Моделирование распределения потенциала в МДП-структуре

Министерство общего и профессионального образования РФ

Воронежский государственный университет

факультет ПММ

кафедра Дифференциальных уравнении

Курсовая работа

“Моделирование распределения потенциала

в МДП-структуре”

Исполнитель : студент 4 курса 5 группы

Никулин Л.А.

Руководитель : старший преподаватель

Рыжков А.В.

Воронеж 1998г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА В МДП-СТРУКТУРЕ

Математическая модель - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К

РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ

Использование разностных схем для решения

уравнения Пуассона и для граничных условий

раздела сред

Уравнение Пуассона - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5

Граничные условия раздела сред - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8

Общий алгоритм численого решения задачи

Метод установления - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 10

Метод переменных направлений - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 13

Построение разностных схем - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 16

ПРИЛОЖЕНИЕ - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

ЛИТЕРАТУРА - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Математическая модель распределения потенциала в МДП-структуре

Математическая модель

Пусть j(x,y) - функция, описывающая распределение потенциала в полупроводниковой структуре. В области оксла (СDEF) она удовлетворяет уравнению Лапласа:

d²j ₊ d²j _{= 0}

dx² dy²

а в области полупроводника (прямоугольник ABGH) - уравнению Пуассона:

d²j ₊ d²j _{= 0}

dx² dy²

где

q - элементарный заряд e;

e_nn -диэлектрическая проницаемость кремния;

N_d(x,y) -распределение концентрации донорской примеси в подложке ;

N_a(x,y) -распределение концентрации акцепторной примеси в подложке;

e₀ -диэлектрическая постоянная

_{0 D E}

_y

_{B G}

^{C F}

_{A H}

_x

???.1.

На контактах прибора задано условие Дирихле:

j| _BC = Uu

j| _DE = Uз

j| _FG = Uc

j| _AH = Un

На боковых сторонах полупроводниковой структуры требуется выполнение

однородного условия Неймана вытекающее из симметричности структуры

относительно линий лежащих на отрезках AB и GH:

dj _{= 0} dj _{= 0}

dy _AB dy _GH

На боковых сторонах окисла так же задается однородное условие Неймана

означающее что в направлении оси OY отсутствует течение электрического

тока:

dj _{= 0} dj _{= 0}

dy _DC dy _EF

На границе раздела структуры окисел- полупроводник ставится условие

сопряжения :

j| _-0 = j| ₊₀

e_ok E_x |_-0 - e_nn E_x |₊₀ = - Q_ss

где Q_ss -плотность поверхностного заряда;

e_ok -диэлектрическая проницаемость окисла кремния;

e_nn -диэлектрическая проницаемость полупроводника .

Под символом “+0” и”-0” понимают что значение функции берется бесконечно близко к границе CF со стороны либо полупроводника либо окисла кремния . Здесь первое условие означает непрерывность потенциала при переходе границы раздела сред а второе - указывает соотношение связывающее величину разрыва вектора напряженности при переходе из одной среды в другую с величиной поверхностного заряда на границе раздела.

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К

РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ

Использование разностных схем для решения уравнения Пуассона и для граничных условий раздела сред

Уравнение Пуассона

В области {(x,y) : 0 < x < L_x , 0 < y < L_y } вводится сетка

W={(x,y) : 0 < i < M₁ , 0 < j < M₂}

x₀ =0 , y₀=0, x_M1 = L_x , y_M2 = L_y

x_i+1 = x_i + h_i+1 , y_j+1 = y_j+ r_j+1

i = 0,...,M₁-1 j = 0,...,M₂-1

Потоковые точки:

x_{i+ ?} = x_{i +} h_i+1 , i = 0,1,...,M₁-1

2

y_{j+ ?} = y_{j +} r_j+1 , j = 0,1,...,M₂-1

2

Обозначим :

U(x_i,y_j) = U_ij

I(x_i+?,y_j) = I_i+?,j

I(x_i,y_j+?) = I_i,j+?

Проинтегрируем уравнение Пуассона:

Dj = - q (N_d + N_a)

e₀e_n

Q(x,y)

по области:

V_ij = { (x,y) : x_{i- ?} < x < x_{i+ ?} , y_{j- ?} < y < y_{j+ ?} }

x_{i+ ?} y_{j+ ?} x_{i+ ?} y_{j+ ?}

? ? Dj dxdy = ? ? Q(x,y)dxdy

x_{i- ?} y_{j- ?} x_{i- ?} y_{j- ?}

Отсюда:

y_j+? x_i+?

?(Ex(xi+?,y) - Ex(xi-?,y) )dx + ?(Ey(x,yj+?) - Ey(x,yj-?))dy=

y_j-? x_i-?

x_{i+ ?} y_{j+ ?}

= ? ? Q(x,y)dxdy

1. _? y_{j- ?}

Здесь:

E_x(x,y) = - dj(x,y)

dx (*)

E_y(x,y) = - dj(x,y)

dy

x у-компоненты вектора напряженности электрического поля Е.

Предположим при

y_j-? < y < y_{j- ?} E_x(x_{i + ?},y_j) = E_{i+ ? ,j} = const

y_j-? < y < y_{j- ?} Ex(x_{i - ?} ,y_j) = E_{i- ? ,j} = const (**)

x_i-? < x < x_{i+ ?} Ey(x_i, y_{j + ?}) = E_{i,j+ ?} = const

x_i-? < x < x_{i+ ?} Ey(x_i, y_{j -?} ) = E_{i,j - ?} = const

x_{i- ?} < x < x_{i+ ?}

y_{j- ?} < y < y_{j+ ?} - Q(x,y) = Q_ij = const

Тогда

(E_x)_{i+ ? ,j} - (E_x)_{i -? ,j} r^*_j + (E_y)_{ij+ ?} - (E_y)_{ij- ?} h^*_i = Q_ijh^*_i r^*_j

где h^*_i = h_i - h_i+1 , r^*_j = r_j - r_j+1

2 2

Теперь Е_{i+ ? ,j} выражаем через значение j(x,y) в узлах сетки:

x_i+1

?Ex(x,y_j)dx = - j_i+1,j - j_ij

x_i

из (**) при y=y_j:

(E_x)_{i+ ? ,j} = - j_i+1j - j_ij

h_i+1

Анологично :

(E_y)_{i,j+ ?}= - j_ij+1 - j_ij

r_j+1

Отсюда:

(Dj)_ij = 1 j _i+1,j - j _ij - j _{i j} - j _i-1,j + 1 j _{i j+1} - j _ij - j _ij - j _ij-1 =

h^*_i h_i+1 h_i r^*_j r_j+1 r_j

= Nd_ij + Na_ij

Граничные условия раздела сред

SiO₂

e₁

Si y

e_n

x

Для области V_0j

y_{j+ ?} x _?

e_ne₀ ?(E_x(x _? ,y) - E⁺_x(0,y))dy + e_ne₀ ? (E_y(x,y_{j+ ?}) - E_y(x,_{j- ?} ))dx =

y_{j- ?} 0

x _? y_j+?

= q ? ? (Nd + Na)dxdy

0 y_j-?

Для области V`_0j

y_{j+ ?} x _?

e_ne₀ ?(E^-_x(0,y) - E_x(x _-?,y))dy + e_ne₀ ? (E_y(x,y_j+?) - E_y(x,_j-?))dx = 0

y_{j- ?} 0

где E⁺_x(0,y) и E^-_x(0,y) -предельные значения х компоненты вектора

Е со стороны кремния и окисла.Складывая равенства и учитывая

условия:

e_ne₀ dj ⁺ - e₁e₀ dj ^- = -Qss

dx dx

имеем

y_j+? x_?

? (e_ne₀E_x(x_?,y) - e₁e₀E_x(x_-?,y) - Q_ss(y))dy + e_ne₀? (E_y(x,y_j+?) + E_y(x_,y_j-?))dx +

y_j-? 0

0 x_? y_j+?

+ e₁e₀ ? (E_y(x,y_j+?) - E_y(x,y_j-?))dx = q ? ? (N_d + N_a)dxdy

x_-? 0 y_j-?

Сделав относительно E_x и E_y предположения анологичные (**) положив Q_ss(y) = Q_ss = const при y_j-? < y < y_j+? и учитывая условия :

j⁺ = j^- dj ⁺ = dj ^-

dy dy

“+”- со стороны кремния

“-“ - со стороны окисла

Получим :

e_ne₀(E_x)_?,j - e₁e₀(E_x)_-?,j - Q_ss r^*_j + e_ne₀h₁ + e₁e₀h_{-1 .} (E_y)_0,j+? - (E_y)_0,j-? =

2 2

= q (Nd_0j - Na_0j) h₁r^*_j

2

что можно записать :

1 e_ne₀ j_ij -j_0j - e₁e₀ j_0j - j_ij + e_ne₀h₁ + e₁e₀h_-1 j_0,j+1 - j_0j - j_0j - j_0,j-1 =

h^* h₁ h_-1 2h^*r^*_j r_j+1 r_j

= - q ( Nd_0j - Na_0j ) . h₁ - Q_ss

2 h^* h^*

где h^* = h₁ + h_-1

2

Общий алгоритм численого решения задачи

Метод установления

Для вычисленя решений многих решений многих многих стационарных задач математической физики, описывающих равновесные состояния, рассматриватривают последнии как результат установленияразвивающегося во времени процесса, расчёт которых оказывается проще, чем прямой расчёт равновесного состояния.

Рассмотрим применение метода установления на примере алгоритма для вычисления решения задачи Дирихле:

L_xxU_mn + L_yyU_mn = j(x_m,y_n) (1)

U_mn|г = Y(s_mn) m,n = 1,2,...,M-1

аппроксимирующий дифференциальную задачу Дирихле:

d²U + d²U = j(x,y) 0<= x <=1

dx² dy² (2)

U|г = Y(s) 0<= y <=1

Вслучае задачи (1) удаётся провести теоретический анализ различных алгоритмов установления с помощью конечных рядов Фурье.

Способыточного решения задачи (1) выдерживающие обобщения на случай переменных коэффициенто и областей скриволинейной границей, например, метод исключения Гаусса , при сколько-нибудь больших и становится неудобным и не применяются.

Решение U(x,y) Задачи (2) можно понимать как не зависящую от времени температуру в точке (x,y) пластинки, находящейся в теплолвом равновесии. Функция j(x,y) и Y(s) означаютв таком случае соответственно распределения источников тела и температуру на границе.

Рассмотрим вспомогательную нестационарную задачу о распределении тепла:

dV = d²V + d²V - j(x,y)

dt dx² dy²

V|г = Y(s) (3)

V(x,y,0) = Y₀(x,y)

где j и Y те же что и в задаче (2), а Y₀(x,y) - произвольная.

Поскольку источники теплп j(x,y) и температура на границе Y(s) не зависит от времени, то естественно, что и решение V(x,y,t) с течением времени будет менятся всё медленнее, распределение температур V(x,y,t) в пределе при t OO превращается в равновесное распределение тмператур U(x,y), описываемое задачей (2). Поэтому вместо стационарной задачи (2) можно решать нестационарную задачу (3) до того времени t, пока её решение перестаёт менятся в пределах интересующей нас точности. В этом состоит идеал решения стационарных задач методом установления.

В соответствии с этим вместо задачи (2) решается задача (3), а вместо разностной схемы (1) для задачи (2) рассмотрим и составим три различные разностные схемы для задачи (3).

Именно, рассмотрим простейшую явную разностною схему:

U^p+1_mn - U^p_mn = L_xxU^p_mn + L_yyU^p_mn - j(x_m,y_n)

t

U^p+1_mn|г = Y(s_mn) (4)

U⁰_mn = Y₀x_m,y_n)

Рассмотрим так же простейшую неявную разностную схему:

U^p+1_mn - U^p_mn = L_xxU^p+1_mn + L_yyU^p+1_mn - j(x_m,y_n)

t

U^p+1_mn|г = Y(s_mn) (5)

U⁰_mn = Y₀(x_m,y_n)

и исследуем схему применения направлений

U’_mn - U^p_mn = 1 [ L_xxU’_mn + L_yyU^p_mn - j(x_m,y_n)]

t 2

U^p+1_mn - U’_mn = 1 [ L_xxU’_mn + L_yyU^p+1_mn - j(x_m,y_n)]

t 2 (6)

U^p+1_mn|г = U’_mn|г = Y(s_mn)

U⁰_mn = Y₀(x_m,y_n)

Будем считать, что Y₀(x_m,y_n) по уже известному U^p={U^p_mn} для схемы (4) оссуществляется по уже явным формулам.

Вычисление U^p+1 = {U^p+1_mn} по схеме (5) требует решения задачи :

L_xxU^p+1_mn + L_yyU^p+1_mn - U^p+1_mn = j(x_m,y_n) - U^p_mn

t t (7)

U^p+1_mn|г = Y(s_mn)

Вычисление U^p+1 = {U^p+1_mn} по уже известным U^p = {U^p_mn} по схеме (6) осуществляется прогонками в направлении оси OX для вычисления решений {U’_mn} одномерных задач при каждом фиксированом n, а затем прогонками в направлнии оси OY для вычисления решений {U^p+1_mn} одномерных задач при каждом фиксированом m.

Для каждой из двух разностных схем (4) и (6) рассмотрим разность для счёта погрешностеи вычислений:

e^p_mn = U^p_mn - U_mn

между сеточной функцией U^p = {U^p_mn} и точным решением U = {U_mn} задачи (1).

Решение {U_mn} задачи (1) удовлетворяет уравнениям:

U^p_mn - U_mn = L_xxU_mn - j(x_m,y_n)

t

U_mn|г = Y(s_mn)

U⁰_mn = U_mn

Вычитая эти равенства из (4) почленно, получим для погрешности e^p_mn следующую разностную задачу:

e^p+1_mn - e^p_mn = L_xxe^p_mn + L_yye^p_mn

t

e^p+1_mn|г = 0 (9)

e⁰_mn = Y₀(x_m,y_n) - U_mn

Сеточная функция e^p_mn при каждом p (p=0,1,...) обращается в ноль на границе Г.

Метод переменных направлений

Рассмотрим двумерное уравнение теплопроводности:

dU = LU + f(x,t) , x?G₀₂ , t?[0,t₀]

dt

U|г = m(x,t) (1)

U(x,0) = U₀(x)

LU = LU = (L₁ +L₂)U , где L_aU = d²U , a=1,2

dx²

Область G_0a =G₀ = {0<= x_a <=l_a , a=1,2} -прямоугольник со сторонами l₁ и l₂, Г - граница G₀ = G₀ + Г.

В G₀ построили равномерную по xa сетку v_h с шагами h₁ = l₁/N₁ , h₂ = l2/N₂. Пусть n_h - граница сеточной области w_h, содержащая все узлы на сторонах прямоугольника, кроме его вершин, v_h = w_h + n_h.

Оператор L_a заменим разностным оператором L_a:

L_ay = yx_ax_a , L = L₁ + L₂

В случае одномерного уравнения теплопроводности неявная схема на каждом слое приводит к разностной краевой задаче вида:

A_iy_i-1 - C_iy_i + B_iy_i+1 = -F , i=1,...,N-1

y₀=m₁ (2)

y_n=m_N

A_i > 0, B_i > 0, C_i > A_i + B_i

которая решается методом прогонки.

Рассмотрим теперь нашу двимерную задачу в прямоугольнике. Сетку v_h можно представить как совокупность узлов, расположенных на строках i₂=0,1,2,...,N₂, или как совокупность узлов расположенных на столбцах i₁=1,2,...,N₁. Всего имеется N₁+1 столбцов и N₂+1 строк. Число узлов в каждой строке равно N₁+1, а в каждом столбце N₂+1 - узлов.

Если на каждой строке (или столбце) решать задачу вида (2) методом прогонки при фиксированом i₂(или i₁), то для отыскания решения на всех строках (или столбцах), т.е. во всех узлах сетки, понадобится О(N₁N₂) арифметических действий. Основная идея большинства экономичных методов и состоит в сведении перехода со слоя на слой к последовательному решению одномерных задач вида (2) вдоль строк и вдоль столбцов.

Наряду с основными значениями искомой сеточной функции y(x,t), т.е. с y = yⁿ и y` = yⁿ⁺¹ вводится промежуточное значение y = y^n+? , которое можно формально рассматривать как значение при t = t_n+? = t_n+? . Переход от слоя n на слой n+1 совершается в два этапа с шагами 0.5t .

y^n+? - yⁿ = L₁y^n+? + L₂yⁿ + jⁿ (3)

0.5t

yⁿ⁺¹ - y^n+? = L₁y^n+? + L₂yⁿ⁺¹ + jⁿ (4)

0.5t

Эти уравнения пишутся во всех внутренних узлах x = x_i сетки v_h и для всех t=t_h > 0.

Первая схема неявная по направлению х₁ и явная по х₂, вторая схема явная по х₁ и неявная по х₂. К уравнениям (3),(4) надо добавить начальные условия:

y(x,0) = U₀(x) , x?v_h (5)

и разностно краевые условия, например, в виде:

yⁿ⁺¹ = mⁿ⁺¹ при i₁=0, i₂=N₂ (6)

y^n+? = m при i₁=0, i₂=N₁ (7)

где m = 1 (mⁿ⁺¹ + mⁿ) - t L₂(mⁿ⁺¹ - mⁿ) (8)

2 4

Т.о. , разностная краевая задача (3)-(8) соответствует задаче (1). Остановимся на методе решения этой задачи. Пререпишем (3) и (4) в виде:

2 y - L₁ y = F , F = 2 y + L₂ y + j

• t (9)

2y` - L<sub>2</sub> y` = F’ , F = 2 y + L₁ y + j

• t

Введём обозначения:

x_i = (i₁h₁ , i₂h₂)

F = F_i1,i2

y = y_i1,i2

при этом, если в уравнении один из индексов фиксирован, то его не пишем. Тогда (9) можно записать в виде (2), т.е.:

1 y_i1-1 - 2 1 + 1 y_i1 + 1 y_i1+1 = - F_i1

h²₁ h²₁ t h²₁

i1 = 1,...,N₁-1 (10)

y =m при i1 = 0,N₁

1 y`<sub>i2-1</sub> - 2 1 + 1 y`_i2 + 1 y`_i2+1 = - F_i2

h²₂ h²₂ t h²₂

i2 = 1,...,N₂-1 (11)

y` = m` при i2 = 0,N₂

Пусть задано у=уⁿ. Тогда вычисляем ?F, затем методом прогонки вдоль строк i₂=1,...,N₂-1 решаем задачу (10) и определим y’ во всех узлах сетки w_h, после чего вычисляем F и решаем задачу (11) вдоль столбцов i₁=1,...,N₁-1, определяя y`=yⁿ⁺¹. При переходе от слоя n+1 к слою n+2 процедура повторяется, т.е. происходит всё время чередование направлений.

Построение разностных схем

Для каждой области МДП - структуры построим консервативную разностную схему, учитывая при этом заданные условия.

Разобьём данную МДП - структуру на несколько областей следующим образом:

L M N

y

K₀

K₁

x

I : j_k0,y = U_n

t . j^k+?_i-1,y + 1 + t + t . j^k+?_ij - t . j^k+?_i+1y = Y_ij

2h^*_ih_i 2h^*_ih_i+1 2h^*_i2h_i 2h^*_ih_i+1

j_k1,y = U_n

где Y_ij = j^k_ij + t (L_yj^k_ij + f ^k_ij )

2

L_y = 1 j^k_ij+1 - j^k_ij - j^k_ij - j^k_ij-1

r^*_j r_j+1 r_j

II: j_ij=U₃

t . j^k+?_i-1,j + 1 + t + t . j^k+? _ij - t j^k+?_i+1,j =

2h^*_ih_i 2h^*_ih_i+1 2h^*_ih_i 2h^*_ih_i+1

= j^k_ij + t L_yj^k_ij

2 , 0 < i < k0-1 L< j

e_ok . j^k+? _i-1,j + - e_nn - e_ok . j^k+? _ij + e_n . j^k+? _i+1,j = Y^*_ij , i=k0

h^*_i-1 h^*h_i h^*h_i-1 h^*_ih_i

t . j^k+?_i-1,j + 1 + t + t . j^k+? _ij - t . j^k+?_i+1,j =

2h^*_ih_i 2h^*_ih_i 2h^*_ih_i 2h^*_ih_i+1

= j^k_ij + t L_yj^k_ij - f ^k_ij ,k0+1< i < k1

2

j^k_1,j = U_n

...

III : j_k0,j =U_c

t . j^k+?_i-1,j + 1 + t + t . j^k+? _ij - t j^k+?_i+1,j =

2h^*_ih_i 2h^*_ih_i+1 2h^*_ih_i 2h^*_ih_i+1

= j^k_ij + t L_y (j^k_ij - f ^k_ij ), M+1 < j < N

2

j_k1,j = U_n

Разностные схемы (I)-(III) решаются методом прогонки в направлении оси OX.

y

K₀

K₁

x

()

Разностные схемы (IV)-(VI) также решаются методом прогонки в направлении оси OY.

ЛИТЕРАТУРА

1. Годунов С.К.,Рыбинский В.С.: ”Разностные схемы”

2. Кобболд Р.: “Теория и приминение транзисторов”

3. Самарский А.М.: “Теория разностных схем”

4. Самарский А.М.,Николаев Е.С.: “Методы решения сеточных уравнений”

5. Самарский А.А.,Андреев В.Б.: “Разностные методы решения эллиптических уравнений”

6. Калиткин Н.Н.: ”Численные методы”