Рассуждения о размерности Вселенной

План.

1. Введение

2. Рассуждая абстрактно.

3. Ближе к реальности.

4. Как взаимодействуют “взаимодействующие галактики”?

5. Самый темный вопрос – о темной материи.

6. Каков возраст Вселенной? Конечен ли он?

7. Элементы маломерия в стиле Ньютона.

8. В стиле Эйнштейна и Фридмана-Робертсона-Уокера.

1.Введение.

Мы уже привыкли, что пространство и время в физике мало соответствуют нашим наглядным представлениям. Пока еще привычным остается представление о существовании в природе объектов нецелочисленной размерности, фрактальных. Фрактальность уже нашла применение в физике и астрономии. Но можно пойти дальше и применить понятие фрактальности к самому пространству. Оказывается, что при этом можно разрешить некоторые астрономические проблемы, которые долго остаются без удовлетворительного объяснения. Для этого достаточно предположить, что размерность пространства меняется с расстоянием от привычной в земных масштабах трехмерности до пространства с двумя измерениями на космологических расстояниях.

2. Рассуждая абстрактно.

Опыт или здравый смысл, формируемый с детства, органично встраивает в себя первичные представления о пространстве. Это – место, среда, это – нечто, из чего, если убрать предмет, остается пустота, которая может быть опять занята предметом. Однако, место, занимаемое ящиком, имеющим длину, ширину и высоту, не может быть вновь полностью занято листом бумаги, имеющим длину и ширину. Позже, школьный курс физики одаривает нас термином “пространство”, который сам по себе ничего не объясняет, но нечто обозначает. Помимо утверждения, что пространство характеризуется числом измерений 3, он нам ничего не сообщает. Интуитивно предполагается, что пространство не имеет кривизны и что в нем справедливы законы стереометрии. А школьная физика продолжает учить нас, что гравитационная и электростатические силы, освещенность и прочее убывают обратно пропорционально квадрату расстояния, как и видимая площадь тел. В пространстве с числом измерений n “площадь убывала бы обратно пропорционально расстоянию в степени n-1.

В ВУЗе представления о пространстве расширяются (если не ломаются) до пространства-времени, причем пространство-время само становится относительным: расщепление последнего на собственно пространство и время не абсолютно, а зависит от движения субъекта – наблюдателя. Для изучающего это бывает эстетическим шоком, ибо теория относительности – удивительно красивая и непостижимая для обыденного здравого смысла концепция. Но это пока последний твердый шаг в эволюции идей о пространстве, “твердый”, - поскольку проведен с огромной экспериментальной точностью в доступных нам масштабах. По крайней мере для большей части научного сообщества оно остается континуальным (непрерывным) и всюду постоянной и непременно целой размерности, равной трем.

Вообще, загадка пространства-пустоты волновала умы давно. Но, несмотря на огромную мозговую работу поколений мыслителей, результаты ничтожны – так ничего и не понятно. Хотя, не будем останавливаться на истории этого вопроса, это удел историков науки и философов. Старые идеи не помогают генерировать новые, и в том смысле предмет физики гораздо полезнее забывать, чем помнить.

Наше столетие знаменательно разрушением механистических представлений о мире в смысле Лапласа: мир – это огромный механизм, который стоит только “завести”, т.е. задать начальные условия, а дальше он будет сам детерминировано развиваться. Это представление потеряло свои позиции в начале века после появления квантовой механики и потерпело окончательное поражение во второй половине века: даже в самой классической механике появились такие понятия как бифуркации, хаос, перемешивание… Оказалось, что существуют динамические системы, поведение которых нельзя предсказать однозначно, поскольку малые отличия в начальных данных приводят к экспоненциально расходящимся траекториям. Рано или поздно нечто подобное должно произойти с представлениями о самом пространстве.

Понятие фрактала как объекта с нецелой размерностью, возникшее как чисто математическое, с необходимостью приведет к революции понятия пространства и времени. Для фракталов придумано несколько хитроумных определений размерности, которые могут совпадать, а могут и не совпадать у разных объектов. Фрактальность нашла обширные приложения в физике (турбулентность, движения в вязких средах, протекание электрического тока, сверхпроводимость и многое другое). Она имеет приложение так же в химии и биологии. Уже в космологии очень много говорят о фрактальном, точнее даже о мультифрактальном (простым фракталом оно не описывается) распределении галактик, их групп, скоплений и пустот между ними – т.е. при исследовании крупномасштабной структуры Вселенной (Земля и Вселенная, 1993, №1; 1997, №6). Теперь представим, что фрактальные абстракции имеют какое-то отношение к реальным свойствам пространства. Тогда вопрос: какое из определений размерности, т.е. какое из чисел мы должны использовать в физических формулах и, в частности, в упомянутых законах? А может быть понятие физической размерности так же разделится на несколько, каждое из которых будет применяться в своей определенной физической ситуации?

Фрактальность пространства означала бы его неконтинуальность, прерывность, дискретность. До сих пор предполагается a priori континуальным, что дает право описывать его с помощью интегрального и дифференциального исчисления (тоже механистическая идея из шкатулки XVIII века). Однако, чтобы подтвердить континуальность реального пространства, потребовалось бы несчетно-бесконечное количество информации. Что же касается числа измерений, то в трехмерное континуальное пространство можно погрузить неконтинуальное пространство произвольного их числа. Российский ученый В.Ю. Колосков ввел стохастическую метризацию пространства-времени. А это, в свою очередь, позволит сформировать теорию относительности и, вообще, любую теорию поля в терминах нецелой размерности. Такой подход, как кажется автору, может привести к более общей физической теории, в которой размерность было бы необязательно задавать с самого начала, до решения полевых уравнений, она оказалась бы динамической характеристикой, функцией координат, времени и еще чего-нибудь, следующего из уравнения поля. Основной характеристикой пространства-времени, которая нас будет интересовать дальше, будет именно размерность пространства.

3. Ближе к реальности.

Итак, что мы знаем о природе пространства и времени, мы, чье существование ограничено их весьма небольшими масштабами? “Знаем” здесь употреблено в смысле накопления чисто научной позитивной информации. Отдельные представители человечества отважно заявляют, что они познали природу от масштабов 10^-13 см (размер атомного ядра) до 10²⁸ см ~10¹⁰ св.лет (расстояние до наиболее удаленных астрономических объектов). На наш взгляд, следовало бы ограничиться более скромным интервалом от 10^-8 см (размер атома или его электронных оболочек) до диаметра орбиты Плутона.

Действительно, система электронных оболочек хорошо описывается в смысле согласия с экспериментом квантовой механикой и не требует привлечения каких-то неизвестных свойств пространства и времени. То же самое можно сказать о движении тел в Солнечной системе. В ее пределах пространство трехмерно или неотличимо близко к этому. По крайней мере закон обратных квадратов справедлив с точностью до пятой значащей цифры, за которой дальше уже начинается порядок, где мы должны учитывать теорию относительности или какие-то другие релятивистские теории гравитации. Там же может открыться и область непознанного. Что же касается масштабов меньших или больших, то об этом очень мало известно и слишком много проблем. Теория ядерных взаимодействий и теория элементарных частиц еще далеки от завершения. Например, до сих пор нет единого мнения, почему кварки удерживаются в протонах и нейтронах и не наблюдаются в свободном состоянии. А вдруг это тоже иные пространственно-временные отношения?

Если устремиться в область больших масштабов, то мы придем к конкретному и единственному объекту: нашей Вселенной. Кто-то скажет, что мы знаем о ней много, позволим себе в этом не согласиться. Мы наблюдаем ее фактически из одной точки, находясь в данных нам физических условиях, получая и интерпретируя информацию в соответствии с развитием технических и теоретических возможностей, а так же с нашем чисто человеческим разумением: мышлением, логикой, языком и т.д. Глубокая философская проблема. Не нам и не здесь ее решать. Зададим более конкретный вопрос: а есть ли какие-нибудь наблюдательные факты, которые можно интерпретировать как отличные от принятых свойств, например, пространства? Отличную от стандартной размерность? Оказывается, есть. Попробуем аргументировать свою точку зрения тремя следующими сюжетами.

4. Как взаимодействуют “взаимодействующие галактики”?

В 50-60 гг. нашего века советский астроном Б.А. Воронцов-Вельяминов исследовал с помощью знаменитого Паломарского атласа неба необычные далекие объекты, а затем наблюдал их сам и составил каталог. Это были группы из нескольких галактик, в которых проявляется физическое взаимодействие: вытянутые цепочки из двух или более галактик, соединенные светяцимися голубоватыми “перемычками”, часто с “хвостами” на концах, либо тесные гнезда,где галактики почти соприкасаются, погруженные в общую “оболочку”. Вещество таких протяженных структур составляют молодые горячие звезды, голубые гиганты и сверхгиганты. Было, однако, ясно, что наличие перемычек и других структур плохо согласуется с законом обратных квадратов для силы тяготения. Они должны быть неустойчивы и быстро распадаться. Воронцов-Вельяминов допускал возможность взаимодействия иной природы, помимо тяготения и электромагнетизма. В конце 80-х австралийские ученые А.Е. Врайт, М. Дисней и Р. Томсон провели численное моделирование приливного взаимодействия двух галактик неравных масс, движущихся по орбите вокруг общего центра тяжести, для обратного линейного закона тяготения (такой закон соответствует размерности n-2) и для законв обратных квадратов для сравнения. В первом случае уверенно получаются долго существующие хвосты и перемычки, а во втором случае нет. Интуитивно это ясно: обратный линейный закон имеет более слабый градиент убывания, поэтому он может способствовать образованию более тонких, протяженных и более долгоживущих структур из такого легко разрушаемого материала, как газ звезд.

5. Самый темный вопрос – о темной материи.

Будем считать, что с проблемой с проблемой темной материи мы знакомы. Отметим лишь один существенный для нашего рассмотрения факт – все доказательства существования скрытых масс в природе основывается на движении видимых масс.

Еще в 30-х гг. Ф. Цвикки заметил, что галактики в скоплении Волос Вероники движутся слишком быстро, чтобы это можно было объяснить их гравитационным притяжением. В 80-х гг. радиоастрономы измерили скорость облаков нейтрального водорода, расположенных далеко за краем видимого оптического диска спиральных галактик. Вместо ожидаемого радения скорости вращения с удалением от центра оказалось, что эта скорость остается неизменной, а иногда даже растет. У не вращающихся эллиптических галактик наблюдения показали аномально большой разброс скоростей составляющих их звезд. Для спасения теории, астрономы предположили, что галактики погружены в массивные сферические оболочки (гало) из невидимой материи.

Переходя к группам галактик, от двойных до сверхскоплений, находим все то же: чересчур большие скорости отдельных галактик. Оставаясь в рамках существующих теорий, астрономы могут объяснить их только в предположении, что тяготеющие массы во много раз больше, чем светящиеся. При этом компенсирующей темной материи требуется все больше при переходе ко все большим космологическим масштабам. Кто-то уже сказал, что чем дальше, тем Вселенная становится все темнее и мрачнее.

Уже несколько десятилетий идут попытки увидеть эту темную материю и постичь ее природу. Конечно, существует понятная и известная темная материя, как то: темные туманности, коричневые карлики, межгалактический газ, как рассеянный, так и собранный в облака, и т.п. Возможно, существуют в межзвездном пространстве планетоидные тела и ядра комет. Однако все попытки определить суммарную массу этого “космического мусора” показывают, что его явно недостаточно, чтобы покрыть гигантскую потребность в темной материи.

Какими еще свойствами обладает темная материя, кроме гравитационных? Оказывается, она не проявляет никаких свойств, кроме гравитационных. Не поглощает и не рассеивает видимого света и вообще электромагнитного излучения. Пока что она остается лишь благодатным полем для фантазий физиков-теоретиков. Каждая открытая или просто предсказанная частица становилась и становится кандидатом на роль (или на компонент) темного вещества. Ни одна модель образования крупномасштабной структуры Вселенной не обходится без привлечения частиц темной материи. В построении таких моделей существуют две конкурирующие версии: какая материя – горячая (нейтрино) или холодная (аксионы, барионы) – участвует в процессе. Каждая модель создает свои трудности. Например, “холодные” модели не могут объяснить наблюдаемую характерную величину неоднородностей в распределении материи Вселенной (130 – 140 Мпк): расчеты дают на порядок ниже. Многие исследователи смешивают горячую и холодную материи как воду в ванне, чтобы получить, а лучше сказать подогнать под согласие с наблюдениями, и достигают успеха. Но решение этой космологической трудности усугубляет другую, а именно проблему возраста Вселенной.

Концепция темной материи устраивает далеко не всех. Тем или иным способом некоторые исследователи пытаются ее обойти. Чаще всего предлагаются различные модификации закона тяготения Ньютона. Фактически, здесь также предложена своя модификация, но, в отличии от других, это – следствие намного более общего положения, а именно – расширение понятия размерности пространства.

6. Каков возраст Вселенной? Конечен ли он?

В современной теоретической космологии все еще занимают ведущее место модели однородной и изотропной Вселенной. Таковы космологические модели Фридмана-Робертсона-Уокера (ФРУ), появившиеся в 20-х гг. нынешнего столетия. Средняя плотность вещества определяет, будет ли у трехмерного пространства положительная кривизна и конечный объем (замкнутая модель Вселенной), или же при бесконечном объеме это пространство окажется плоским (плоская модель), или обладающим отрицательной кривизной (открытая модель). В случае замкнутого мира расширение на каком-то этапе сменится сжатием, а плоский и открытый миры расширяются вечно.

Помимо обсуждавшихся несоответствий между светимостью вещества и его динамикой (проблема темной материи), существует еще одно вопиющее несоответствие: возраст Вселенной в стандартных ФРУ-моделях получается меньше возраста шаровых скоплений и галактик. Теория строения и эволюции звезд, обширная и разработанная область теоретической астрофизики, хорошо согласуется с наблюдениями. Можно не сомневаться, что она достаточно уверенно оценивает возраст звезд. По оценкам разных исследователей возраст старейших объектов в галактиках составляет от 14 до 17 млрд. лет.

Во ФРУ-моделях возраст Вселенной Т обратно пропорционален постоянной Хаббла H₀:

T~H₀^-1

Эта постоянная входит в закон разбегания Хаббла: скорость далекого объекта V связана с расстоянием до него I соотношением V=H₀I. Хотя ее физическая размерность есть обратная секунда, принято выражать ее в 50-100 км?с^-1?Мпк^-1. Единственного мнения о ее точном назначении не было никогда. Но если последние двадцать лет большинство астрономов считали ее близкой к 50, то теперь новые данные склоняют многих к величине 80 км?с^-1?Мпк^-1. Помимо обратной постоянной Хаббла теоретическое значение возраста Вселенной зависит от модели, оно тем больше, чем меньше плотность вещества. Это говорит о том, что на плотность темной материи существует ограничение, ее нельзя наращивать слишком сильно. Наиболее популярными являются модели с критической суммарной плотностью темной и светящейся материи ?=1. Здесь ? – параметр плотности, равный по отношению средней плотности вещества во Вселенной к критической, при которой трехмерный мир является плоским.

В этом случае возраст Вселенной выражается простой формулой:

T~2/3H₀^-1

Когда космологи надеялись, что численное значение Н₀ близко к 50 км?с^-1?Мпк^-1, то возраст Вселенной оказывался близким к 13 млрд лет, что еще хоть как-то можно было совместить с возрастом шаровых скоплений, но для значения 80 возраст такой Вселенной получается слишком малым – примерно 8 млрд лет.

Резюмируя эти три сюжета, можно сказать, что для разрешения космологических проблем динамики и возраста нужно позволить силе тяготения спадать с расстоянием медленнее, чем по закону обратных квадратов, и как-то замедлить расширение Вселенной, не вступая при этом в противоречие с динамикой. Оказывается, достаточно предположить, что размерность пространства в космологических масштабах есть нецелое число меньше трех и что она может уменьшаться с ростом масштаба. При этом не потребуется никакая материя.

Действительно “возрастание количества темной материи” говорит лишь о более медленном законе падения силы тяготения с расстоянием. Предельным значением размерности могло быть число два.

7. Элементы маломерия в стиле Ньютона.

Известная школьная формула закона всемирного тяготения

F=G mM/r²

В с n измерениями должна быть заменена следующей

F⁽ⁿ⁾=G⁽ⁿ⁾ mM/r^(n-1) , (1)

Где G⁽ⁿ⁾ – некоторая другая гравитационная постоянная, ее физическая размерность отличается от размерности G⁽³⁾ и выражается произведением r^-1 см с^-1.

Если формула (1) справедлива в больших масштабах, G⁽ⁿ⁾ так же как и G⁽³⁾ могла быть определена опытным путем, если бы измерения в этих масштабах нам были бы доступны. Чем меньше n, тем медленнее падает сила с ростом расстояния. Конечно, мы пока не можем предположить какого-либо закона, тем более теории для уменьшения n с расстоянием. Для упрощения математических выкладок предположим, что до некоторого расстояния R₀ от любого тела действует формула Ньютона, а за этим расстоянием закон (1) с n<3, т.е. суммарный закон на графике имел бы вид ломаной кривой. Таким образом, вокруг каждого тела как бы есть сфера радиуса R₀, размерность внутри которой 3, а вне ее n<3. Мы видим, что для случая n<3 на заданном r>R₀ величина силы притяжения больше: F⁽ⁿ⁾>F⁽³⁾. Этот факт является ключевым, чтобы считать n<3. Число n мы пока тоже не знаем, но было бы интересно получить его из наблюдений. “Сшивка” двух законов на радиусе R₀ дает выражение для постоянной G⁽ⁿ⁾:

G⁽ⁿ⁾=G⁽³⁾R₀^n-3. (2)

Обратим особое внимание на то, что речь здесь может идти об R₀ только как об относительном расстоянии между телами, а не о какой-то “жестко закрепленной” области в пространстве, куда частицы могут входить и выходить. Иначе, во-первых, была бы нарушена концепция относительности пространства, которая, на мой взгляд, явилась завоеванием эйнштейнианской физики должна быть сохранена во всех последующих теориях. Во-вторых, возникли бы трудности с универсальностью закона (1): гравитационная постоянная становится непостоянной, а закон тяготения зависимым от направления в пространстве.

Возможно, что наше описание стало бы менее грубым, если предположить, что размерность ступенчато падает не на одном относительном расстоянии R₀, а последовательно на нескольких расстояниях. Гравитационная постоянная изменялась бы при этом так же скачкообразно. Если же падение размерности предположить непрерывным, то закон убывания силы тяжести стал бы более сложным, а не кусочно-степенным.

А теперь обратимся к вращению галактик. Для простоты все же вернемся к “ломаному” закону изменения силы. Сначала рассмотрим случай малого тела массы m, обращающегося вокруг точечного центрального тела с несравнимо большой массой М. Скорость вращения V малого тела на расстоянии r от центрального тела (если r>R₀), найдем из условия равенства силы (1) центростремительной силе mV²/r

_{________________ ________________________}

V(n)=?MG⁽ⁿ⁾ / r^n-2 = ? MG⁽³⁾ (r/R₀)^3-n r^-1 , (3)

Где во втором равенстве мы воспользовались условием (2) сшивки гравитационных постоянных. Очевидно, что в трехмерном случае V(3)=?MG⁽³⁾/r и V⁽ⁿ⁾ всегда больше V⁽³⁾ при r => ?: этот асимптотический закон есть V ~ r^(2-n)/2.

Можно провести более аккуратный расчет для кривой вращения дисковой галактики. Диск галактики имеет конечную, хотя и небольшую толщину, но в нашем случае будем считать его бесконечно тонким. Это – простое и хорошее приближение. Примем, что распределение поверхностной плотности массы ? в диске имеет экспоненциальную зависимость от радиуса r, которая соответствует наблюдаемому распределению светящегося вещества

. ?(r)= ?₀exp(-r/R_d),

, где ?₀ – плотность в центре, а R_d – некоторый характерный радиус. Тогда в трехмерном пространстве скорость вращения галактики как функции ее радиуса возрастает, достигает максимума, а затем уменьшается приближенно следуя зависимости

V ~r^-1/2.

Обратимся теперь к случаю двумерного пространства и рассмотрим два варианта. Будем считать для простоты, что R₀ много меньше R_d. В первом варианте пусть тот же самый бесконечно тонкий диск с тем же распределением плотности заполняет все двумерное пространство (плоскость). Скорость вращения монотонно возрастает и выходит на постоянное значение, как и положено по асимптотическому закону для n=2: V ~ Const.

Во втором варианте галактика лежит как бы поперек двумерного пространства: одномерная ось вращения и одномерный диск лежат в одной плоскости (двумерное пространство “вращается” само, конечно, это более абстрактный случай). Скорость вращения имеет максимум, хотя и менее выраженный, чем в первом случае (n=3), однако, асимптотическая кривая на графиках скорости также выходит на постоянное значение.

Сравнение с типичными наблюдаемыми кривыми вращения галактик показывает, что для некоторых галактик теория для случая n=3 наихудшим образом соотносится с наблюдениями, а оба варианта случая n=2 гораздо лучше. Конечно, случай n=2 скорее следует рассматривать как предельный. В действительности более вероятен промежуточный случай 3>n>2, и правильно теоретически рассчитанное вращение будет чем-то средним. По крайней мере, асимптотическое падение скорости вращения у реальных галактик, похоже, подчиняется промежуточному закону между V ~r^-1/2 и V ~ Const.

Этот вопрос нуждается в более подробных исследованиях.

8. В стиле Эйнштейна и Фридмана-Робертсона-Уокера.

Для ФРУ-модели мы можем записать уравнения Эйнштейна в произвольной целой размерности пространства n. Так же, как и в стандартной трехмерной ФРУ-модели, плотность вещества (ее физическая размерность теперь есть г?см^-n) определяет, быть ли n-мерному пространству замкнутым, плоским или открытым. Аналогично вводится и параметр плотности ?⁽ⁿ⁾. Для наиболее интересных значений числа n (3>n>2) эволюция моделей точно такая же, как и при n=3: они все расширяются из начальной сингулярности с последующим сжатием замкнутого мира или вечным расширением плоского и открытого. (Не будем рассматривать инфляционные модели, в которых начальные условия не предусматривают сингулярности.)

Характерно, что возраст Вселенной при 3>n>2 всегда оказывается больше, чем в стандартной модели. В левом верхнем углу таблицы значение возраста расчитано при Н₀ = 50 км/с ? Мпк, а в правом нижнем углу – при Н₀ = 80 км/с ? Мпк. Мы видим, что наибольший и одинаковый возраст получается для n=2 или ?⁽ⁿ⁾=0 (мир с пренебрежимо малой плотностью вещества). Видно, что чем больше ?⁽ⁿ⁾ при заданном n, тем меньше возраст. Мы уже упоминали, что это одна из трудностей модели с темной материей. Для плоского мира (?⁽ⁿ⁾=1) возраст Вселенной выражается простой зависимостью

T = 2/nH₀^-1

, где Н₀ – современное значение параметра Хаббла.

При n=3 отсюда следует стандартная формула, а при n=2 возраст получается в полтора раза больше стандартного.

Случай n=2 для уравнений Эйнштейна выделен, так как решения с типичными ФРУ-свойствами существуют только для n>2. При n=2, независимо от знака кривизны, другими словами при всех ?⁽ⁿ⁾ существует линейно расширяющаяся Вселенная. Ее возраст составляет 19.6 млрд лет для Н₀= 50 км/с ? Мпк и 12.2 млрд лет при Н₀=80 км/с ? Мпк. Последнее тоже не очень-то совместимо с четырнадцатимиллиарднолетними шаровыми скоплениями.

Однако замечательно, что при n=2, помимо линейно растущего решения, существует статическое. Когда-то подобное решение казалось очень привлекательным – голубая мечта космологов старшего поколения. Психологически вечная статическая Вселенная уютнее и надежнее. В трехмерном пространстве, в отличие от двумерного случая, статическое решение невозможно без дополнительных предположений. Стремясь получить его, Эйнштейн в 1917 г. ввел в свои уравнения дополнительный, т.н. космологический член, содержавший новую неизвестную, космологическую постоянную.

В нашем двумерном случае постоянный радиус Вселенной R_B может быть выражен через полную массу вещества во Вселенной М_В и ее двумерную плотность ?⁽²⁾. Двумерный объем вещества равен 4?R_B², поэтому

__________

R_B = ?M_B / 4??⁽²⁾.

Итак, мы убедились, что в размерности 3>n>2, возраст Вселенной в однородной и изотропной модели всегда больше, чем при n=3, но остающийся небольшой зазор в возрасте для нестатических моделей, на наш взгляд, свидетельствует в пользу статической модели с n=2. Пока в этих построениях размерность считалась постоянной на космологических масштабах, но более привлекательным кажется ее постепенное изменение от 3 до 2, причем значение 2 – предельное. Тогда, быть может, статистическая Вселенная становилась бы двумерной на пределе расширения.

Подведем итоги. Показано, что размерность меньше трех помогает решить космологические проблемы. Но что понимается под размерностью? Является ли размерность два “глобальной”, т.е. пространство становится дырчатым, фрактальным? Это не известно. Математическое описание в том виде, в котором оно дано, подразумевает глобальную размерность, однако возможно, что те же результаты будут справедливы и для локальной. В любом случае можно отделаться словом динамическая размерность, т.е. следующая из закона тяготения. Но такое понимание размерности существенно ограничено. Чтобы убедиться, что речь идет именно о размерности, а не о модификации закона тяготения, нужно, по крайней мере, доказать, что силы электрического и магнитного взаимодействия и распространения света имеют надлежащую зависимость от расстояния. С этой точки зрения следует проанализировать все независимые космологические явления, которые нам доступны. Положительный результат привел бы к великолепному пересмотру наших представлений о Вселенной.