1. Основные уравнения электростатического поля
Прежде
чем приступить к изложению численных
методов расчета электростатического
поля, запишем основные уравнения,
устанавливающие связи между вектором
напряженности электрического поля
,
вектором электрического смещения
и истоками электрического поля (т.е.
зарядами). Поскольку в данной работе
рассматривается только электростатическое
поле, то будем считать, что эти векторы,
так же как и заряды, являются функциями
пространственных координат, но не
функциями времени. Кроме того, мы
ограничимся здесь рассмотрением системы
уравнений для неподвижных сред,
предполагая, что все находящиеся в них
тела неподвижны.
Распределение
электрического поля в пространстве
определяется одним из уравнений
Максвелла, устанавливающим связь между
вектором электрического смещения
и истоками поля:
. (1.1)
Согласно уравнению (1.1) силовые линии вектора смещения начинаются и закачиваются на зарядах, плотность которых стоит в правой части уравнения (1.1).
Уравнение
(1.1) должно быть дополнено соотношением
между векторами поля и диэлектрической
проницаемостью среды
.
Условимся в дальнейшем считать, что
значения
,
заданные в каждой точке поля, остаются
постоянными во времени, не зависят от
напряженности поля, но могут быть
кусочно-постоянными в пространстве,
т.е. могут изменяться скачком при
переходе из одной среды в другую,
оставаясь постоянными в пределах каждой
среды. Тела с остаточной поляризованностью,
а также анизотропные среды, из нашего
рассмотрения исключаются. При этих
условиях для каждого момента времени
имеем
, (1.2)
где
=8,85?10-12
Ф/м – электрическая постоянная.
Кроме
того, уравнения (1.1) и (1.2) необходимо
дополнить граничными условиями для
векторов
и
.
Так как значения параметра могут изменяться скачком при переходе через поверхность раздела двух сред, то на этих поверхностях теряют смысл пространственные производные (div) в уравнении (1.1). На поверхностях раздела должны удовлетворятся следующие граничные условия:
, (1.3)
т.е.
при переходе из среды 1 в среду 2
тангенциальная составляющая
вектора напряженности электрического
поля
сохраняется, если плотность объемного
заряда конечна;
, (1.4)
т.е.
при переходе из среды 1 в среду 2 нормальная
составляющая
вектора электрического смещения
изменяется на величину плотности
поверхностного заряда на границе
раздела.
В уравнениях (1.1)(1.4) предполагается, что вектор нормали к границе раздела направлен из 1-й среды во 2-ю.
Рассмотрим
поведение электрического поля на
границе раздела “диэлектрик-проводник”.
Такие задачи типичны для расчета
электрического поля, создаваемого в
диэлектриках высоковольтными и
заземленными металлическими (проводящими)
частями электроэнергетического
оборудования. При этом
,
и напряженность электрического поля
во 2-й среде с большим значением
диэлектрической проницаемости и
проводимости (проводнике) оказывается
близкой к нулю, а весь заряд проводящих
частей конструкций оказывается
распределенным по их поверхностям.
Тогда на границе раздела двух сред
тангенциальная составляющая вектора
напряженности электрического поля
равна нулю
, (1.5)
а нормальная составляющая определяется как
, (1.6)
где – поверхностная плотность заряда на поверхности проводника.
Электростатическое поле.
В рассматриваемых здесь условиях (электрическое поле неизменно во времени, его источники неподвижны) определенный интеграл вектора напряженности электрического поля
вдоль линии, соединяющей некоторые точки A и B, не зависит от выбора пути интегрирования. Этот интеграл называется электрическим напряжением между точками A и B.
В
таком случае вводится функция координат
,
называемая скалярным потенциалом
электрического поля, разность значений
которой в точках A и B равна напряжению
между этими точками, т.е.
,
Тогда
потенциал поля
можно найти как неопределенный интеграл
.
Это
позволяет дать точное определение
скалярного потенциала как функции, у
которой взятая со знаком минус частная
производная по некоторому направлению
равна составляющей вектора напряженности
электрического поля в этом направлении.
Отсюда следует, что вектор напряженности
электрического поля
и скалярный потенциал связаны
соотношением
. (1.7)
В
таком случае, если в некотором
электрическом поле известно распределение
потенциала в пространстве, то вектор
может быть определен по трем своим
составляющим. Так, например, в декартовых
координатах, если
,
то
,
,
,
и
.
Введение
скалярного потенциала электрического
поля позволяет существенно упростить
расчет распределения электрического
поля. Как известно, дивергенция вектора
выражается в общем случае через частные
производные всех трех его составляющих.
Поэтому, если в пространстве задано
распределение , то найти вектор
(и в соответствии с соотношением (1.2)
вектор
)
непосредственно из уравнения (1.1) можно
только в простейших случаях, когда
вектор имеет, например, только одну
составляющую. В общем же случае решение
становится возможным с помощью
потенциала, позволяющего исключить из
уравнений (1.1) и (1.2) векторы
и
,
и получить связь между потенциалом
плотностью заряда .
Исключить
вектор
из уравнения (1.1) можно за счет постановки
выражения (1.7) в соотношение (1.2):
.
Подставляя полученное соотношение в уравнение (1.1) получаем
.
Как
было сказано выше, мы ограничиваемся
рассмотрением задач, в которых среда
является кусочно-однородной, т.е.
состоящей из участков, с постоянной
диэлектрической проницаемостью в
пределах данного участка. Для каждого
такого однородного участка можно
вынести
за знак дивергенции. Тогда
,
или
, (1.8)
где
.
Уравнение (1.8) называется уравнением
Пуассона.
В подавляющем большинстве случаев электрические поля создаются заряженными проводниками. В этом случае все заряды являются поверхностными, т.е. они распределены по поверхностям проводников, являющимися границами электрического поля. Поле существует только в диэлектрике, а внутри проводников напряженность поля равна нулю (иначе в проводнике был бы ток). В этом случае плотность объемного заряда равна нулю и после описывается уравнением Лапласа
. (1.9)
Как было отмечено выше, тангенциальная составляющая напряженности электрического поля на поверхности проводника равна нулю (1.5). Это означает, что силовые линии перпендикулярны поверхности проводника и потенциал вдоль поверхности не изменяется. Но потенциал не может меняться и вглубь проводника. Поэтому в электростатическом поле для поверхности проводника справедливо граничное условие
, (1.10)
позволяющее говорить о постоянстве потенциала всего проводника.
Таким
образом, электростатическое поле в
любой области пространства, в которой
диэлектрическая проницаемость среды
постоянна, описывается уравнением
Пуассона (1.8) относительно скалярного
потенциала или эквивалентными ему
уравнениями (1.1) и (1.2) относительно
вектора напряженности поля
.
Связь между и
устанавливается соотношением (1.7). На
границах раздела между областями
пространства с различными значениями
выполняются граничные условия (1.3) и
(1.4). На поверхностях проводников
выполняется условие (1.5), из которого
вытекает условие эквипотенциальности
поверхности проводника (1.10).
2. Расчет простейших электростатических полей методом изображений
3. Интегральные методы расчета электростатических полей
3.1. Общая характеристика интегральных методов
Интегральные методы расчета электростатических полей развивают идею, заложенную в методе изображений, в котором поля реальных проводящих тел моделируются полями систем простейших зарядов (точечных или линейных), а значения последних находятся из условия эквипотенциальности поверхности проводников.
Идея интегральных методов заключается в следующем. Реальные распределения заряда по поверхностям тел полеобразующей системы замещаются фиктивными распределениями по некоторым поверхностям, лежащим внутри реальных тел. Эти фиктивные распределения заряда определяются из условия эквипотенциальности поверхности проводников (1.10), а также из условий неразрывности тангенциальной составляющей вектора напряженности электрического поля (1.3) и нормальной составляющей вектора электрического смещения (1.4) на границах раздела диэлектриков.
Рассмотрим
суть интегральных методов на примере
расчета электростатического поля
проводящего тела, помещенного в однородную
среду с диэлектрической проницаемостью
, которое ограничено поверхностью
,
и к которому приложено напряжение V
(рис.
3.1).
|
Рис. 3.1. К расчету электростатического поля интегральным методом. |
Пусть
внутри тела по поверхности
распределен заряд с неизвестной
плотностью . Рассчитаем потенциал,
наведенный этим распределенным зарядом
в произвольной точке B
поверхности
.
Для этого на поверхности
возьмем произвольную точку A
и выделим в ее окрестности бесконечно
малую площадку
,
плотность заряда на которой обозначим
.
Тогда потенциал в точке B
определяется как
.
Поскольку
в любой точке поверхности проводника
должно выполняться условие равенства
потенциала его поверхности приложенному
напряжению, то получаем следующее
интегральное уравнение относительно
неизвестного распределения заряда
по поверхности
:
. (3.1)
После того, как из уравнения (3.1) определяется распределение , можно рассчитать параметры поля в любой точке пространства.
Интегральные
методы расчета электростатических
полей разделяют по способу размещения
фиктивной поверхности
внутри поверхности
:
Поверхность
целиком располагается внутри поверхности
,
нигде не пересекаясь с последней.
Соответствующий метод называется
методом
эквивалентных зарядов
(МЭЗ). Чтобы упростить его реализацию,
в большинстве случаев распределение
заряда по поверхности
полагается не непрерывным, а дискретным.
Это означает, что на поверхности
размещаются точечные, линейные, кольцевые
или какие-либо иные сосредоточенные
эквивалентные заряды (ЭЗ). Выбор их
конкретного вида определяется формой
тела.
Поверхность
целиком совпадает с поверхностью
.
Соответствующий метод называется
методом
интегральных уравнений
(МИУ). Таким образом, в МИУ заряд полагается
распределенным по поверхности тела
.
Ниже методы эквивалентных зарядов и интегральных уравнений будут рассмотрены более подробно.
3.2. Метод эквивалентных зарядов
Как было сказано выше, метод эквивалентных зарядов основан на замещении реального непрерывного распределения заряда по поверхности проводящих и диэлектрических тел совокупностью дискретных эквивалентных зарядов, расположенных внутри тел. Значения ЭЗ определяются из условия эквипотенциальности поверхностей проводников (1.10) , а также из условий неразрывности тангенциальной составляющей вектора напряженности электрического поля (1.3) и нормальной составляющей вектора электрического смещения (1.4) на границах раздела диэлектриков.
Начнем изучение метода эквивалентных зарядов с простейшего случая, когда полеобразующая система не содержит диэлектрических тел.
3.2.1. Расчет электростатического поля проводников.
Рассмотрим
проводник, ограниченный поверхностью
,
к которому приложено напряжение V
(рис.
3.2).
В
данном случае реальное распределение
заряда по поверхности тела
замещается системой N
точечных эквивалентных зарядов
,
расположенных внутри тела. На поверхности
размещается N
контурных точек (КТ)
.
Потенциал каждой контурной точки
должен быть равен приложенному напряжению
.
Тогда для каждой КТ можно записать
следующее уравнение:
, (3.2)
где
–
расстояние от i-го заряда до j-ой контурной
точки,
.
Таким образом, мы имеем систему из N
линейных алгебраических уравнений с N
неизвестными
.
|
Рис. 3.2. К расчету электростатического поля методом эквивалентных зарядов. |
Система уравнений (3.2) может также быть записана в матричной форме
, (3.3)
где
P
– матрица потенциальных коэффициентов
размерности
;
Q – вектор-столбец ЭЗ
;
V
– вектор-столбец потенциалов КТ
.
Элементы
матрицы потенциальных коэффициентов
P определяются по формуле
.
Система
линейных алгебраических уравнений
(3.3) может быть решена относительно
неизвестных значений ЭЗ, например,
методом Гаусса. После этого составляющие
вектора
напряженности электрического поля
в любой точке пространства с координатами
определяются следующим образом:
(3.4)
Здесь
- координаты эквивалентных зарядов
.
Полный
заряд проводника, ограниченного
поверхностью
определяется как
(3.5)
3.2.2. Расчет электростатического поля при наличии границы раздела между двумя диэлектриками.
Расчет электростатического поля в областях с двумя и более диэлектриками усложняет применение метода эквивалентных зарядов. Особенностью данного расчета является необходимость учитывать не только поверхностный заряд проводников, но и заряд, наведенный на границах раздела диэлектриков.
Рассмотрим порядок применения МЭЗ в такой ситуации на примере системы с двумя границами раздела “металл–диэлектрик” и одной границей раздела “диэлектрик–диэлектрик” (рис. 3.3).
Рис. 3.3. К расчету электростатического поля в системе, включающей границу раздела между двумя диэлектриками, методом эквивалентных зарядов.
В
данном случае наряду с эквивалентными
зарядами
,
расположенными внутри электрода, в
расчете участвуют заряды, размещаемые
по обе стороны границы раздела
диэлектриков. В среде с диэлектрической
проницаемостью
располагаются заряды
,
а в среде с диэлектрической проницаемостью
— заряды
.
Так как во всей рассматриваемой области
должно выполняться уравнение Лапласа,
при расчете параметров поля в среде с
диэлектрической проницаемостью
(или
)
заряды, расположенные в данной среде,
не учитываются.
Система уравнений (3.3) составляется в данном случае следующим образом.
Для
контурных точек, лежащих на поверхности
проводника в среде с диэлектрической
проницаемостью
(
),
должны выполняться равенства
, (3.6)
а
для контурных точек, лежащих на поверхности
проводника в среде
(
),
должны выполняться равенства
. (3.7)
Выражения (3.6) и (3.7) представляют собой требование эквипотенциальности поверхности проводника.
Для
контурных точек на границе раздела двух
диэлектриков (
)
требуется выполнение двух условий:
, (3.8)
, (3.9)
где
;
– коэффициент пропорциональности между
j-м
эквивалентным зарядом и нормальной
составляющей вектора напряженности
электрического поля в i-ой
контурной точке;
- вектор нормали к границе раздела
диэлектриков в i-ой
контурной точке.
Выражение (3.8) отражает требование неразрывности потенциала на границе раздела двух сред, вытекающее из граничного условия (1.5). Выражение (3.9) отражает требование неразрывности нормальной составляющей вектора электрического смещения (1.4), которое в соответствии с уравнением (1.2) приводит к скачку нормальной составляющей вектора напряженности электрического поля:
.
Решив
систему уравнений (3.3), сформированную
из уравнений (3.6)(3.9), относительно
значений эквивалентных зарядов
,
затем, используя принцип суперпозиции,
можно рассчитать поле как внутри, так
и на поверхности диэлектрика. Особенностью
расчета является то, что для вычисления
поля в одной из диэлектрических сред
источниками поля являются заряды,
находящиеся в проводнике и в другом
диэлектрике. Заряды внутри исследуемой
области не учитываются.
3.3. Метод интегральных уравнений
3.3.1. Свойства простого слоя заряда.
Как было сказано выше, идея метода интегральных уравнений заключается в замещении реальных распределений заряда по поверхности тел полеобразующей системы простыми слоями зарядов, распределенных по поверхности тел. Значения поверхностной плотности заряда определяются из условия эквипотенциальности поверхностей проводников (1.10) , а также из условий неразрывности тангенциальной составляющей вектора напряженности электрического поля (1.3) и нормальной составляющей вектора электрического смещения (1.4) на границах раздела диэлектриков.
Простой слой заряда обладает следующими основными свойствами.
Во-первых, потенциал простого слоя заряда является непрерывной и ограниченной функцией координат во всём пространстве, включая точки поверхности, на которой расположен этот слой. Отсюда непосредственно вытекает равенство тангенциальных составляющих напряженности электрического поля по обе стороны поля.
Во-вторых, в соответствии с (1.4) нормальная составляющая напряженности электрического поля при переходе через простой слой зарядов испытывает скачёк равный
,
где
и
– значения
нормальной
составляющей электрического поля по
обе стороны слоя,
– поверхностная плотность заряда в
рассматриваемой точке слоя.
Отсюда
следует, что если внутри замкнутой
поверхности
,
покрытой
простым слоем зарядов, нормальная к
поверхности составляющая напряженности
электрического поля равна нулю, то по
внешней поверхности
.
Можно
также показать, что в этом случае
потенциал на самой поверхности
и внутри неё будет постоянным, а также
будет равна нулю тангенциальная
составляющая напряженности электрического
поля
на
поверхности
.
Отсюда вытекает, что
будет
эквипотенциальной
поверхностью,
а поле будет совпадать с полем проводника
такой же формы. Следовательно, с помощью
простых слоёв зарядов можно создавать
поля, идентичные полям реальных
проводников.
3.3.2. Расчет электростатического поля проводников методом интегральных уравнений.
Рассмотрим
некоторое тело, ограниченное поверхностью
,
к которому приложен потенциал
(рис. 3.4). Задача состоит в том, чтобы
определить такое распределение
поверхностной плотности заряда
на поверхности
,
которое обеспечило бы равенство
потенциала на ней значению
.
Рис. 3.4. К расчету электростатического поля методом интегральных уравнений.
Пусть
точки A
и
B
–
произвольные
точки поверхности
,
тогда для точки B
согласно принципу суперпозиции имеем
, (3.10)
где
–
расстояние
между точками A
и
B.
Уравнение
(3.10) представляет собой интегральное
уравнение Фредгольма I
рода
относительно неизвестной функции
.
В результате его решения определяется
распределение поверхностной плотности
заряда по поверхности
.
Если оно известно, то любые параметры
электрического поля определяются по
принципу суперпозиции. Так значения
потенциала
и проекций
вектора напряженности электрического
поля
на координатные оси в произвольной
точке M,
лежащей
вне поверхности
определяются как
(3.11)
где
– косинусы
углов между вектором
и направляющими углами координатных
осей.
3.3.3. Численная реализация метода интегральных уравнений.
Простейшим
вариантом численного решения уравнения
(3.10) является следующий метод. Нанесём
на поверхность
(рис.
3.5)
некоторую
сетку и в каждой её ячейке выберем
расчётную точку (на рис. 3.5 расчетные
точки обозначены квадратиками). Примем,
что внутри каждой ячейки поверхностная
плотность заряда постоянна. Тогда
уравнение (3.10) можно переписать в
следующем виде:
. (3.12)
Рис. 3.5. К численному расчету электростатического поля методом интегральных уравнений.
Замена
интеграла по поверхности
в уравнении (3.10) на сумму интегралов по
элементам поверхности
в
(3.12) приводит к замене интегрального
уравнения системой линейных алгебраических
уравнений с неизвестными
.
В (3.12) через n
обозначено число ячеек сетки на
поверхности
.
Коэффициенты
системы
уравнений (3.12) определяются выражением
. (3.13)
При
и
подынтегральное выражение в (3.13) конечно.
Если
,
то выражение
имеет
особенность Однако это выражение
является интегрируемым. Выделим вблизи
расчетной точки
диск
малого радиуса
.
Тогда, учитывая, что в данном случае
,
соответствующий интеграл по этому диску
записывается в виде
.
Таким
образом, определяемые выражением (3.13)
коэффициенты
конечны как при
,
так
и при
.
В методе эквивалентных зарядов возникают следующие проблемы, связанные друг с другом:
Размещение эквивалентных зарядов и контурных точек;
Проблема обусловленности СЛАУ.
Определитель матрицы СЛАУ равен нулю, если она имеет два одинаковых столбца или строки. Если же два столбца или две строки не одинаковы, но близки друг к другу, то определитель матрицы отличен от нуля, но очень мал. Его значение тем меньше, чем меньше отличия соответствующих строк или столбцов.
В соответствии с этим, при сближении строк или столбцов исходной матрицы, будут возрастать коэффициенты матрицы, обратной к рассматриваемой. Будет возрастать и норма обратной матрицы.
В линейной алгебре вводится понятие числа обусловленности N матрицы равного произведению норм прямой и обратной матриц
N=||A-1||||A||.
При сближении двух строк или столбцов матрицы, число обусловленности N возрастает.
Рассмотрим теперь СЛАУ, записанную в матричной форме:
AX=U,
где X и U –соответственно, векторы неизвестных и правых частей.
Пусть правая часть U известна точно, а матрица A получает некоторое приращение А. Тогда решение также несколько изменится. Обозначим его приращение через Х. Это можно записать как
(A+A)(X+X)=U.
Если раскрыть скобки и пренебречь величиной АХ, то получим
ХА-1 АХ.
Переходя к нормам, получим:
.
Смысл
этого выражения состоит в том ,что
относительная погрешность решения
пропорциональна относительному
изменению коэффициентов матрицы А,
причем коэффициент пропорциональности
равен числу обусловленности матрицы
А.
Системы уравнений с большим числом обусловленности N называются плохо обусловленными. Для них небольшим изменениям коэффициентов матрицы соответствуют большие изменения решения.
Теперь перенесем изложенные результаты на МЭЗ. Предположим, что расстояния от отдельных ЭЗ до каких-либо двух контурных точек близки. Это приводит к тому, что два столбца в матрице СЛАУ близки между собой и число обусловленности матрицы может быть весьма велико. В этом случае полученные значения ЭЗ очень сильно зависят от выбранных координат контурных точек. Поэтому если координаты ЭЗ и КТ выбраны неудачно, то решение может иметь осциллирующий знакопеременный характер, что не соответствует физической постановке задачи.
