Вход

Параметрическая оптимизация в задачах проектирования РЭС

Реферат по радиоэлектронике
Дата добавления: 20 июня 2009
Язык реферата: Русский
Word, rtf, 1.3 Мб
Реферат можно скачать бесплатно
Скачать
Данная работа не подходит - план Б:
Создаете заказ
Выбираете исполнителя
Готовый результат
Исполнители предлагают свои условия
Автор работает
Заказать
Не подходит данная работа?
Вы можете заказать написание любой учебной работы на любую тему.
Заказать новую работу
1. Основные понятия и определения Оптимальное проектирование – это процесс принятия наилучших (оптимальных в некотором смысле) решений с помощью ЭВМ. Данная проблема возникает и требует решения на всех этапах проектирования и во многом определяет техн и ко-экономическую эффективность и технологичность прое к тируемых изделий. Большинство задач принятия решений можно сформ у лировать в терминах теории математического программиров а ния, то есть в виде совокупности критериев качества и огран и чений /1-8/. В соответствии с общепринятыми обозначениями в ы делим управляемые (внутренние) параметры объекта проект и рования X =( x 1,…, xn ) и выходные параметры Y =( y 1,…, ym ). Как правило, при оптимизации целесообразно изменять не все внутренние параметры, а только те из них, которые ок а зывают наиболее существенное влияние на выходные пар а метры. Выбор управляемых параметров осуществляют либо по результатам анализа чувствительности, либо в интерактивном режиме по желанию проектировщика / 2 /. Для нахождения оптимальных решений должна быть и з вестна математическая модель объекта проектирования, з а дающая зависимость выходных параметров Y от управляемых параметров X , адекватно описывающая работу объекта прое к тир о вания: Y = F ( X ), (1.1) где вектор F = ( f 1, f 2.,…, fm ) в качестве компонент может включать как функциональные, так и алгоритмические зав и сим о сти. В скалярном виде формула (1.1) примет вид: Оптимизационная задача не может быть сформулиров а на при отсутствии математической модели объекта проектиров а ния, при этом вид математической модели во многом опред е ляет целесообразность и возможность применения того или иного метода. На каждом этапе проектирования конструкции или те х нологии РЭС в начале работы приходится принимать реш е ния в условиях неопределенности. Чаще всего это относи т ся к построению или выбору варианта структуры объекта прое к тирования в рамках блочно-иерархического подхода /2, 3,7,8/, то есть к задачам структурной опт и мизации. Выбор варианта структуры во многом снимает неопредел e нность, что позволяет строить математическую модель (1.1), (1.2) и проводить на ее основе параметрическую опт и мизацию, то есть подбор наилучшего набора значений упра в ляемых параметров (например, номиналов индуктивностей, емкостей, резисторов, параметров активных элементов, коо р динат компонентов на плате и др.), при которых выполняются о г раничения (технические требования технического задания) и до с тигают своих экстремальных значений (максимума или минимума) критерии качества объекта проектирования (на и более важные с точки зрения проектировщика схемные и ко н структивные выходные параметры объекта проектирования, по которым оценивается его качество), например, частотные характеристики, коэффициент передачи, потребляемая и в ы ходная мощности, габариты, длина соединительных проводн и ков, перегрев, температура и т. п.). Если параметрическая о п тимизация проходит достаточно с небольшими временными затратами (несложные устройства, использование упрощенных математических моделей, отсутствие жестких требований на точность результатов и т. д.), может быть выполнен некоторый перебор различных структур построения проектируемого объекта, т.е. осуществлена структурная оптимизация устройства. Решение задачи проектирования радиоэлектронного устройства с оптимальными характеристиками с использованием методов параметрической оптимизации /2,8/ включает три этапа: 1 – компьютерное моделирование устройства; 2 – с о ставление целевой функции с выбором критериев оптимальности; 3 – поиск экстремума получе н ной целевой функции и определение оптимальных внутренних параметров устройс т ва. Моделирование (анализ) РЭС требует на соответс т вующих уровнях наличия математических моделей и пров о дится в основном численными методами /8/. Главным крит е рием моделирования наряду с необходимой точностью и аде к ватн о стью модели является быстродействие, скорость расчета на ЭВМ выходных параметров устройс т ва. Этап составления целевой функции при оптимиз а ции устройства является самым творческим и неформальным /2,7,8/. Целевая функция строится на основе выходных пар а метров устройства (характеристик), которые необходимо о п тимизировать. Таким образом, оптимальное проектирование РЭС сводится к составлению или выбору целевой функции, многократному анализу характеристик (выходных параметров) ус т ройств и затем минимизации или максимизации целевой функции с применением в различных методов оптимизации, выбор конкретного из которых обусловлен спецификой данной решаемой задачи . 2. Постановка задачи параметрической оптимизации на основе анализа требований ТЗ Критерии качества и ограничения задачи параметрич е ской оптимизации прямо либо опосредованно зависят от в ы ходных п а раметров объекта проектирования Y = ( y 1, y 2.,…, ym ). В простейшем случае в качестве критериев качества могут быть выбраны наиболее существенные с точки зрения прое к тировщика выходные параметры. Все остальные выходные п а раметры при этом необходимо учесть в виде огранич е ний. Критерии качества в литературе принято называть также цел е выми функциями, критериями оптимальности, частными кр и териями качества, функциями цели и т.п. /2, 5-8/. Обозначим критерии качества Ki = Ki ( x 1, x 2.,…, xn ), i = 1,…, s , где s – количество критериев качества, а Ki ( X ) – либо один из выходных параметров Y = ( y 1, y 2.,…, ym ), либо Ki ( X ) = я ( Y ), где я ( Y ) – заданная функциональная зависимость. Все ограничения задачи параметрической оптимизации получаем на основе анализа технических требований к пар а метрам объекта проектирования, содержащихся в ТЗ. Ра с смотрим формализацию ограничений на примере выходных параметров Y (для внутренних параметров Х справедливы аналогичные рассуждения). Технические требования обычно имеют вид yj = TTj + яj , где TTj – желаемое значение параметра yj , я а яj – его допустимый разброс ( j = 1,…, m ). Таким образом, справедливы двойные нер а венства TTj - яj яя yj я TTj + яj ( j = 1,…, m ), то есть Yj - TTj - яjяяя TTj - яj - yjяяяя ( j = 1,…, m ). Таким образом, п о лучаем L =2я m неравенств вида gl ( X ) яяя , l = 1,…, L . Общая математическая постановка задачи параметрической оптимизации, как задачи математического программир о вания /2, 5-8/ , имеет вид Множество наборов значений управляемых параметров Х, удовлетворяющих ограничениям gl ( X ) яя я , l = 1,…, L , наз ы вают областью работоспособности, или обл а стью допустимых значений управляемых параметров: X Р = X = x 1, x 2, …, xn ) gl ( X ) яяя , l =1,…, L . Если функция Ki ( X ) имеет один минимум или макс и мум в заданной области работоспособности, то ее называют одноэкстремальной (унимодальной), если несколько, то - многоэкстремальной. Каждый минимум (максимум) многоэк с тремальной функции называют локальным, наименьший (на и больший) из них – глобал ь ным. Если ограничения на внутренние параметры gl ( X ) о т сутствуют, то задача оптимизации называется безусловной, в противном случае – условной. При практическом проектировании РЭС встают задачи поиска как безусловных, так и условных экстремумов уним о дальных и многоэкстремал ь ных функций. Рассмотрим в качестве примера типичное ТЗ на разработку аналогового устройства – усилителя: ”Коэффициент усил е ния К o на средних частотах должен быть не менее 10000, входное сопротивление R - в ы х не менее 1 МОм, выходное сопротивление R - вых не более 200 кОм, верхняя граничная частота f в не менее 100 кГц, температурный дрейф нуля U др не более 50 мкВ/град; усилитель должен нормально функционировать в диапазоне температур от – 50 до +60 градусов Цельсия, напряжения источников питания +5 и – 5 В, предельные отклон е ния напряжений не более +0,5%, усилитель эксплуатируется в стационарной установке, габариты платы 60х40 мм”. В да н ном случае выходными параметрами явл я ются Y = К o , R вх, R вых, f в, U др . К внешним воздействиям относятся температура окр у жающей среды и напряжения источников питания. Управля е мыми параметрами являются пар а метры элементов схемы. Область работоспособности X Р = X я10000 - К o яяяя , 1- R вх яя , R вых-200 яяя , 100- f в яяяя , 50- U др яяя . Особенность технического задания для дискретных объектов (например, цифровых устройств) заключается в форме записи огранич е ний (условий работоспособности), которые могут иметь вид лог и ческих уравнений, таблиц истинности или даже текстовую фо р му. Целью решения задачи параметрической оптимизации (1.3) является определение такого набора значений параметров X *=( x 1*, x 2*.,…, xn *), X *яХР, при котором критерии качества Ki ( X *), i =1,…, s достигают своих наилучших (минимальных или максимальных ) значений. 3. Классификация задач параметрической оптимизации Задача параметрической оптимизации (1.3) являе т ся многопараметрической, многокритериальной и содержит о г раничения, все эти факторы определяют особенности, возн и кающие в процессе ее решения. В зависимости от вида крит е риев качества и ограничений проводят классификацию з а дач параметрической оптимизации (задач математического пр о граммир о вания) /2,5-8/. Если целевая функция и ограничения линейные функции вида С0 + С1яХ1+ С2яХ2+…+ С n яХn., (1.4) то задача оптимизации вида (1.3) называется задачей линейн о го программирования, в противном случае – задачей нелине й ного программирования . Если целевая функция квадратичная, а ограничения – л и нейные функции, то задача (1.3) называется задачей квадр а тичного программирования. Если целевая функция и огран и чения имеют вид Х1яХ2я…яХn., то задача (1.3) – это задача геометрического пр о граммиров а ния. Если целевую функцию можно представить в виде с у перпозиции функций, то задача (1.3) – это задача динамическ о го программирования. Если целевая функция и огранич е ния целочисленные функции, то задача (1.3) – это задача целочисленного програ м мирования. В большинстве случаев при проектировании РЭС цел е вая фун к ция нелинейно зависит от внутренних параметров, поэтому соответствующие задачи параметрической оптимиз а ции относятся к задачам нелинейного программирования, для решения которых используются методы математического н е линейного пр о граммирования /2, 5-8/. Кроме того, в некоторых частных случаях (например, при топологическом проектир о вании РЭС) в силу высокой трудоемкости задач применение методов математического программирования затруднено, т о гда используются различные приближенные способы получ е ния решений, приближающихся к оптимальным, например, эвристические алгоритмы и т. д. /8-12/. яяяяя Кроме того, в зависимости от вида используемых математических моделей, задача оптимизации может быть дете р минированной или стохастической, непрерывной или дискре т ной, аналитической или алгоритмической, при этом для ка ж дого класса задач имеется свой, в достаточной степени апр о бированный, математический аппарат /2,5-10/. Так, для задач л и нейного программирования успешно применяется симплекс-метод /7, 8/. Характерной особенностью задач оптимизации в САПР является тот факт, что классические методы нахождения эк с тремума, требующие аналитического выражения для целевой функции, практически неприменимы, так как в большинстве случаев используются алгоритмические модели, в которых вычисление значений целевых функций (критериев оптимал ь ности) и их производных производится численными методами. П о этому наиболее универсальными и эффективными для задач нелинейного программирования являются методы поисковой оптимиз а ции /2,7,8/. Для обеспечения возможности применения методов п о иска к решению задачи оптимизации в постановке (1.3) нео б ходимо некоторым образом упростить математическую п о становку задачи: перейти от многокритериальной задачи о п тимизации к однокритериальной и от задачи с ограничениями - к задаче безусловной оптимизации. 4. Многокритериальная оптимизация в задачах с огранич е ниями 4.1. Методы перехода от многокритериальной зад а чи оптимизации к однокритериальной Для того , чтобы оценить насколько хорошо удовлетворяют требованиям ТЗ значения частных критериев качества при заданном наборе значений внутренних параметров X = ( x 1, x 2.,…, xn ), нужно построить обобщенный критерий качества (обобщенную целевую функцию) f (Х), которая одновременно учитывает требования ко всем частным критериям. Иными словами, от многокритериальной задачи пар а метрической оптимизации в виде: необходимо перейти к однокритериальной задаче: Наиболее часто на практике используются следующие методы построения целевой функции (методы векторной свертки частных критериев): метод главного критерия, адд и тивный, мультипликативный, минимаксный и вероятнос т ный /7-9/. В методе выделения главного критерия проектировщик выбирает один, наиболее важный с его точки зрения частный критерий качества, который и принимается за обобщенную целевую функцию, а требования к остальным частным крит е риям учитывают в виде ограничений f ( X )= Kt ( X ), (1.7) где t – номер наиболее важного частного критерия. Например, задана принципиальная электрическая схема логического элемента и условия работоспособности на следу ю щие выходные параметры: y 1 – коэффициент нагружения, y 2 – запас помех о устойчивости, y 3 – средняя рассеиваемая мощность, y 4- з а держка распространения сигнала. Необходимо рассчитать п а раметры пассивных элементов, то есть управляемые параме т ры – это сопротивления резисторов. В качестве целевой фун к ции может быть выбран один из выходных параметров, н а пример, y 4 ( f ( X )= y 4 ). В аддитивном методе каждому из частных критер и ев качества ставится в соответствие весовой коэфф и циент (вес i -го частного критерия 0 яяяяя 1 яяi =1,…, s ,), характеризу ю щий важность данного критерия с точки зрения проектиро в щика (сумма весовых коэффициентов должна быть равна 1). При построении целевой функции в аддитивном мет о де используется соотношение: если f ( X )яяя max , то - f ( X )яяя min . Каждый частный критерий можно включить в а д дитивную ц е левую функцию по правилу: умножить на весовой коэффиц и ент и включить в целевую функцию со знаком плюс или м и нус. Чтобы построить минимизируемую целевую функцию f Ї ( X )яя min , все минимизируемые частные критерии K Ї i ( X ) ( K Ї i ( X )яя я min , i = 1,…, t ) включают в аддитивную функцию со знаком плюс, то есть прибавляют к целевой функции, а все максимизируемые критерии K + i ( X ) ( K + i ( X )яя я min , i = t +1,…, s ) включают в аддитивную функцию со знаком минус, то есть вычитают из целевой функции: или для максимизируемой целевой функции: t _ s + f ( X )=я-я яяя я Ki ( X )+яя яяя я Ki ( X ) )яя я max , (1.9) i =1 i = t +1 где s – общее число частных критериев, а t – количество минимизируемых критериев. В нашем примере четыре частных критерия, то есть s = 4, t = 2: K 1( X )яя яmax , K 2( X )яя я max , K3(X) яя я min, K4(X) я я min. Пусть яя я яя я яя яяяя я 0яяяяя тогда яя f(X) = яяяяя K1(X) я я яяяяя K2(X) яяяяяяяя K3(X) я я яяяяя K4(X) я я max, или f(X) = яяяяяяя K1(X) я я яяяяя K2(X) я я яяяяя K3(X) я я яяяяя K4(X) я я min. В мультипликативном методе используется правило: е с ли f ( X )яяя max , то 1/ f ( X )яяя min при условии, что f ( X )яяяяяя В отличие от аддитивного метода, частные критерии не складывают, а перемножают. Кроме того, в мультипликати в ном методе не используют весовые коэффициенты. Целевая фун к ция строится в виде дроби. Если f ( X )яя min , то в числитель дроби включают прои з ведение всех минимизируемых критериев, а в знаменатель – произведение всех максимизируемых критериев: или если целевую функцию нужно максимизировать: В нашем примере с применением мультипликативного метода свертки критериев целевые функции: Минимаксный метод построения обобщенной целевой функции получил свое название потому, что в нем минимиз и руется максимальное отклонение частного критерия качества от его наилучшего, желаемого значения (технического треб о вания, оговоренного в ТЗ). где X = ( x 1, x 2.,…, xn ), то есть Логика минимаксного построения целевой функции заключается в том, что в каждый момент времени в качестве гла в ного выбирается тот из частных критериев качества Ki ( X ), который в наибольшей степени удален от своего желаемого (оптимального) значения Ki *. В нашем примере ( s = 4) при желаемых значениях K 1* = 0,2; K 2* = 1000; K 3* = 25; K 4* = 1 по минимаксн о му методу получим: Другими словами, минимизируется “самый плохой” из ч а стных критериев. Рассмотрим три ситуации, изображенные на рис. 1.1. На оси у откладывается величина я Ki ( X )я Ki *я/ Ki * ядля всех частных критериев ( i = 1,2,3,4 для нашего примера). В случае а) хуже всего удовлетворяет требованиям ТЗ крит е рий K 3(Х), поэтому f ( X )=я K 3( X )я K 3*я/ K 3*, то есть в теч е ние некоторого времени усилия оптим и зации будут направлены на приближение критерия K 3( X )як его желаемому значению K 3*яяПри этом могут ухудшиться знач е ния других критериев. Например, в случае б) для дальнейшей оптимизации будет выбран критерий K 1( X ). Рис. 1.1 Процесс продолжают до тех пор, пока все частные крит е рии не будут достаточно (с требуемой точностью) близки к своим желаемым значениям ( случай в), изображенный на рис. 1.1). При этом приведение критериев к нормированному виду я Ki ( X )я Ki *я/ Ki *янеобходимо, чтобы в равной степени учит ы вать изменение критериев независимо от их абсолютных величин (как слишком больших, так и слишком малых, во з можно различающихся на несколько п о рядков). В случае вероятностного (статистического) метода п о строения обобщенной целевой функции выбирают f ( X ) = P ( X ) яя max , (1.16) , где P ( X ) – вероятность выполнения условий работоспособн о сти, то есть вероятность того, что при наборе значений вну т ренних параметров X = ( x 1, x 2.,…, xn ) выходные параметры об ъ екта проектирования будут удовлетворять требованиям ТЗ. Для определения вероятности Р(Х) на практике обычно и с пользуют метод статистических испытаний (метод Монте-Карло) / 5 /. 4.2. Методы перехода от задачи с ограничениями к задаче бе з условной оптимизации Для перехода от задачи параметрической оптимизации с ограничениями (1.6) к задаче без ограничений, или задаче безусловной оптимизации Ф(Х) яя я extr , (1. 17) используется один из следующих методов: метод неопределенных множителей Лагранжа; метод штрафных функций; метод барьерных функций /5-8/. В методе неопределенных множителей Лагранжа вводятся дополнительные переменные y 1, y 2.,…, yL , которые наз ы вают неопределенными множителями Лагранжа. Их количес т во равно числу ограничений L в задаче оптимизации (1.6). Формула (1.18) применима, если задача (1.6) ставится как задача максимизации, при этом для полученной целевой фун к ции Ф( X , Y ) необходимо найти седловую точку, то есть по п е ременным X = x 1, x 2.,…, xn ) проводится поиск максимума, а по переменным Y = ( y 1, y 2.,…, ym ) – поиск минимума, то есть Основной проблемой при использовании метода Лагра н жа является значительное увеличение размерности задачи п а раметрической оптимизации. В методе штрафных функций целевую функцию задачи безусловной оптимизации получают по формуле: Ф(Х)= f ( X )+ яя k ( X ) яя я extr , (1. 20) где X = ( x 1, x 2.,…, xn ) – набор управляемых параметров, я k ( X ) - штрафная функция, k -номер итерации (шага) в методе поиск о вой оптимизации. На практике задачи параметрической оптимизации решаются в основном итерационными (пошаговыми) методами, которые называют методами поисковой оптимизации. При этом на каждом шаге поиска значение штрафной функции яя k ( X ) уточняется (рассчитывается заново) по формуле: где r k =10 k . Формула (1.21) применима, если задача (1.6) ставилась как задача минимизации. Логика построения штрафной функции заключается в следующем: внутри области работоспособности ХР g l ( X ) яяя , L = 1,…, L , на границе – g l ( X ) яяя , а вне ХР g l ( X ) > яя (рис. 1.2). Целевая функция задачи безусловной оптимизации Ф(Х) должна быть максимально близкой к целевой функции f (Х) задачи с ограничениями внутри области работоспосо б ности X Р = X = ( x 1, x 2.,…, xn )я gl ( X ) яяя , l = 1,…, L и быть знач и тельно хуже (больше) функции f (Х) вне области работосп о собн о сти, то есть при gl ( X ) > я . Действительно, внутри области работ о способности ХР gl ( X ) яяяяя , l = 1,…, L , поэтому max 0, gl ( X ) = 0 для всех ограничений, то есть внутри области работоспособности Ф(Х) = f (Х). Если ограничения выполнены, то никакого штрафа на целевую функцию не накладывается. В противном случае, если имеются нарушения одного или нескольких огр а ничений g t ( X ) > яя 1 яяt яяL , то каждое из них дает свой вклад в штрафную функцию яk ( X ) в виде квадрата сл а гаемого [ max 0, gt (Х) ], где max 0, gt (Х) = gt (Х). Метод штрафных функций часто назыв а ют методом внешней точки, потому что при проведении дальнейшей оптимизации поисковыми методами для метода штрафных функций не важно, принадлежит ли начальная точка поиска области работоспособн о сти ХР. В методе барьерных функций на границе области работ о способности ХР ставится непреодолимый барьер (целевая функция задачи безусловной оптимизации Ф(Х) возрастает до бесконечности на границе области ХР). Поэтому начальная точка поиска обязательно должна принадлежать области раб о тоспособности, если при построении целевой функции задачи безусловной оптимизации был применен метод штрафных функций, или метод внутренней точки. Целевую функцию Ф(Х) в методе барьерных функций получают по формуле Ф(Х)= f ( X )+ яя k ( X ) яя я extr , (1.22) где k - номер итерации поискового метода, весовой коэффициент rk =10 - k , а барьерная функция яя k ( X ) вычисл я ется по формуле Действительно, при приближении к границе ХР gl (Х) 0, так как ХяХР (метод внутренней точки) gl ( X ) яяя , l = 1,…, L , поэтому gl (Х)
© Рефератбанк, 2002 - 2018