Параметрическая оптимизация в задачах проектирования РЭС

1. Основные понятия и определения Оптимальное проектирование – это процесс принятия наилучших (оптимальных в некотором смысле) решений с помощью ЭВМ. Данная проблема возникает и требует решения на всех этапах проектирования и во многом определяет техн и ко-экономическую эффективность и технологичность прое к тируемых изделий. Большинство задач принятия решений можно сформ у лировать в терминах теории математического программиров а ния, то есть в виде совокупности критериев качества и огран и чений /1-8/. В соответствии с общепринятыми обозначениями в ы делим управляемые (внутренние) параметры объекта проект и рования X =( x 1,…, xn ) и выходные параметры Y =( y 1,…, ym ). Как правило, при оптимизации целесообразно изменять не все внутренние параметры, а только те из них, которые ок а зывают наиболее существенное влияние на выходные пар а метры. Выбор управляемых параметров осуществляют либо по результатам анализа чувствительности, либо в интерактивном режиме по желанию проектировщика / 2 /. Для нахождения оптимальных решений должна быть и з вестна математическая модель объекта проектирования, з а дающая зависимость выходных параметров Y от управляемых параметров X , адекватно описывающая работу объекта прое к тир о вания: Y = F ( X ), (1.1) где вектор F = ( f 1, f 2.,…, fm ) в качестве компонент может включать как функциональные, так и алгоритмические зав и сим о сти. В скалярном виде формула (1.1) примет вид: Оптимизационная задача не может быть сформулиров а на при отсутствии математической модели объекта проектиров а ния, при этом вид математической модели во многом опред е ляет целесообразность и возможность применения того или иного метода. На каждом этапе проектирования конструкции или те х нологии РЭС в начале работы приходится принимать реш е ния в условиях неопределенности. Чаще всего это относи т ся к построению или выбору варианта структуры объекта прое к тирования в рамках блочно-иерархического подхода /2, 3,7,8/, то есть к задачам структурной опт и мизации. Выбор варианта структуры во многом снимает неопредел e нность, что позволяет строить математическую модель (1.1), (1.2) и проводить на ее основе параметрическую опт и мизацию, то есть подбор наилучшего набора значений упра в ляемых параметров (например, номиналов индуктивностей, емкостей, резисторов, параметров активных элементов, коо р динат компонентов на плате и др.), при которых выполняются о г раничения (технические требования технического задания) и до с тигают своих экстремальных значений (максимума или минимума) критерии качества объекта проектирования (на и более важные с точки зрения проектировщика схемные и ко н структивные выходные параметры объекта проектирования, по которым оценивается его качество), например, частотные характеристики, коэффициент передачи, потребляемая и в ы ходная мощности, габариты, длина соединительных проводн и ков, перегрев, температура и т. п.). Если параметрическая о п тимизация проходит достаточно с небольшими временными затратами (несложные устройства, использование упрощенных математических моделей, отсутствие жестких требований на точность результатов и т. д.), может быть выполнен некоторый перебор различных структур построения проектируемого объекта, т.е. осуществлена структурная оптимизация устройства. Решение задачи проектирования радиоэлектронного устройства с оптимальными характеристиками с использованием методов параметрической оптимизации /2,8/ включает три этапа: 1 – компьютерное моделирование устройства; 2 – с о ставление целевой функции с выбором критериев оптимальности; 3 – поиск экстремума получе н ной целевой функции и определение оптимальных внутренних параметров устройс т ва. Моделирование (анализ) РЭС требует на соответс т вующих уровнях наличия математических моделей и пров о дится в основном численными методами /8/. Главным крит е рием моделирования наряду с необходимой точностью и аде к ватн о стью модели является быстродействие, скорость расчета на ЭВМ выходных параметров устройс т ва. Этап составления целевой функции при оптимиз а ции устройства является самым творческим и неформальным /2,7,8/. Целевая функция строится на основе выходных пар а метров устройства (характеристик), которые необходимо о п тимизировать. Таким образом, оптимальное проектирование РЭС сводится к составлению или выбору целевой функции, многократному анализу характеристик (выходных параметров) ус т ройств и затем минимизации или максимизации целевой функции с применением в различных методов оптимизации, выбор конкретного из которых обусловлен спецификой данной решаемой задачи . 2. Постановка задачи параметрической оптимизации на основе анализа требований ТЗ Критерии качества и ограничения задачи параметрич е ской оптимизации прямо либо опосредованно зависят от в ы ходных п а раметров объекта проектирования Y = ( y 1, y 2.,…, ym ). В простейшем случае в качестве критериев качества могут быть выбраны наиболее существенные с точки зрения прое к тировщика выходные параметры. Все остальные выходные п а раметры при этом необходимо учесть в виде огранич е ний. Критерии качества в литературе принято называть также цел е выми функциями, критериями оптимальности, частными кр и териями качества, функциями цели и т.п. /2, 5-8/. Обозначим критерии качества Ki = Ki ( x 1, x 2.,…, xn ), i = 1,…, s , где s – количество критериев качества, а Ki ( X ) – либо один из выходных параметров Y = ( y 1, y 2.,…, ym ), либо Ki ( X ) = я ( Y ), где я ( Y ) – заданная функциональная зависимость. Все ограничения задачи параметрической оптимизации получаем на основе анализа технических требований к пар а метрам объекта проектирования, содержащихся в ТЗ. Ра с смотрим формализацию ограничений на примере выходных параметров Y (для внутренних параметров Х справедливы аналогичные рассуждения). Технические требования обычно имеют вид yj = TTj + яj , где TTj – желаемое значение параметра yj , я а яj – его допустимый разброс ( j = 1,…, m ). Таким образом, справедливы двойные нер а венства TTj - яj яя yj я TTj + яj ( j = 1,…, m ), то есть Yj - TTj - яjяяя TTj - яj - yjяяяя ( j = 1,…, m ). Таким образом, п о лучаем L =2я m неравенств вида gl ( X ) яяя , l = 1,…, L . Общая математическая постановка задачи параметрической оптимизации, как задачи математического программир о вания /2, 5-8/ , имеет вид Множество наборов значений управляемых параметров Х, удовлетворяющих ограничениям gl ( X ) яя я , l = 1,…, L , наз ы вают областью работоспособности, или обл а стью допустимых значений управляемых параметров: X Р = X = x 1, x 2, …, xn ) gl ( X ) яяя , l =1,…, L . Если функция Ki ( X ) имеет один минимум или макс и мум в заданной области работоспособности, то ее называют одноэкстремальной (унимодальной), если несколько, то - многоэкстремальной. Каждый минимум (максимум) многоэк с тремальной функции называют локальным, наименьший (на и больший) из них – глобал ь ным. Если ограничения на внутренние параметры gl ( X ) о т сутствуют, то задача оптимизации называется безусловной, в противном случае – условной. При практическом проектировании РЭС встают задачи поиска как безусловных, так и условных экстремумов уним о дальных и многоэкстремал ь ных функций. Рассмотрим в качестве примера типичное ТЗ на разработку аналогового устройства – усилителя: ”Коэффициент усил е ния К o на средних частотах должен быть не менее 10000, входное сопротивление R - в ы х не менее 1 МОм, выходное сопротивление R - вых не более 200 кОм, верхняя граничная частота f в не менее 100 кГц, температурный дрейф нуля U др не более 50 мкВ/град; усилитель должен нормально функционировать в диапазоне температур от – 50 до +60 градусов Цельсия, напряжения источников питания +5 и – 5 В, предельные отклон е ния напряжений не более +0,5%, усилитель эксплуатируется в стационарной установке, габариты платы 60х40 мм”. В да н ном случае выходными параметрами явл я ются Y = К o , R вх, R вых, f в, U др . К внешним воздействиям относятся температура окр у жающей среды и напряжения источников питания. Управля е мыми параметрами являются пар а метры элементов схемы. Область работоспособности X Р = X я10000 - К o яяяя , 1- R вх яя , R вых-200 яяя , 100- f в яяяя , 50- U др яяя . Особенность технического задания для дискретных объектов (например, цифровых устройств) заключается в форме записи огранич е ний (условий работоспособности), которые могут иметь вид лог и ческих уравнений, таблиц истинности или даже текстовую фо р му. Целью решения задачи параметрической оптимизации (1.3) является определение такого набора значений параметров X *=( x 1*, x 2*.,…, xn *), X *яХР, при котором критерии качества Ki ( X *), i =1,…, s достигают своих наилучших (минимальных или максимальных ) значений. 3. Классификация задач параметрической оптимизации Задача параметрической оптимизации (1.3) являе т ся многопараметрической, многокритериальной и содержит о г раничения, все эти факторы определяют особенности, возн и кающие в процессе ее решения. В зависимости от вида крит е риев качества и ограничений проводят классификацию з а дач параметрической оптимизации (задач математического пр о граммир о вания) /2,5-8/. Если целевая функция и ограничения линейные функции вида С0 + С1яХ1+ С2яХ2+…+ С n яХn., (1.4) то задача оптимизации вида (1.3) называется задачей линейн о го программирования, в противном случае – задачей нелине й ного программирования . Если целевая функция квадратичная, а ограничения – л и нейные функции, то задача (1.3) называется задачей квадр а тичного программирования. Если целевая функция и огран и чения имеют вид Х1яХ2я…яХn., то задача (1.3) – это задача геометрического пр о граммиров а ния. Если целевую функцию можно представить в виде с у перпозиции функций, то задача (1.3) – это задача динамическ о го программирования. Если целевая функция и огранич е ния целочисленные функции, то задача (1.3) – это задача целочисленного програ м мирования. В большинстве случаев при проектировании РЭС цел е вая фун к ция нелинейно зависит от внутренних параметров, поэтому соответствующие задачи параметрической оптимиз а ции относятся к задачам нелинейного программирования, для решения которых используются методы математического н е линейного пр о граммирования /2, 5-8/. Кроме того, в некоторых частных случаях (например, при топологическом проектир о вании РЭС) в силу высокой трудоемкости задач применение методов математического программирования затруднено, т о гда используются различные приближенные способы получ е ния решений, приближающихся к оптимальным, например, эвристические алгоритмы и т. д. /8-12/. яяяяя Кроме того, в зависимости от вида используемых математических моделей, задача оптимизации может быть дете р минированной или стохастической, непрерывной или дискре т ной, аналитической или алгоритмической, при этом для ка ж дого класса задач имеется свой, в достаточной степени апр о бированный, математический аппарат /2,5-10/. Так, для задач л и нейного программирования успешно применяется симплекс-метод /7, 8/. Характерной особенностью задач оптимизации в САПР является тот факт, что классические методы нахождения эк с тремума, требующие аналитического выражения для целевой функции, практически неприменимы, так как в большинстве случаев используются алгоритмические модели, в которых вычисление значений целевых функций (критериев оптимал ь ности) и их производных производится численными методами. П о этому наиболее универсальными и эффективными для задач нелинейного программирования являются методы поисковой оптимиз а ции /2,7,8/. Для обеспечения возможности применения методов п о иска к решению задачи оптимизации в постановке (1.3) нео б ходимо некоторым образом упростить математическую п о становку задачи: перейти от многокритериальной задачи о п тимизации к однокритериальной и от задачи с ограничениями - к задаче безусловной оптимизации. 4. Многокритериальная оптимизация в задачах с огранич е ниями 4.1. Методы перехода от многокритериальной зад а чи оптимизации к однокритериальной Для того , чтобы оценить насколько хорошо удовлетворяют требованиям ТЗ значения частных критериев качества при заданном наборе значений внутренних параметров X = ( x 1, x 2.,…, xn ), нужно построить обобщенный критерий качества (обобщенную целевую функцию) f (Х), которая одновременно учитывает требования ко всем частным критериям. Иными словами, от многокритериальной задачи пар а метрической оптимизации в виде: необходимо перейти к однокритериальной задаче: Наиболее часто на практике используются следующие методы построения целевой функции (методы векторной свертки частных критериев): метод главного критерия, адд и тивный, мультипликативный, минимаксный и вероятнос т ный /7-9/. В методе выделения главного критерия проектировщик выбирает один, наиболее важный с его точки зрения частный критерий качества, который и принимается за обобщенную целевую функцию, а требования к остальным частным крит е риям учитывают в виде ограничений f ( X )= Kt ( X ), (1.7) где t – номер наиболее важного частного критерия. Например, задана принципиальная электрическая схема логического элемента и условия работоспособности на следу ю щие выходные параметры: y 1 – коэффициент нагружения, y 2 – запас помех о устойчивости, y 3 – средняя рассеиваемая мощность, y 4- з а держка распространения сигнала. Необходимо рассчитать п а раметры пассивных элементов, то есть управляемые параме т ры – это сопротивления резисторов. В качестве целевой фун к ции может быть выбран один из выходных параметров, н а пример, y 4 ( f ( X )= y 4 ). В аддитивном методе каждому из частных критер и ев качества ставится в соответствие весовой коэфф и циент (вес i -го частного критерия 0 яяяяя 1 яяi =1,…, s ,), характеризу ю щий важность данного критерия с точки зрения проектиро в щика (сумма весовых коэффициентов должна быть равна 1). При построении целевой функции в аддитивном мет о де используется соотношение: если f ( X )яяя max , то - f ( X )яяя min . Каждый частный критерий можно включить в а д дитивную ц е левую функцию по правилу: умножить на весовой коэффиц и ент и включить в целевую функцию со знаком плюс или м и нус. Чтобы построить минимизируемую целевую функцию f Ї ( X )яя min , все минимизируемые частные критерии K Ї i ( X ) ( K Ї i ( X )яя я min , i = 1,…, t ) включают в аддитивную функцию со знаком плюс, то есть прибавляют к целевой функции, а все максимизируемые критерии K + i ( X ) ( K + i ( X )яя я min , i = t +1,…, s ) включают в аддитивную функцию со знаком минус, то есть вычитают из целевой функции: или для максимизируемой целевой функции: t _ s + f ( X )=я-я яяя я Ki ( X )+яя яяя я Ki ( X ) )яя я max , (1.9) i =1 i = t +1 где s – общее число частных критериев, а t – количество минимизируемых критериев. В нашем примере четыре частных критерия, то есть s = 4, t = 2: K 1( X )яя яmax , K 2( X )яя я max , K3(X) яя я min, K4(X) я я min. Пусть яя я яя я яя яяяя я 0яяяяя тогда яя f(X) = яяяяя K1(X) я я яяяяя K2(X) яяяяяяяя K3(X) я я яяяяя K4(X) я я max, или f(X) = яяяяяяя K1(X) я я яяяяя K2(X) я я яяяяя K3(X) я я яяяяя K4(X) я я min. В мультипликативном методе используется правило: е с ли f ( X )яяя max , то 1/ f ( X )яяя min при условии, что f ( X )яяяяяя В отличие от аддитивного метода, частные критерии не складывают, а перемножают. Кроме того, в мультипликати в ном методе не используют весовые коэффициенты. Целевая фун к ция строится в виде дроби. Если f ( X )яя min , то в числитель дроби включают прои з ведение всех минимизируемых критериев, а в знаменатель – произведение всех максимизируемых критериев: или если целевую функцию нужно максимизировать: В нашем примере с применением мультипликативного метода свертки критериев целевые функции: Минимаксный метод построения обобщенной целевой функции получил свое название потому, что в нем минимиз и руется максимальное отклонение частного критерия качества от его наилучшего, желаемого значения (технического треб о вания, оговоренного в ТЗ). где X = ( x 1, x 2.,…, xn ), то есть Логика минимаксного построения целевой функции заключается в том, что в каждый момент времени в качестве гла в ного выбирается тот из частных критериев качества Ki ( X ), который в наибольшей степени удален от своего желаемого (оптимального) значения Ki *. В нашем примере ( s = 4) при желаемых значениях K 1* = 0,2; K 2* = 1000; K 3* = 25; K 4* = 1 по минимаксн о му методу получим: Другими словами, минимизируется “самый плохой” из ч а стных критериев. Рассмотрим три ситуации, изображенные на рис. 1.1. На оси у откладывается величина я Ki ( X )я Ki *я/ Ki * ядля всех частных критериев ( i = 1,2,3,4 для нашего примера). В случае а) хуже всего удовлетворяет требованиям ТЗ крит е рий K 3(Х), поэтому f ( X )=я K 3( X )я K 3*я/ K 3*, то есть в теч е ние некоторого времени усилия оптим и зации будут направлены на приближение критерия K 3( X )як его желаемому значению K 3*яяПри этом могут ухудшиться знач е ния других критериев. Например, в случае б) для дальнейшей оптимизации будет выбран критерий K 1( X ). Рис. 1.1 Процесс продолжают до тех пор, пока все частные крит е рии не будут достаточно (с требуемой точностью) близки к своим желаемым значениям ( случай в), изображенный на рис. 1.1). При этом приведение критериев к нормированному виду я Ki ( X )я Ki *я/ Ki *янеобходимо, чтобы в равной степени учит ы вать изменение критериев независимо от их абсолютных величин (как слишком больших, так и слишком малых, во з можно различающихся на несколько п о рядков). В случае вероятностного (статистического) метода п о строения обобщенной целевой функции выбирают f ( X ) = P ( X ) яя max , (1.16) , где P ( X ) – вероятность выполнения условий работоспособн о сти, то есть вероятность того, что при наборе значений вну т ренних параметров X = ( x 1, x 2.,…, xn ) выходные параметры об ъ екта проектирования будут удовлетворять требованиям ТЗ. Для определения вероятности Р(Х) на практике обычно и с пользуют метод статистических испытаний (метод Монте-Карло) / 5 /. 4.2. Методы перехода от задачи с ограничениями к задаче бе з условной оптимизации Для перехода от задачи параметрической оптимизации с ограничениями (1.6) к задаче без ограничений, или задаче безусловной оптимизации Ф(Х) яя я extr , (1. 17) используется один из следующих методов: метод неопределенных множителей Лагранжа; метод штрафных функций; метод барьерных функций /5-8/. В методе неопределенных множителей Лагранжа вводятся дополнительные переменные y 1, y 2.,…, yL , которые наз ы вают неопределенными множителями Лагранжа. Их количес т во равно числу ограничений L в задаче оптимизации (1.6). Формула (1.18) применима, если задача (1.6) ставится как задача максимизации, при этом для полученной целевой фун к ции Ф( X , Y ) необходимо найти седловую точку, то есть по п е ременным X = x 1, x 2.,…, xn ) проводится поиск максимума, а по переменным Y = ( y 1, y 2.,…, ym ) – поиск минимума, то есть Основной проблемой при использовании метода Лагра н жа является значительное увеличение размерности задачи п а раметрической оптимизации. В методе штрафных функций целевую функцию задачи безусловной оптимизации получают по формуле: Ф(Х)= f ( X )+ яя k ( X ) яя я extr , (1. 20) где X = ( x 1, x 2.,…, xn ) – набор управляемых параметров, я k ( X ) - штрафная функция, k -номер итерации (шага) в методе поиск о вой оптимизации. На практике задачи параметрической оптимизации решаются в основном итерационными (пошаговыми) методами, которые называют методами поисковой оптимизации. При этом на каждом шаге поиска значение штрафной функции яя k ( X ) уточняется (рассчитывается заново) по формуле: где r k =10 k . Формула (1.21) применима, если задача (1.6) ставилась как задача минимизации. Логика построения штрафной функции заключается в следующем: внутри области работоспособности ХР g l ( X ) яяя , L = 1,…, L , на границе – g l ( X ) яяя , а вне ХР g l ( X ) > яя (рис. 1.2). Целевая функция задачи безусловной оптимизации Ф(Х) должна быть максимально близкой к целевой функции f (Х) задачи с ограничениями внутри области работоспосо б ности X Р = X = ( x 1, x 2.,…, xn )я gl ( X ) яяя , l = 1,…, L и быть знач и тельно хуже (больше) функции f (Х) вне области работосп о собн о сти, то есть при gl ( X ) > я . Действительно, внутри области работ о способности ХР gl ( X ) яяяяя , l = 1,…, L , поэтому max 0, gl ( X ) = 0 для всех ограничений, то есть внутри области работоспособности Ф(Х) = f (Х). Если ограничения выполнены, то никакого штрафа на целевую функцию не накладывается. В противном случае, если имеются нарушения одного или нескольких огр а ничений g t ( X ) > яя 1 яяt яяL , то каждое из них дает свой вклад в штрафную функцию яk ( X ) в виде квадрата сл а гаемого [ max 0, gt (Х) ], где max 0, gt (Х) = gt (Х). Метод штрафных функций часто назыв а ют методом внешней точки, потому что при проведении дальнейшей оптимизации поисковыми методами для метода штрафных функций не важно, принадлежит ли начальная точка поиска области работоспособн о сти ХР. В методе барьерных функций на границе области работ о способности ХР ставится непреодолимый барьер (целевая функция задачи безусловной оптимизации Ф(Х) возрастает до бесконечности на границе области ХР). Поэтому начальная точка поиска обязательно должна принадлежать области раб о тоспособности, если при построении целевой функции задачи безусловной оптимизации был применен метод штрафных функций, или метод внутренней точки. Целевую функцию Ф(Х) в методе барьерных функций получают по формуле Ф(Х)= f ( X )+ яя k ( X ) яя я extr , (1.22) где k - номер итерации поискового метода, весовой коэффициент rk =10 - k , а барьерная функция яя k ( X ) вычисл я ется по формуле Действительно, при приближении к границе ХР gl (Х) 0, так как ХяХР (метод внутренней точки) gl ( X ) яяя , l = 1,…, L , поэтому gl (Х)