Числа - известные и неизвестные

^{Научно-практическая конференция}

«Поиск и творчество»

^Числа:

^{известные и неизвестные.}

С

^{одержание}

1. Введение…………………………………………………3

2. Старинные системы записи чисел……………………. 4

2.1 Иероглифическая система древних египтян…………5

2.2 Римские цифры………………………………………...6

2.3 Другие иероглифические системы…………………....9

2.4 Позиционная десятичная система……………………10

3. Интересные факты о числах………………………....…11

3.1 О чем могут рассказать числительные……………….11

3.2 Магические свойства чисел…………………………...12

3.3 Формула вечного календаря…………………………..15

3.4 Магические квадраты………………………………….16

Введение

Понятие натурального числа возникло еще в древнем мире. Ему предшествовал примитивный счет конкретных предметов обычно путем сопоставления с пальцами рук и ног человека или нескольких людей (если число предметов превышало 20). Не случайно существование у некоторых народов таких названий чисел как «рука» для пяти, «весь человек» - для двадцати. В языках большинства древних народов названия чисел первого десятка совпадают с названиями пальцев рук. Некоторые народы сохранили следы этого явления до сих пор. Например, в современном итальянском языке слово «le dita» означает и «числа до десяти» и «пальцы». Первоначально числа были «именованными», т.е. одни числа употреблялись для счета людей, другие – для счета лодок, кокосовых орехов и т.д. У некоторых народов было до десяти разных названий одних и тех же чисел, употребляемых для счета совокупностей различных предметов. Лишь на более высокой ступени развития человечества появилось абстрактное понятие числа, не связанное с природой предметов счета. Это понятие выражало общее свойство для всех совокупностей, предметы которых можно сопоставить по одному, т.е поставить во взаимно однозначное соответствие. Для характеристики такого общего свойства изобретались символы – точки, палочки, кружочки, клинья, буквы, иероглифы и другие значки. Так возникла понятие натурального числа и его обозначения. Нам всегда надо помнить о том, что к привычным для нас цифрам 0, 1, 2, 3 и т.д. человечество пришло в результате долгого исторического развития. Однако некоторые ученые считают, что понятие натурального числа даровано человеку свыше. Например, известный немецкий математик Леопольд Кронекер (1823 – 1891), выступая в 1886 году на Берлинском собрании естествоиспытателей, сказал: «Натуральные числа создал любимый Бог, все другое – труд человека».

С^{таринные системы записи чисел}

Память человечества не сохранила, не донесла до нас имя изобретателя колеса или гончарного круга. Это и не удивительно: более 10 тыс. лет прошло с тех пор, как люди всерьез занялись земледелием, скотоводством и производством простейших товаров. Назвать же имя гения, впервые задавшегося вопросом «сколько», тем более невозможно.

В каменном веке, когда люди собирали плоды, ловили рыбу и охотились на животных, потребность в счете возникла так же естественно, как и потребность в добывании огня. Об этом свидетельствуют находки археологов на стоянках первобытных людей. Например, в 1937 году в Вестонице (Моравия) на месте одной из таких стоянок найдена волчья кость с 55 глубокими зарубками. Позже в других местах ученые находили столь же древние каменные предметы с точками и черточками, сгруппированными по три или по пять. Такая система записи чисел называется единичной, так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу. Группировки и вспомогательные значки используются лишь для облегчения восприятия больших чисел.

Единичная система счисления первобытных людей, рисовавших палочки на стенах пещеры или делавших зарубки на костях животных и ветках деревьев, не забыта и в наши дни. Как узнать на каком курсе учится курсант военного училища? Сосчитайте, сколько полосок нашито на рукаве его мундира. О количестве самолетов противника, сбитых асом в воздушных боях, говорит число звездочек, нарисованных на фюзеляже его самолета.

Поштучно считать предметы удобно тогда, когда их не очень много. Пересчитывать же таким образом большие совокупности скучно и утомительно, поэтому возникла идея объединять единицы в группы. Появился счет пятерками, десятками, двадцатками – по количеству пальцев рук и ног «счетовода».

И^{ероглифическая система древних египтян}

Около 3 – 2.5 тыс. лет до новой эры древние египтяне придумали свою числовую систему. В ней включены ключевые числа: 1, 10, 100 и т.д. – изображались специальными значками – иероглифами. Египтяне высекали их на стенах погребальных камер, писали тростниковым пером на свитках папируса.

Для записи чисел они употребляли следующие иероглифы:

Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения.

Величина числа, записанного в иероглифической системе, не зависит от того, в каком порядке расположены составляющие его знаки. Даже если записать их справа налево, один под другим или вперемешку – число от этого не изменится.

В результате упрощений и стилизаций от иероглифов позднее произошли условные знаки, облегчающие письмо от руки. Они легли в основу так называемого иератического письма (от греч. «иератикос» - «священный»). Эту систему записи чисел можно обнаружить в боле поздних египетских папирусах.

Уцелели два математических папируса, раскрывающие тайну древнеегипетского счета. Один из них назван «папирусом Райнда», другой – «Московским».

Р^{имские цифры}

Среди множества иероглифических систем счисления, которые существовали в разные времена у разных народов, только одна используется до сих пор. Ее цифры знакомы всем, хотя им уже более 2.5 тысячелетий. Эти цифры встречаются на циферблатах часов, фронтонах старинных зданий, памятников, страницах книг. Ну конечно же, речь идет о римской системе счисления.

Нельзя сказать, что время не коснулось облика римских цифр. Если бы житель древнего Рима захотел прочитать число, обозначающее дату открытия станции метро «Римская» в Москве, то он оказался бы в неимоверном затруднении. Причина в том, что только знаки I, V, X с течением времени не претерпели каких-либо изменений. Другие же цифры в древности изображались иначе.

Ученые предполагают, что первоначально иероглиф для числа 100 имел вид пучка из трех черточек наподобие русской буквы Ж, а для числа 50 – вид верхней половинки этой буквы . В дальнейшем последний иероглиф постепенно трансформировался в знак L: ? ? . А число 100 стали обозначать буквой С (от начальной буквы латинского слова centum – «сто»).

Древние римляне могли выразить одним знаком и числа больше тысячи. Так, для числа 10 000 они применяли значок , а для 100 000 - . Крайние дужки в последнем иероглифе со временем сомкнулись в «арку» , ставшую прообразом специальной рамочки: . Цифра, помещенная в такую рамочку, умножалась на 100 000. Запись , таким образом, представляла число 1 000 000.

В средние века эта традиция получила своеобразное продолжение. Для того чтобы указать, что число следует умножить на 1000, сверху над ним ставили черточку. Например, запись обозначала число 4*1000 + 6 = 4006.

Как читать римские цифры? Одно из правил записи римских чисел гласит: «Если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если же меньшая стоит перед большей (в этом случае меньшая цифра не может повторяться), то меньшая вычитается из большей». К примеру: VII = 5+1+1=7; IX= 10-1=9. Пользуясь этим правилом, можно рассчитать в каком году открылась станция метро «Римская»: MCMXCV=1000+ (1000-100) + (100-10) +5=1995.

В наши дни любую из римских цифр запрещается записывать в одном числе более трех раз подряд. В связи с этим выражение VIIII, XXXX и т.п. считаются некорректными. Однако древние римляне о подобном ограничении ничего не ведали и число 1995, скорее всего, записали бы так: MDCCCCLXXXXV.

Только что мы столкнулись с любопытным феноменом в «обществе» римских чисел: разрешив цифрам-кирпичикам при «сборке» новых чисел не только складываться, но и вычитаться, мы тем самым лишили римские числа одного из самых важных математических свойств – единственности представления. Что теперь мешает, например, записать дату открытия метро «Римская» как MVM, или как MDVD, или еще несколькими другими способами?

Если проанализировать множество старинных и современных надписей римскими цифрами, то можно убедиться, что авторы, старательно скомпоновавшие эти цифры в числа, придерживались каких-то негласных правил. Но единых и четких принципов записи римских чисел до сих пор так и не выработано. Существуют лишь интересные предложения. Так, современный американский ученый Стивен Шварцман предлагает Международный стандарт римских чисел ( ISRN – International Standart Roman Numerals), в основе которого должен лежать свод из специально подобранных им шести правил.

Если вы хотите записывать римские числа так, чтобы они полностью соответствовали пока еще не утвержденному международному стандарту, то в этом поможет приведенная здесь таблица.

Обозначение чисел римскими цифрами

Она позволяет обозначить любое число от 1 до 3999. Сначала запишите число как обычно, в десятичной системе. Затем для цифр, стоящих в разрядах тысяч, сотен, десятков и единиц, по таблице подберите соответствующую кодовую группу. Например, вот как будет выглядеть число 3999: MMMCMXCIX.

Если же понадобится записать число в пределах миллиона, то для выделения знаковой группы тысяч можно воспользоваться надстрочной черточкой или же пометить группу тысяч маленькой подстрочной буквой m, например 273 847 = CCLXXIII_mDCCCXLVII (напомним, что m – первая буква латинского слова mille – «тысяча»). Так тоже было принято записывать римские числа в старину.

Д^{ругие иероглифические системы}

Кроме египетской и римской к иероглифическим системам чисел относятся финикийская, пальмирская, критская, сирийская, греческая, аттическая, или Геродианова (именно из сообщения грамматика Геродиана, жившего во II – III вв., западноевропейские историки впервые узнали о ее существовании). Известны также старокитайская, староиндийская, ацтекская иероглифические системы. В них, как и в египетской и римской системах, вводятся ключевые числа, для обозначения которых применяются специальные иероглифы. Все остальные числа образуются приписыванием с той или иной стороны ключевого числа других ключевых чисел, возможно с некоторыми повторениями.

Любопытно отметить, что у многих народов для обозначения числа 1 применялся один и тот же символ – вертикальная черточка. Это самое древнее число в истории человечества. Оно возникло из простой черты на земле, из зарубки на дереве или кости.

Позиционная десятичная система

Древнейшая известная запись в позиционной десятичной системе обнаружена в Индии и датируется 595 г. Появление хорошо знакомого нам нуля было подготовлено система счисления, издавна применявшимися не только в Индии, но и в Древнем Китае. В этих старинных системах для записи одинакового числа единиц, десятков, сотен или тысяч использовались одни и те же символы, но дополнительно помечалось, в каком разряде они стоят. Постепенно заметили, что даже если не указывать имена разрядов, то число все равно можно прочитать, так как у каждого разряда есть свое «посадочное место» - позиция. А если позиция пуста, то ее нужно пометить специальным значком – нулем. В поздних вавилонских текстах стал появляться такой знак, однако в конце числа его никогда не ставили. Лишь в Индии в IX в. Нуль окончательно занял свое место в нумерации, которая распространилась затем по всему миру.

Индийская нумерация пришла сначала в арабские страны, а затем и в Западную Европу. О ней подробно рассказал среднеазиатский математик аль-Хорезми. Простые и удобные правила сложения и вычитания сколько угодно больших чисел, записанных в позиционной системе, сделали ее особенно популярной. А поскольку труд аль-Хорезми был написан на общем для мусульманского мира языке – арабском, то за индийской нумерацией закрепилось неправильное название – «арабская».

И^{нтересные факты о числах}

О чем могут рассказать

числительные?

Числительные – слова, обозначающие количество или порядок предметов при счете, - появились в те незапамятные времена, когда числам начали давать названия. Прислушайтесь к числительным русского языка – они могут рассказать о себе много интересного.

По-видимому, число 4 когда-то играло особую роль. Специалисты полагают, что в глубокой древности оно служило своеобразным рубежом, отделяющим числа, у которых уже имелись собственные названия (один, два, три, четыре), от близкого и безымянного общества чисел, скрывавшихся под понятием «много». Вероятно, у наших далеких предков «много» обозначало любое количество больше четырех. Посмотрите, какое окончание у существительных в сочетании с древнейшими числительными: две коровы, три коровы, четыре коровы. Но уже начиная с пять и далее существительные меняют окончания: пять коров, шесть коров.

Особняком в ряду числительных стоит и «сорок». Оно явно не похоже на слова «двадцать», «тридцать», «пятьдесят». По всей видимости, слово «сорок» дошло до нас как память о бытовавшей в старину системе счисления с основанием сорок. Теперь о ней напоминает лишь русское устаревшее числительное «сорок сороков»: сорок сороков церквей, сорок сороков всяких небылиц…

Магические свойства

чисел

Число — одна из важнейших категорий в мифопоэтическом образе мира; средство упорядочения и моделирования Вселенной; в народной традиции объект семантизации, символизации и оценки . С чет, перечисление часто трактуется как опасное действие, с помощью которого можно овладеть предметом счета, подчинить его своей воле . Например, запрещается пересчитывать овец в стаде (это может нанести им вред), летящих птиц в стае (их можно сбить с пути), измерять длину вытканного полотна и т . п . В Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки. всех славянских традиций в магических целях используется формула убывающего счета (9-8-7-6-5-4-3-2-1-0) как способ «сведения на нет» опасности, ср . в русском заговоре от червей: «У нашего (имя рек) 9 жен; после 9 жен 8 жен, после 8 жен 7 жен, ... после двух жен одна жена; после одной жены ни одной...» Само понятие множественности выражаемое различными предметными символами, такими как Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки., песок, Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки., листва Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки., Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки., Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки., Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки. и т.п.) ассоциируется с изобилием, Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки., благополучием и получает продуцирующее значение. Этот же признак множественности, неисчислимости предметов делает их препятствием на пути Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки. (ср. осыпание маком Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки., загона для скота и т.п.).

Элементы числового ряда в своих культурных функциях неравноценны. Наиболее значимы числа 2, 3, 4, 7, 9, 12, 20, 30, 40, каждое из которых получает истолкование в зависимости от тех реалий или событий окружающего мира, с которыми оно соотносится. Число 2 символизирует парность, четность, удвоение, двойничество и получает преимущественно отрицательную оценку, считается дьявольским числом; реже оценивается положительно. Два одинаковых предмета, двойные или сдвоенные предметы могли, по поверьям, принести неудачу и даже Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки.. Рождение Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки. часто воспринималось как несчастье; опасными считались сросшиеся плоды, яйца с двумя желтками, две одновременно горящие свечи и т.п.; не следовало вдвоем Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки. Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки., мести пол, утираться одним полотенцем, Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки. колыбель и др., дважды совершать какое-либо действие (так, дурным Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки. будет обладать Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки., которого дважды отнимали от груди; магические ритуалы не поручались Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки., которая была дважды замужем, и т.п.). Чрезвычайную опасность представляли люди, обладавшие двумя Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки. (см. Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки.). Вместе с тем число 2 могло наделяться способностью противодействовать нечистой силе, ср. загадку о Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки.: «Два раза родится, ни разу не крестится, а Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки. его боится» . В обрядах Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки. села в случае мора должны были участвовать близнецы; часто нечистую силу отгоняли с помощью двух предметов или орудий (например, чесальных гребней), между которыми пропускали или помещали защищаемое существо или предмет .

Восприятие числа 2 определило отношение к признаку «чет — нечет»: парность (четность) в магической практике часто (но не всегда) оценивается негативно, а непарность (нечетность) — позитивно (например, непарным должно быть число подкладываемых под курицу яиц; число сватов в обряде сватовства Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки. и т.п.). Напротив, при Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки. о замужестве четное число (принесенных в охапке дров, обхваченных кольев забора и т.п.) сулило скорое замужество.

Число 3 относится к наиболее значимым элементам числового ряда. Оно символизирует завершенность и полноту некоторой последовательности, имеющей Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки., середину и конец, и чаще всего фигурирует в предписаниях трижды совершать то или иное магическое действие (Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки., закрещивание, Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки., произнесение заговора и др.). Ср. также в фольклоре: тридевятое царство, за тридевять земель, троекратное повторение сюжетных ходов и т.п. (К: число опоры, стабильности)

Число 4 играет значительно меньшую роль в магических ритуалах и верованиях. Оно ассоциируется прежде всего с четырьмя сторонами Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки., четырьмя Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки. дома, четырьмя концами Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки. и т.п. (К: то есть, число пространства)

Числу 7 приписывается сакральное значение у многих народов; в славянской традиции оно чаще всего относится к единицам времени или к лицам (ср. в сербских заклинаниях Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки. туч: семилетняя девочка, родившая семерых детей, но также и представление о семи Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки.).

Временное значение имеет и число 9 , воспринимаемое и как утроенное число 3. Оно часто фигурирует также в магических текстах и ритуалах (особенно лечебных), где используются 9 камешков, 9 щепок, 9 угольков, вода из 9 Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки. и т.п. Ср. сербский рецепт: «Найди 9 никогда не кошеных лугов и когда на них вырастет трава высотой в 9 пальцев, собери 9 парней, пусть они ее скосят новыми косами, а 9 девушек пусть их соберут новыми вилами, потом это сено надо варить в 9 новых чанах, этой водой помойся и тогда выздоровеешь» .

Семантика числа 40 в значительной степени определяется ассоциацией с сорокадневным периодом после смерти, на протяжении которого душа умершего пребывает на Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки..

В духовных стихах преобладают христианские ассоциации чисел: «Поведайте, что есть десять? — Десять Божьих заповедей; — Девять в году радостей; — Восемь Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки. солнечных; — Семь чинов Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки.; — Шесть крыл херувимских; — Пять ран без вины Господь терпел; — Четыре листа Евангельских; — Три патриарха на земле; — Два тавля Исеевы; — Един Сын на Сионской горе...»

Формула вечного

календаря.

Можете ли вы ответить, на какой день недели придется день вашего рождения, скажем, через 5 лет? Это несложно вычислить. Тут, как и во многих других случаях, пригодится умение рассчитывать остатки.

Мы приведем универсальную формулу, пригодную для определения дня недели любой даты в любом столетии. Пусть n – номер дня недели в следующем порядке: 0 – воскресенье, 1 – понедельник, 2 – вторник, 3 – среда, 4 – четверг, 5 – пятница, 6 – суббота.; d – число месяца (дата); m – номер месяца, если начинать счет с марта: 1 – март, 2 – апрель, 3 – май, 4 – июнь, 5 – июль, 6 – август, 7 – сентябрь, 8 – октябрь, 9 – ноябрь, 10 – декабрь, 11 – январь, 12 – февраль (такая нумерация помогает при выводе формулы устранить неудобство, связанное с переменным количеством дней в феврале). Далее, пусть y – это номер года в столетии, c – количество столетий с учетом того, что январь считается 11-м, а февраль – 12-м месяцем предыдущего года. (К примеру, если речь идет о 2000 г., то для даты, приходящейся на январь или февраль, следует считать y = 99, c = 19, а для даты, приходящейся на другие месяцы, y = 0, c = 20.)

В этих обозначениях формула для нахождения дня недели такова: n – остаток от деления на 7 числа W, где

Квадратные скобки здесь обозначают так называемую целую часть числа, т.е. наибольшее целое число не превосходящее данное число. Например, [3,4] = 3, [-3,14] = - 4, [3] = 3.

Даже если W принимает отрицательное значение, остаток n от его деления на 7 все равно должен быть больше или равен нулю. Например, для 8 марта 2000 г. W = - 25 = 7 * (- 4) + 3. Поэтому n = 3, т.е. это среда

Магические квадраты

Магическим квадратом называется расположение чисел от 1 до n² в виде квадрата так, что числа в каждом столбце, строчке и диагоналях дают одинаковую сумму S, называемую магической суммой.

Магические квадраты могут быть построены для любого натурального числа n >2. Для n=2 таких квадратов не существует, в чем легко убедиться рассмотрением всевозможных случаев расположения чисел 1, 2, 3, 4 в виде квадрата.

Докажем, что для заданного числа n>2 магическая сумма определяется однозначно формулой

S=1/2n (n²+1).

Действительно, с одной стороны, сумма всех чисел в магическом квадрате равна Sn, а с другой стороны, она равна 1+2+…n² = 1/2n² (n²+1). Сравнивая оба результата, получим формулу S=1/2n (n²+1).

Рассмотрим случай n=3. Пусть

- магический квадрат. Его сумма S равна 15. Складывая суммы чисел строки, столбца и диагоналей, содержащих y_2, находим: y₂=5. Число 9 не может стоять в углу квадрата. Действительно, если бы, например, х₁=9, y₁+z₁ =6, х₂+х₃=6. Так как осталось четыре числа, меньших 6 (1, 2, 3, 4), для которых оба равенства одновременно не могут быть выполнены, то х₁=9 – противоречие. Значит, 9 находится в середине строки или столбца. Тогда число 7 не может находиться в углу, так как тогда оно находилось бы в одной строке либо с 9, либо с 1, чего быть не может. Значит 7 – в середине строки.

С точностью до замены строк столбцами и перестановки крайних строк и столбцов, получаем единственный магический квадрат, например,

Во времена средневековья странные свойства магических квадратов считались волшебными и поэтому магические квадраты служили талисманами, защищающими тех, кто их носит, от многих несчастий. Например, на знаменитой гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия», созданной в 1514 г., изображен магический квадрат 4х4, две средние цифры в последней строке которого изображают год создания этой гравюры:

Для больших значений n можно построить много различных магических квадратов. В XVI и XVII веках и даже позже составление магических квадратов столь же процветало, как и кроссвордов в наши дни. Особенно страстным поклонником составления магических квадратов был выдающийся американский общественный деятель Бенджамин Франклин (1706-1790). Он составил магический квадрат 16х16.

Магический квадрат Бенджамина Франклина обладает замечательным свойством. Если вырезать из листа бумаги квадрат 4х4 и уложить этот лист на большой квадрат так, чтобы 16 квадратов большого квадрата попали в эту прорезь, то сумма 16 чисел, появившихся в этой прорези, куда бы мы ее не положили на большой квадрат, будет одна и та же и равна магической сумме 2056. Сумма чисел диагоналей этого квадрата равна:

1928+2184-2х2056

Магический квадрат Бенджамина Франклина

Магическая сумма этого квадрата:

S=1/2*16(256+1)=2056