Вход

Решение уравнений и построение графиков функций, содержащих выражения со знаком модуля

Реферат по математике
Дата добавления: 19 июня 2007
Язык реферата: Русский
Word, rtf, 834 кб (архив zip, 53 кб)
Реферат можно скачать бесплатно
Скачать
Не подходит данная работа?
Вы можете заказать написание любой учебной работы на любую тему.
Заказать новую работу

Средняя общеобразовательная школа № 3










Реферат по математике на тему:

Решение уравнений и построение графиков функций, содержащих выражения со знаком модуля.



Выполнил:

Шварц В.И.

9Б класс

Руководитель:

Шагалина Д.Г.












Межгорье

2005


Решение уравнений и неравенств, содержащих выражения под знаком модуля.


Любое действительное число можно изобразить точкой числовой прямой. Расстояние этой точки от начала отсчёта на этой прямой равно положительному числу или нулю, если точка совпадает с началом числовой прямой.

Расстояние точки, изображающей данное число на числовой прямой, от начала этой прямой называется модулем данного числа – это геометрическое определение модуля.

; ;


Расстояние между точками плоскости обозначается с помощью знака модуля и равно:

, где ;

Абсолютная величина вектора (модуль вектора) – длина вектора. Обозначается .

Если известны координаты вектора , то модуль вектора находится по формуле:

.

Если известны координаты начала и конца вектора , A(a;b); B(c;d), то модуль вектора можно найти по формуле:

Модуль единичного вектора равен 1, модуль нулевого вектора равен 0.


Геометрический смысл модуля удобно использовать для решения некоторых уравнений.

6 = А ; х = А9 ; х1 = 15 ; х2 = –3.


–3 0 6 15

С А В


При решении более сложных уравнений, содержащих выражения со знаком модуля, удобнее пользоваться алгебраическим определением модуля числа:

{

Свойства модуля:

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. .


Для решения уравнений, содержащих два и более выражений со знаком модуля, сначала записываем уравнение без знаков модуля. Так как каждое выражение, записанное со знаком модуля, может быть как отрицательным, так и неотрицательным, то при его записи без знаков модуля надо рассмотреть оба случая отдельно.

Для уравнений, содержащих два выражения со знаком модуля, получается четыре комбинации, а для уравнений, содержащих три выражения со знаком модуля, получается восемь комбинаций без знаков модуля. Затем обязательно проверить, какие из найденных значений х удовлетворяют данному уравнению.

Но можно упростить решение таких уравнений с помощью метода интервалов.

2х – 12 =0 ; х=6 ; 6х+48 =0 ; х= –8.

Найденные значения х разбивают числовую прямую на три промежутка: х<–8 ; –8х6 ; х6.

В промежутке х<–8 оба выражения, стоящие под знаком модуля, отрицательны. Получим уравнение:

– (2х–12) – (6х+48) = 160; х = –24,5к промежутку х<–8, значит является корнем уравнения. Аналогично находим корни в других промежутках.


Тест

В приведённом ниже тесте четыре задания на решение уравнений и неравенств, содержащих знак модуля. Используются задания, которые предлагались на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения Москвы и Волгограда в разные годы.

К каждому заданию приводится подробное решение с его геометрической интерпретацией.

  1. Найдите наименьшее целое решение неравенства

<2>

Решение:

Исходя из определения модуля


={}

данное в условии неравенство равносильно следующему:

–2

Двойное неравенство можно записать в виде системы неравенств

Покажем решение системы на числовой оси


8,5 9 12,5


Теперь на интервале (8,5; 12,5), где пересеклись множества, выберем наименьшее число. Это 9.

Ответ: 9.


2. Найдите наибольшее целое отрицательное решение неравенства

>6

Решение:

Данное неравенство равносильно следующим:

x+3.5>3 или x+3.5<6>

Отсюда, x>2.5 или x<–9.5.

Покажем решение данных неравенств на числовой оси


–10 –9,5 2,5


На интервалах (–; –9,5) и (2,5; +) наибольшее целое отрицательное число –10.

Ответ: –10.


3. Решите уравнение x2+–20=0

Решение:

Найдём корни уравнения 2+–20=0, = –5 или = 4. Так как 0, то = 4, следовательно, х = 4.

Ответ: 4.


4. Найдите наименьшее целое решение уравнения

Решение:

Представим это уравнение в виде системы уравнений:

{

Так как = х при х 0.

2х=9>0, то есть х > –4,5.

Ответ: –4



Графики функций, содержащих выражение под знаком модуля.

Для построения графиков функций, содержащих знак модуля, как и при решении уравнений, сначала находят корни выражений, стоящих под знаком модуля. Эти корни разбивают числовую прямую на промежутки. График строится в каждом промежутке отдельно.

В простейшем случае, когда только одно выражение стоит под знаком модуля и нет других слагаемых без знака модуля, можно построить график функции, опустив знак модуля, и затем часть графика, расположенную в области отрицательных значений y, отобразить относительно оси Ох.

1. y = y=0.5х

2. у == ; у = 0,5х–3

3. у =

2х –4 =0, х = 2; 6 +3х =0, х = –2. В результате ось Ох разбивается на три промежутка. Убираем знаки модуля, беря каждое выражение в каждом промежутке с определённым знаком, которые находим методом интервалов.

В каждом промежутке получается функция без знака модуля. Строим график каждой функции в каждом промежутке. В области определения график представляет непрерывную прямую.

4. у = у = х2 –2
























Литература.


  1. Математика. Справочник школьника. Москва 1995г. Филологическое общество "Слово".

  2. Справочник по математике. Москва 1995г. "Просвещение".

  3. Математические кружки в 8-10 классах. Москва 1987г. "Просвещение".

  4. Математика. Еженедельная учебно-методическая газета.№42, 2003 год. Издательский дом "Первое сентября".

Математика. Еженедельная учебно-методическая газета.№41, 2002 год. Издательский дом "Первое сентября".={


© Рефератбанк, 2002 - 2017