симметрия, гармония, единство частей целого, удовольствие и др.).
Математика имеет репутацию самой отвлеченной науки. В то же время никто не смеет считать ее бесполезной наукой, наоборот — эта самая нужная наука. И вот получается, казалось бы, противоречивое положение: с одной стороны — самая отвлеченная и оторванная от жизни наука, а с другой стороны – самая нужная наука.
Как же влияет математика на человеческую культуру? Это влияние так же многосторонне, как и сама человеческая культура. Это связано с тем, что человеческая культура представляет собой не только абстрактные знания, не только искусство, не только художественную литературу. В сокровищницу человеческой культуры входит и математика, в частности — прикладная математика. Трудно себе представить культуру нашего времени, в которой не существовало бы разработанной техники математических вычислений. Эта техника математических вычислений входит, например, в современную медицину и в языкознание в полном объеме. Как же можно ее не включать в человеческую культуру!
Стоит остановиться на следующем вопросе: как математика действует на развитие человеческой личности? Вопрос этот уместен, потому что математика является учебным предметом, которому придается чрезвычайно большое значение на всех ступенях общего образования. И в алгебре, и в геометрии школьники обучаются тому, что я мог бы назвать техникой человеческого мышления. Ну, а можно сказать просто: мышлению. Потому что нигде, может быть, человеческое мышление не выступает с такой силой и с такой яркостью, как в математике. Это во все времена признавалось всеми крупными мыслителями. Недаром Платон на входе в свою Академию, которая должна была объединять все формы человеческой культуры, человеческого творчества, написал: «Пусть не войдет сюда никто, не знающий геометрии». Платон считал, что геометрия — основная ступень на пути к философскому мышлению. Сейчас мы не говорим о геометрии с такой категоричностью. Вероятно, существует много различных путей, вводящих в храм человеческой мысли. Но что математике, несомненно, принадлежит одно из важнейших мест в развитии человеческого ума и человеческого творчества, представляется совершенно бесспорным.
Но это лишь одна сторона влияния математики на формирование человеческой личности. Имеется и другая сторона.
Считается, что математические утверждения никогда не были и не бывают дискуссионными. В этом состоит совершенно особое положение математики в ряду других теоретических наук. Никому не приходит в голову спросить, верна ли такая-то математическая теорема.
Правда, самим-то математикам это приходит в голову, потому что понятие математической истины не так просто и не так однозначно, как мы привыкли это считать, опираясь на школьную математику. Когда мы приходим к высшим главам математики, мы видим, что там тоже все начинает колебаться, и там тоже возникает вопрос о спорности тех или иных истин, кажущихся совершенно бесспорными в других областях человеческого знания. Например, существует закон исключенного третьего: из утверждений А и (не А) верно одно и только одно: либо утверждение А, либо его отрицание; ничего третьего не дано. Так вот в математике и этот, казалось бы основной, устой всякого познания подвергается сомнению. В математике много можно говорить о законе исключенного третьего, и вопрос о применимости этого закона — одна из больших математических проблем. Здесь ясно прослеживается связь с философией и её извечными проблемами.
Так что все это гораздо сложнее и интереснее, чем кажется с первого взгляда. В математике много бесспорного, много и спорного. Другими словами, математика не является, так сказать, законченной формой человеческого мышления. Это — человеческая мысль, находящаяся еще в стадии исканий, причем исканий, относящихся к самым принципиальным, к самым важным и к самым трудным сторонам мыслительной деятельности.
Первое, что нам следует понять — то, что математика есть искусство. Различие между математикой и другими искусствами, такими, как музыка или рисование, состоит в том, что наша культура не признает ее искусством. Все понимают, что поэты и музыканты создают произведения искусства, выражая себя в слове, картине и звуке. Наше общество, можно сказать, щедро на признание искусством области творчества: архитекторы, шеф-повара и даже телеведущие признаются людьми искусства. Так почему же не математики?
Часть проблемы в том, что ни у кого в обществе нет даже приблизительного понятия о том, что же делают математики. Общее понимание, похоже, таково, будто математика как-то связана с естественными науками: математики помогают ученым своими формулами, или вычисляют огромные числа на компьютерах для той или иной научной задачи. Без сомнения, если бы потребовалось поделить мир на «поэтических мечтателей» и «рациональных мыслителей», большинство людей определило бы математиков в последнюю категорию.
Тем не менее, нет ничего на свете столь же мечтательного и поэтичного, столь же радикального, взрывного и психоделичного, как математика. Она настолько же умопомрачительна, как физика или космология (в конце концов, математики мыслили о черных дырах задолго до того, как астрономы открыли их), и гораздо свободнее в выразительных средствах, чем поэзия, живопись или музыка (ибо они зависимы от свойств материальной Вселенной). Математика — чистейшее из искусств, и самое непонятое из них.
Позвольте мне объяснить, что такое математика и чем занимаются математики. Я не найду лучшего описания, чем то, что дает Г. Г. Харди:
Математик, как и художник и поэт, создает узоры. И если его узоры долговечнее, то это потому что они сотканы из идей.
Значит, математики сидят и ткут узоры из идей. Какие узоры? Из каких идей? Идеи о носорогах? Нет, оставим их биологам. Идеи о культуре и языке? Обычно нет. Эти вещи слишком сложны на вкус математика. Если мы должны найти объединяющий эстетический принцип математики, то он будет таков: простое — прекрасно. Математикам нравится думать о простых вещах, и самые простые вещи — воображаемые.
Большая культурная проблема — чудовище, раскармливающее само себя: ученики узнают о математике от учителей, а учителя — от своих учителей, и непонимание и неприятие математики нашей культурой поддерживается бесконечно. Хуже того, бесконечная поддержка этой псевдоматематики с упором на точную, но неосмысленную манипуляцию с символами, создает свою культуру со своими ценностями. Адепты ее получают громадную самооценку от своих успехов. Меньше всего они хотят слышать о том, что математика в первую очередь — чистые творчество и эстетика. Многие выпускники университетов, которым десяток лет говорили, что у них талант к математике, с ужасом осознают, что к настоящей математике у них нет никакого таланта, и что на самом деле их талант следовать указаниям, и только. А математика — это не следование указателям, это расстановка указателей.